chapter3 MATLAB数值运算

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例：
>> A=[1 12 7;3 8 5;4 3 6] A= 1 12 7 3 8 5 4 3 6 >> B=flipud(A) % 矩阵B由矩阵A上下翻转得到 B= 4 3 6 3 8 5 1 12 7 >> A/B ans = 0 0 1 0 1 0
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第 3 章 MATLAB数值运算
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3.1 矩阵和数组
MATLAB具有强大的数值运算能力。数值运算主要指数组、 矩阵和多项式的运算。 MATLAB数值运算的表达式变量中不允许有未定义的自由 变量。 在MATLAB语言中，二维矩阵和数组在形式上一致，但它 们的运算规则不同 。矩阵运算是按照线性代数的规则进行 运算。数组运算是两个数组按元素位置进行的逐元运算， 即元素对元素的运算，数组中的元素都是平等的，要求被 操作的两个数组中元素的行数和列数必须相等。数组运算 符是在矩阵运算符前面加一点“. ”（加减法除外），如 “.* ” 、“./”和“.＾”等。向量是数组的一种特例，一行 多列的数组为行向量，一列多行的数组为列向量。
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例：
>> A=[1 12 7;3 8 5;4 3 6]; >> B=[4;9;13];C=[A;1 1 1]; >> D=[B;5]; >> X1=A\B %求解欠定方程 X1 = 2.6442 -0.1731 0.4904 >> X2=C\D %求解超定方程 X2 = 2.9536 -0.0847 0.2639
C(i,j ) A(i,k )B(k ,j ) k
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n
矩阵乘法不满足交换律，即A*B≠B*A。 例：
>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];B=[4 1;7 5;0 3];C=3; >>D=A*B % A*B≠B*A >>E=A*C
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D=rot90(A)
例：
>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];B=fliplr(A),C=flipud(A)
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3.1.2 矩阵的特殊运算 1. 矩阵行列式(determinant) 矩阵A＝{aij}的行列式定义为
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计算矩阵的行列式有多种算法，在MATLAB 中采用的 方法为三角分解法（LU分解），将方阵分解为一个上 三角矩阵U和一个下三角矩阵L的积，即A=LU，这样 求得L矩阵的行列式即可得到原矩阵的行列式的值。L 矩阵形式特殊，其行列式计算方法非常简单：
4. 矩阵的除法 在线性代数中，只有矩阵的逆运算，而没有矩阵的除 法运算。在MATLAB中，矩阵的除法用来求线性方程 的解。MATLAB定义了矩阵的左除“\”和右除“/” 两种除法运算，表示了两种不同的除数矩阵和被除数 矩阵的关系。对于标量，两种除法运算的结果相同， 如1/4和4\1有相同的值0.25。2016/1/15inv函数求矩 阵的逆
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附录1：奇异矩阵
定义：
行列式等于0的矩阵称为奇异矩阵。
奇异矩阵的判断方法： 首先，看这个矩阵是不是方阵（方阵是行数和列数相等的矩 阵）。若不是方阵，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵。然 后，再看此方阵的行列式|A|是否等于0。若等于0，称矩阵A 为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。 同时，由 |A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可 逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。如果A为 奇异矩阵，则AX=0有无穷解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0有 且只有唯一零解。
P
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② 底数A为标量，指数P为方阵，A＾P由特征值和特性 向量计算得到。 ③ 底数A和指数P均为方阵，或者A和P两个矩阵中有一 个不是方阵，则MATLAB显示出错信息。
例：ex3_1.m
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>> a=[2+3i 4-4i 5-2i;7+5i 6-9i 4+3i] >> b=a' %矩阵转置 >> c=a.' %数组转置 >> d=[2 4 5;7 6 4] >> e=d' %矩阵转置 >> f=d.' %数组转置
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2. 矩阵的加、减 运算符：＋、－ 只有同阶的两个矩阵或者一个矩阵和一个标量才能进 行加减运算。两个同阶矩阵的加减运算是将对应元素 相加减，而矩阵和标量的加减运算是将矩阵中每一个 元素与标量进行加减运算。如果两个矩阵维数不匹配 将提示出错信息 例：
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MATLAB计算矩阵的除法遇到不定方程（未知数的个 数多于方程个数，且解为整数、正整数、有理数或代 数整数的方程或方程组）或超定方程（方程个数大于 未知量个数的方程组）时，有时会无法给出一个确定 解（方程无解或有无穷多组解）。对于无解的情况， MATLAB采用最小二乘法给出一个误差最小的解。
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5. 矩阵的乘方 A＾P（幂） 运算符：＾ 前提条件：矩阵必须为方阵，即只有方阵才能进行乘 方运算，但A和P不能同时为矩阵。 MATLAB中矩阵的幂运算有三种情况：
① 底数A为方阵，幂指数P为标量，表示A的P次幂。
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1. 矩阵转置（共轭转置） 运算符： ' n×m矩阵A的转置矩阵B定义为bji=aij，i=1, …,n， j=1, …,m，B为m×n矩阵，记为B=AT。如果A为复数 矩阵，则 A '为复数矩阵的共轭转置（Hermit转置）。 例：
L i 1 lii
n
MATLAB求矩阵行列式函数的调用格式为
det(A)
例：ex3_2.m
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如果矩阵A为数值矩阵，则det(A)得到行列式数值计算 结果；如果A为符号矩阵，则det(A)将得出解析解。二 者的区别是，对于接近奇异的系统，解析解的结果更 精确。
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例：求Vandermonde矩阵A=[1 1 1;a b c;a2 b2 c2]的特征 多项式。 解： ex3_3_1.m 例：求状态矩阵A的特征多项式。
解：ex3_3_2.m
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6. 矩阵翻转 MATLAB提供了一些处理矩阵翻转的特殊命令。对 n×m维矩阵A
B=fliplr(A) C=flipud(A)
%将矩阵A左右翻转再赋给B，即bij＝ai,m+1-j %将矩阵A上下翻转再赋给C，即cij＝an+1-i,j
%将矩阵A逆时针旋转90度后赋给D，即dij＝aj,m+1-i
例：计算 10 阶 Hilbert 矩阵的行列式。 解： Hilbert 矩阵的通项为hij=1/(i+j-1)，MATLAB中生 成Hilbert 矩阵的函数是hilb(n) ，用sym( )函数可以得出 其符号表达式。
>> H=hilb(10);det(H) %求数值解，不精确 ans = 2.1644e-053 >> H1=sym(H);det(H1) %先将矩阵变换为符号矩阵，再求解析解 ans = 1/46206893947914691316295628839036278726983680000000000
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（1）矩阵左除 运算符：\ X= A\B是线性方程组A*X=B的解。若A为非奇异方阵， 则X=A\B=A-1*B=inv(A)*B ；当方程是欠定或超定情况 时，A\B所对应的是方程最小二乘解；若X不存在或不 唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即 非方形矩阵），但此时方程组必须相容。 （2）矩阵右除 运算符：/ X=B/A是线性方程组X*A=B的解。A为非奇异方阵时， X=B/A= B*A-1 =B*inv(A) 。 通常A\B≠B/A
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常用的十进制符号如小数点、负号等，在MATLAB中 也可以同样使用。 表示10的幂次用符号e或E，如：3、-99、0.0001、1.6e20、6.2e23。
A det(A) (1)k a1k1 a2k2 ...ankn
式中k1,k2,…,kn是将序列1,2,…,n的元素交换k次所得出 的序列，每个序列称为一个置换（permutation）；∑表 示对k1,k2,…,kn取遍1,2,…,n的所有的排列求和。