2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学(北师大),3-2导数的应用
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学3-2
1.(2011·武汉调研)若cos α＝35，－π2<α<0，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－43 D ．－34 [答案] C[解析] 依题意得，sin α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－43，选C.2．(2010·河北唐山)已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则sin2α＝( ) A ．－ 78 B.78 C ．－ 3132 D.3132[答案] A[解析] sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.3．(2010·福建省福州市)已知sin10°＝a ，则sin70°等于( ) A ．1－2a 2 B ．1＋2a 2 C ．1－a 2 D ．a 2－1[答案] A[解析] 由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin 210°＝1－2a 2，故选A.4．(2011·天津模拟)若co s(2π－α)＝53且α∈(－π2，0)，则sin(π－α)＝( )A ．－53 B ．－ 23 C ．－ 13 D ．±23[答案] B[解析] ∵cos(2π－α)＝53，∴cos α＝53， ∵α∈(－π2，0)，∴sin α＝－23，∴sin(π－α)＝sin α＝－23.5．(2011·杭州二检)若a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α＝( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60° [答案] C[解析] 依题意得32×13－sin αcos α＝0，即sin2α＝1.又α为锐角，故2α＝90°，α＝45°，选C.6．(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联考)已知cos α＝45，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α等于( )A.15 B ．－15 C ．－75 D.75 [答案] A[解析] 由于cos α＝45，α∈(－π4，0)，所以sin α＝－35，所以sin α＋cos α＝15，故选A.7．(2011·山东烟台模拟)若sin(π＋α)＝12，α∈(－π2，0)，则tan α＝________.[答案] －33[解析] 由已知得sin α＝－12，又α∈(－π2，0)，所以cos α＝1－sin 2α＝32，因此tan α＝sin αcos α＝－33.8．(文)(2010·苏北四市)设α是第三象限角，tan α＝512，则cos(π－α)＝________.[答案] 1213[解析] ∵α为第三象限角，tan α＝512， ∴cos α＝－1213，∴cos(π－α)＝－cos α＝1213. (理)(2010·浙江杭州质检)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝35，则tan 2x 等于________．[答案] 4[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－cos2x ＝sin 2x －cos 2x ＝35，又sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＝45cos 2x ＝15，∴tan 2x ＝sin 2xcos 2x＝4.1.(2010·新乡市模考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos α＝45，则tan2α等于( )A ．－ 247 B.247 C ．－ 724 D.724[答案] A[解析] ∵－π2<α<0，cos α＝45，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－34，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，故选A.2．(2011·绵阳二诊)已知tan θ>1，且sin θ＋cos θ<0，则cos θ的取值范围是( )A ．(－22，0) B ．(－1，－22) C ．(0，22)D ．(22，1)[答案] A[解析] 如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2k π＋5π4<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ，因此－22<cos θ<0.选A.3．(2010·河南南阳调研)在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°[答案] A[解析] 两式平方后相加得sin(A ＋B )＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sin A ＝6－4cos B >2，∴sin A >23>12，∴A >30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°.4．(文)(2011·湖北联考)已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝( )A.－1±52B.3＋12C.5－12D.3－12[答案] C[解析] ∵tan x ＝sin(x ＋π2)，∴tan x ＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝－1±52， ∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ＝5－12.故选C.(理)(2011·重庆诊断)已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( )A ．0 B.32 C ．1 D.12[答案] A[解析] ∵2tan αsin α＝3，∴2sin 2αcos α＝3，即2(1－cos 2α)cos α＝3，∴2cos 2α＋3cos α－2＝0， ∵|cos α|≤1，∴cos α＝12，∵－π2<α<0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝12×32－32×12＝0.5．(2011·盐城模拟)已知cos(5π12＋α)＝13，且－π<α<－π2，则cos(π12－α)＝________.[答案] －223[解析] ∵－π<α<－π2，∴－7π12<5π12＋α<－π12，∵cos(5π12＋α)＝13，∴sin(5π12＋α)＝－223，∴cos(π12－α)＝cos[π2－(5π12＋α)]＝sin(5π12＋α)＝－223.6．(文)设a ＝12cos16°－32sin16°，b ＝2tan14°1＋tan 214°，c ＝1－cos50°2，则a 、b 、c 的大小关系为________(从小到大排列)． [答案] a <c <b [解析] a ＝sin14°，b ＝2sin14°cos14°cos 214°＋sin 214°＝sin28°，c ＝sin25°，∵y ＝sin x 在(0°，90°)上单调递增，∴a <c <b .(理)(2011·江西上饶四校联考)对任意的a∈(－∞，0)，总存在x0使得a cos x＋a≥0成立，则sin(2x0－π6)的值为________．[答案]－12[解析]若对任意的a∈(－∞，0)，总存在x0使得a cos x＋a≥0成立，则cos x0＋1≤0，又cos x0＋1≥0，即cos x0＋1＝0，所以cos x0＝－1，则x0＝2kπ＋π(k∈Z)，所以sin(2x0－π6)＝sin(4kπ＋2π－π6)＝sin(－π6)＝－sinπ6＝－12.7．(文)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tan A＝12，cos B＝31010.(1)求tan C的值；(2)若△ABC最长的边为1，求b.[解析](1)∵cos B＝310 10>0，∴B为锐角，sin B＝1－cos2B＝10 10∴tan B＝sin Bcos B＝13.∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－tan A＋tan B1－tan A·tan B＝－12＋131－12·13＝－1.(2)由(1)知C为钝角，所以C是最大角，所以最大边为c＝1∵tan C ＝－1，∴C ＝135°，∴sin C ＝22. 由正弦定理：b sin B ＝csin C得， b ＝c sin B sin C ＝1·101022＝55.(理)(2010·南充市模拟)已知三点：A (4,0)，B (0,4)，C (3cos α，3sin α)． (1)若α∈(－π，0)，且|AC→|＝|BC →|，求角α的值； (2)若AC →·BC →＝0，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值． [解析] (1)由题得AC →＝(3cos α－4,3sin α)，BC →＝(3cos α，3sin α－4)由|AC→|＝|BC →|得， (3cos α－4)2＋9sin 2α＝9cos 2α＋(3sin α－4)2 ⇒sin α＝cos α∵α∈(－π，0)，∴α＝－3π4.(2)由AC →·BC →＝0得，3cos α(3cos α－4)＋3sin α(3sin α－4)＝0， 解得sin α＋cos α＝34，两边平方得2sin αcos α＝－716∴2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－716.8．(文)(2010·北京东城区模拟)已知向量a ＝(cos α，1)，b ＝(－2，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且a ⊥b . (1)求sin α的值；(2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值． [解析] (1)∵a ＝(cos α，1)，b ＝(－2，sin α)，且a ⊥b . ∴a ·b ＝(cos α，1)·(－2，sin α)＝－2cos α＋sin α＝0. ∴cos α＝12sin α.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝45.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＝－255. (2)由(1)可得cos α＝－55，则tan α＝2. tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－3. (理)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴间距为32π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32α＋π2＝2326，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos (4π＋2α)的值．[解析] (1)由题意得m ·n ＝0，所以， f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx ) ＝1＋cos2ωx 2＋3sin2ωx2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12， 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6＋12. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32α＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋12＝cos α＋12＝2326，解得cos α＝513，因为α是第一象限角，故sin α＝1213，所以，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos (4π＋2α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22·1cos α－sin α＝－13214.1．(2010·重庆一中)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且∠A ＝2∠B ，则sin Bsin3B等于( )A.b cB.c bC.b aD.a c [答案] A[解析] ∵A ＝2B ，∴sin B sin3B ＝sin Bsin (A ＋B )＝sin B sin (π－C )＝sin B sin C ＝bc.2．(2010·安徽铜陵一中)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且a ＋c ＝3，tan B ＝73，则△ABC 的面积为( ) A.74 B.54 C.72 D.52[答案] A[解析] ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，∵tan B ＝73，∴sin B ＝74，cos B ＝34，∵a ＋c ＝3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ac ＝2，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝74.3．(2011·石家庄质检)已知x ∈(π2，π)，cos2x ＝a ，则cos x ＝() A.1－a 2 B ．－1－a2 C.1＋a 2 D ．－1＋a2[答案] D[解析] a ＝cos2x ＝2cos 2x －1，∵x ∈(π2，π)，∴cos x <0，∴cos x ＝－a ＋12.4．(2010·北京东城区)函数y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数[答案] B[解析] y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x 为奇函数且周期T ＝π. 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝______. [答案] 78[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π6－2α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝78. 6．(2010·浙江宁波十校)若sin76°＝m ，则cos7°＝______.[答案] 2m ＋22[解析] ∵sin76°＝m ，∴cos14°＝m ，即2cos 27°－1＝m ，∴cos7°＝2＋2m 2. 7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2cos π3x x ≤2000x －102 x >2000，则f [f (2012)]＝________. [答案] －1[解析] 由f (x )＝⎩⎨⎧ 2cos π3x x ≤2000x －102 x >2000得，f (2012)＝2012－102＝1910，f (1910)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×1910＝2cos(636π＋2π3)＝2cos 2π3＝－1，故f [f (2012)]＝－1.。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学2-3
1.(文)(2010·甘肃省质检)函数f (x )＝x 3－ax 2＋x 在x ＝1处的切线与直线y ＝2x 平行，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ． 3[答案] B[解析] 由条件知，f ′(1)＝3×12－2a ×1＋1＝2， ∴a ＝1.(理)(2010·烟台市诊断)曲线y ＝2cos x 在x ＝π4处的切线方程是( )A ．x －y －4＋π4＝0B ．x ＋y ＋4－π4＝0C ．x ＋y －4＋π4＝0D ．x ＋y ＋4＋π4＝0[答案] C [解析] y ′|x ＝π4＝－2sin x |x ＝π4＝－2sin π4＝－1，∴切线方程为y －2cos π4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4， 即x ＋y －1－π4＝0，故选C.2．(文)(2011·福建龙岩市质检)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论：①函数f(x)在区间(－3,1)内单调递减；②函数f(x)在区间(1,7)内单调递减；③当x＝－3时，函数f(x)有极大值；④当x＝7时，函数f(x)有极小值．则其中正确的是()A．②④B．①④C．①③D．②③[答案] A[解析]由图象可知函数f(x)在(－3,1)内单调递增，在(1,7)内单调递减，所以①是错误的；②是正确的；③是错误的；④是正确的．故选A.(理)(2010·安徽合肥市质检)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是()[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.3．(2010·山东文，8)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件[答案] C[解析] ∵y ＝－13x 3＋81x －234，∴y ′＝－x 2＋81(x >0)．令y ′＝0得x ＝9，令y ′<0得x >9，令y ′>0得0<x <9， ∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， ∴当x ＝9时，函数取得最大值．故选C.[点评] 利用导数求函数最值时，令y ′＝0得到x 的值，此x 的值不一定是极大(小)值时，还要判定x 值左右两边的导数的符号才能确定．4．(文)圆柱的表面积为S ，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为( )A.S 3πB.3πSC.6πS 6πD ．3π·6πS[答案] C[解析] 设圆柱底面半径为r ，高为h ，∴S ＝2πr 2＋2πrh ∴h ＝S －2πr22πr又V ＝πr 2h ＝rS －2πr 32，则V ′＝S －6πr22V ′＝0得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ，r ＝6πS6π. (理)内接于半径为R 的球并且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43R D.34R [答案] C[解析] 设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则 R 2＝(h －R )2＋r 2∴r 2＝2Rh －h 2∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3V ′＝43πRh －πh 2，令V ′＝0得h ＝43R .5．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( )A.33cm B.1033cmC.1633cmD.2033[答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2， 其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)，V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033.当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0 所以当x ＝2033时，V 取最大值．6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与产量x 的关系是R ＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000， x ＞400.则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300[答案] D[解析] 由题意，总成本为C ＝20000＋100x .所以总利润为P ＝R－C ＝⎩⎨⎧300x －x 22－20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x ＞400，P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x ＞400.令P ′＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大．‘ 7．(文)用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2 ：1，该长方体的最大体积是________．[答案] 3m 3[解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为92－3x (0<x <2)，故体积为V ＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫92－3x ＝－6x 3＋9x 2， V ′＝－18x 2＋18x ，令V ′＝0得，x ＝0或1， ∵0<x <2，∴x ＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m 、1m 、1.5m 时，体积最大，最大体积V max ＝3m 3.(理)用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么容器的容积最大时，容器的高为________．[答案] 1.2m[解析] 设容器的短边长为x m ， 则另一边长为(x ＋0.5)m ， 高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝3.2－2x .由3.2－2x >0和x >0，得0<x <1.6， 设容器的容积为y m 3，则有y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )(0<x <1.6)， 整理得y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， ∴y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令y ′＝0，有－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，即15x 2－11x －4＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－415(不合题意，舍去)，∴高＝3.2－2＝1.2，容积V ＝1×1.5×1.2＝1.8 答：高为1.2m 时容积最大．8．(2011·北京模拟)若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1，＋∞)[分析] 函数f (x )存在单调减区间，就是不等式f ′(x )<0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题就是求f ′(x )<0在(0，＋∞)上有实数解时a 的取值范围．[解析] 解法1：f ′(x )＝1x －ax －2＝1－ax 2－2x x ，由题意知f ′(x )<0有实数解，∵x >0，∴ax 2＋2x －1>0有实数解．当a ≥0时，显然满足；当a <0时，只要Δ＝4＋4a >0，∴－1<a <0，综上知a >－1.解法2：f ′(x )＝1x －ax －2＝1－ax 2－2x x ，由题意可知f ′(x )<0在(0，＋∞)内有实数解． 即1－ax 2－2x <0在(0，＋∞)内有实数解． 即a >1x 2－2x在(0，＋∞)内有实数解．∵x ∈(0，＋∞)时，1x 2－2x ＝(1x －1)2－1≥－1，∴a >－1.1.(2010·泰安质检)已知非零向量a ，b 满足：|a |＝2|b |，若函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·bx 在R 上有极值，设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 [答案] D[解析] ∵函数f (x )在R 上有极值，∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两不等实根，∴Δ＝|a |2－4|a |·|b |cos θ＝4|b |2－8|b |2cos θ>0，∴cos θ<12，∴选D.[点评] 若f (x )为三次函数，f (x )在R 上有极值，则f ′(x )＝0应有二不等实根，当f (x )有两相等实根时，不能保证f (x )有极值，这一点要特别注意，如f (x )＝13x 3，f ′(x )＝x 2＝0有实根x ＝0，但f (x )在R 上单调增，无极值．即导数为0是函数有极值的必要不充分条件．2．(文)(2010·常德市检测)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx ＋1(a 、b∈R)在区间[－1,3]上是减函数，则a ＋b 的最小值是( )A.23B.32 C ．2 D ．3[答案] C[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax －b ，在[－1,3]上有f ′(x )≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0f (3)≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥16a －b ≤－9， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝16a －b ＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3， ∴当直线a ＋b ＝z 经过点A (－1,3)时，z min ＝2.(理)(2010·鞍山一中)函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－316B ．－65<a <－316C ．a >－65D ．－65≤a ≤－316[答案] B[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)有两个零点－2和1，故由题设条件知－2和1是函数f (x )的一个极大值点和一个极小值点，∵f (x )的图象经过4个象限，∴f (－2)·f (1)<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫16a 3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫56a ＋1<0，∴－65<a <－316，故选B. 3．在内接于半径为R 的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( )A.R 2和32RB.55R 和455R C.45R 和75R D ．以上都不对[答案] B[解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为x ，则另一边长为2R 2－x 2，则l ＝2x ＋4R 2－x 2 (0＜x ＜R )，l ′＝2－4x R 2－x2，令l ′＝0，解得x ＝55R . 当0＜x ＜55R 时，l ′＞0；当55R ＜x ＜R 时，l ′＜0. 所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R ，455R . 4．(文)如图，过函数y ＝x sin x ＋cos x 图象上点(x ，y )的切线的斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k ＝g (x )的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴k ＝g (x )＝x cos x ，易知其图象为A.(理)做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.ab B.a 2b C.b a D.b 2a[答案] C[解析] 如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .设造价为y ，则y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·VπR2＝2πaR 2＋2bVR， ∴y ′＝4πaR －2bVR2.令y ′＝0并将V ＝πR 2h 代入解得，2R h ＝ba.5．(2010·江苏，14)将边长为1m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________．[答案] 3233[解析] 设DE ＝x ， 则梯形的周长为：3－x ，梯形的面积为：12(x ＋1)·32(1－x )＝34(1－x 2)∴s ＝(3－x )234(1－x 2)＝433·x 2－6x ＋91－x 2，x ∈(0,1)， 设h (x )＝x 2－6x ＋91－x 2，h ′(x )＝－6x 2＋20x －6(1－x 2)2.令h ′(x )＝0，得：x ＝13或x ＝3(舍)，∴h (x )最小值＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝8，∴s 最小值＝433×8＝3233.6．(文)(2010·陕西宝鸡市质检)高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台．当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a 台；市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x (0<x <1)，那么月销售量减少的百分率为x 2.记销售价提高的百分率为x 时，电脑企业的月利润是y 元．(1)写出月利润y 与x 的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．[解析] (1)依题意，销售价提高后变为6000(1＋x )元/台，月销售量为a (1－x 2)台，则y ＝a (1－x 2)[6000(1＋x )－4500]， 即y ＝1500a (－4x 3－x 2＋4x ＋1)(0<x <1)． (2)由(1)知y ′＝1500a (－12x 2－2x ＋4)， 令y ′＝0得，6x 2＋x －2＝0， 解得x ＝12或x ＝－23(舍去)．当0<x <12时，y ′>0；当12<x <1时，y ′<0.故当x ＝12时，y 取得最大值．此时销售价为6000×32＝9000元．故笔记本电脑的销售价为每台9000元时，该公司的月利润最大． (理)(2010·南通模拟)甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/小时)的函数关系是P ＝119200v 4－1160v3＋15v ，(1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．[解析] (1)汽车从甲地到乙地需用400v 小时，故全程运输成本为Q ＝400P v ＝v 348－5v 22＋6000 (0<v ≤100)．(2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0得，v ＝80，∴当v ＝80千米/小时时，全程运输成本取得最小值，最小值为20003元． 7．(2011·陕西文，21)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．[解析] ∵f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x .∴g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，∴(0,1)是g (x )的单调减区间， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，即g (x )的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，＋∞)．因此当x ＝1时g (x )取极小值，且x ＝1是唯一极值点，从而是最小值点．所以g (x )最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x令h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝－(x －1)2x2， 当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时h ′(x )<0，h ′(1)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递减当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x )当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x )综上知，当x ∈(0,1)时，g (x )>g (1x )，当x ＝1时，g (x )＝g (1x )当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<g (1x )(3)由(1)可知g (x )最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立等价于g (a )－1<1a ，即ln a <1，解得0<a <e .所以a 的取值范围是(0，e )1.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、两个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点 [答案] C[解析] 设f ′(x )与x 轴的4个交点，从左至右依次为x 1、x 2、x 3、x 4，当x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数， 当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， 则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点．2．曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是________．[答案] 34[解析] y ＝1x与y ＝x 2的交点P (1,1)，如右图易求得K AP ＝2，K BP ＝－1，因此可求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B (2,0)，故S △ABP ＝34.3．某工厂要围建一个面积为128m 2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为________．[答案] 16m 8m[解析] 解：设场地宽为x m ，则长为128x m ，因此新墙总长度为y ＝2x ＋128x (x ＞0)，y ′＝2－128x 2，令y ′＝0，∵x >0，∴x ＝8. 因为当0＜x ＜8时，y ′＜0；当x ＞8时，y ′＞0， 所以当x ＝8时，y 取最小值，此时宽为8m ，长为16m. 即当堆料场的长为16m ，宽为8m 时，可使砌墙所用材料最省． 4.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2m 2的正四棱锥形有盖容器(如下图)．设容器的高为h m ，盖子边长为a m.(1)求a 关于h 的函数解析式；(2)设容器的容积为V m 3，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值．(容器的厚度忽略不计)[解析] (1)如下图，作PO ⊥平面ABCD ，O 为垂足，作OE ⊥BC 于E ，连结PE ，则PE ⊥BC ，正四棱锥的全面积为2＝4×12×a ×h 2＋(a 2)2＋a 2.所以a ＝11＋h2(h >0)．(2)V ＝13a 2h ＝13·h1＋h2(h >0)，V ′＝13·(1＋h 2)－h (2h )(1＋h 2)2＝1－h 23(1＋h 2)2.所以当0<h <1时，V ′>0.所以V (h )在(0,1]上为增函数． 当h >1时，V ′<0，所以V (h )在[1，＋∞)上为减函数． 故h ＝1为函数V (h )的唯一极大值点也是最大值点，∴V max ＝16.答：当高h ＝1m 时，容积取最大值16m 3.5.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)[解析] 依题意，有xy ＋12x ·x28，∴y ＝8－x 24x ＝8x －x4(0<x <42)，于是框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2×2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2x ＋16x ，l ′＝32＋2－16x2， 令l ′＝0，即32＋2－16x 2＝0，解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去)，当0<x <8－42时，l ′<0；当8－42<x <42时，l ′>0； 所以当x ＝8－42时，l 取得最小值，此时，x ＝8－42≈2.343m ，y ≈2.828m.即当x 约为2.343m ，y 约为2.828m 时，用料最省．6．已知某厂生产x 件产品的成本为c ＝25000＋200x ＋140x 2(元)．(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？[解析] (1)设平均成本为y 元，则y ＝25000＋200x ＋140x2x ＝25000x ＋200＋x 40(x >0)，y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25000x ＋200＋x 40′＝－25000x 2＋140令y ′＝0，得x 1＝1000，x 2＝－1000(舍去)． 当在x ＝1000附近左侧时，y ′<0； 在x ＝1000附近右侧时，y ′>0； 故当x ＝1000时，y 取得极小值．由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1000件产品．(2)利润函数为L ＝500x －(25000＋200x ＋x 240)＝300x －25000－x 240.∴L ′＝300－x20.令L ′＝0，得x ＝6000，当x 在6000附近左侧时，L ′>0；当x 在6000附近右侧时，L ′<0，故当x ＝6000时，L 取得极大值．由于函数只有一个使L ′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6000件产品．7.如图所示，有一块半椭圆形钢板，长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD ＝2x ，梯形面积为S .(1)求面积S 关于自变量x 的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．[解析] (1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O －xy (如图)，则点C 的横坐标为x 、纵坐标y 满足方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y ≥0)，解得y ＝2r 2－x 2(0<x <r )，S ＝12(2x ＋2r )×2r 2－x 2＝2(x ＋r )·r 2－x 2，其定义域为{x |0<x <r }．(2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2)，0<x <r ， 则f ′(x )＝8(x ＋r )2(r －2x )．令f ′(x )＝0，得x ＝12r . 因为当0<x <r 2时，f ′(x )>0， 当r 2<x <r 时，f ′(x )<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 是f (x )的最大值． 因此，当x ＝12r 时，S 也取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ＝332r 2， 即梯形面积S 的最大值为332r 2.。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学(北师大),第4章 教师备课平台
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又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90° . 根据勾股定理有， AB＝ AD ＋BD ＝
2 2
2 1 ＋ CD＝1000 42， 3 2
1．2AB≈7425.6，故实际所需电线长度约为 7425.6m.
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1 当 cosx<0 时， 可得－4mcosx≤2cos x＋ 对一切实数 x 都成 2
2
立，
1 ∴4m≤－2cosx－2cosxmin，
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1 1 而－2cosx－ ≥2，当且仅当 cosx＝－ 时取等号， 2cosx 2 1 故 4m≤2，即 m≤ . 2 综上，m
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第4章三角函数、三角恒等变形、解三角形
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第4章教师备课平台 Nhomakorabea 高考数学总复习
三角函数综合应用，主要是指三角函数与函数、平面几何、 平面向量等知识的综合应用及三角函数在解决实际问题中的应 用．三角函数与其他数学知识都有着密切的联系，为此，对三 角函数的综合运用问题，应该在复习中给予足够的重视．
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[解析] (1)由 m∥n 得，f(x)· 1－cosx· 3sinx＋cosx)＝0， (
π 3 1 1 则 f(x)＝ 3sinxcosx＋cos x＝ sin2x＋ cos2x＋ ＝sin2x＋6 2 2 2
2
1 ＋ ， 2 2π ∴T＝ ＝π. 2
【北师大版】高三数学一轮复习：3-2导数在函数中的应用
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解析：从f′(x)的图像可知f(x)在(a，b)内从左到右的单 调性依次为增→减→增→减，∴在(a，b)内只有一个极小值 点．
答案：A
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第三章 第二节
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2．(2012·陕西，7)设函数f(x)＝xex，则( ) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0， f′(x)>0是f(x)在(a，b)内单·北师大版 ·数学（理）
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第三章 第二节
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2．函数的极值与导数 (1)函数极值的定义： 已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包 含x0的开区间内的所有点x，如果都有________，则称函数 f(x)在点x0处取极大值，记作________，并把x0称为函数f(x) 的一个________．如果都有________，则称函数f(x)在点x0 处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个 ________．
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[探究] 2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ “导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？
提示：不一定．可导函数的极值点导数为零，但导数 为零的点未必是极值点；如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有 f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点；其为函数在 该点取得极值的必要而不充分条件．
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第三章 第二节
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1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在 (a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极 小值点的个数为( )
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当 2<x≤3 时，g′(x)<0， 故 g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函数． 所以当 x＝2 时， g(x)取最大值， 即将 2 百万元用于技 术改造，1 百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益 最大．
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(3)生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率 最高等问题，这些问题通常称为优化问题．在解决实际 优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函 数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定 义区间．
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用料费用最省问题
[例 1] 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每 小时耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析 1 3 3 式可以表示为 y＝ x － x＋8(0<x≤120)．已知甲、 128000 80 乙两地相距 100 千米．
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解析： (1)由题得该连锁分店一年的利润 L(万元)与售 价 x 的函数关系式为 L(x)＝(x－4－a)(10－x)2，x∈[8,9]． (2)L′(x)＝(10－x)2－2(x－4－a)(10－x) ＝(10－x)(18＋2a－3x)， 2 令 L′(x)＝0，得 x＝6＋ a 或 x＝10(舍去)． 3 20 2 ∵1≤a≤3，∴ ≤6＋ a≤8. 3 3
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,生物3-2-1
1.(2010· 江苏高考，23)为了探究生长素和乙烯对植物的生长 的影响及这两种激素的相互作用， 科学家用某种植物进行了一系 列实验，结果如下图所示，由此可初步推测(多选)( )
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[提示] 因为人体内缺少分解生长素的酶。
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2．在植物的向光性生长中，背光侧比向光侧的生长素要多， 但仍然有生长素由向光侧向背光侧运输， 这表明生长素的运输是 哪种方式？该方式的运输需要什么条件？
[提示] 属于主动运输。主动运输需要载体和 ATP。
结论 胚芽鞘尖端产生 的刺激可以透过 琼脂片
分析 与达尔文实 验中的①、 ② 组形成相互 对照 自变量为尖 端放置的位 置
詹森
光→不弯曲 ②胚芽鞘尖端下部放琼脂 片＋单侧光→弯曲
切去胚芽鞘尖端，移至一 尖端产生某种刺 拜尔 侧，置于黑暗中培养，胚 激，在其下部分 芽鞘向放尖端的对侧弯曲 布不均匀，造成 生长 胚芽鞘弯曲生长
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科学家
实验过程 ①接触过尖端的琼脂块放 在去尖端的胚芽鞘切面的
结论 某种刺激的确是 化学物质，这种 化学物质的不均 匀分布造成胚芽 鞘尖端以下的部 位弯向光源
分析
自变量为琼 脂块是否接 触过尖端
温特
某一侧 ②空白的琼脂块放在去尖 端的胚芽鞘切面的某一侧
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A．浓度高于 10－6 mol/L 的生长素会抑制该植物茎段的生长 B．该植物茎中生长素含量达到 M 值时，植物开始合成乙烯 C．该植物茎中乙烯含量的增加会促进生长素的合成 D．该植物茎中生长素和乙烯的含量达到峰值是不同步的
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学2-4
1 -4
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分析：用积分的几何意义计算，关键是弄清被积函数 所对应的几何图形，画好草图．
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解析：由积分的几何意义知：
1 -4
16－x2dx 表示以
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(0,0)点为圆心，r＝4 为半径的圆在 x 轴上方部分的面 积，所以
1 -4
1 16－x dx＝ ×π×42＝8π. 2
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[点评] 要熟练掌握用定义求定积分的步骤． 你能利用定积分的定义求直线 x＝1，x＝2，y＝0 和 15 3 曲线 y＝x 围成的图形的面积吗？答案： . 4
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定积分的几何意义
利用积分的几何意义计算： 16－x2 dx＝
[例 2] ________.
S＝ [f(x)－g(x)]dx(如下图)． a
b
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利用定义求定积分
[例 1] 用定积分的定义求由 y＝3x，x＝0，x＝1，y ＝0 围成的图形的面积．
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[解析]
(1)分割：把区间[0,1]等分成 n 个小区间 1 Δx＝ ，把曲边梯形 n
b (3)定积分 f(x)dx 的值只与被积函数 f(x)及积分区间
n
b a
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[a，b]有关，而与积分变量所用的符号无关．
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学2-1
1.(文)已知函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1[答案] B[解析] ∵y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1 ∴x 0＝12a ∴y 0＝12a 代入y ＝ax 2＋1得，1 2a ＝14a ＋1∴a ＝14故选B.(理)二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a (x ＋b 2a )2－b 24a ，顶点(－b2a ，－b 24a)在第三象限，故选C. 2．(2010·江西文，4)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0[答案] B[解析] f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2，故选B.[点评] 要善于观察，由f ′(x )＝4ax 3＋2bx 知，f ′(x )为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．(文)若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.(理)(2011·山东淄博一中期末)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1 B.19 C.13 D.23[答案] B[解析] ∵y ′＝x 2＋1，∴k ＝2，切线方程y －43＝2(x －1)，即6x－3y －2＝0，令x ＝0得y ＝－23，令y ＝0得x ＝13，∴S ＝12×13×23＝19.4．(文)(2010·新课标高考)曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2[答案] A[解析] ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.(理)(2010·黑龙江省哈三中)已知y ＝sin x1＋cos x ，x ∈(0，π)，当y ′＝2时，x 等于( )A.π3B.23π C.π4 D.π6[答案] B[解析] y ′＝cos x ·(1＋cos x )－sin x ·(－sin x )(1＋cos x )2＝11＋cos x＝2，∴cos x ＝－12，∵x ∈(0，π)，∴x ＝2π3.5．(2011·山东文，4)曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15[答案] C[解析] 由y ＝x 3＋11知y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以过点P (1,12)的切线方程为y －12＝3(x －1)，即3x －y ＋9＝0，令x ＝0得y ＝9，故选C.6．(文)已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A [答案] A[解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .(理)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导函数f ′(x )的最大值为3，则f (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2[答案] A[解析] f ′(x )＝ωcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最大值为3， 即ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6－1. 由3x ＋π6＝π2＋k π得，x ＝π9＋k π3 (k ∈Z)．故A 正确．7．(文)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________.[答案] 1[解析] 由y ′|x ＝1＝2a ＝2得a ＝1.(理)设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．[答案] y ＝－3x[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，又f ′(－x )＝f ′(x )，即3x 2－2ax ＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3) 对任意x ∈R 都成立，所以a ＝0，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3， 曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x .8．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.[答案] 2[解析] 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2.1.(2011·江西理，4)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)[答案] C[解析] 因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ，∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x 2－x －2)x>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0x 2－x －2>0，解得x >2，故选C. 2．(文)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，排除C ； ∵f ′(0)＝1，排除D ；由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2<0，f ′(2π)＝1>0，排除B ，故选A.(理)(2010·广东汕头一中)函数f (x )＝e 2x 的图象上的点到直线2x －y －4＝0的距离的最小值是( )A. 3B. 5C.322D.355[答案] B[解析] 设l 为与直线2x －y －4＝0平行的函数f (x )＝e 2x 的图象的切线，切点为(x 0，y 0)，则k l ＝f ′(x 0)＝2e 2x 0＝2，∴x 0＝0，y 0＝1，∴切点(0,1)到直线2x －y －4＝0的距离d ＝55＝5即为所求．3．(2010·东北师大附中模拟)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．α>β>γB ．β>α>γC ．γ>α>βD ．β>γ>α[答案] C[解析] 由g (x )＝g ′(x )得，x ＝1，∴α＝1，由h (x )＝h ′(x )得，ln(x ＋1)＝1x ＋1，故知1<x ＋1<2，∴0<x <1，即0<β<1，由φ(x )＝φ′(x )得，x 3－1＝3x 2，∴x 2(x －3)＝1， ∴x >3，故γ>3，∴γ>α>β. [点评] 对于ln(x ＋1)＝1x ＋1，假如0<x ＋1<1，则ln(x ＋1)<0，1x ＋1>1矛盾；假如x ＋1≥2，则1x ＋1≤12，即ln(x ＋1)≤12，∴x ＋1≤e ，∴x ≤e －1与x ≥1矛盾．4．(文)已知函数f (x )＝x p ＋qx ＋r ，f (1)＝6，f ′(1)＝5，f ′(0)＝3，a n ＝1f (n )，n ∈N ＋，则数列{a n }的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n n ＋2C.n ＋12n ＋4D.n 2n ＋4[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝px p －1＋q ，由条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋q ＋r ＝6p ＋q ＝5q ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2q ＝3r ＝2，∴f (x )＝x 2＋3x ＋2.∴a n ＝1f (n )＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2 ∴{a n }的前n 项和为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2n ＋4. (理)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215[答案] C[解析] f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x＝(x －a 1)(x －a 2)...(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)...(x －a 8)]′.x ， 所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)...(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2) 0a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.5．(2011·朝阳区统考)若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，0)[解析] 由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0⇒a ＝－13x3(x >0)⇒a ∈(－∞，0)．6．求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－43x 3＋3x 2＋2；(2)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ； (4)y ＝ln x x 2＋1；(5)y ＝x cos x －sin x . (6)(理)y ＝cos 32x ＋e x ； (7)(理)y ＝lg 1－x 2.[解析] 可利用导数公式和导数运算法则求导．(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5′－⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 3′＋(3x 2)′＋(2)′ ＝x 4－4x 2＋6x .(2)∵y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ，∴y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4，或y ′＝(3x 3－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′ ＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2 ＝24x 3＋9x 2－16x －4.(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e )′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x ln3·e x ＋3x e x －2x ln2 ＝(ln3＋1)·(3e )x －2x ln2.(4)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x ·(x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x·(x 2＋1)－ln x ·2x (x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2·ln x x (x 2＋1)2. (5)y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . (6)(理)y ′＝3cos 22x ·(cos2x )′＋e x ＝－6sin2x ·cos 22x ＋e x .(7)(理)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg (1－x 2)′＝12·lg e 1－x 2·(1－x 2)′＝x lg ex 2－1.7．(文)已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积．[解析] (1)∵y ′＝2x ＋1，∴曲线在点(1,0)处的切线斜率为k ＝3，故l 1：y ＝3x －3；又l 1⊥l 2，∴l 2的斜率k 1＝－13，由2x ＋1＝－13得，x ＝－23，∴直线l 2与曲线切点为⎝⎛⎭⎪⎫－23，－209， ∴l 2：y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫16，－52. l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×52＝12512.(理)设函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －4＝0. 若函数在x ＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.[解析] ∵y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴的交点为P (0，d )， 又曲线在点P 处的切线方程为y ＝12x －4，P 点坐标适合方程，从而d ＝－4；又切线斜率k ＝12，故在x ＝0处的导数y ′|x ＝0＝12而y ′|x ＝0＝c ，从而c ＝12；又函数在x ＝2处取得极值0，所以⎩⎨⎧y ′|x ＝2＝0f (2)＝0即⎩⎨⎧12a ＋4b ＋12＝08a ＋4b ＋20＝0解得a ＝2，b ＝－9所以所求函数解析式为y ＝2x 3－9x 2＋12x －4.8．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S (t ).(1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的最大值．[解析] (1)因为f ′(x )＝(e －x )′＝－e －x ， 所以切线l 的斜率为－e －t ，故切线l 的方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )， 即e －t x ＋y －e －t (t ＋1)＝0.(2)令y ＝0得x ＝t ＋1，又令x ＝0得y ＝e －t (t ＋1)，∵t ≥0，∴t ＋1＞0，e －t (t ＋1)＞0， ∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t ，从而S ′(t )＝12e －t (1－t )(1＋t )．∵当t ∈(0,1)时，S ′(t )>0，当t ∈(1，＋∞)时，S ′(t )<0，所以S (t )的最大值为S (1)＝2e .1．已知函数f (x )＝k cos x 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1，则函数图象上过点P 的切线斜率等于( )A ．1 B. 3 C ．－ 3 D ．－1[答案] C[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝k cos π3＝1⇒k ＝2，f ′(x )＝－k sin x ，∴点P 处切线斜率为k ′＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－2sin π3＝－ 3.2.函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，则y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限[答案] A[解析] 因为y ＝f ′(x )的图象是直线，所以y ＝f (x )是二次函数． 又f (x )的图象过原点，所以可设：f (x )＝ax 2＋bx ， ∴f ′(x )＝2ax ＋b .结合f ′(x )的图象可知，a <0，b >0.∴－b2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a >0，即顶点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a 在第一象限． 3．(2010·金华十校)曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 是原点)是以A 为顶点的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 解法一：设B (x 0，x 30)，则k OB ＝tan ∠AOB ＝x 20，∵AB ＝AO ，∴∠BAx ＝2∠BOA ，曲线y ＝x 3在B 处切线斜率k AB ＝3x 20＝tan ∠BAx ＝tan2∠BOA ＝2x 201－x 40，∴x 20＝33，∴k AB ＝3，∴切线l 倾斜角为60°. 解法二：设B (x 0，x 30)，由于y ′＝3x 2，故曲线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，令y ＝0得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 03，0，由|OA |＝|AB |得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 032＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－2x 032＋(x 30－0)2，当x 0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x 40＝13，故x 20＝33，直线l 的斜率k ＝3x 20＝3，故直线l 的倾斜角为60°. 4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，都有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( )A ．3 B.52 C ．2 D.32[答案] C[解析] f ′(x )＝2ax ＋b ，由条件f ′(0)>0得b >0，又对任意x ∈R 都有f (x )≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0b 2－4ac ≤0，∴b ≤2ac .∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a ＋c b ＋1≥2acb ＋1≥2等号在 ⎩⎨⎧b ＝2aca ＝c，即b ＝2a ＝2c 时成立．∴f (1)f ′(0)的最小值为2. 5．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则φ＝________.[答案]π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， 由条件知cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－3x －φ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ－π6为奇函数，且0<φ<π，∴φ＝π6.6．已知函数g (x )＝x 3＋x 2－x (x >0)，h (x )＝e x －x ，p (x )＝cos2x,0<x <π的导函数g ′(x )，h ′(x )，p ′(x )的零点依次为x 1，x 2，x 3，则将x 1，x 2，x 3按从小到大用“<”连接起来为________．[答案] x 2<x 1<x 3[解析] 由g ′(x )＝3x 2＋2x －1＝0得x ＝－1或x ＝13，∵x >0，∴x ＝13； 由h ′(x )＝e x －1＝0得，x ＝0；由p ′(x )＝－2sin2x ＝0得，2x ＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k π2(k ∈Z)，∵0<x <π，∴x ＝π2，∴x 1＝13，x 2＝0，x 3＝π2，故有x 2<x 1<x 3.7．(2011·宁波市期末)对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是________．[答案] 2n ＋1－2[解析] ∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝(x n )′(1－x )＋(1－x )′·x n ＝n ·x n －1(1－x )－x n .f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1. 在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n . ∴切线方程为y ＋2n ＝(－n －2)·2n －1(x －2)． 令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n ， ∴a n ＝(n ＋1)·2n ，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1的前n 项和为2(2n －1)2－1＝2n ＋1－2.8．已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x＋b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值；(2)求证：f (x )≥g (x ) (x >0)．[解析] (1)设y ＝f (x )与y ＝g (x )(x >0)的公共点为(x 0，y 0)，∴x 0>0. ∵f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x ，由题意f (x 0)＝g (x 0)，且f ′(x 0)＝g ′(x 0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b x 0＋2a ＝3a 2x 0，由x 0＋2a ＝3a 2x 0得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．则有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (a )＝52a 2－3a 2ln a (a >0)，则h ′(a )＝2a (1－3ln a )． 由h ′(a )>0得，0<a <e13， 由h ′(a )<0得，a >e13.故h (a )在(0，e13)为增函数，在(e13，＋∞)上为减函数， ∴h (a )在a ＝e13时取最大值h (e13)＝32e23.(2)设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则f ′(x )＝x ＋2a －3a 2x ＝(x －a )(x ＋3a )x(x >0)．故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，＋∞)为增函数，于是函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x>0时，f(x)≥g(x)．。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学3-2
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α π 2sin2＋4.
α π 2sin2 ＋4
第3章 第二节
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利用诱导公式进行化简求值
[例 3]
设 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋α)，其中 a，b， (k∈Z)．若 f(2009)＝5，则 f(2010)
α∈R，且 ab≠0，α≠kπ 等于( A．4 C．－5 ) B．3 D．5
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解析：∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋α)＝ －asinα－bcosα＝5， ∴asinα＋bcosα＝－5.∴f(2010)＝asinα＋bcosα＝－5.
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答案：C
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(文)已知
π sin2＋θ－cosπ＋θ tanθ＝2，则 ＝( π sin2－θ－sinπ－θ
第3章 第二节
高考数学总复习
α α 1－sin 1＋cos 2 2 α α ∴原式＝cos · ＋sin · α 2 α 2 cos sin 2 2 α α sin2＋cos2 ＝ －sinα－cosα 2 2 ∴原式＝±
答案：±
α 为第二象限角 2 α 为第四象限角 2
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同角三角函数关系的综合应用
tanα 已知 ＝－1，求下列各式的值： tanα－1
[例 4]
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sinα－3cosα (1) ＝________； sinα＋cosα (2)sin2α＋sinαcosα＝________. 分析：由已知可以求出 tanα，再由同角三角函数关系式 可以求得 sinα 和 cosα，进而求出(1)、(2)的值．但实际操作 中，往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件．
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学(北师大),3-1导数及导数的运算
＝
fx0＋Δx－fx0 lim Δx Δx→0
.
第3章 第一节
高考数学总复习
②几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝ f(x)上点 在(x0，f(x0)) 处的
切线的斜率
(瞬
时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)． 相应地， 切线方程为．
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2．(2011· 江西文，4)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为 ( ) A．1 C．e B. 2 1 D. e
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[答案] A
[解析] 本题主要考查导数的意义． y′＝e ′＝ex，所以 k＝e0＝1.
b －2<0 ⇒ 4c－b2 >0 4
⇒b>0，又 f ′(x)＝2x＋b，故选 C.
第3章
第一节
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sinθ 3 3cosθ 2 ( 理 ) 设 函 数 f(x) ＝ x ＋ x ＋ tanθ ， 其 中 θ ∈ 3 2
5π 0， ，则导数 12
f′(1)的取值范围为(
第3章 第一节
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第一节
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导数的概念
fx0－k－fx0 [例 1] (1)若 f ′(x0)＝2，则lim 的值为 2k k→ 0 ________； fa＋Δx－fa－Δx (2)若 f ′(x0)＝A，则lim ＝________. Δx Δx→0
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ex
f(x)＝logax
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解析：y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx， π 当 x∈(－π，－ )时，y′＝xcosx>0，∴y 为增函数； 2 π 当 x∈(－ ，0)时，y′＝xcosx<0，∴y 为减函数； 2 π 当 x∈(0， )时，y′＝xcosx>0，∴y 为增函数； 2
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利用导数研究函数的单调性
[例 1] 函数 y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增 区间是( )
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π π A．(－π，－ )和(0， ) 2 2 π π B．(－ ，0)和(0， ) 2 2 π π C．(－π，－ )和( ，π) 2 2 π π D．(－ ，0)和( ，π) 2 2
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(2011· 泉州二模)函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间[－ 1,1]上的最大值是( A．－2 C．2 ) B．0 D．4
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第2章
第二节
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解析：对函数求导后可知f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)， 则f(x)在区间[－1,0]上递增，在[0,1]上递减，因此最大值是
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4．求函数的极值、最值时，要严格按解题步骤规范 条理的写出解答过程， 养成列表的习惯， 含参数时注意分 类讨论， 已知单调性求参数的值域或取值范围时， 要注意 其中隐含 f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)恒成立．还要注意 f(x) 在区间 A 上单调增(或减)与 f(x)的单调增(或减)区间是 A 的区别．
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第2章 导数及其应用
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●命题趋势 (1)求导数及切线方程． (2)用导数研究函数的单调性， 求函数的极值与最值． (3)已知函数的单调性或值域等讨论字母参数． (4)导数的综合应用． (5)(理)定积分与微积分基本定理的应用．
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第2章 导数及其应用
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●备考指南 1．熟练掌握导数的定义及运算法则 主要包括理解导数的定义及几何意义，熟记求导公 式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，并能运 用上述公式与法则进行求导计算. 导数的几何意义是重 点必考内容，要熟练掌握求解曲线在某点或经过某点的 切线问题．
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第2章 导数及其应用
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第2章 导数及其应用
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●课程标准 1．导数概念及其几何意义 (1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡 到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道 瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵． (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
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第2章
第一节
高考数学总复习
误区警示 1．导数公式 (1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1 中，n∈ N＋，若 n∈Q 且 n≠0，则应有 x>0. (2)注意公式不要用混， 如(a )′＝a lna， 而不是(a )′ ＝xa
x－1 x x x
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u u′ .还要特别注意(uv)′≠u′v′，v ′≠ . v′
解析：(1)∵A(2,4)在 y＝x2 上， 由 y＝x2 得 y′＝2x，∴y′|x＝2＝4. 因此所求直线的方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
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r ＋r 2 1 2 ≥(r1＋r2) － ＝3a2＝12， 2
2
1 ∴16(1＋t)≥12，∴t≥－ . 4 1 所以当－ ≤t<0 时， 4 曲线上存在点 Q 使∠F1QF2＝120° .
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[分析] (1)求出 C 点坐标，代入椭圆方程即可求出 b2. (2)关键是求关于 t 的表达式，注意直线斜率的范围．
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[解析] (1)∵点 A 的坐标为(2 3，0)， x2 y2 ∴a＝2 3，椭圆方程为 ＋ 2＝1. 12 b ①
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得 x2－300x＋550×25＝0，
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由于 Δ＝3002－4×550×25＝100×(900－550)>0， 因此，A 城将受影响． 圆心 A 到直线 l 的距离为 150 2， 又圆半径为 250，得弦长 为 2 2502－150 22，即为 264.58km，由于台风速度为每小时 40km，故持续时间约为 6.6 小时．
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第9章 平面解析几何
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第9章
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一、数形结合的思想在解析几何中的应用 根据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学语 言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，这里 主要体现在两个方面：
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第3章
第二节
高考数学总复习
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立， 得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立． ∵－1<x<1，∴3x2<3，∴只需a≥3. 当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)， 在x∈(－1,1)上，f′(x)<0， 即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．
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第3章
第二节
高考数学总复习
(3)证明：∵f(－1)＝a－2<a， ∴f(x)的图像不可能总在直线y＝a的上方．
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第3章
第二节
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(文)(2011· 北京文，18)已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． [分析] 依据导数的符号来判断函数的单调性，再由单 调性求最值．
有解，
∴a＝－ex<－1.
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第3章
第二节
高考数学总复习
4．(2011· 青岛二模)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的 最大值、最小值分别是( A．5；－15 C．－4；－15 ) B．5；－4 D．5；－16
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第3章
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高考数学总复习
[答案] A
[解析] y′＝6x2－6x－12，令y′＝0⇒x＝－1(舍去)或x ＝2. x＝0时y＝5，x＝2时y＝－15，x＝3时y＝－4. ∴ymax＝5，ymin＝－15.故选A.
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3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值 与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 为函数的最小 值， f(b) 为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，
【走向高考】高考数学总复习 3-2导数的应用课后作业 北师大版
【走向高考】2013年高考数学总复习 3-2导数的应用课后作业 北师大版一、选择题1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1[答案] C[解析] f ′(x )＝1－cos x ≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数 ∴f (x )的最大值为f (π)＝π－sin π＝π，故选C.2．(2012·西安模拟)若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B ．－3<k <－1或1<k <3C ．－2<k <2D ．不存在这样的实数 [答案] B[解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32[答案] A[解析] 由f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0得，x ＝0或x ＝3， 经检验知x ＝3是函数的一个最小值点， 所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.4．当x ≥2时，ln x 与x －12x 2的关系为( )A ．ln x >x －12x 2B ．ln x <x －12x 2C ．ln x ＝x －12x 2D ．大小关系不确定[答案] A[解析] 构造函数F (x )＝ln x ＋12x 2－x ，则F ′(x )＝1x ＋x －1＝x 2－x ＋1x.∵x ≥2，∴F ′(x )>0，∴F (x )在[2，＋∞)上为增函数． 又∵F (2)＝ln2＋2－2＝ln2>0， ∴F (x )>0在[2，＋∞)上恒成立， ∴即ln x ＋12x 2－x >0，∴ln x >x －12x 2.5．(2011·湖南理，8)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22[答案] D[解析] 本小题考查内容为导数的应用——求函数的最小值． ∵f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，图象如下∴|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x (x >0)令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，∴F ′(x )＝2x －1x.令F ′(x )＝0，∴x ＝22，∴F (x ) 在x ＝22处最小． 6．(文)(2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件[答案] C[解析] 本题考查了导数的应用及求导运算．∵x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，得x ＝9时；当x ∈(0,9)时，y ′>0，x ∈(9，＋∞)，y ′<0.y 先增后减，∴x ＝9时函数取最大值，选C.(理)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为( ) A.33cm B.1033cm C.1633cm D.2033cm [答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2， 其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)，V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033. 当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0所以当x ＝2033时，V 取最大值．二、填空题7．如下图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f (f (0))＝________；函数f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.[答案] 2，－28．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为____． [答案] a ≥1[解析] 由已知得a ＞1＋ln x x在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln x x2＜0 (x ＞1)，∴g (x )＝1＋ln x x在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g (x )＜g (1)，∵g (1)＝1， ∴1＋ln xx＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥1.三、解答题9．(文)已知a 为实数，函数f (x )＝(x 2＋1)(x ＋a )，若f ′(－1)＝0，求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的最大值和最小值．[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1.∵f ′(－1)＝0，∴3－2a ＋1＝0，即a ＝2.∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x ＋1)．由f ′(x )≥0，得x ≤－1或x ≥－13；由f ′(x )≤0，得－1≤x ≤－13.因此，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13. ∴f (x )在x ＝－1取得极大值f (－1)＝2，f (x )在x ＝－13取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝5027.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝138，f (1)＝6，且5027>138，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的最大值为f (1)＝6，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝138.(理)(2011·北京理，18)已知函数f (x )＝(x －k )2e x k. (1)求f (x )的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e，求k 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝1k (x 2－k 2)e xk，令f ′(x )＝0，得x ＝±k .当k >0时，f (x )与f ′(x )的情况如下：↗↘↗当k <0时，f (x )与f ′(x )的情况如下：↘↗↘(2)当k >0时，因为f (k ＋1)＝e k ＋1k >1e，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e.当k <0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上的最大值是f (－k )＝4k2e.所以∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 等价于f (－k )＝4k 2e ≤1e.解得－12≤k <0.故当∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e时，k 的取值范围是[－12，0)．一、选择题1．(2011·浙江文，10)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )的图像是( )[答案] D[解析] 本题考查了导数的极值及有关函数图像问题． 由F (x )＝f (x )·e x得，F ′(x )＝f ′(x )e x ＋f (x )·(e x )′＝e x [ax 2＋(2a ＋b )x ＋b ＋c ]∵x ＝－1是F (x )的极值点，∴F ′(－1)＝0，得c ＝a . ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a ，∴f ′(x )＝2ax ＋b ∴f ′(－1)＝－2a ＋b ，f (－1)＝2a －b由f ′(－1)＝0，则b ＝2a ，f (－1)＝0，b ＝2a ，故A ，B 选项可能成立； 由f ′(－1)>0，∴－2a ＋b >0，∴f (－1)<0，故C 选项也成立；所以，答案选D.2．(文)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0[答案] B[解析] f (x )是奇函数，g (x )为偶函数．x >0时，f (x )，g (x )都单调递增，x <0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减，即f ′(x )>0，g ′(x )<0.(理)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x )<0，则a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)的大小关系是( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．c <a <b[答案] D[解析] 由f (x )＝f (2－x )知函数图像关于直线x ＝1对称，由x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0得x ∈(－∞，1)时f ′(x )>0，所以x ∈(－∞，1)时f (x )是增函数，又c ＝f (3)＝f (－1)，而f (－1)<f (0)<f (12)，即c <a <b .故选D.二、填空题3．(2012·广州综测)若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－2,2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)． 当x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.所以当x ＝－1时函数f (x )有极大值，当x ＝1时函数f (x )有极小值．要使函数f (x )有3个不同的零点，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f －，f，解得－2<a <2.4．(文)(2011·山东济南模拟)将长为52cm 的铁丝剪成两段，各围成一个长与宽之比为2:1及3:2的矩形，那么面积之和的最小值为________cm 2.[答案] 78[解析] 设剪成的两段中其中一段为x ，另一段为52－x .由题意知，面积之和为S ＝x 6·2x6＋－x10·－x 10＝118x 2＋350(52－x )2， S ′＝19x －325(52－x )．令S ′＝0，则x ＝27，另一段为52－27＝25.此时S min ＝78(cm 2)．(理)将边长为1m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝梯形的周长2梯形的面积，则S 的最小值是________．[答案]3233[解析] 本题主要考查了导数在实际问题中的应用，求解的关键在于根据条件正确地建立目标函数，进而利用导数工具求函数的最值，重点考查了考生的建模能力和运算能力．如上图，设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ， ∴梯形的周长为x ＋2(1－x )＋1＝3－x ，又S △ADE ＝34x 2， ∴梯形的面积为34－34x 2，∴S ＝433×x 2－6x ＋91－x (0<x <1)， ∴S ′＝－833×x －x －－x22，令S ′＝0，得x ＝13或3(舍去)，当x ∈(0，13)时，S ′<0，S 递减；当x ∈(13，1)时，S ′>0，S递增；故当x ＝13时，S 的最小值是3233.三、解答题5．(文)已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，求f (x )的极值． [解析] ∵f (x )过(1,0)点，∴f (1)＝1－p －q ＝0. ∵f ′(x )＝3x 2－2px －q ，且f (x )与x 轴相切于点(1,0)， ∴f ′(1)＝3－2p －q ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧1－p －q ＝0，3－2p －q ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)， 其图像如上图所示．∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，∴f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133－2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＝427，f (x )极小值＝f (1)＝13－2×12＋1＝0.(理)(2012·东北四校联考)已知函数f (x )＝ln xx－x ，求函数f (x )的最大值．[解析] ∵f ′(x )＝1－ln xx2－1，令f ′(x )＝0得x 2＝1－ln x . 显然x ＝1是方程的解．令g (x )＝x 2＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝2x ＋1x>0，∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴x ＝1是方程f ′(x )＝0的唯一解 ∵当0<x <1时，f ′(x )＝1－ln xx2－1>0，当x >1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴当x ＝1时函数有最大值f (x )max ＝f (1)＝－1.6．(文)(2011·全国大纲卷文，21)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋(3－6a )x ＋12a －4(a ∈R)． (1)证明：曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线过点(2,2)；(2)若f (x )在x ＝x 0处取得最小值，x 0∈(1,3)，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3－6a由f (0)＝12a －4，f ′(0)＝3－6a 得曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝(3－6a )x ＋12a －4，由此知曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线经过点(2,2)．(2)由f ′(x )＝0，得x 2＋2ax ＋1－2a ＝0(ⅰ)当Δ≤0，即－2－1≤a ≤2－1时，f (x )没有极小值． (ⅱ)当Δ>0，即a >2－1或a <－2－1时，由f ′(x )＝0得x 1＝a －a 2＋2a －1，x 2＝－a ＋a 2＋2a －1故x 0＝x 2，由题设知，1<－a ＋a 2＋2a －1<3 当a >2－1时，不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3无解当a <－2－1时，解不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3得－52<a <－2－1综合(ⅰ)(ⅱ)得a 的取值范围是(－52，－2－1)．(理)(2011·新课标文，21)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1.[解析] (1)f ′(x )＝ax ＋1x －ln x x ＋2－bx2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，f ＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1 (2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以 f (x )－ln x x －1＝11－x 2(2ln x －x 2－1x)． 考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1x(x >0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－x 2－x 2＝－x －2x 2.所以当x ≠1时，h ′(x )<0，而h (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h (x )>0，可得11－x 2h (x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，可得11－x 2h (x )>0. 从而当x >0，且x ≠1时，f (x )－ln x x －1>0，即f (x )>ln x x －1. 7．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米． (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？[解析] (1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)． 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为f (x )升． 依题意得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128000x 3－380x ＋8·100x ＝11280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， f ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令f ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x ∈(80,120]时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．∴当x ＝80时，f (x )取到极小值f (80)＝11.25(升)．因为f (x )在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．。
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一、选择题1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1[答案] C[解析] f ′(x )＝1－cos x ≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数 ∴f (x )的最大值为f (π)＝π－sinπ＝π，故选C.2．(2012·西安模拟)若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B ．－3<k <－1或1<k <3C ．－2<k <2D ．不存在这样的实数 [答案] B[解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32[答案] A[解析] 由f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0得，x ＝0或x ＝3， 经检验知x ＝3是函数的一个最小值点， 所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立， 所以3m －272≥－9，解得m ≥32.4．当x ≥2时，ln x 与x －12x 2的关系为( )A ．ln x >x －12x 2B ．ln x <x －12x 2C ．ln x ＝x －12x 2D ．大小关系不确定[答案] A[解析] 构造函数F (x )＝ln x ＋12x 2－x ，则F ′(x )＝1x ＋x －1＝x 2－x ＋1x .∵x ≥2，∴F ′(x )>0，∴F (x )在[2，＋∞)上为增函数． 又∵F (2)＝ln2＋2－2＝ln2>0， ∴F (x )>0在[2，＋∞)上恒成立， ∴即ln x ＋12x 2－x >0，∴ln x >x －12x 2.5．(2011·湖南理，8)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22[答案] D[解析] 本小题考查内容为导数的应用——求函数的最小值． ∵f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，图象如下∴|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x (x >0)令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，∴F ′(x )＝2x －1x .令F ′(x )＝0，∴x ＝22，∴F (x ) 在x ＝22处最小． 6．(文)(2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件[答案] C[解析] 本题考查了导数的应用及求导运算．∵x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，得x ＝9时；当x ∈(0,9)时，y ′>0，x ∈(9，＋∞)，y ′<0.y 先增后减，∴x ＝9时函数取最大值，选C.(理)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为( )A.33cm B.1033cmC.1633cmD.2033cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2， 其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)，V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝203 3.当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0 所以当x ＝2033时，V 取最大值．二、填空题7．如下图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f (f (0))＝________；函数f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.[答案] 2，－28．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为____．[答案] a ≥1[解析] 由已知得a ＞1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内恒成立． 设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln xx 2＜0 (x ＞1)，∴g (x )＝1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内单调递减， ∴g (x )＜g (1)，∵g (1)＝1，∴1＋ln xx ＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥1. 三、解答题9．(文)已知a 为实数，函数f (x )＝(x 2＋1)(x ＋a )，若f ′(－1)＝0，求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的最大值和最小值． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1.∵f ′(－1)＝0，∴3－2a ＋1＝0，即a ＝2.∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x ＋1)． 由f ′(x )≥0，得x ≤－1或x ≥－13；由f ′(x )≤0，得－1≤x ≤－13.因此，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13. ∴f (x )在x ＝－1取得极大值f (－1)＝2，f (x )在x ＝－13取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝5027.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝138，f (1)＝6，且5027>138，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的最大值为f (1)＝6，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝138.(理)(2011·北京理，18)已知函数f (x )＝(x －k )2e xk .(1)求f (x )的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e ，求k 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝1k (x 2－k 2)e xk ，令f ′(x )＝0，得x ＝±k . 当k >0时，f (x )与f ′(x )的情况如下：(－k ，k )．当k <0时，f (x )与f ′(x )的情况如下：(k ，－k )．(2)当k >0时，因为f (k ＋1)＝ek ＋1k>1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e .当k <0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上的最大值是f (－k )＝4k 2e . 所以∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 等价于f (－k )＝4k 2e ≤1e . 解得－12≤k <0.故当∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 时，k 的取值范围是[－12，0)．一、选择题1．(2011·浙江文，10)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )的图像是( )[答案] D[解析] 本题考查了导数的极值及有关函数图像问题． 由F (x )＝f (x )·e x 得， F ′(x )＝f ′(x )e x ＋f (x )·(e x )′ ＝e x [ax 2＋(2a ＋b )x ＋b ＋c ]∵x ＝－1是F (x )的极值点，∴F ′(－1)＝0，得c ＝a . ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a ，∴f ′(x )＝2ax ＋b ∴f ′(－1)＝－2a ＋b ，f (－1)＝2a －b由f ′(－1)＝0，则b ＝2a ，f (－1)＝0，b ＝2a ，故A ，B 选项可能成立； 由f ′(－1)>0，∴－2a ＋b >0，∴f (－1)<0，故C 选项也成立；所以，答案选D.2．(文)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0[答案] B[解析] f (x )是奇函数，g (x )为偶函数．x >0时，f (x )，g (x )都单调递增，x <0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减，即f ′(x )>0，g ′(x )<0.(理)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x )<0，则a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)的大小关系是( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．c <a <b[答案] D[解析] 由f (x )＝f (2－x )知函数图像关于直线x ＝1对称，由x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0得x ∈(－∞，1)时f ′(x )>0，所以x ∈(－∞，1)时f (x )是增函数，又c ＝f (3)＝f (－1)，而f (－1)<f (0)<f (12)，即c <a <b .故选D.二、填空题3．(2012·广州综测)若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－2,2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)． 当x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.所以当x ＝－1时函数f (x )有极大值，当x ＝1时函数f (x )有极小值．要使函数f (x )有3个不同的零点，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (1)<0，解得－2<a <2.4．(文)(2011·山东济南模拟)将长为52cm 的铁丝剪成两段，各围成一个长与宽之比为2:1及3:2的矩形，那么面积之和的最小值为________cm 2.[答案] 78[解析] 设剪成的两段中其中一段为x ，另一段为52－x .由题意知，面积之和为S ＝x 6·2x 6＋3(52－x )10·2(52－x )10＝118x 2＋350(52－x )2，S ′＝19x －325(52－x )．令S ′＝0，则x ＝27，另一段为52－27＝25.此时S min ＝78(cm 2)． (理)将边长为1m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是________．[答案] 3233[解析] 本题主要考查了导数在实际问题中的应用，求解的关键在于根据条件正确地建立目标函数，进而利用导数工具求函数的最值，重点考查了考生的建模能力和运算能力．如上图，设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x ＋2(1－x )＋1＝3－x ，又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴S ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)，∴S ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2，令S ′＝0，得x ＝13或3(舍去)，当x ∈(0，13)时，S ′<0，S 递减；当x∈(13，1)时，S ′>0，S 递增；故当x ＝13时，S 的最小值是3233. 三、解答题5．(文)已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，求f (x )的极值．[解析] ∵f (x )过(1,0)点，∴f (1)＝1－p －q ＝0.∵f ′(x )＝3x 2－2px －q ，且f (x )与x 轴相切于点(1,0)，∴f ′(1)＝3－2p －q ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 1－p －q ＝0，3－2p －q ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1. ∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)，其图像如上图所示．∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，∴f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133－2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＝427， f (x )极小值＝f (1)＝13－2×12＋1＝0.(理)(2012·东北四校联考)已知函数f (x )＝ln x x －x ，求函数f (x )的最大值．[解析] ∵f ′(x )＝1－ln x x 2－1， 令f ′(x )＝0得x 2＝1－ln x .显然x ＝1是方程的解．令g (x )＝x 2＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝2x ＋1x >0，∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴x ＝1是方程f ′(x )＝0的唯一解∵当0<x <1时，f ′(x )＝1－ln x x 2－1>0， 当x >1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴当x ＝1时函数有最大值f (x )max ＝f (1)＝－1.6．(文)(2011·全国大纲卷文，21)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋(3－6a )x ＋12a －4(a ∈R)．(1)证明：曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线过点(2,2)；(2)若f (x )在x ＝x 0处取得最小值，x 0∈(1,3)，求a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3－6a由f (0)＝12a －4，f ′(0)＝3－6a 得曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝(3－6a )x ＋12a －4，由此知曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线经过点(2,2)．(2)由f ′(x )＝0，得x 2＋2ax ＋1－2a ＝0(ⅰ)当Δ≤0，即－2－1≤a ≤2－1时，f (x )没有极小值．(ⅱ)当Δ>0，即a >2－1或a <－2－1时，由f ′(x )＝0得x 1＝a －a 2＋2a －1，x 2＝－a ＋a 2＋2a －1故x 0＝x 2，由题设知，1<－a ＋a 2＋2a －1<3当a >2－1时，不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3无解当a <－2－1时，解不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3得－52<a <－2－1 综合(ⅰ)(ⅱ)得a 的取值范围是(－52，－2－1)．(理)(2011·新课标文，21)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln x x －1. [解析] (1)f ′(x )＝a (x ＋1x －ln x )(x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎨⎧f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎨⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1(2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以 f (x )－ln x x －1＝11－x 2(2ln x －x 2－1x )． 考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1x (x >0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－(x 2－1)x 2＝－(x －1)2x 2. 所以当x ≠1时，h ′(x )<0，而h (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h (x )>0，可得11－x 2h (x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，可得11－x 2h (x )>0.从而当x >0，且x ≠1时，f (x )－ln x x －1>0，即f (x )>ln x x －1. 7．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？[解析] (1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)． 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为f (x )升．依题意得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128000x 3－380x ＋8·100x ＝11280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， f ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令f ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x ∈(80,120]时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．∴当x ＝80时，f (x )取到极小值f (80)＝11.25(升)．因为f(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．。