高中数学导数及其应用电子教案
高二数学导数的应用教案
高二数学导数的应用教案
教学目标：
1. 理解导数的概念和性质；
2. 掌握导数的计算方法；
3. 熟练应用导数解决实际问题。
教学步骤：
一、导入（10分钟）
1. 引入导数的概念，与学生讨论导数的意义和应用；
2. 提出今天的学习目标：掌握导数的计算方法，并能够在实际问题中灵活应用。
二、理论讲解与示范（15分钟）
1. 介绍导数的定义：函数在某一点的切线斜率；
2. 解释导数的符号表示和计算方法，如使用极限的概念计算导数；
3. 给出一些导数计算的例题，并详细讲解解题思路和步骤。
三、练习与巩固（20分钟）
1. 给学生分发练习题，并要求他们独立完成；
2. 针对练习题中的难点和疑惑，进行答疑和解释；
3. 鼓励学生互相交流和讨论，加深对导数的理解和应用。
四、拓展应用（15分钟）
1. 引导学生思考导数在实际问题中的应用；
2. 分组讨论，找到不同领域中可以使用导数解决的问题，并汇报给全班；
3. 提出一些挑战性的导数应用问题，激发学生的思维和创造力。
五、综合评价（10分钟）
1. 进行简单的导数应用综合评价；
2. 针对学生的表现，给予及时的反馈和指导；
3. 总结本节课的重点内容和学习方法。
总结：
通过本节课的学习，学生应该对导数的概念和应用有了更深入的理解，能够熟练计算导数，并能够应用导数解决实际问题。
在后续的学习中，我们将进一步拓展导数的应用领域，并提高解题的灵活性和创造性。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、引言在高中数学课程中，导数是一个非常重要的概念。
本教案旨在介绍导数及其应用，帮助学生理解导数的概念和基本性质，并学习如何在实际问题中运用导数进行分析和计算。
二、导数的概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率，即函数值随自变量变化而变化的快慢程度。
2. 导数的几何意义：导数等于函数曲线在某一点切线的斜率。
3. 导数的符号表示：通常用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
三、导数的基本性质1. 常数的导数为0：若f(x) = a（a为常数），则f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 和差的导数：若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
4. 乘积的导数：若f(x) = u(x)v(x)，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
5. 商的导数：若f(x) = u(x)/v(x)，则f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] /v(x)^2。
四、导数的应用1. 切线和法线：导数可以用于求函数曲线在某一点的切线和法线方程。
2. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数的极值，并求出极值点和极值。
3. 函数图像的画法：导数可以提供函数图像的一些特征，如拐点、极值、单调性等。
4. 物理问题中的应用：导数可以帮助解决一些物理问题，如速度、加速度等。
五、教学活动1. 导数的计算练习：通过给出具体函数的表达式，让学生计算其导数。
2. 导数在几何中的应用：通过给出函数的图像，让学生判断函数的增减性、拐点、极值等。
3. 实际问题解析：将一些实际问题转化为数学模型，并运用导数进行分析和求解。
六、教学反思通过本教案的讲解和练习，学生应能掌握导数的概念和基本性质，具备运用导数进行实际问题分析和计算的能力。
高中数学导数应用问题教案
高中数学导数应用问题教案
主题：导数的应用问题
教学目标：
1.了解导数的定义及其应用；
2.掌握常见的导数应用问题求解方法；
3.能够运用导数解决实际问题。
教学重点：
1.导数的定义及性质；
2.导数在实际问题中的应用。
教学难点：
1.如何将实际问题转化为导数问题求解；
2.如何运用导数解决各类应用问题。
教学准备：
1.教师准备相关教学资料和案例；
2.学生准备笔记和计算工具。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师用一个实际问题引入导数的应用，引导学生思考导数在解决实际问题中的作用。
二、概念讲解（10分钟）
1.复习导数的定义及性质；
2.介绍导数在实际问题中的应用，如最速下降问题、最大最小问题等。
三、案例分析（15分钟）
教师以实际问题为例，分析导数应用问题的解题思路和方法，并带领学生一起解决一些简单的案例。
四、练习与讨论（15分钟）
1.学生进行导数应用问题的练习，教师提供帮助和指导；
2.学生分组讨论解题过程，分享解题方法和经验。
五、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调导数在实际问题中的应用重要性。
六、作业布置（5分钟）
布置相关的导数应用问题作业，希望学生能够独立完成并加强对应用问题的理解和掌握。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对导数的应用有了更深入的了解，同时也能够更加灵活地应用导数解决各类实际问题。
希望学生能够在课下多加练习，进一步提高解题能力和运用能力。
导数及其应用教案
课题：变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一、情景导入为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二、知识探究探究一：气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --探究二：高台跳水：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=； 在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(0049)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。
高中数学导数及其应用教案
高中数学导数及其应用教案教学目标：1. 理解导数的定义和性质，能够计算常见函数的导数。
2. 掌握导数在函数求极限、判定函数的增减性和凹凸性等方面的应用。
3. 能够解决实际问题中的优化和相关性问题。
教学内容：1. 导数的定义和性质2. 基本函数的导数3. 高阶导数4. 函数的导数应用：求极限、判定增减性和凹凸性5. 优化问题和相关性问题的求解教学流程：1. 导数的定义和基本性质的介绍（15分钟）- 导数的定义- 导数的性质：线性性、乘积法则、商法则、链式法则2. 基本函数的导数计算（20分钟）- 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数计算- 三角函数的导数计算3. 高阶导数和导数的应用（25分钟）- 高阶导数的定义和计算- 导数在函数的极限、增减性和凹凸性判定中的应用4. 优化问题和相关性问题的解决（20分钟）- 优化问题的定义和解决方法- 相关性问题的建模和解决方法教学方法：1. 讲解导数的定义和性质，引导学生理解概念并掌握基本计算方法。
2. 练习基本函数的导数计算，帮助学生巩固知识。
3. 引导学生理解高阶导数和导数在函数中的应用，培养学生应用知识解决问题的能力。
4. 练习优化问题和相关性问题，让学生通过实际问题感受导数在解决问题中的作用。
教学评估：1. 布置作业，巩固学生对导数的理解和应用能力。
2. 定期组织小测验，检验学生对导数相关知识的掌握程度。
3. 课堂中提问和讨论，评估学生对导数的理解程度。
教学资源：1. PowerPoint课件：导数的定义和基本性质、基本函数的导数计算、高阶导数和导数的应用、优化问题和相关性问题的解决。
2. 习题册：导数相关习题，巩固学生对导数的掌握。
教学反思与总结：教师在教学导数及其应用过程中，要注意引导学生理解概念、掌握计算方法，并注重培养学生的问题解决能力。
通过多种教学方法，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。
及时总结分析教学过程中出现的问题和不足，不断完善教学内容和方法，提升教学质量。
导数及其应用教案设计
导数及其应用教案设计一、教学目标1.理解导数的定义和概念；2.掌握导数的计算方法；3.了解导数的几何意义和物理意义；4.应用导数解决实际问题。
二、教学重点1.导数的定义和概念；2.导数的计算方法。
三、教学难点1.导数的几何意义和物理意义；2.导数在实际问题中的应用。
四、教学准备1.教学课件；2.教学工具：黑板、彩色笔；3.教学素材：与导数相关的题目和实例。
五、教学过程Step 1 引入导数的概念（10分钟）1.引入问题：小明从家里出发骑自行车到学校，经历了不同的路段，那么他在每个路段上的速度是多少呢？2.学生思考问题，并提出速度的定义。
3.介绍导数的概念：导数是研究函数变化率的工具，它描述了一个函数在其中一点附近的变化速率。
Step 2 导数的计算方法（20分钟）1. 导数的定义：设函数y=f(x)，当x在x0处有极限存在，那么函数f(x)在x0处的导数定义为：f'(x0)=lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)。
2.通过例题演示如何计算导数。
3.引入常见导数的计算法则，如幂函数、反函数、指数函数等。
Step 3 导数的几何意义和物理意义（15分钟）1.导数的几何意义：表示函数在其中一点处的切线斜率。
2.通过例题演示导数的几何意义。
3.导数的物理意义：表示物体运动的速度或速度的变化率。
4.通过例题演示导数的物理意义。
Step 4 导数在实际问题中的应用（25分钟）1.介绍导数在实际问题中的应用，如最大值最小值问题、函数的图像判断等。
2.通过例题演示导数在实际问题中的应用。
3.引入微分的概念，并介绍微分的定义和计算方法。
Step 5 拓展与巩固（20分钟）1.指导学生通过课堂练习和课后作业巩固所学知识。
2.引导学生从日常生活中发现和应用导数的问题。
六、教学反思通过引入问题、讲解定义、演示例题等方式，让学生逐步理解导数的概念和计算方法。
在讲解导数的几何意义和物理意义时，通过具体示例，帮助学生更好地理解和应用导数。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、导数的基本概念导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
在计算机科学、物理学、经济学等领域，导数都具有广泛的应用。
在微积分中，函数f(x)在点x=a处的导数可以表示为f'(a)，它描述了函数在该点附近的局部行为。
导数可以通过两种方式计算：几何定义和算术定义。
1. 几何定义：导数可以理解为函数图像在某点的斜率，表示为$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。
2. 算术定义：导数可以理解为函数在某点上的瞬时速度，表示为$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$。
二、导数的性质及计算方法导数具有以下几个重要的性质：1. 导数的可加性：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的和f(x)+g(x)也在该点上可导，且导数满足$(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$。
2. 导数的乘法规则：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的乘积f(x)g(x)也在该点上可导，且导数满足$(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$。
3. 导数的链式法则：若函数y=f(g(x))可以分解为两个函数f(u)和g(x)，且它们在某点上可导，那么复合函数y也在该点上可导，并且满足$\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{du}}\cdot \frac{{du}}{{dx}}$。
计算导数的方法主要有以下几种：1. 利用基本函数的导数公式进行求导。
2. 利用导数的性质，例如可加性、乘法规则和链式法则，对复杂函数进行求导。
3. 利用导数的几何定义，通过极限的方法进行求导。
三、导数的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，以下介绍几个常见的应用领域：1. 最优化问题：导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。
高中数学教案函数的导数与应用
高中数学教案函数的导数与应用高中数学教案：函数的导数与应用导数是数学中一个重要的概念，它在函数研究和应用问题中起着关键的作用。
本教案将介绍函数的导数的概念、求导法则以及导数在各种实际应用中的具体运用。
一、函数的导数的概念及求导法则1.1 函数的导数概念函数的导数描述了函数在某一点的变化率，可用以下定义来表达：对于函数f(x)，当自变量x在某点a处有极小的增量Δx时，相应的函数增量为Δf(x)。
如果当Δx趋近于0时，函数增量Δf(x)与Δx之比的极限存在，那么这个极限就是函数f(x)在点a处的导数。
导数用f'(a)或者dy/dx|_(x=a)表示。
1.2 常见函数的导数求法在实际应用中，我们常常需要对各种函数进行求导。
以下是一些常见函数的导数求法：1.2.1 常数函数的导数对于常数函数y = c，其中c为常数，其导数为0。
1.2.2 幂函数的导数对于幂函数y = x^n，其中n为常数，其导数为dy/dx = nx^(n-1)。
1.2.3 指数函数的导数对于指数函数y = a^x，其中a为底数（a>0且a≠1），其导数为dy/dx = a^x·ln(a)。
1.2.4 对数函数的导数对于对数函数y = logₐ(x)，其中a为底数（a>0且a≠1），其导数为dy/dx = 1/（x·ln(a)）。
1.2.5 三角函数的导数对于三角函数，常见的导数求法如下：- 正弦函数的导数：dy/dx = cos(x)- 余弦函数的导数：dy/dx = -sin(x)- 正切函数的导数：dy/dx = sec^2(x)- 余切函数的导数：dy/dx = -csc^2(x)二、导数在函数研究中的应用2.1 函数的单调性与极值导数可以帮助我们研究函数的单调性与极值。
当函数的导数为正时，函数递增；当函数的导数为负时，函数递减。
函数的极值出现在导数为0的点或者导数不存在的点上。
2.2 函数的凹凸性与拐点导数还可以帮助我们研究函数的凹凸性与拐点。
导数及其应用 教案
导数及其应用教案教案标题：导数及其应用教学目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握求函数导数的基本方法；3. 理解导数的几何意义和应用。
教学准备：1. 教材：包含导数概念和求导方法的教材；2. 教具：白板、彩色笔、计算器、投影仪等；3. 课件：包含导数概念、求导方法和应用实例的课件；4. 练习题：包含不同难度的求导练习题。
教学过程：Step 1：导入导数概念（15分钟）1. 利用课件和白板，引导学生回顾函数的变化率概念，并与导数进行对比；2. 解释导数的定义和符号表示，强调导数表示函数在某一点的变化率；3. 通过图示和实例，展示导数的几何意义。
Step 2：求导方法介绍（20分钟）1. 介绍求导的基本方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的求导法则；2. 利用课件和实例，演示不同类型函数的求导过程；3. 强调求导法则的应用和重要性。
Step 3：导数的应用（25分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、最优化问题等；2. 利用课件和实例，展示导数在实际问题中的具体应用过程；3. 引导学生思考导数在其他学科中的应用，如物理、经济等领域。
Step 4：练习与巩固（20分钟）1. 分发练习题，让学生在课堂上完成求导练习；2. 鼓励学生互相讨论和解答问题，提高求导能力；3. 收集学生的答案，进行讲评和指导。
Step 5：课堂总结（10分钟）1. 总结导数的概念、求导方法和应用；2. 强调导数在数学和其他学科中的重要性；3. 鼓励学生继续深入学习和应用导数知识。
教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的导数应用实践，如通过编程模拟物体运动、经济模型等；2. 提供更多的挑战性练习题，培养学生的分析和解决问题的能力；3. 拓展导数概念，引入高阶导数和导数的应用领域，如微分方程等。
教学评估：1. 课堂练习题的完成情况和答案准确性；2. 学生对导数概念、求导方法和应用的理解程度；3. 学生在实际问题中应用导数的能力和创造性。
高中数学选修系列2选修22《导数及其应用》教案
导数及其应用教学目标：理解导数的概念，导数的某些实际背景（如瞬时速度，光滑曲线的切线斜率等）熟记函数y=c,y=x n 的导数公式，并能灵活应用。
重点和难点：利用导数会求某些函数的单调区间，极值，最值问题教学过程：一基础训练1x x y 33-=在R 上的单间递减区间是2．x x y +=3在A 处的切线斜率4，则点A 的坐标为3,一物体的运动方程是s=t t 21+- 其中的s 单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（A ）7米/秒 （B ）6米/秒 （C ）5米/秒 （D ）8米/秒4.=）（x f ）（122+x 求=）（0/f ． 5，已知mx mx x x f ++=23）（在R 上的增函数，则实数m 的取值范围6，y=x x 3223-在区间[-1，2]上的最大值是（ ）（A ）5- （B ）0 （C ）1- （D ）4二例题例1 从长32cm 的矩形簿铁板的四角截去相等的正方形，做一个无盖的箱子，问截去的正方形边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？例2 已知曲线x y 515=上一点处的切线与x y -=3垂直，求此切线方程。
例3 抛物线x y 24-=与直线x y 3=的交点为A,B 。
点P 在抛物线的弧上的A 到B 运动，求使△PAB 的面积为最大值时， P 点的坐标P(a,b)三练习1．曲线x x y +=2在点A （1，2）处的切线斜率是 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．曲线x y 2=上一点A （2，4），则曲线在点A 处的切线斜率是，此切线的方程是。
3．一作直线运动的物体，它的运动方程是t t s 21++=，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，则该物体在时间t=a 时瞬时速度是4．曲线x x y 24-=上两点A （4，0），B （2，4），若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标是 （ ）（A ）（3，3） （B ）（1，3） （c ）（6，-12） （d ）（2，4）5．设函数5223++-=x x x x f ）（，若00/=）（x f ，则=x 0四作业1若函数d cx bx x y +++=23的单调递减区间是[-1，2]，则b=，c=。
高中数学第3章导数及其应用3.13.1.3导数的几何意义教师用书教案新人教A版选修1
3.1.3 导数的几何意义学习目标核心素养1．理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2．理解导函数的概念，会求简单函数的导函数．(重点)3．理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点) 1．通过学习导数的几何意义，培养学生数学抽象的素养.2．借助导数的几何意义解题，培养学生的数学运算素养.1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(1)(2)(3)(4)(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，则k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)．(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？[提示]不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝()A．4 B．－4C．－2 D．2D[由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D．]2．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．45°[设切线的倾斜角为α，则tan α＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.]3．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．x＋y－3＝0[切线的斜率为k＝－1.∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]导数的几何意义A BA．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1(1)B(2)A[(1)由导数的几何意义，f′(x A)，f′(x B)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．(2)由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －bΔx ＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A ．]1．本例(2)中主要涉及了两点：①f ′(0)＝1，②f (0)＝b . 2．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．3．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．[跟进训练]1．(1)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12C ．－12D ．－1(2)如图所示，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( )A ．－4B ．3C ．－2D ．1(1)A (2)D [(1)由题意可知，f ′(1)＝2. 又lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →a (1＋Δx )2－aΔx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a .故由2a ＝2得a ＝1.(2)直线l 的方程为x 4＋y4＝1，即x ＋y －4＝0.又由题意可知f (2)＝2，f ′(2)＝－1， ∴f (2)＋f ′(2)＝2－1＝1.]求切点坐标(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．[思路点拨] 先求出函数的导函数f ′(x )，再设切点(x 0，y 0)，由导数的几何意义知切点(x 0，y 0)处的切线的斜率为f ′(x 0)，然后根据题意列方程，解关于x 0的方程即可求出x 0，又点(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上，易得y 0.[解] 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94. (3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14.解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.[跟进训练]2．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0?[解]设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx，∴y′|x＝x0＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(4x0＋2Δx)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).求曲线的切线方程1．如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？提示：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．2．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？提示：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．【例3】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．[思路点拨](1)求y′|x＝1―→求切点―→点斜式方程求切线(2)设切点(x 0，y 0)―→求y ′|x ＝x 0―→由y ′|x ＝x 0＝y 0－1x 0－1求(x 0，y 0)―→写切线方程[解] (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．y ′|x ＝1＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →(1＋Δx )3－1Δx＝lim Δx →0[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3.∴k ＝y ′|x ＝1＝3.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)设切点为Q (x 0，y 0)，由(1)可知y ′|x ＝x 0＝3x 20，由题意可知k PQ ＝y ′|x ＝x 0，即y 0－1x 0－1＝3x 20，又y 0＝x 30，所以x 30－1x 0－1＝3x 20，即2x 20－x 0－1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12. ①当x 0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x －y －2＝0.②当x 0＝－12时，切点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－18，相应的切线方程为y ＋18＝34⎝⎛⎭⎫x ＋12，即3x －4y ＋1＝0.(变结论)本例第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，y ＝x 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8，从而求得公共点为P (1,1)或M (－2，－8)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．1．求曲线在某点处的切线方程的步骤2.求过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤(1)设切点(x0，y0)；(2)求f′(x0)，写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；(3)将点(x1，y1)代入切线方程，解出x0，y0及f′(x0)；(4)写出切线方程．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．1．判断正误(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线的斜率．()(2)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．()(3)f′(x0)(或y′|x＝x0)是函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．()(4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在B [由x ＋2y －3＝0知，斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.]3．曲线f (x )＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程为________．x ＋2y ＋4＝0 [f ′(－2)＝lim Δx →f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝lim Δx →02－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →1－2＋Δx ＝－12，∴切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.]4．已知直线y ＝4x ＋a 和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，求切点坐标及a 的值． [解] 设直线l 与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝lim Δx →(x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x .由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ， ∴a ＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5，因此切点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)，a 的值为12127或－5.。
高中导数及其应用教案
4.4,3212='∴='∴+==x y x y x y即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．设过点Q 的切线的切点为),(00y x T ，则切线的斜率为04x ，又2900--=x y k PQ ，故00204262x x x =--，3,1.06820020=∴=+-∴x x x 。
即切线QT 的斜率为4或12，从而过点Q 的切线为：1512,14-=-=x y x y★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1: 导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值 [例1] 设函数()f x 在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于A ．)('0x fB ．0'()f x -C ．0()f xD ．0()f x - 【解题思路】由定义直接计算 [解析]0000000()()[()]()limlim ()()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆.故选B【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式00()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点2.求曲线的切线方程[例2](高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= . 【解题思路】区分过曲线P 处的切线与过P 点的切线的不同，后者的P 点不一定在曲线上. 解析:观察图形,设(5,(5))P f ,过P 点的切线方程为(5)'(5)(5)y f f x -=-即'(5)(5)5'(5)y f x f f =+-它与8+-=x y 重合,比较系数知:'(5)1,(5)3f f =-= 故)5()5(f f '+=2【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导）cos x y e =）2tan ,y x x =+∴x'1(1)1x x =⋅+=+【名师指引】 注意复合函数的求导方法（分解2. (广东省2008届六校第二次联考)cos y x x =在3x π=处的导数值是.解析：'cos sin y x x x =-故填1326π-3. 已知直线2y －4=0与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，P 是抛物线的弧上求一点P ，当△面积最大时，P 点坐标为 .解析：为定值，△面积最大，只要P 到的距离最大，只要点P 是抛物线的平行于的切线的切点，设P （）.由图可知，点P 在x 轴下方的图象上∴－2x ,∴y ′=－x 1,∵－21,∴－211-=x∴4,代入y 2=4x (y <0)得－4. ∴P (4,－4)4.(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)已知()ln f x x =，217()22g x x mx =++（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．求直线l 的方程与m 的值；解：依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率1(1)11k f '===，所以直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩，得2(1)902m m ∆=--=⇒=-（4m =不合题意，舍去）； 5.(湛江市实验中学2009届高三第四次月考)已知函数)(),(),(21)(,ln )(2x g x f l a a x x g x x f 与函数直线为常数+==的图象都相切，且l 与函数)(x f 图象的切点的横坐标为1,求直线l 的方程与a 的值；解析：()'=f x'=f x ax()31a≥-3【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系()f x '=，()f x '∴=0)0=，f ∴【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于2(1)4y x =-++在[,2]a 上的最大值为154，1a ∴>-且在x a =时，215234y a a =--+=最大，解之12a =或32a =-（舍去），∴12a =选B.5．32()32f x x x =-+在区间[1,1]-上的最大值是A ．2-B ．0C ．2D ．4[解析]2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=可得0x =或2（2舍去），当10x -≤<时，()f x '0，当01x <≤时，()f x '0，所以当0x =时，f （x ）取得最大值为2.选C6．已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-.（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立. [解析]（1）由奇函数定义，有()(),f x f x x R -=-∈. 即33,0.ax cx d ax cx d d --+=---∴=因此，3(),f x ax cx =+ 2'()3.f x ax c =+由条件(1)2f =-为()f x 的极值，必有'(1)0,f =故 230a c a c +=-⎧⎨+=⎩,解得 1, 3.a c ==-因此3()3,f x x x =-2'()333(1)(1),f x x x x =-=+- '(1)'(1)0.f f -== 当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(,1)-∞-上是增函数. 当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，故()f x 在单调区间(1,1)-上是减函数. 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(1,)+∞上是增函数. 所以，()f x 在1x =-处取得极大值，极大值为(1) 2.f -= （2）由(1)知，3()3([1,1])f x x x x =-∈-是减函数，且()f x 在[1,1]-上的最大值为(1)2,M f =-=最小值为(1) 2.m f ==-所以，对任意12,(1,1),x x ∈-恒有12|()()|2(2) 4.f x f x M m -<-=--=[方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题12max min |()()|()()-≤-f x f x f x f x . ★ 抢 分 频 道 ★基础巩固训练1．（广东省六校2009届高三第二次联考试卷） 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 值内的图象如图所示，则函数)(x f 在),(b a 内有极小点共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个 解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A 2．、函数313y x x =+-有（ ）A. 极小值－1，极大值1B. 极小值－2，极大值3C. 极小值－2，极大值2D. 极小值－1，极大值3解析：2333(1)(1)y x x x '=-=-+，令0y '=得 1,1x x ==-当1x <-时，0y '>；当11x -<<时，0y '<；当1x >，0y '<∴ 1x =-时，1y =-极小，当1x =3y =极大，故选D.3．函数(x )－x ,在区间(0］上的最大值为A.1－eB.－1C.－eD.0解析：y ′=x1－1,令y ′=0,即1,在(0，e ］上列表如下：x (0,1) 1 (1) ey ′ + 0 －y增函数极大值－1减函数1－e由于f (e)=1－e,而－1＞1－e,从而y 最大(1)=－1.答案：B4．(广东深圳外国语学校2008—2009学年高三第二次月考)若1>a ，求函数)),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.[解析],121)(ax x x f +-='y=f '(x)bao yx图2图1即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元.10分解法二:由上面解法得到－6x 2+108378. 求导数,得y ′=－12108,令y ′=－12108=0,解得9.因9∈［1,10］只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.题型2:几何模型的最优化问题【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.例3. (07上海春季高考)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为4.0米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边和上， △CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH .(1) 求证：四边形EFGH 是正方形；费用最(2) F E 、在什么位置时，定制这批地砖所需的材料省？【解题思路】图2是由四块图1所示地砖绕点C 按顺时针旋转90后得到，△CFE 为等腰直角三角形， ∴ 四边形EFGH 是正方形. [解析] (2) 设x CE =，则x BE -=4.0，每块地砖的费用为W ，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a 、2a 、a (元)， a x x a x a x W ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯--+⨯-⨯⨯+⋅=)4.0(4.0212116.02)4.0(4.02132122 ()24.02.02+-=x x a[]4.00,23.0)1.0(2<<+-=x x a .由0>a ，当1.0=x 时，W 有最小值，即总费用为最省.答：当1.0==CF CE 米时，总费用最省.【名师指引】 处理较复杂的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨. 题型3:三角模型的最优化问题例4. 若电灯B 可在桌面上一点O 的垂线上移动，桌面上有与点O 距离为a 的另一点A ，问电灯与点0的距离怎样，可使点A 处有最大的照度？（,,r BA BAO ==∠ϕ照度与ϕsin 成正比，与2r 成反比）2r 成反比，【解题思路】如图，由光学知识，照度y 与ϕsin 成正比，与即2sin rCy ϕ=（C 是与灯光强度有关的常数）要想点A 处有最大的照度，只需求y 的极值就可以了. 解析：设O 到B 的距离为x ，则rx=ϕsin ，22a x r += 于是)0()(sin 232232∞<≤+===x a x xCrxC r C y ϕ，0)(2252222=+-='a x x a Cy .当0='y 时，即方程0222=-x a 的根为21a x -=（舍）与22a x =，在我们讨论的半闭区间[)+∞,0内，所以函数)(x f y =在点2a 取极大值，也是最大值。
导数专题及其应用教案
导数专题及其应用教案教案标题：导数专题及其应用教案教案目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 熟悉导数在实际问题中的应用。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 导数在函数图像、极值和曲线的切线方程中的应用。
教学难点：1. 理解导数的概念和意义；2. 运用导数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、计算工具；2. 学生准备：教材、笔记、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，提问学生对导数的理解；2. 通过一个简单的例子，引导学生思考导数的意义。
二、导数的定义和计算方法（15分钟）1. 介绍导数的定义和符号表示；2. 讲解导数的计算方法，包括用极限定义导数和使用导数公式计算导数；3. 通过示例演示导数的计算过程。
三、导数在函数图像中的应用（15分钟）1. 讲解导数与函数图像的关系，包括导数与函数的增减性、极值和拐点；2. 指导学生根据导数的正负判断函数的增减性，并绘制函数图像；3. 引导学生通过导数的零点判断函数的极值和拐点，并绘制函数图像。
四、导数在曲线的切线方程中的应用（15分钟）1. 引入导数与曲线的切线方程的关系；2. 讲解切线方程的一般形式和求解步骤；3. 指导学生根据导数和给定点求解曲线的切线方程，并进行实际问题的应用练习。
五、导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用领域，如物理、经济等；2. 提供一些实际问题，引导学生运用导数解决问题；3. 学生个别或小组完成导数应用问题的解答和讨论。
六、总结（5分钟）1. 简要回顾导数的概念和计算方法；2. 强调导数在实际问题中的应用；3. 鼓励学生继续深入学习导数的相关知识。
教学延伸：1. 提供更多的导数计算练习题，巩固学生的计算能力；2. 引导学生在实际生活中寻找更多导数的应用案例，并进行讨论和分享。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现；2. 学生完成课后作业，包括导数计算和应用题目；3. 学生进行小组或个人报告，展示导数在实际问题中的应用案例。
导数及其应用全章教学案
课题：3.1.1平均变化率学习目标1、知识目标：通过实例直观感知、构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解平均变化率的实际意义和数学意义.2、能力目标：由平均变化率的实际意义到数学意义，体现实际问题数学化的过程，并渗透“以直代曲”、“数形结合”的思想方法，培养学生分析问题、解决问题的能力.3、情感目标：经历运用数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，感受数学产生和发展的规律，培养学生勇于探索、创新的个性品质.重点：平均变化率概念的建构和平均变化率的实际意义.难点：平均变化率的实际意义和数学意义的互相转化.学习过程、问一题情境1．在经营高邮双黄蛋的生意中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，谁的经2．观察：高邮市3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化曲线图问题1：观察图象，AB段与BC段气温的变化有什么特点？问题2：如何量化曲线的陡峭程度呢？二、学生活动围绕“如何量化曲线的陡峭程度”这一问题展开活动：1．讨论仅仅yC -yB的大小能否量化BC段陡峭程度，为什么？2．讨论用c bc by yx x--刻画曲线陡峭程度的合理性．三、建构数学1．通过讨论，给出平均变化率的定义：一般地，给出函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为2121()()f x f xx x--．2．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0.5与气温[32,34]上的变化率7.4，感知曲线陡峭程度的量化．3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构．四、数学应用1、例题分析例1 在经营高邮双黄蛋的生意中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，谁的经营成果好？变：在经营高邮双黄蛋的生意中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，谁的经营成果好？小结：解释经营成果的数学意义，说明仅考虑一个变量的变化是不形的．0.1()5tV t e-=⨯（单位：3cm），计算第一个10s内V的平均变化率．函数f（x）=2x+1，g（x）=-2x，分别计算在区间[-3，-1]，[]5,0上f（x）及g（x）的平均变化率．思考：一次函数y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？例4 已知函数2()f x x=，分别计算()f x在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]．2、练习：教材P59练习1、3五、回顾小结1．平均变化率一般的，函数()f x在区间[x1，x2]上的平均变化率为2121()()f x f xx x--．2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗略的刻画，有待进一步精确化，随之而来的便是新的数学模型的建立．例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积六、作业：Ｐ59练习2、4 课题：3.1.2瞬时变化率——导数(1)学习目标：1、知识与技能：理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念；会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度；理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力．2、过程与方法：掌握在一点处的导数的定义及其几何意义．3、情感态度与价值观：培养学生研究探索问题的能力，共同协作的精神，培养学生转化问题的能力及数形结合思想．学习重点：“以直带曲”的思想方法学习难点：“以直带曲”的思想方法的产生一、问题提出：1、什么叫做平均变化率；2、“曲线上两点的连线（割线）的斜率”与“函数f(x)在区间[xA，xB]上的平均变化率”有怎样的关系？3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？二、学生活动：下面我们来看一个动画．观察这个动画，在点P沿曲线向点Q运动时，随着点P 无限逼近点Q，观察割线PQ的斜率的变化趋势与曲线在点Q处的切线的斜率的关系．三、建构数学：1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x1，f(x1))，Q(x，f(x))，则割线PQ的斜率为11)()(xxxfxfkPQ--=，设x1－x=△x，则x1=△x＋x，∴xxfxxfkPQ∆-∆+=)()(当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，xxfxxfkPQ∆-∆+=)()(0无限趋近点Q处切线斜率．2、曲线上任一点(x，f(x))切线斜率的求法：xxfxxfk∆-∆+=)()(0，当△x无限趋近于0时，k值即为(x，f(x))处切线的斜率．3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2)位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00(3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度(4)求瞬时速度的步骤：①先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆②求平均速度tsv ∆∆=③求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，ts∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度(5)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00(6)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，tt v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 四、数学应用1、例题分析：例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率．变式:1.求21()f x x =过点(1,1)的切线方程2.曲线y=x 3在点P 处切线斜率为k,当k=3时,求P 点的坐标． 3.已知曲线()f x =P(0,0)的切线斜率是否存在?例2.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么当t ∆无限趋近于0零时，ts∆∆无限趋近于(1)从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； (2)在t 时刻时该物体的瞬时速度； (3)当时间为t ∆时物体的速度； (4)从时间t 到t t +∆时物体的平均速度例 3 设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t s 时的速度为3)(2+=t t v ．求0t t =s 时轿车的加速度．变式：自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=221gt(1)求t=t 0s 时的瞬时速度 (2)求t=3s 时的瞬时速度 (3)求t=3s 时的瞬时加速度2、练习：P62练习、P64练习五、课堂小结：1、当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P的切线l ，从而割线的斜率逼近切线的斜率，即当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f ∆-∆+)()(无限趋近于点P ))(,(x f x 处的切线的斜率．2、当t ∆无限趋近于0时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于物体在0t 时刻的速度；当t ∆无限趋近于0时，tt v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于物体在0t 时刻的加速度．课题：3.1.2瞬时变化率——导数(2)学习目标：1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义；2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力；3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美；学习重点：导数的概念的建立；学习难点：导数的概念． 学习过程： 一、创设情景1、平均变化率2、探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二、学生活动：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？三、建构数学1、导数的概念从函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，),(0b a x ∈，当x ∆无限趋近于0时，比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00 无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在0x x =处可导，并称常数A 为函数)(x f 在点0x x =处的导数，记作)('0x f ．0000()()lim lim x x f x x f x f x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 2、导数的几何意义3、导函数的概念4、导数的物理意义四、数学应用 1、例题分析：例1．(1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．变式：已知函数23)(2+=x x f ，(1)求函数)(x f 在2=x 处的导数；(2)求函数)(x f 在a x =处的导数.例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．2、课堂练习:P66练习 五．回顾总结1、导数的概念；导数的几何意义与物理意义；2、导函数的概念．六．布置作业：P67习题4、81．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为 ．2．曲线221y x =+在点(1,3)的切线斜率为 ，切线方程为3．当h 无限趋近于0时， 22(3)3h h +-无限趋近于，无限趋近4(4,6)处的切线的方程为5．函数2y x =的图像在点39(,)416P 处切线的斜率是多少？写出该切线的方程．6．曲线2yx =的一条切线的斜率是4-，求切点的坐标．7．已知y ，求''1,x y y =8．求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.9．求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.10．求曲线y =f (x )=x 3在点(1,1)处的切线；11．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．12．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．课题：3.2.1常见函数的导数学习目标：1)知识与技能目标：能根据导数的定义求几个简单函数的导数；加深对导数概念的理解；掌握初等函数的求导公式；2)过程与方法目标: 体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学的一般方法； 体会算法的思想，熟悉具体的操作步骤；3)情感与价值观:让学生再现知识的发生过程，发展学生的思维能力。
导数及其应用教案
导数及其应用教案导数及其应用教案一、教学目标：1. 了解导数的定义和性质；2. 掌握导数的计算方法；3. 了解导数的应用领域及其作用。
二、教学内容：1. 导数的定义和性质；2. 导数的计算方法；3. 导数在函数图像研究中的应用；4. 导数在物理、经济等领域的应用。
三、教学过程：1. 导入导数的概念，引出导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
给出导数的定义：若函数在点a处的导数存在，则称函数在点a处可导，记为f'(a)。
2. 介绍导数的计算方法：a. 用导数定义法计算：根据导数的定义，利用极限运算求出导数；b. 用基本导数公式计算：介绍常见函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等；c. 用导数运算法则计算：介绍导数的四则运算法则，包括常数倍、和差、积、商。
3. 导数在函数图像研究中的应用：a. 求函数的增减区间：根据函数的导数求出函数的增减性和极值点；b. 求函数的凹凸区间和拐点：根据函数的导数求出函数的凹凸性和拐点。
4. 导数在物理、经济等领域的应用：a. 导数表示速度和加速度：介绍物理学中速度和加速度的概念，并利用导数计算速度和加速度；b. 导数表示边际效应和弹性：介绍经济学中边际效应和弹性的概念，并利用导数计算边际效应和弹性。
5. 总结导数的应用：导数在数学、物理、经济等领域中都有广泛的应用，帮助我们研究函数的性质、分析物体的运动和评估经济的效益等。
四、教学方法：1. 讲授导数的定义和性质，引导学生思考导数的计算方法；2. 结合例题和实际问题，让学生动手计算导数和应用导数；3. 培养学生的分析和解决问题的能力，引导学生思考导数的实际应用。
五、教学评价：1. 练习题：布置一些导数计算和应用题目，要求学生独立完成；2. 口头回答问题：提问学生导数的定义和应用，检查学生对导数的理解程度；3. 个案分析：根据学生的学习情况，进行个别辅导和评价。
六、板书设计：导数的概念：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
高中数学-导数及其应用教案
个性化教学辅导教案设函数 在点 处可导, 求对于 上可导的任意函数 , 若满足 ≥ , 则必有.A (0)(2)f f +()21f < .B (0)(2)f f +≤()21f.C (0)(2)f f +≥()21f .D (0)(2)f f +()21f >设函数 , 在 上均可导, 且 , 则当 时, 有.A ()()f x g x > .B ()()f x g x <.C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+问题2. 的导函数 的图象如图所示, 则 的图象最有可能的是问题3. 求下列函数的导数:()1()21sin y x =+； ()411x x e y e +=-；.A [)3,2]1,31[ - .B ]38,34[]21,1[ - .C [)2,1]21,23[ -.D ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--3,38]34,21[1,23设 均是定义在 上的奇函数, 当 时, , 且 , 则不等式 的解集是.A ()()2,02,-+∞ .B ()2,2- .C ()(),22,-∞-+∞ .D ()(),20,2-∞-问题2. 如果函数 在区间 上单调递增, 并且方程 的根都在区间 内, 则 的取值范围为已知 , 那么在区间 上单调递增 在 上单调递增.C 在()1,1-上单调递增 .D 在()1,2上单调递增函数 ,（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于 的方程 有 个不同实根, 求实数 的取值范围.（Ⅲ）已知当 时, ≥ 恒成立, 求实数 的取值范围.2[,)3ππ2[,)3ππ的大致图像, 则 等于.910。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学导数及其应用一、知识网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用；3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点（一）导数1、导数的概念（1）导数的定义（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。
如果时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作，即。
（Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即。
认知：（Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。
（Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲：①求函数的增量；②求平均变化率；③求极限上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。
（2）导数的几何意义：函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。
（3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续；若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。
事实上，若函数在点处可导，则有此时，记 ,则有即在点处连续。
（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。
反例：在点处连续，但在点处无导数。
事实上，在点处的增量当时，，；当时，，由此可知，不存在，故在点处不可导。
2、求导公式与求导运算法则（1）基本函数的导数（求导公式）公式1 常数的导数：（c为常数），即常数的导数等于0。
公式2 幂函数的导数：。
公式3 正弦函数的导数：。
公式4 余弦函数的导数：公式5 对数函数的导数：（Ⅰ）；（Ⅱ）公式6 指数函数的导数：（Ⅰ）；（Ⅱ）。
（2）可导函数四则运算的求导法则设为可导函数，则有法则1 ；法则2 ；法则3 。
3、复合函数的导数（1）复合函数的求导法则设，复合成以x为自变量的函数，则复合函数对自变量x的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量u对自变量x的导数，即。
引申：设，复合成函数，则有（2）认知（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出，由第一层中间变量的函数结构设出，由第二层中间变量的函数结构设出，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数为止。
于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：；（Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。
二、导数的应用1、函数的单调性（1）导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内可导，则若为增函数；若为减函数；若在某个区间内恒有，则在这一区间上为常函数。
（2）利用导数求函数单调性的步骤（Ⅰ）确定函数的定义域；（Ⅱ）求导数；（Ⅲ）令，解出相应的x的范围当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数。
（3）强调与认知（Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。
若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x 的取值范围为B，则应用；（Ⅱ）在某一区间内（或）是函数在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。
因此方程的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。
举例：（1）是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时，。
（2）在点x=0处连续，点x=0处不可导，但在（-∞，0）内递减，在（0，+∞）内递增。
2、函数的极值（1）函数的极值的定义设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极小值，记作。
极大值与极小值统称极值认知：由函数的极值定义可知：（Ⅰ）函数的极值点是区间内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；（Ⅲ）当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点，极小值点交替出现。
（2）函数的极值的判定设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是（Ⅰ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极大值；（Ⅱ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极小值；注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数的导数研究中悟出这一点。
（3）探求函数极值的步骤：（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）求方程的实根及不存在的点；考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则在这一点取得极大值，若左负右正，则在这一点取得极小值。
3、函数的最大值与最小值（1）定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值。
认知：（Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。
（Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。
（Ⅲ）若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。
（2）探求步骤：设函数在上连续，在内可导，则探求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（ I ）求在内的极值；（ II ）求在定义区间端点处的函数值，；（ III ）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。
引申：若函数在上连续，则的极值或最值也可能在不可导的点处取得。
对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：（ I ）求出的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；（ II ）计算并比较在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小值。
（3）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；（ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点满足，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。
四、经典例题例1、设函数在点处可导，且，试求（1）；（2）；（3）；（4）（为常数）。
解：注意到当）（1）；（2）=A+A=2A（3）令，则当时，∴（4）点评：注意的本质，在这一定义中，自变量x在处的增量的形式是多种多样的，但是，不论选择哪一种形式，相应的也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。
若自变量x在处的增量为，则相应的，于是有；若令，则又有例2、（1）已知，求；（2）已知，求解：（1）令，则，且当时，。
注意到这里∴（2）∵∴①注意到，∴由已知得②∴由①、②得例3、求下列函数的导数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解：（1）（2），∴（3），∴（4），∴（5），∴（6）∴当时，；∴当时，∴即。
点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。
例4、在曲线C：上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线C关于该点对称。
解：（1）∴当时，取得最小值-13又当时，∴斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；（2）证明：设为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为且有①∴将代入的解析式得，∴点坐标为方程的解∴注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。
例5、已知曲线，其中，且均为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。
证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，设上述两曲线的公共点为，则有，，∴，∴，∴，∴于是，对于有；①对于，有②∴由①得，由②得∴，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，∴两曲线在公共点处的切线重合∴两曲线在公共点处相切。
例6、（1）是否存在这样的k值，使函数在区间（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，若存在，求出这样的k值；（2）若恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间。
解：（1）由题意，当时，当x∈(2,+∞) 时，∴由函数的连续性可知，即整理得解得或验证：（Ⅰ）当时，∴若，则；若，则，符合题意；（Ⅱ）当时，，显然不合题意。
于是综上可知，存在使在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增。
（2）若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；若，则并且当时，；当时，∴综合可知，当时，恰有三个单调区间：减区间；增区间点评：对于（1），由已知条件得，并由此获得k的可能取值，进而再利用已知条件对所得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。
例7、已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.（1）求常数的值；（2）求的极值。
解：（1），令得方程∵在处取得极值∴或为上述方程的根，故有∴，即①∴又∵仅当时取得极值，∴方程的根只有或，∴方程无实根，∴即而当时，恒成立，∴的正负情况只取决于的取值情况当x 变化时，与的变化情况如下表：(1，+∞)1+ 0 —0 +极大值极小值∴在处取得极大值，在处取得极小值。
由题意得整理得②于是将①，②联立，解得（2）由（1）知，点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与的关系，立足研究的根的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数”与“在处取得极值”的必要关系。
例8、（1）已知的最大值为3，最小值为-29，求的值；（2）设，函数的最大值为1，最小值为，求常数的值。