高中数学导数及其应用教案
高二数学导数的应用教案
高二数学导数的应用教案
教学目标：
1. 理解导数的概念和性质；
2. 掌握导数的计算方法；
3. 熟练应用导数解决实际问题。
教学步骤：
一、导入（10分钟）
1. 引入导数的概念，与学生讨论导数的意义和应用；
2. 提出今天的学习目标：掌握导数的计算方法，并能够在实际问题中灵活应用。
二、理论讲解与示范（15分钟）
1. 介绍导数的定义：函数在某一点的切线斜率；
2. 解释导数的符号表示和计算方法，如使用极限的概念计算导数；
3. 给出一些导数计算的例题，并详细讲解解题思路和步骤。
三、练习与巩固（20分钟）
1. 给学生分发练习题，并要求他们独立完成；
2. 针对练习题中的难点和疑惑，进行答疑和解释；
3. 鼓励学生互相交流和讨论，加深对导数的理解和应用。
四、拓展应用（15分钟）
1. 引导学生思考导数在实际问题中的应用；
2. 分组讨论，找到不同领域中可以使用导数解决的问题，并汇报给全班；
3. 提出一些挑战性的导数应用问题，激发学生的思维和创造力。
五、综合评价（10分钟）
1. 进行简单的导数应用综合评价；
2. 针对学生的表现，给予及时的反馈和指导；
3. 总结本节课的重点内容和学习方法。
总结：
通过本节课的学习，学生应该对导数的概念和应用有了更深入的理解，能够熟练计算导数，并能够应用导数解决实际问题。
在后续的学习中，我们将进一步拓展导数的应用领域，并提高解题的灵活性和创造性。
中学数学教案导数在函数中的应用
中学数学教案导数在函数中的应用一、教学目标1. 理解导数的定义及其几何意义。
2. 学会求解基本函数的导数。
3. 掌握导数在函数中的应用，如单调性、极值、最值等。
4. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的定义及几何意义2. 基本函数的导数3. 导数的应用a. 单调性b. 极值c. 最值d. 实际问题三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义、基本函数的导数及导数的应用。
2. 难点：导数的计算及运用。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解导数的定义、几何意义及基本函数的导数。
2. 利用实例演示导数在函数中的应用，如单调性、极值、最值等。
3. 引导学生运用导数解决实际问题。
4. 课堂练习与讨论，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考函数的增减性、极值等问题。
2. 讲解导数的定义及几何意义，通过实例演示导数的计算过程。
3. 讲解基本函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数等。
4. 引导学生运用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题。
5. 结合实际问题，讲解导数在实际中的应用，如物体的运动、经济的增长等。
6. 课堂练习：让学生独立完成一些有关导数的练习题，巩固所学知识。
7. 总结：回顾本节课所学内容，强调导数在函数中的应用及实际意义。
六、教学活动1. 设计课堂活动：通过小组讨论，让学生探究导数在实际问题中的应用，如找出函数在某一点处的切线斜率，模拟函数的增减过程等。
2. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用导数解决具体问题，如优化生产过程、确定最佳路线等。
七、自主学习1. 让学生自主学习教材中关于导数的应用部分，了解导数在函数中的作用。
2. 布置课后作业：让学生结合所学知识，完成有关导数在函数中应用的练习题。
八、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结导数在函数中的应用。
2. 强调导数在实际问题中的重要性。
九、课后反思1. 教师在课后对课堂教学进行反思，分析教学过程中的优点与不足。
导数及其应用教案
导数及其应用教案教案标题：导数及其应用教案教案概述：本教案旨在引导学生全面了解导数的概念、性质以及其在实际问题中的应用。
通过理论讲解、示例分析和实践练习，培养学生对导数的理解和运用能力，提高他们解决实际问题的能力。
教学目标：1. 理解导数的定义和性质；2. 掌握常见函数的导数计算方法；3. 理解导数在函数图像、极值和曲线运动等方面的应用；4. 运用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和性质；2. 常见函数的导数计算方法；3. 导数在函数图像、极值和曲线运动等方面的应用。
教学难点：1. 导数在实际问题中的应用；2. 运用导数解决复杂实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、示例题、练习题、实际问题案例等；2. 学生准备：教材、笔记本、计算器等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，与学生一起回顾函数的变化率和斜率的概念；2. 提问：你认为如何计算函数在某一点的变化率或斜率？二、理论讲解（15分钟）1. 讲解导数的定义和性质，包括函数在某一点的导数定义、导数的几何意义和导数的性质；2. 通过示例解释导数的计算方法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数计算；3. 引导学生理解导数的物理意义，如速度、加速度等的概念。
三、示例分析（15分钟）1. 分析示例题，引导学生运用导数的定义和性质计算函数的导数；2. 分析函数图像的特征，如切线、极值点等，与导数的关系；3. 分析曲线运动的问题，如速度、加速度等与导数的关系。
四、实践练习（15分钟）1. 给学生提供一些练习题，涵盖导数的计算、函数图像分析和实际问题应用等方面；2. 引导学生独立解题，鼓励他们思考和探索；3. 辅导学生解决遇到的问题，及时给予指导和反馈。
五、实际问题应用（15分钟）1. 提供一些实际问题案例，如物体的运动问题、最优化问题等；2. 引导学生分析问题，建立数学模型，并运用导数解决问题；3. 鼓励学生展示解题过程和结果，进行讨论和交流。
高中数学-导数及其应用教案
个性化教学辅导教案学科: 数学任课教师：老师授课时间：年月日(星期).C (0)(2)f f +≥()21f .D (0)(2)f f +()21f >()6设函数()f x ，()g x 在[],a b 上均可导，且()()f x g x '>'，则当a x b <<时，有.A ()()f x g x > .B ()()f x g x <.C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+问题2．()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是问题3．求下列函数的导数：()1()21sin y x =+； ()411x x e y e +=-；()6ln x y e x =⋅10.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.11.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.（二）典例分析：问题1．()1函数)(x f y =在定义域)3,23(-内可导，其图象如图所示，记)(x f y =的导函数为)(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为.A [)3,2]1,31[ - .B ]38,34[]21,1[ - .C [)2,1]21,23[ -.D ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--3,38]34,21[1,23()3设(),()f x g x 均是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()f x g x '+()()0f x g x '>，且(2)0f -=，则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是.A ()()2,02,-+∞ .B ()2,2- .C ()(),22,-∞-+∞ .D ()(),20,2-∞-问题2．()1如果函数3()f x x bx =-+在区间()0,1上单调递增，并且方程()0f x =的根都在区间[]2,2-内，则b 的取值范围为()2已知2()12f x x x =+-，那么[]()()g x f f x =5.如果()f x '是二次函数, 且()f x '的图象开口向上,顶点坐标为(1,3)-, 那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是.A 2(0,]3π .B 2[0,)[,)23πππ .C 2[0,][,)23πππ .D 2[,]23ππ6.如图，是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图像，则2221x x +等于.A 98 .B 910 .C 916 .D 928 7.函数()f x 的定义域是开区间(),a b ,导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间内有极小值点 .A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个8.函数x bx ax x f 2)(23-+=的图象如图所示，且021<+x x ，则有.A 0,0>>b a .B 0,0><b a.C 0,0<<b a .D 0,0<>b a9.已知：1x >，证明不等式：()ln 1x x >+10.设x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间xy a b ()'y f x =O。
中学数学教案导数在函数中的应用
中学数学教案导数在函数中的应用一、教学目标：1. 理解导数的基本概念和性质。
2. 学会使用导数求解函数的极值、单调性、凹凸性等问题。
3. 能够运用导数解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容：1. 导数的基本概念：导数的定义、导数的几何意义。
2. 导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数。
3. 导数在函数中的应用：函数的单调性、极值、凹凸性、实际问题。
三、教学重点与难点：1. 重点：导数的基本概念、导数的计算方法、导数在函数中的应用。
2. 难点：导数的计算、函数的凹凸性判断、实际问题的解决。
四、教学方法：1. 采用启发式教学，引导学生主动探究导数的基本概念和性质。
2. 通过例题讲解，让学生掌握导数的计算方法。
3. 利用多媒体课件，直观展示函数的单调性、极值、凹凸性等概念。
4. 结合实际问题，培养学生的应用能力。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾初中阶段学习的函数知识，引导学生思考函数的单调性、极值等问题。
2. 讲解导数的基本概念：介绍导数的定义，解释导数的几何意义。
3. 导数的计算：讲解基本导数公式，示范导数的四则运算，分析复合函数的导数。
4. 导数在函数中的应用：讲解函数的单调性、极值、凹凸性的判断方法，结合实际问题进行演示。
5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固导数的基本概念和计算方法。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习完成情况：检查学生课堂练习和课后作业的完成质量，评估学生对导数知识的掌握程度。
3. 实际问题解决：评估学生在解决实际问题时的应用能力，如能否灵活运用导数分析函数的性质。
七、教学拓展：1. 导数在高等数学中的应用：介绍导数在微积分、线性代数等高等数学领域的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 导数与其他学科的联系：探讨导数在物理学、经济学等学科中的应用，拓宽学生的知识视野。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、引言在高中数学课程中，导数是一个非常重要的概念。
本教案旨在介绍导数及其应用，帮助学生理解导数的概念和基本性质，并学习如何在实际问题中运用导数进行分析和计算。
二、导数的概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率，即函数值随自变量变化而变化的快慢程度。
2. 导数的几何意义：导数等于函数曲线在某一点切线的斜率。
3. 导数的符号表示：通常用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
三、导数的基本性质1. 常数的导数为0：若f(x) = a（a为常数），则f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 和差的导数：若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
4. 乘积的导数：若f(x) = u(x)v(x)，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
5. 商的导数：若f(x) = u(x)/v(x)，则f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] /v(x)^2。
四、导数的应用1. 切线和法线：导数可以用于求函数曲线在某一点的切线和法线方程。
2. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数的极值，并求出极值点和极值。
3. 函数图像的画法：导数可以提供函数图像的一些特征，如拐点、极值、单调性等。
4. 物理问题中的应用：导数可以帮助解决一些物理问题，如速度、加速度等。
五、教学活动1. 导数的计算练习：通过给出具体函数的表达式，让学生计算其导数。
2. 导数在几何中的应用：通过给出函数的图像，让学生判断函数的增减性、拐点、极值等。
3. 实际问题解析：将一些实际问题转化为数学模型，并运用导数进行分析和求解。
六、教学反思通过本教案的讲解和练习，学生应能掌握导数的概念和基本性质，具备运用导数进行实际问题分析和计算的能力。
高中数学导数应用问题教案
高中数学导数应用问题教案
主题：导数的应用问题
教学目标：
1.了解导数的定义及其应用；
2.掌握常见的导数应用问题求解方法；
3.能够运用导数解决实际问题。
教学重点：
1.导数的定义及性质；
2.导数在实际问题中的应用。
教学难点：
1.如何将实际问题转化为导数问题求解；
2.如何运用导数解决各类应用问题。
教学准备：
1.教师准备相关教学资料和案例；
2.学生准备笔记和计算工具。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师用一个实际问题引入导数的应用，引导学生思考导数在解决实际问题中的作用。
二、概念讲解（10分钟）
1.复习导数的定义及性质；
2.介绍导数在实际问题中的应用，如最速下降问题、最大最小问题等。
三、案例分析（15分钟）
教师以实际问题为例，分析导数应用问题的解题思路和方法，并带领学生一起解决一些简单的案例。
四、练习与讨论（15分钟）
1.学生进行导数应用问题的练习，教师提供帮助和指导；
2.学生分组讨论解题过程，分享解题方法和经验。
五、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调导数在实际问题中的应用重要性。
六、作业布置（5分钟）
布置相关的导数应用问题作业，希望学生能够独立完成并加强对应用问题的理解和掌握。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对导数的应用有了更深入的了解，同时也能够更加灵活地应用导数解决各类实际问题。
希望学生能够在课下多加练习，进一步提高解题能力和运用能力。
导数及其应用教案
课题：变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一、情景导入为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二、知识探究探究一：气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --探究二：高台跳水：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=； 在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(0049)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。
高中数学导数及其应用教案
高中数学导数及其应用教案教学目标：1. 理解导数的定义和性质，能够计算常见函数的导数。
2. 掌握导数在函数求极限、判定函数的增减性和凹凸性等方面的应用。
3. 能够解决实际问题中的优化和相关性问题。
教学内容：1. 导数的定义和性质2. 基本函数的导数3. 高阶导数4. 函数的导数应用：求极限、判定增减性和凹凸性5. 优化问题和相关性问题的求解教学流程：1. 导数的定义和基本性质的介绍（15分钟）- 导数的定义- 导数的性质：线性性、乘积法则、商法则、链式法则2. 基本函数的导数计算（20分钟）- 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数计算- 三角函数的导数计算3. 高阶导数和导数的应用（25分钟）- 高阶导数的定义和计算- 导数在函数的极限、增减性和凹凸性判定中的应用4. 优化问题和相关性问题的解决（20分钟）- 优化问题的定义和解决方法- 相关性问题的建模和解决方法教学方法：1. 讲解导数的定义和性质，引导学生理解概念并掌握基本计算方法。
2. 练习基本函数的导数计算，帮助学生巩固知识。
3. 引导学生理解高阶导数和导数在函数中的应用，培养学生应用知识解决问题的能力。
4. 练习优化问题和相关性问题，让学生通过实际问题感受导数在解决问题中的作用。
教学评估：1. 布置作业，巩固学生对导数的理解和应用能力。
2. 定期组织小测验，检验学生对导数相关知识的掌握程度。
3. 课堂中提问和讨论，评估学生对导数的理解程度。
教学资源：1. PowerPoint课件：导数的定义和基本性质、基本函数的导数计算、高阶导数和导数的应用、优化问题和相关性问题的解决。
2. 习题册：导数相关习题，巩固学生对导数的掌握。
教学反思与总结：教师在教学导数及其应用过程中，要注意引导学生理解概念、掌握计算方法，并注重培养学生的问题解决能力。
通过多种教学方法，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。
及时总结分析教学过程中出现的问题和不足，不断完善教学内容和方法，提升教学质量。
高中数学_导数及其应用教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计-------导数及其应用一．教学目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求最值极值过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性、最值的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
二．教学重难点对于函数导数及其应用，学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由数到形的翻译，从直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。
教学重点：探索研究切线、单调区间、最值和极值。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
三．教法分析：1．教学方法的选择：为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式、讲练结合的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
2．教学手段的利用：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
3．教学课堂结构知识回顾—问题情境—新课探究—知识运用（例题精讲—变式训练—拓展延伸—能力提升）—课堂小结—作业布置四．学法分析：为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法：1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题；2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动；3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
五．教学过程：（一）知识回顾从已学过的知识（导数几何意义、求导公式、判断二次函数的单调性、极值）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性、求极值），引起认知冲突，激发学习的兴趣。
高中数学_导数及其应用教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计-------导数及其应用一．教学目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求最值极值过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性、最值的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
二．教学重难点对于函数导数及其应用，学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由数到形的翻译，从直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。
教学重点：探索研究切线、单调区间、最值和极值。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
三．教法分析：1．教学方法的选择：为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式、讲练结合的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
2．教学手段的利用：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
3．教学课堂结构知识回顾—问题情境—新课探究—知识运用（例题精讲—变式训练—拓展延伸—能力提升）—课堂小结—作业布置四．学法分析：为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法：1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题；2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动；3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
五．教学过程：（一）知识回顾从已学过的知识（导数几何意义、求导公式、判断二次函数的单调性、极值）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性、求极值），引起认知冲突，激发学习的兴趣。
高中导数及其应用教案
4.4,3212='∴='∴+==x y x y x y即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．设过点Q 的切线的切点为),(00y x T ，则切线的斜率为04x ，又2900--=x y k PQ ，故00204262x x x =--，3,1.06820020=∴=+-∴x x x 。
即切线QT 的斜率为4或12，从而过点Q 的切线为：1512,14-=-=x y x y★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1: 导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值 [例1] 设函数()f x 在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于A ．)('0x fB ．0'()f x -C ．0()f xD ．0()f x - 【解题思路】由定义直接计算 [解析]0000000()()[()]()limlim ()()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆.故选B【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式00()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点2.求曲线的切线方程[例2](高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= . 【解题思路】区分过曲线P 处的切线与过P 点的切线的不同，后者的P 点不一定在曲线上. 解析:观察图形,设(5,(5))P f ,过P 点的切线方程为(5)'(5)(5)y f f x -=-即'(5)(5)5'(5)y f x f f =+-它与8+-=x y 重合,比较系数知:'(5)1,(5)3f f =-= 故)5()5(f f '+=2【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导）cos x y e =）2tan ,y x x =+∴x'1(1)1x x =⋅+=+【名师指引】 注意复合函数的求导方法（分解2. (广东省2008届六校第二次联考)cos y x x =在3x π=处的导数值是.解析：'cos sin y x x x =-故填1326π-3. 已知直线2y －4=0与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，P 是抛物线的弧上求一点P ，当△面积最大时，P 点坐标为 .解析：为定值，△面积最大，只要P 到的距离最大，只要点P 是抛物线的平行于的切线的切点，设P （）.由图可知，点P 在x 轴下方的图象上∴－2x ,∴y ′=－x 1,∵－21,∴－211-=x∴4,代入y 2=4x (y <0)得－4. ∴P (4,－4)4.(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)已知()ln f x x =，217()22g x x mx =++（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．求直线l 的方程与m 的值；解：依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率1(1)11k f '===，所以直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩，得2(1)902m m ∆=--=⇒=-（4m =不合题意，舍去）； 5.(湛江市实验中学2009届高三第四次月考)已知函数)(),(),(21)(,ln )(2x g x f l a a x x g x x f 与函数直线为常数+==的图象都相切，且l 与函数)(x f 图象的切点的横坐标为1,求直线l 的方程与a 的值；解析：()'=f x'=f x ax()31a≥-3【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系()f x '=，()f x '∴=0)0=，f ∴【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于2(1)4y x =-++在[,2]a 上的最大值为154，1a ∴>-且在x a =时，215234y a a =--+=最大，解之12a =或32a =-（舍去），∴12a =选B.5．32()32f x x x =-+在区间[1,1]-上的最大值是A ．2-B ．0C ．2D ．4[解析]2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=可得0x =或2（2舍去），当10x -≤<时，()f x '0，当01x <≤时，()f x '0，所以当0x =时，f （x ）取得最大值为2.选C6．已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-.（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立. [解析]（1）由奇函数定义，有()(),f x f x x R -=-∈. 即33,0.ax cx d ax cx d d --+=---∴=因此，3(),f x ax cx =+ 2'()3.f x ax c =+由条件(1)2f =-为()f x 的极值，必有'(1)0,f =故 230a c a c +=-⎧⎨+=⎩,解得 1, 3.a c ==-因此3()3,f x x x =-2'()333(1)(1),f x x x x =-=+- '(1)'(1)0.f f -== 当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(,1)-∞-上是增函数. 当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，故()f x 在单调区间(1,1)-上是减函数. 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(1,)+∞上是增函数. 所以，()f x 在1x =-处取得极大值，极大值为(1) 2.f -= （2）由(1)知，3()3([1,1])f x x x x =-∈-是减函数，且()f x 在[1,1]-上的最大值为(1)2,M f =-=最小值为(1) 2.m f ==-所以，对任意12,(1,1),x x ∈-恒有12|()()|2(2) 4.f x f x M m -<-=--=[方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题12max min |()()|()()-≤-f x f x f x f x . ★ 抢 分 频 道 ★基础巩固训练1．（广东省六校2009届高三第二次联考试卷） 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 值内的图象如图所示，则函数)(x f 在),(b a 内有极小点共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个 解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A 2．、函数313y x x =+-有（ ）A. 极小值－1，极大值1B. 极小值－2，极大值3C. 极小值－2，极大值2D. 极小值－1，极大值3解析：2333(1)(1)y x x x '=-=-+，令0y '=得 1,1x x ==-当1x <-时，0y '>；当11x -<<时，0y '<；当1x >，0y '<∴ 1x =-时，1y =-极小，当1x =3y =极大，故选D.3．函数(x )－x ,在区间(0］上的最大值为A.1－eB.－1C.－eD.0解析：y ′=x1－1,令y ′=0,即1,在(0，e ］上列表如下：x (0,1) 1 (1) ey ′ + 0 －y增函数极大值－1减函数1－e由于f (e)=1－e,而－1＞1－e,从而y 最大(1)=－1.答案：B4．(广东深圳外国语学校2008—2009学年高三第二次月考)若1>a ，求函数)),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.[解析],121)(ax x x f +-='y=f '(x)bao yx图2图1即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元.10分解法二:由上面解法得到－6x 2+108378. 求导数,得y ′=－12108,令y ′=－12108=0,解得9.因9∈［1,10］只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.题型2:几何模型的最优化问题【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.例3. (07上海春季高考)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为4.0米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边和上， △CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH .(1) 求证：四边形EFGH 是正方形；费用最(2) F E 、在什么位置时，定制这批地砖所需的材料省？【解题思路】图2是由四块图1所示地砖绕点C 按顺时针旋转90后得到，△CFE 为等腰直角三角形， ∴ 四边形EFGH 是正方形. [解析] (2) 设x CE =，则x BE -=4.0，每块地砖的费用为W ，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a 、2a 、a (元)， a x x a x a x W ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯--+⨯-⨯⨯+⋅=)4.0(4.0212116.02)4.0(4.02132122 ()24.02.02+-=x x a[]4.00,23.0)1.0(2<<+-=x x a .由0>a ，当1.0=x 时，W 有最小值，即总费用为最省.答：当1.0==CF CE 米时，总费用最省.【名师指引】 处理较复杂的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨. 题型3:三角模型的最优化问题例4. 若电灯B 可在桌面上一点O 的垂线上移动，桌面上有与点O 距离为a 的另一点A ，问电灯与点0的距离怎样，可使点A 处有最大的照度？（,,r BA BAO ==∠ϕ照度与ϕsin 成正比，与2r 成反比）2r 成反比，【解题思路】如图，由光学知识，照度y 与ϕsin 成正比，与即2sin rCy ϕ=（C 是与灯光强度有关的常数）要想点A 处有最大的照度，只需求y 的极值就可以了. 解析：设O 到B 的距离为x ，则rx=ϕsin ，22a x r += 于是)0()(sin 232232∞<≤+===x a x xCrxC r C y ϕ，0)(2252222=+-='a x x a Cy .当0='y 时，即方程0222=-x a 的根为21a x -=（舍）与22a x =，在我们讨论的半闭区间[)+∞,0内，所以函数)(x f y =在点2a 取极大值，也是最大值。
导数专题及其应用教案
导数专题及其应用教案教案标题：导数专题及其应用教案教案目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 熟悉导数在实际问题中的应用。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 导数在函数图像、极值和曲线的切线方程中的应用。
教学难点：1. 理解导数的概念和意义；2. 运用导数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、计算工具；2. 学生准备：教材、笔记、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，提问学生对导数的理解；2. 通过一个简单的例子，引导学生思考导数的意义。
二、导数的定义和计算方法（15分钟）1. 介绍导数的定义和符号表示；2. 讲解导数的计算方法，包括用极限定义导数和使用导数公式计算导数；3. 通过示例演示导数的计算过程。
三、导数在函数图像中的应用（15分钟）1. 讲解导数与函数图像的关系，包括导数与函数的增减性、极值和拐点；2. 指导学生根据导数的正负判断函数的增减性，并绘制函数图像；3. 引导学生通过导数的零点判断函数的极值和拐点，并绘制函数图像。
四、导数在曲线的切线方程中的应用（15分钟）1. 引入导数与曲线的切线方程的关系；2. 讲解切线方程的一般形式和求解步骤；3. 指导学生根据导数和给定点求解曲线的切线方程，并进行实际问题的应用练习。
五、导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用领域，如物理、经济等；2. 提供一些实际问题，引导学生运用导数解决问题；3. 学生个别或小组完成导数应用问题的解答和讨论。
六、总结（5分钟）1. 简要回顾导数的概念和计算方法；2. 强调导数在实际问题中的应用；3. 鼓励学生继续深入学习导数的相关知识。
教学延伸：1. 提供更多的导数计算练习题，巩固学生的计算能力；2. 引导学生在实际生活中寻找更多导数的应用案例，并进行讨论和分享。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现；2. 学生完成课后作业，包括导数计算和应用题目；3. 学生进行小组或个人报告，展示导数在实际问题中的应用案例。
高中数学第三章导数及其应用函数的和差积商的导数教学案
第三章 导数及其应用第7课时 函数的和、差、积、商的导数(2)教学目标：1.理解两个函数的积的导数法则、和(或差)的导数法则，学会用法则求复杂形式的 函数的导数；2.能够综合运用各种法则求函数的导数.教学重点：灵活应用函数的和、差、积、商的求导法则教学难点：函数的积、商的求导法则的综合应用教学过程：Ⅰ.问题情境Ⅱ.建构数学函数的差、积、商的求导法则：Ⅲ.数学应用例1：求下列函数的导数（1）42356y x x x =--+（2）y =x x sin 2（3）(1)(2)(3)y x x x =+++（4）1sin 1cos x y x -=+（5）423335x x y x +-=（6）sin (cos 1)y x x =+练习：求下列函数的导数（1）23(2)y x x =+ （2） 2cos y x x =（3）12cos sin 3y x x =+（4） cos sin x y x =例2：在曲线31y x x =+-上求一点P ，是过点P 点的切线与直线47y x =-平行.练习：1.已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式.2. 求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=Ⅳ.课时小结:Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业书本P 73 习题5,6,71.函数2cos x y x=的导数为 . 2.已知32()32f x ax x =++，若'(1)4f -=，则a 的值为 .3.曲线212y x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为 . 4.已知函数432()f x ax bx cx dx e =++++为偶函数，它的图像过点(0,1)A -，且在1x =处的切线方程为220x y +-=，求函数()f x 的表达式.。
导数的应用教案
导数的应用教案导数的应用教案一、教学目标：1.了解导数的概念及其意义；2.掌握导数的计算方法；3.能够应用导数解决实际问题。
二、教学内容：1.导数的概念及其意义；2.导数的计算方法；3.导数的应用实例。
三、教学过程：1.导入导数概念：教师通过提问方式引导学生回顾前面学习的知识，了解函数的极限与导数之间的关系，并引入导数的概念。
教师可以通过举例说明导数的概念，如汽车行驶距离与时间的关系等。
2.导数的计算方法：教师介绍导数的计算方法，包括极限定义、导数公式和导数性质等，并通过具体的例子进行讲解，如多项式函数的导数计算等。
3.导数的应用实例：教师通过实际问题让学生应用导数解决实际问题，如求函数的最值、判定函数的增减性、判定函数的凸凹性等。
教师可以先进行概念讲解，然后给出具体的应用实例，让学生进行分析和解答。
4.教学巩固与拓展：教师进行导数的应用拓展，让学生了解导数在其他领域的应用，如物理学中的速度与加速度、经济学中的边际产量与边际成本等，并进行讲解和讨论。
四、教学方法：1.导入法：通过导入问题或例子引发学生思考，激发学生学习兴趣。
2.讲解法：通过讲解导数的概念和计算方法，使学生掌握相关知识。
3.示范法：通过示范具体例题，帮助学生理解和掌握导数的应用方法。
4.讨论法：通过学生的互动讨论，加深对导数应用的理解和掌握。
五、教学资源：1.课件：包括导数的概念、计算方法及应用实例的课件。
2.习题集：提供导数的应用习题，帮助学生巩固和拓展知识。
六、教学评价：1.课堂练习：提供一定数量的导数应用题，检查学生的掌握情况。
2.作业：布置一定数量的导数应用题，供学生进行复习和巩固。
3.学生评价：通过学生对教学过程的反馈和教师的观察，对教学效果进行评价。
七、教学反思：通过开展导数的应用教学，学生能够进一步理解导数的概念、计算方法及其在实际问题中的应用，从而提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
同时，教师应根据学生的实际情况和兴趣，合理安排教学内容和方法，提高教学效果。
导数的应用教案
导数的应用教案教案1: 导数的应用——相关变化率教学目标:1. 理解导数的意义，能够解释导数代表相关变化率的含义。
2. 能够在实际问题中应用导数求解相关变化率。
3. 能够在实际问题中应用导数解决最优化问题。
教学准备:1. 教师准备相关变化率和最优化问题的实际应用例题，如某物体运动的速度和加速度问题，总收益和销售量的关系问题等。
2. 准备计算导数和求解最优化问题的手段和方法。
教学过程:引入：1. 导入相关变化率的概念，引导学生思考在我们日常生活中有哪些变量之间存在相关变化的情况，并了解相关变化率的重要性。
2. 引入导数的概念，解释导数代表相关变化率的含义，即导数表示因变量相对于自变量的变化速率。
探究：1. 通过实例和图形直观理解导数的概念，包括斜率、切线、变化率等。
2. 让学生进行实际问题的探究，如给定一个函数表达式，利用导数求解相关变化率的具体问题。
3. 引导学生通过具体实例，进一步理解导数的应用，如速度和加速度的关系问题。
拓展：1. 引导学生应用导数解决最优化问题，比如通过导数求解某函数的最大值、最小值等问题。
2. 引导学生思考一些实际问题，如制作某个产品的成本、利润与销售量的关系，利用导数求解最优销售量等实际问题。
实践：1. 组织学生分组完成一些实际问题的探究和求解，让学生练习运用导数求解实际问题。
2. 学生通过小组展示和分享，互相学习和交流，提高对导数应用的理解和掌握程度。
总结：1. 归纳和总结导数的应用领域，通过概念总结和案例分析，强化学生对导数应用的理解。
2. 提醒学生导数应用的实际意义和重要性，鼓励学生在日常生活中运用导数的方法和思想解决问题。
课后作业:1. 完成课后练习题，巩固导数应用的知识和技能。
2. 搜集相关应用实例，了解和探究更多的导数应用领域。
3. 思考导数应用的局限性和拓展方向，形成个人的思考和见解。
导数及其应用教案
导数及其应用教案导数及其应用教案一、教学目标：1. 了解导数的定义和性质；2. 掌握导数的计算方法；3. 了解导数的应用领域及其作用。
二、教学内容：1. 导数的定义和性质；2. 导数的计算方法；3. 导数在函数图像研究中的应用；4. 导数在物理、经济等领域的应用。
三、教学过程：1. 导入导数的概念，引出导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
给出导数的定义：若函数在点a处的导数存在，则称函数在点a处可导，记为f'(a)。
2. 介绍导数的计算方法：a. 用导数定义法计算：根据导数的定义，利用极限运算求出导数；b. 用基本导数公式计算：介绍常见函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等；c. 用导数运算法则计算：介绍导数的四则运算法则，包括常数倍、和差、积、商。
3. 导数在函数图像研究中的应用：a. 求函数的增减区间：根据函数的导数求出函数的增减性和极值点；b. 求函数的凹凸区间和拐点：根据函数的导数求出函数的凹凸性和拐点。
4. 导数在物理、经济等领域的应用：a. 导数表示速度和加速度：介绍物理学中速度和加速度的概念，并利用导数计算速度和加速度；b. 导数表示边际效应和弹性：介绍经济学中边际效应和弹性的概念，并利用导数计算边际效应和弹性。
5. 总结导数的应用：导数在数学、物理、经济等领域中都有广泛的应用，帮助我们研究函数的性质、分析物体的运动和评估经济的效益等。
四、教学方法：1. 讲授导数的定义和性质，引导学生思考导数的计算方法；2. 结合例题和实际问题，让学生动手计算导数和应用导数；3. 培养学生的分析和解决问题的能力，引导学生思考导数的实际应用。
五、教学评价：1. 练习题：布置一些导数计算和应用题目，要求学生独立完成；2. 口头回答问题：提问学生导数的定义和应用，检查学生对导数的理解程度；3. 个案分析：根据学生的学习情况，进行个别辅导和评价。
六、板书设计：导数的概念：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以帮助我们理解函数的增减性、极值等性质。
1.2 导数的计算方法介绍导数的计算规则：常数函数的导数为0，幂函数的导数等。
讲解导数的运算法则：导数的四则运算、复合函数的导数等。
1.3 导数的应用解释导数在实际应用中的意义：例如，求解物体的速度、加速度等问题。
举例说明导数在实际问题中的应用：如优化问题、物理运动问题等。
第二章：导数与函数的增减性2.1 引入增减性的概念解释函数的单调递增和单调递减：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
2.2 利用导数判断函数的极值解释函数的极值概念：函数在某一点的导数为0，且在该点附近导数符号发生变化的点。
讲解如何利用导数判断函数的极值：通过导数的正负变化来确定函数的极大值和极小值。
2.3 应用实例分析举例说明如何利用导数判断函数的增减性和极值：如函数f(x) = x^3的增减性和极值分析。
第三章：导数与曲线的切线3.1 切线方程的导数表示解释切线的概念：函数在某一点的导数即为该点处的切线斜率。
推导切线方程的一般形式：y y1 = m(x x1)，其中m为切线斜率，(x1, y1)为切点坐标。
3.2 利用导数求解曲线的切线讲解如何利用导数求解曲线的切线：求出切点坐标，求出切线的斜率，写出切线方程。
3.3 应用实例分析举例说明如何利用导数求解曲线的切线：如函数f(x) = x^2的切线求解。
第四章：导数与函数的单调性4.1 单调性的定义与性质解释函数的单调性：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
强调单调性的重要性：单调性可以帮助我们理解函数的变化趋势。
4.2 利用导数判断函数的单调性讲解如何利用导数判断函数的单调性：通过导数的正负来确定函数的单调递增或递减区间。
理科高三数学教案：导数及其应用
理科高三数学教案：导数及其应用【】鉴于大伙儿对查字典数学网十分关注，小编在此为大伙儿搜集整理了此文理科高三数学教案：导数及其应用，供大伙儿参考!本文题目：理科高三数学教案：导数及其应用第三章导数及其应用高考导航考试要求重难点击命题展望1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景;(2)明白得导数的几何意义.2.导数的运算(1)能依照导数定义，求函数y=c(c为常数)，y=x，y=x2，y=x3，y= ，y= 的导数;(2)能利用差不多初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.3.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一样不超过三次);(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一样不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一样不超过三次).4.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5.定积分与微积分差不多定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的差不多思想，了解定积分的概念;(2)了解微积分差不多定理的含义. 本章重点：1.导数的概念;2.利用导数求切线的斜率;3.利用导数判定函数单调性或求单调区间;4.利用导数求极值或最值;5.利用导数求实际问题最优解.本章难点：导数的综合应用. 导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一样、更有效的方法.因此，本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所表达，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的差不多运算与简单的几何意义，而以解答题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力.知识网络3 .1 导数的概念与运算典例精析题型一导数的概念【例1】已知函数f(x)=2ln 3x+8x，求f(1-2x)-f(1)x的值.【解析】由导数的定义知：f(1-2x)-f(1)x=-2 f(1-2x)-f(1)-2x=-2f(1)=-20.【点拨】导数的实质是求函数值相关于自变量的变化率，即求当x0时，平均变化率yx的极限.【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时刻t(min)的函数关系能够近似地表示为f(t)=t2100，则在时刻t=10 min的降雨强度为()A.15 mm/minB.14 mm/minC.12 mm/minD.1 mm/min【解析】选A.题型二求导函数【例2】求下列函数的导数.(1)y=ln(x+1+x2);(2)y=(x2-2x+3)e2x;(3)y=3x1-x.【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.(1)y=1x+1+x2(x+1+x2)=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2.(2)y=(2x-2)e2x+2(x2-2x+3)e2x=2(x2-x+2)e2x.(3)y=13(x1-x 1-x+x(1-x)2=13(x1-x 1(1-x)2=13x (1-x)【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))= ; f(1+x)-f(1)x= (用数字作答).【解析】f(0)=4，f(f(0))=f(4)=2，由导数定义f(1+x)-f(1)x=f(1).当02时，f(x)=4-2x，f(x)=-2，f(1)=-2.题型三利用导数求切线的斜率【例3】已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线l：y=kx，且l与C切于点P(x0，y0) (x00)，求直线l的方程及切点坐标.【解析】由l过原点，知k=y0x0 (x00)，又点P(x0，y0) 在曲线C上，y0=x30-3x20+2x0，因此y0x0=x20-3x0+2.而y=3x2-6x+2，k=3x20-6x0+2.又k=y0x0，因此3x20-6x0+2=x20-3x0+2，其中x00，解得x0=32.因此y0=-38，因此k=y0x0=-14，因此直线l的方程为y=-14x，切点坐标为(32，-38).【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.【变式训练3】若函数y=x3-3x+4的切线通过点(-2，2)，求此切线方程.【解析】设切点为P(x0，y0)，则由y=3x2-3得切线的斜率为k=3x20-3.因此函数y=x3-3x+4在P(x0，y0)处的切线方程为y-y0=(3x20-3)(x-x0).又切线通过点(-2,2)，得2-y0=(3x20-3)(-2-x0)，①而切点在曲线上，得y0=x30-3x0+4，②由①②解得x0=1或x0=-2.则切线方程为y=2 或9x-y+20=0.总结提高1.函数y=f(x)在x=x0处的导数通常有以下两种求法：(1) 导数的定义，即求yx= f(x0+x)-f(x0)x的值;(2)先求导函数f(x)，再将x=x0的值代入，即得f(x0)的值.2.求y=f(x)的导函数的几种方法：(1)利用常见函数的导数公式;(2)利用四则运算的导数公式;(3)利用复合函数的求导方法.3.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)，确实是函数y =f(x)的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率.3.2 导数的应用(一)典例精析题型一求函数f(x)的单调区间【例1】已知函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(aR)，求函数f(x)的单调区间.【解析】函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)的定义域是(1，+).f(x)=2x-a-ax-1=2x(x-a+22)x-1，①若a0，则a+221，f(x)=2x(x-a+22)x-10在(1，+)上恒成立，因此a0时，f(x)的增区间为(1，+).②若a0，则a+221，故当x(1，a+22]时，f(x)=2x(x-a+22)x-1当x[a+22，+)时，f(x)=2x(x-a+22)x-10，因此a0时，f(x)的减区间为(1，a+22]，f(x)的增区间为[a+22，+).【点拨】在定义域x1下，为了判定f(x)符号，必须讨论实数a+22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.【变式训练1】已知函数f(x)=x2+ln x-ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范畴.【解析】因为f(x)=2x+1x-a，f(x)在(0,1)上是增函数，因此2x+1x-a0在(0,1)上恒成立，即a2x+1x恒成立.又2x+1x22(当且仅当x=22时，取等号).因此a22，故a的取值范畴为(-，22].【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时f(x)0在(a，b)上恒成立;同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时f(x)0在(a，b)上恒成立.然后就要依照不等式恒成立的条件来求参数的取值范畴了.题型二求函数的极值【例2】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1时取得极值，且f(1)=-1.(1)试求常数a，b，c的值;(2)试判定x=1是函数的极小值点依旧极大值点，并说明理由.【解析】(1)f(x)=3ax2+2bx+c.因为x=1是函数f(x)的极值点，因此x=1是方程f(x)=0，即3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系，得又f(1)=-1，因此a+b+c=-1. ③由①②③解得a=12，b=0，c=-32.(2)由(1)得f(x)=12x3-32x，因此当f(x)=32x2-320时，有x-1或x当f(x)=32x2-320时，有-1因此函数f(x)=12x3-32x在(-，-1)和(1，+)上是增函数，在(-1,1)上是减函数.因此当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时，函数取得极小值f (1)=-1.【点拨】求函数的极值应先求导数.关于多项式函数f(x)来讲，f(x)在点x=x0处取极值的必要条件是f(x)=0.然而，当x0满足f(x0)=0时，f(x)在点x=x0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.同时假如f(x)在x0两侧满足左正右负，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值;假如f(x)在x0两侧满足左负右正，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.【变式训练2】定义在R上的函数y=f(x)，满足f(3-x)=f(x)，(x-32)f(x) 0，若x13，则有()A. f(x1)f(x2)C. f(x1)=f(x2)D.不确定【解析】由f(3-x)=f(x)可得f[3-(x+32)]=f(x+32)，即f(32-x)=f(x+32)，因此函数f(x)的图象关于x=32对称.又因为(x-32)f(x)0，因此当x32时，函数f (x)单调递减，当x32时，函数f(x)单调递增.当x1+x22=32时，f(x1)=f(x2)，因为x1+x23，因此x1+x2232，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，因此f(x1)f(x2).故选B.题型三求函数的最值【例3】求函数f(x)=ln(1+x)-14x2在区间[0,2]上的最大值和最小值.【解析】f(x)=11+x-12x，令11+x-12x=0，化简为x2+x-2=0，解得x1=-2或x2=1，其中x1=-2舍去.又由f(x)=11+x-12x0，且x[0,2]，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理，得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，因此f(1)=ln 2-14为函数f(x)的极大值.又因为f(0)=0，f(2)=ln 3-10，f(1)f(2)，因此，f(0)=0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)=ln 2-14为函数f(x)在[0,2]上的最大值.【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，第一需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值.【变式训练3】(2021江苏)f(x)=ax3-3x+1对x[-1,1]总有f(x)0成立，则a= .【解析】若x=0，则不管a为何值，f(x)0恒成立.当x(0,1]时，f(x)0能够化为a3x2-1x3，设g(x)=3x2-1x3，则g(x)=3(1-2x)x4，x(0，12)时，g(x)0，x(12，1]时，g(x)0.因此g(x)max=g(12)=4，因此a4.当x[-1,0)时，f(x)0能够化为a3x2-1x3，现在g(x)=3(1-2x)x40，g(x)min=g(-1)=4，因此a4.综上可知，a=4.总结提高1.求函数单调区间的步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域D;(2)求导数f(3)依照f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递增区间;依照f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递减区间.2.求函数极值的步骤是：(1)求导数f(2)求方程f(x)=0的根;(3)判定f(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在那个根处取极大值依旧取极小值.3.求函数最值的步骤是：先求f(x)在(a，b)内的极值;再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3.3 导数的应用(二)典例精析题型一利用导数证明不等式【例1】已知函数f(x)=12x2+ln x.(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的值域;(2)求证：x1时，f(x)23x3.【解析】(1)由已知f(x)=x+1x，当x[1，e]时，f(x)0，因此f(x)在[1，e]上为增函数.故f(x)max=f(e)=e22+1，f(x)min=f(1)=12，因而f(x)在区间[1，e]上的值域为[12，e22+1].(2)证明：令F(x)=f(x)-23x3=-23x3+12x2+ln x，则F(x)=x+1x-2x2=(1-x) (1+x+2x2)x，因为x1，因此F(x)0，故F(x)在(1，+)上为减函数.又F(1)=-160，故x1时，F(x)0恒成立，即f(x)23x3.【点拨】有关超越性不等式的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.【变式训练1】已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()A.f(x)0，g(x)0B.f(x)0，g(x)0C.f(x)0，g(x)0D.f(x)0，g(x)0【解析】选B.题型二优化问题【例2】(2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x) x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小?【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n+1)x=m，即n=mx-1.因此y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256(mx-1)+mx(2+x)x=256mx+mx+2m-256.(2)由(1)知f(x)=-256mx2+12mx =m2x2(x -512).令f(x)=0，得x =512.因此x=64.当00，f(x)在区间(64,640)内为增函数.因此f(x)在x=64处取得最小值.现在n=mx-1=64064-1=9.故需新建9个桥墩才能使y最小.【变式训练2】(2021上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则由已知可得4(4r+2h)=9.6，因此2r+h=1.2.S=2.4r2，h=1.2-2r0，因此r0.6.因此S=2.4r2(0令f(r)=2.4r2，则f(r)=2 .4r.令f(r)=0得r=0.4.因此当00;当0.4因此r=0.4时S最大，Smax=1.51.题型三导数与函数零点问题【例3】设函数f(x)=13x3-mx2+(m2-4)x，xR.(1)当m=3时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程;(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，，，且.若对任意的x[，]，都有f(x)f(1)恒成立，求实数m的取值范畴.【解析】(1)当m=3时，f(x)=13x3-3x2+5x，f(x)=x2-6x+5.因为f(2)=23，f(2)=-3，因此切点坐标为(2，23)，切线的斜率为-3，则所求的切线方程为y-23=-3(x-2)，即9x+3y-20=0.(2)f(x)=x2-2mx+(m2-4).令f(x)=0，得x=m-2或x=m+2.当x(-，m-2)时，f(x)0，f(x)在(-，m-2)上是增函数;当x(m-2，m+2)时，f(x)0，f(x)在(m-2，m+2)上是减函数;当x(m+2，+)时，f(x)0，f(x)在(m+2，+)上是增函数.因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，，，且f(x)=13x[x2-3mx+3(m2-4)]，因此解得m(-4，-2)(-2,2)(2,4).当m(-4，-2)时，m-2因此现在f()=0，f(1)f(0)=0，与题意不合，故舍去.当m(-2,2)时，m-20因此因为对任意的x[，]，都有f(x)f(1)恒成立，因此1.因此f(1)为函数f(x)在[，]上的最小值.因为当x=m+2时，函数f(x)在[，]上取最小值，因此m+2=1，即m=-1.当m(2,4)时，0因此0因为对任意的x[，]，都有f(x)f(1)恒成立，因此1.因此f(1)为函数f(x)在[，]上的最小值.因为当x=m+2时，函数f(x)在[，]上取最小值，因此m+2=1，即m=-1(舍去).综上可知，m的取值范畴是{-1}.【变式训练3】已知f(x)=ax2(aR)，g(x)=2ln x.(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;(2)若方程f(x)=g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范畴.【解析】(1)当a0时，F(x)的递增区间为(1a，+)，递减区间为(0，1a);当a0时，F(x)的递减区间为(0，+).(2)[12ln 2，1e).总结提高在应用导数处理方程、不等式有关问题时，第一应熟练地将方程、不等式问题直截了当转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.3.4 定积分与微积分差不多定理典例精析题型一求常见函数的定积分【例1】运算下列定积分的值.(1) (x-1)5dx;(2) (x+sin x)dx.【解析】(1)因为[16(x-1)6]=(x-1)5，因此(x-1)5dx= =16.(2)因为(x22-cos x)=x+sin x，因此(x+sin x)dx= =28+1.【点拨】(1)一样情形下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值;(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和;(3)关于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分;(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：①若f(x)是偶函数时，则f(x)dx=2 f(x)dx;②若f(x)是奇函数时，则f(x)dx=0.【变式训练1】求(3x3+4sin x)dx.【解析】(3x3+4sin x)dx表示直线x=-5，x=5，y=0和曲线y=3x3+4si n x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)=-(3x3+4sin x)=-f(x).因此f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是奇函数，因此(3x3+4sin x)dx=- (3x3+4sin x)dx，因此(3x3+4sin x)dx= (3x3+4sin x)dx+ (3x3+4sin x)dx=0.题型二利用定积分运算曲边梯形的面积【例2】求抛物线y2=2x与直线y=4-x所围成的平面图形的面积.【解析】方法一：如图，由得交点A(2,2)，B(8，-4)，则S= [2x-(-2x)]dx+ [4-x-(-2x)]dx=163+383=18.方法二：S= [(4-y)-y22]dy= =18.【点拨】依照图形的特点，选择不同的积分变量，可使运算简捷，在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x=(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.【变式训练2】设k 是一个正整数，(1+xk)k的展开式中x3的系数为1 16，则函数y=x2与y=kx-3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为.【解析】Tr+1=Crk(xk)r，令r=3，得x3的系数为C3k1k3=116，解得k =4.由得函数y=x2与y=4x-3的图象的交点的横坐标分别为1,3.因此阴影部分的面积为S= (4x-3-x2)dx=(2x2-3x- =43.题型三定积分在物理中的应用【例3】(1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)=1-t2，初始位置为x0 =1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置;(2)一物体按规律x=bt3作直线运动，式中x为时刻t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x=0运动到x=a时阻力所做的功.【解析】(1)当01时，v(t)0，当12时，v(t)0，因此前2秒内所走过的路程为s= v(t)dt+ (-v(t))dt= (1-t2)dt+ (t2-1)dt= + =2.2秒末所在的位置为x1=x0+ v(t)dt=1+ (1-t2)dt=13.因此它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1=13.(2) 物体的速度为v=(bt3)=3bt2.媒质阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4，其中k为比例常数，且k0.当x=0时，t=0;当x=a时，t=t1=(ab) ，又ds=vdt，故阻力所做的功为W阻= ds = kv2vdt=k v3dt= k (3bt 2)3dt=277kb3t71 = 277k3a7b2.【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)= a(t)dt，s(t)= v(t)dt和W= F(x)dx这三个公式.【变式训练3】定义F(x，y)=(1+x)y，x，y(0，+).令函数f(x)=F[1，log 2(x2-4x+9)]的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与线段OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.【解析】因为F(x，y)=(1+x)y，因此f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))= =x2-4x +9，故A(0,9)，又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n0)，f(x) =2x-4.因此解得B(3,6)，因此S= (x2-4x+9-2x)dx=(x33-3x2+9x) =9.总结提高1.定积分的运算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.?2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.?3.利用定积分求平面图形面积的步骤：?(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;?(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限;?(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;?死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
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个性化教学辅导教案
学科: 数学任课教师：老师授课时间：年月日(星期 )
是
问题3．求下列函数的导数：
()1()2
1sin y x =+； ()41
1
x x e y e +=-；
()
6ln x y e x =⋅
()7sin 1cos x
y x
=
+； ()8()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅
()
932x x x y e e =⋅-+ ()10()
()33421y x x x =-⋅-
8.利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值及定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值及最小值的步骤如下：()1求)(x f 在(,)a b 内的极值；
()2将)(x f 的各极值及)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值p
9.求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法.
10.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体
为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.
11.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调
性为主线，最(极值）为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.
（二）典例分析：
问题1．()1函数)(x f y =在定义域)3,2
3(-内可导，其图象如图所示，记)(x f y =的导函数为)(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为
.A [)3,2]1,31
[ -
.B ]38,34[]21,1[ -
.C [)2,1]2
1
,23[ -
.D ⎪⎫⎢⎡⎥⎤ ⎛--3,8]4,1[1,3
()2,+∞ ()2,+∞ ()0,2
．()1如果函数在区间()0,1上单调递增，并且方程的根都在区间[-的取值范围为
2.若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，且常数,a b
满足a b >，则下列不等式一定成立的是
.A ()()af a bf b > .B ()()af b bf a > .C ()()af a bf b < .D ()()af b bf a <
3.求满足条件的a 的范围：
()1使ax x y +=sin 为R 上增函数，则a 的范围是 ()2使a ax x y ++=3为R 上增函数，则a 的范围是 ()3使5)(23-+-=x x ax x f 为R 上增函数，则a 的范围是
4.证明方程330x x c -+=在[]0,1上至多有一实根.
5.如果()f x '是二次函数, 且()f x '的图象开口向上,顶点坐标为(1,3)-, 那
么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是
.A 2(0,
]3π .B 2[0,)[,)23πππ .C 2[0,][,)23
ππ
π .D 2[,]23ππ
6.如图，是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图像，则2
2
21x x +等于
.
A 9
8 .B 910
.C 9
16
.
D 9
28 7.函数()f x 的定义域是开区间(),a b ,导函数()f x '在(),a b 内 的图象如图所示，则函数()f x 在开区间内有极小值点
.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个
x
y
a
b
()
'y f x =O
8.函数x bx ax x f 2)(23-+=的图象如图所示，
且021<+x x ，则有
.A 0,0>>b a .B 0,0><b a .C 0,0<<b a .D 0,0<>b a
9.已知：1x >，证明不等式：()ln 1x x >+
10.设x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个
单调区间
11.已知函数()2()ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值．()1求实数a 的值；
()2若关于x 的方程5
()2
f x x b =-+ 在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；()3证明：对任意的正整数n ，不等式211
ln
n n n n
++<都成立．。