最新人教版高中数学必修5第三章《简单线性规划》示范教案

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高二数学人教A版必修5教学教案3-3-2简单的线性规划问题(7)

《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容解析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策。

本节的教学重点是线性规划问题的图解法。

数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法，本节课重点体现了这一数学思想，将目标函数与直线的截距、斜率、两点距离联系起来，这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻，为以后解析几何的学习和研究奠定了基础，使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。

二、教学目标设置（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义，利用数形结合及化归的数学方法，理解并掌握非线性目标函数及非线性约束条件下目标函数的最值求法；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力；（3）情态、态度与价值观：激发学生动手操作、勇于探索的精神，培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力，体会数学活动充满着探索与创造。

三、教学重点难点教学重点：求非线性目标函数的最值；教学难点：能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题；四、学情分析本节课学生在学习了简单线性规划问题的基础上，会画出平面区域，并且会计算简单线性目标函数的最值。

从数学知识上看，学生在此基础上还学习过直线的斜率，两点距离问题，直线与圆的位置关系，具备本节课所需知识要素。

从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。

五、教学方法本课以例题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。

注重引导帮助学生充分体验“从具体到一般”的抽象过程。

应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。

六、教学过程。

高中数学必修五《简单的线性规划问题》优秀教学设计

§3.3.2 简单的线性规划问题（第一课时）【学习目标】1. 复习掌握二元一次不等式（组）表示的平面区域；2. 了解线性规划的意义以及线性的约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解的概念；3. 了解线性规划问题的图解法，掌握图解法求线性目标函数的最大值、最小值。

【重点和难点】重点、难点：掌握图解法求线性目标函数的最大值、最小值。

【课堂教学】（一）复习：二元一次不等式（组）与平面区域1. 满足二元一次不等式（组）的解()y x ,可以看成直角坐标平面内点的坐标。

于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合。

2. 平面区域：二元一次不等式表示平面区域的判定方法是：以线定界（包括边界，画实线；不包括边界，画虚线），以点定域（以0>++C By Ax 为例）：（1）画边界：即画出直线0=++C By Ax 。

（2）定区域：在直线0=++C By Ax 的一侧取一个特殊点()00,y x 作为测试点代入式子C By Ax ++，由C By Ax ++00的符号判定0>++C By Ax 表示的是直线0=++C By Ax 哪一侧的平面区域，当0≠C ，常选取()0,0作为测试点；当0=C ，常选取()0,1或()1,0作为测试点。

（3）求交集（公共部分）：二元一次不等式组表示的平面区域是各不等式表示的平面区域的公共部分。

【温故而知新】1. 在平面直角坐标系中，若点()t A ,2-在直线042=+-y x 的上方，则t 的取值范围是___________。

2. 点()2,1与点()4,3-在直线0=++a y x 的两侧，则实数a 的取值范围是____________。

3. 画出不等式（组）⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域，并求其面积。

（二）简单的线性规划问题1. 线性规划问题中的基本概念：线性约束条件、目标函数、线性目标函数、可行解、可行域、最优解。

人教高中数学必修五《3.3.2简单的线性规划问题》教案-教育文档

课题名称：简单的线性规划问题 (教案)
三维教学目标
知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；
②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。

过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；
③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。

情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。

教学重点及应对策略
1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；
教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。

教学过程设计。

高中数学5.示范教案(3.3.2 简单线性规划问题)新人教版必修5

3.3.2简单线性规划问题从容说课本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固.“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力.依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次.本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.课时安排3课时三维目标一、知识与技能1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.二、过程与方法1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.三、情感态度与价值观1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学过程第1课时导入新课师前面我们学习了二元一次不等式A x+B y+C ＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下. （生回答）推进新课［合作探究］师在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.例如，某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，应如何列式？生由已知条件可得二元一次不等式组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x师如何将上述不等式组表示成平面上的区域？生（板演）师对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P （x,y ）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x 、y 才有意义.进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？生则z=2x+3y.师这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组并且为非负整数时，z 的最大值是多少？［教师精讲］师把z=2x+3y 变形为z x y 3132+-=,这是斜率为32-，在y 轴上的截距为31z 的直线.当z 变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.生当z 变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）师由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线z x y 3132+-=，这说明，截距z[]3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线z x y 3132+-=与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距3z 最大时，z 取最大值，因此，问题转化为当直线z x y 3132+-=与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距3z 最大. 由图可以看出，当直线z x y 3132+-=经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距3z 最大，最大值为314.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元. ［知识拓展］再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l 0:2x+y=0.然后，作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t ∈R （或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y ∈［3,12］.若设t=2x+y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求t 的最大值和最小值.分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC .作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t ∈R （或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y ∈［3,12］.(1)从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l 0：2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l:2x+y=t,t ∈R. 可知，当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x,y)满足2x+y ＞0,即t ＞0.而且，直线l 往右平移时，t 随之增大（引导学生一起观察此规律）.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点B （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点A （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.所以t m a x =2×5+2=12,t min =2×1+3=3.(2)(3) ［合作探究］师诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设t=0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.布置作业1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？分析：将已知数据列成下表：甲原料（吨）乙原料（吨）费用限额成本1 000 1 500 6 000 运费500 400 2 000 产品90 100 解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x 吨、y 吨，生产z 千克产品，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥,2000400500,600015001000,0,0y x y x y xz=90x+100y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：由⎩⎨⎧=+=+.2045,1232y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.720,712y x 令90x+100y=t ，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t ，当90x+100y=t 过点M （712,720）时，直线90x+100y=t 中的截距最大. 由此得出t 的值也最大，z m a x =90×712+100×720=440. 答：工厂每月生产440千克产品.2.某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？解：设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,93,82y x y x y x目标函数为z=2x+3y. 作出可行域：把直线l ：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=2x+3y 取得最大值.解方程⎩⎨⎧=+=+,93,82y x y x 得M 的坐标为（2，3）. 答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润.3.课本106页习题3.3A 组2.第2课时导入新课师前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.师同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;（2）设t=0，画出直线l 0;(3)观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解;(4)最后求得目标函数的最大值及最小值.推进新课师【例1】已知x 、y 满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,2502,3002y x y x y x 试求z=300x+900y 的最大值时的整点的坐标及相应的z 的最大值.师分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y 取最大值时的整点. 解：如图所示平面区域A O BC ，点A （0，125），点B （150，0），点C 的坐标由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,3200,3350y x 得C （3350,3200），令t=300x+900y，即,90031t x y +-=, 欲求z=300x+900y 的最大值，即转化为求截距t[]900的最大值，从而可求t 的最大值，因直线90031t x y +-=与直线x y 31-=平行，故作x y 31-=的平行线，当过点A （0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A 使z 取最大值，z m a x =300×0+900×125=112 500. 师【例2】求z=600x+300y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250， x≥0,y≥0的整数值.师分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.解：可行域如图所示.四边形A O BC ，易求点A （0，126），B （100，0）,由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25223003y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.5191,5369y x 得点C 的坐标为（5369,5191). 因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y 取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y ，可知当x=70,y=90时，z 取最大值为z m a x =600×70+300×900=69 000.师【例3】已知x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,12,22y x y x y x 求z=3x+y 的最小值.师分析：可先找出可行域，平行移动直线l 0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.解：不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合.可行域如右图所示.作直线l 0:3x+y=0，作一组与直线l 0平行的直线l:3x+y=t(t ∈R).∵x 、y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标. 由图可知：当直线l:3x+y=t 通过P （0，1）时，t 取到最小值1，即z min=1.师评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.师课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x ［教师精讲］师（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y解：不等式组表示的平面区域如右图所示：当x=0,y=0时，z=2x+y=0，点（0，0）在直线l 0:2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线l:2x+y=t,t ∈R.可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.所以z m a x =2×2-1=3.（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.从图示可知直线3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（89,817）的直线所对应的t 最大. 所以z min =3×(-2)+５×(-1)=-11,z m a x =3×89+5×817=14.［知识拓展］某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？师分析：将已知数据列成下表：消耗量产品资源甲产品（1 t ）乙产品(1 t) 资源限额（t ） A 种矿石（t ）10 4 300 B 种矿石(t)5 4 200 煤(t) 利润（元）4 9 360 600 1 000解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x目标函数为z=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l:600x+1 000y=0,即直线:3x+5y=0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x 得M 的坐标为x=29360≈12.4,y=291000≈34.4. 答：应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.（2）设t=0，画出直线l 0.（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.（4）最后求得目标函数的最大值及最小值. 以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义布置作业课本第105页习题3.3A 组3、4.第3课时导入新课师前面我们已经学习了用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤.这节课我们继续来看它们的实际应用问题. 推进新课师【例5】营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少克？师分析：将已知数据列成下表：食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kgA 0.105 0.07 0.14B 0.105 0.14 0.07若设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，如何列式？生由题设条件列出约束条件①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,y 0,x 0.06,0.07y 0.14x 0.06,0.14y 0.07x 0.075,0.105y 105x .0其目标函数z=28x+21y.二元一次不等式组①等价于②⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,6714,6147,577y x y x y x y x师作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完成，再与课本上的对照.生考虑z=28x+21y,将它变形为2834z x y +-=,这是斜率为34－、随z 变化的一族平行直线.28z 是直线在y 轴上的截距，当28z 取得最小值时，z 的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y 取得最小值.由图可见，当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M 时，截距z[]28最小，即z 最小. 解方程组⎩⎨⎧=+=+6714,577y x y x 得点M(71,74)，因此，当71=x ,74=y 时，z=28x+21y 取最小值，最小值为16.由此可知每天食用食物A 约143克，食物B 约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.师【例6】在上一节课本的例题（课本95页例3）中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元.那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？学段班级学生数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中 45 2 26/班 2/人高中 40 3 54/班 2/人师由前面内容知若设开设初中班x 个，高中班y 个，收取的学费总额为z 万元, 此时，目标函数z=0.16×45x+0.27×40y,可行域如下图把z=7.2x+10.8y 变形为54532z x y +-=，得到斜率为-32－，在y 轴上截距为545z ，随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线z=7.2x+10.8y 经过可行域上的点M 时，截距545z 最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+402,30y x y x 得点M （20,10），因此，当x=20,y=10时，z=7.2x+10.8y 取最大值，最大值为252.由此可知开设20个初中班和10个高中班时，每年收取的学费总额最多，为252万元. 师【例7】在上一节例4中（课本96页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？生若设生产x 车皮甲种肥料，y 车皮乙种肥料，能够产生的利润z 万元.目标函数z=x+0.5y,可行域如下图：把z=x+0.5y 变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2，在y 轴上截距为2z,随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线y=-2x+2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+104,661518y x y x 得点M(2,2),因此当x=2,y=2时，z=x+0.5y 取最大值，最大值为 3.由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元. ［教师精讲］师以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义. 课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；（2）设t=0，画出直线l 0；（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解；（4）最后求得目标函数的最大值及最小值. 以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义.布置作业课本第105页习题3.3 B组1、2、3板书设计第1课时简单线性规划问题图1课堂小结线性规划问题的相关概念图2第2课时简单线性规划问题例1课堂小结例3例2第3课时简单线性规划问题例5课堂小结例7例6。

高中数学必修5《简单线性规划》教学设计

课题：简单的线性规划（高三一轮复习课）主旨：本节课是人民教育出版全日制普通高级中学数学教科书（必修5）第三章第3节“简单的线性规划”.本节课是高三第一轮复习课，内容包括二元一次不等式表示平面区域、线性规则及线性规划的实际应用.下面我从三方面来说说对这节课的分析和设计.1. 教材地位分析一教学背景分析 2. 学生特征分析3. 教学目标分析1. 教学重点、难点分析二教学展开分析 2. 教学策略和方法指导3. 教学媒体选择4. 教学实施三教学结果分析一、教学背景分析1、教材地位分析（1）“简单的线性规划”是在复习了直线方程的基础上而再度学习的. 因线性规划的应用性广泛，“简单线性规划”不仅是“新大纲”中增加的新内容，也是“新课标”的必修内容；说明了教材重视数学知识的应用.（2）“简单的线性规划”体现了数学应用性的同时，还渗透了化归、数形结合等数学思想和数学建模法.（3）“简单的线性规划”内容已成为近年来高考数学命题的一个亮点. 几乎每年必考。

考查的题型有选择题，填空题..2、学生特征分析（1）学习任务分析：通过第一轮复习，学生对不等式、直线方程知识有了更系统的理解；这是复习“简单的线性规划”的起点能力.（2）认知能力分析：学生能应用不等式、直线方程知识来解决问题，加之，体会过“简单的线性规划”应用性；这有益于“简单的线性规划”的“同化”和“顺应”.（3）认知结构变量分析：“不等式”、“直线方程”与“简单的线性规划”是“类属关系”，故“简单的线性规划”的复习是“下位学习”，说明认知结构的可利用性和可分辩性. 但是，由于“简单的线性规划”在教材上的编排简约、图解方法的动态，影响到认知结构的稳固性；这要求通过创设问题情境、自主探究等来促进认知结构的稳固性，进行意义建构.3、教学目标分析（1）知识技能：掌握二元一次不等式表示平面区域，进一步了解线性规划的意义，并能应用其解决一些简单的实际问题.（2）过程与方法：通过自主探究，师生会话，体验数学发现和创造的历程；经历线性规划的实际应用，提高数学建模能力.（3）情感态度：通过自主探究，师生会话，养成批判性的思维品质，形成良好的合作交流品质，提高“应用数学”的意识.以上三个目标确定是基于教材地位分析和学生特征分析.二、教学展开分析1、教学重点与难点分析重点：掌握二元一次不等式表示平面区域并灵活运用，以及线性规划最优解的求解.难点：实际问题转化为线性规划问题及其整数最优解、最优近似解的求解.利用例题、变式训练，求线性规划最优解的两种有效的方法——“调整优值法”、“换元取优法”的应用，以及“简单的线性规划解答器”的应用，来突出重点，突破难点.2、教学策略与方法指导（1）教学策略：本节课采用基于建构主义理论的“建构式教学方法”，即由“创设问题情境——自主探究——师生会话——意义建构”四个环节组成. 以学生为主体，并根据教学中的实际情况及时调整教学方案.（2）学法指导：教师平等地参与“师生会话”，间或参与“自主探究”并适时点拨指导；引导学生全员、全过程参与；自主探究的形式可以是小组学习，也可以是“学习共同体”等，引导学生反思评价.3、教学媒体的选择与运用使用多媒体辅助教学.4、教学实施按照“建构式教学法”的思想，围绕突出重点，解决难点，不断设置问题情境，激发学生自主探究，并由师生会话促进意义建构. 我把本节课的教学实施分成三大部分，即（1）概念“同化”,（2）例题研讨,（3）反思评价.Ⅱ例题分析三、教学结果分析通过本节课的学习，结合教学目标，从知识、能力、情感三个方面预测可能会出现的结果.1、学生能掌握并灵活运用二元一次不等式的平面区域，能够求出最优解；但在数学建模方面，估计有少部分学生会有一定的困惑. 另外，对线性规划和其它知识的交汇题的求解以及实际问题的整数最优解、近似最优解的求解仍会有学生感到陌生，故须督促学生课后加强消化.2、学生基本思想能力得到一定的提高，但良好的数学素养有待进一步提高.3、由于学生层次不同，已有的数学知识、观念不同，体验和认识也不同，对于学习层次较高的学生，应鼓励其严谨、谦虚、锲而不舍的求学态度；而对学习欠佳的同学，应多鼓励，并辅之以师生的帮助促进其进步.。

人教版高中数学简单的线性规划问题教案

学习必备欢迎下载简单的线性规划问题一、教学内容分析普通高中课程标准教科书数学5（必修）第三章第 3 课时这是一堂关于简单的线性规划的“问题教学”．线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.简单的线性规划（涉及两个变量）关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 突出体现了优化的思想．教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等的概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.二、学生学习情况分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，又通过实例，理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题 . 从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这都成了学生学习的困难．三、设计思想本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，以几何画板作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。

注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。

四、教学目标1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解．2．在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神；3、在应用图解法解题的过程中, 培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用.五、教学重点和难点求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y 轴上的截距的最值问题？以及如何想到要这样转化？存在一定疑虑及困难；教学应紧扣问题实际，通过突出知识的形成发展过程，引入数学实验来突破这一难点．学习必备欢迎下载六、教学过程设计（一）引入（ 1）情景某工厂用A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h，每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？请学生读题，引导阅读理解后，列表→ 建立数学关系式→ 画平面区域，学生就近既分工又合作，教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种表达形式数与形 .【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：列表→建立数学关系式→画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，教师则在数据的分析整理、表格的设计上加以指导】教师打开几何画板，作出平面区域.（ 2）问题师：进一步提出问题，若生产一件甲产品获利 2 万元，生产一件乙产品获利 3 万元，采用哪种生产安排利润最大？学生不难列出函数关系式z 2x 3 y .师：这是关于变量x、 y 的一次解析式，从函数的观点看x、 y 的变化引起z 的变化，而 x、y 是区域内的动点的坐标，对于每一组x、y 的值都有唯一的z 值与之对应，请算出几个z 的值 . 填入课前发下的实验探究报告单中的第２—４列进行观察,看看你有什么发现？学生会选择比较好算的点，比如整点、边界点等.【学生思维的最近发现区是上节的相关知识，因此教师有目的引导学生利用几何直观解决问题，虽然这个过程计算比较繁琐，操作起来有难度，但是教学是一个过程，从中让学生体会科学探索的艰辛，这样引导出教科书给出的数形结合的合理性，也为引入信息技术埋下伏笔】（二）实验学习必备欢迎下载,请学生与自己的数教师打开画板，当堂作出右图，在区域内任意取点，进行计算据对比，继续在实验探究报告单上补充填写画板上的新数据.利润最大的实验探究报告单实验目的x 2 y8,4x16,(1)求 z 2x 3y 的最大值，使x， y 满足约束条件 4 y12,x 0,y 0.(2)理解用图解法求线性规划问题的最优解，体会数形结合的思想.进行实验与收集数据(1) 打开几何画板依次画出点、线构造平面区域;(2)在区域内任取一点 M ，度量横坐标及纵坐标，计算z = 2x 3y 的值，并制表显示在屏幕上;(3)拖动点 M 在区域内运动，观察度量值z的变化，猜想z取得最大值时点M 的位置 .同时请学生将有代表性的位置的数据记录在下表中的第2—5 列：直线在 y 计数点 n x y2x 3 y点的坐标直线的方程轴上的截距12345教师引导学生提出猜想：点 M 的坐标为（４，２）时，z = 2x3y 取得最大值14.【在信息技术与课程整合过程中，为改变老师单机的演示学生被动观看的现状，让学生参与进来，老师（可以根据学生要求）操作，学生记录，共同提出猜想，在当前技学习必备欢迎下载术条件受限时不失为一个好方法】师：这有限次的实验得来的结论可靠吗？我们毕竟无法取遍所有点，因为区域内的点是无数的！况且没有计算机怎么办，数据复杂手工无法计算怎么办？因此，有必要寻找操作性强的可靠的求最优解的方法.【形成认知冲突，激发求知欲望，调整探究思路，寻找解决问题的新方法】继续观察实验报告单，聚焦每一行的点坐标和对应的度量值，比如M （ 3.2, 1.2）时方程是 2x 3y 10 ，填写表中的第6— 7 列，引导学生先在点与直线之间建立起联系 ------ 点 M 的坐标是方程2x 3 y 10 的解，那么点M 就应该在直线2x 3y 10上，反过来直线2x 3 y 10 经过点M，当然也就经过平面区域，所以点M 的运动就可转化为直线的平移运动。

高中数学必修五第三章：3.2简单的线性规划(2)教案

课题： 3.3.2 简单的线性规划（2）第课时总序第个教课设计课型：新讲课编写不时间：年月日履行时间：年月日教课目的：批1．知识与技术：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实质注问题；2．过程与方法：经历从实质情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提升数学建模能力；3．神态与价值：引起学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培育实事求是、理论与实质相联合的科学态度和科学道德。

教课要点：利用图解法求得线性规划问题的最优解教课难点：把实质问题转变成线性规划问题，并给出解答，解决难点的要点是依据实质问题中的已知条件，找出拘束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。

教课器具：三角板，投影仪教课方法：经历从实质情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提升数学建模能力教课过程：1. 课题导入[复习引入 ]：1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧全部点构成的平面地区（虚线表示地区不包含界限直线）2、目标函数 ,线性目标函数，线性规划问题, 可行解，可行域,最优解:2. 解说新课线性规划在实质中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中获得应用，一是在人力、物力、资本等资源必定的条件下，怎样使用它们来达成最多的任务；二是给定一项任务，怎样合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资本等资源来达成该项任务下边我们就来看看线性规划在实质中的一些应用：[ 典范解说 ]例 5 营养学家指出，成人优秀的平时饮食应当起码供给0.075kg 的碳水化合物， 0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食品 A 含有 0.105kg 碳水化合物， 0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花销28元；而1kg 食品 B 含有 0.105kg碳水化合物，0.14kg 蛋白质， 0.07kg 脂肪，花销 21 元。

为了知足营养专家指出的平时饮食要求，同时使花销最低，需要同时食用食品 A 和食品 B 多少 kg ？指出 : 要达成一项确立的任务 , 怎样兼顾安排 , 尽量做到用最少的资源去达成它 , 这是线性规划中最常有的问题之一 .例 6在上一节例 3 中，若依据相关部门的规定，初中每人每年可收取学费 1 600 元，高中每人每年可收取学费 2 700 元。

人教版高中数学必修5-3.3《简单的线性规划(第1课时)》教学设计

3.3.2 简单的线性规划问题(第1课时)(名师：陈庚生)【核心素养】通过学习简单的线性规划问题，提升学生的数学抽象、数学建模与数据处理的能力．【学习目标】理解什么是线性规划，并能够解决一些简单的线性规划问题．【学习重点】简单的二元线性规划问题．【学习难点】准确而快速的画出线性规划可行域，并进行最优解的求解．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务 1 阅读教材P1－P4，思考：线性规划是如何形成的？它的主要功能是什么?利用线性规划解决一些简单问题.2．预习自测1．不等式组36020.x yx y≥⎧⎨<⎩－＋，－＋表示的平面区域是()【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：B2．不等式组210.y xy xy≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－＋，－，所表示的平面区域的面积为( )A.1B.12C.13D.14【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：D3．若满足条件20x yx yy a-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（）A．3-B．2-C．1-D．0【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：C（二）课堂设计1．知识回顾在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类：（1）直线上的点（x，y）的坐标满足：0=++CByAx；（2）直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0>++CByAx；（3）直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0Ax By C++<.即二元一次不等式0Ax By C++>或0Ax By C++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2．问题探究问题探究一线性规划的含义观察与思考：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？想一想：怎样将题目条件转化为我们熟悉的不等式组？。

高中数学(3.3 简单的线性规划问题(3))教案新人教版必修5 教案

简单的线性规划问题（3）
教学目标：能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题；培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．教学重点、难点：培养学生从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题．
教学过程：
一．问题情境
投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
二、学生活动
三、知识建构
1、解线性规划应用题的一般步骤：
2、说明：
四．数学运用例1．某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A型车4次，B型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A型车320元，B型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．
练习：课本第84页练习第4题．
1、制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。

某投资人打算投资甲、乙两个项目。

根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪。

投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。

问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？（2004江苏）
五．回顾反思：
知识：思想方法：
四．作业布置：
书95页习题3.3 9。

人教A版高中数学必修五简单的线性规划问题教案(3)

3.3.2简单的线性规划问题（一）教学重点能进行简单的二元线性规划问题教学难点从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.教学过程一.复习准备：当,x y 满足不等式组1101x y y x ⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y =+的最大值是（答案：5）二.讲授新课：1.出示例题：某工厂用A ，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？教师分析——师生共同列出表格——转化成数学模型——列出目标函数——求最值给出定义：目标函数——把要求的最大值的函数线性目标函数——目标函数是关于变量,x y 的一次解析式线性规划——在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题可行解——满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解可行域——由所有可行解组成的集合结合以上例题给出解释探究：在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，又应当如何安排生产才能获得最大利润？由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？2.练习：1) 求2z x y =+的最大值，使,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩2)求35z x y =+的最大值和最小值，使,x y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩3.小结：作图求解：作出不等式组所表示的可行域，确定目标函数的最优位置，从而获得最优解. 图解法的实质是数形结合思想的两次运用，第一次是由上步所得线性约束条件，作出可行域，将表示约束条件的不等式组转化成为平面区域这一图形；第二次是将目标函数转化为平行直线系进行探究.. 此步的过程可简述为“可行域——直线系——最优解”三. 作业P105习题A 组第4题3.3.2简单的线性规划问题（二）教学重点能进行简单的二元线性规划问题教学难点从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，列出线性目标函数并求最值并能加以解决.教学过程一.复习准备：什么是目标函数？线性目标函数？线性规划？可行解？可行域？二.讲授新课：1.出示例题：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪. 1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时使用食物A 和食物B 多少？教师分析——师生共同列出表格——转化成数学模型——列出目标函数——求最值2.练习：某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应该如何配置盒饭，才能既科学有费用最少？（答案：面食1315百克，米食1415百克） 3.小结：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式，然后分析目标函数中所求量的几何意义，由数形结合思想求解问题. 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，关键在于找出约束条件与目标函数，准确地描可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解.三. 巩固练习：1.（2004年全国卷）设,x y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则32z x y =+的最大值是（答案：5）2.甲，乙，丙三种食物维生素A ，B 含量以及成本如右表：某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B. 试用,x y 表示混合物的成本P （元）；并确定,,x y z 的值，使成本最低，并求最低成本.3.作业：P105 习题A 组第4题。

高中数学 (3.3.2 简单线性规划问题)示范教案新人教A版必修5最新修正版

3.3.2 简单线性规划问题从容说课本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化课时安排3课时三维目标一、知识与技能1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题二、过程与方法1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.三、情感态度与价值观1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学过程第1课时导入新课师前面我们学习了二元一次不等式A x+B y+C ＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下（生回答）推进新课［合作探究］师在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题例如，某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，应如何列式？生由已知条件可得二元一次不等式组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x师如何将上述不等式组表示成平面上的区域？生（板演）师对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P （x,y ）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x 、y 才有意义. 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z ，则如何表示它们的关系？生则师这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组并且为非负整数时，z 的最大值是多少？［教师精讲］师把z=2x+3y 变形为z x y 3132+-=,这是斜率为32-，在y 轴上的截距为31z 的直线.当z变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来生当z 变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）师由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线z x y 3132+-=，这说明，截距z[]3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线z x y 3132+-=与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距3z最大时，z 取最大值，因此，问题转化为当直线z x y 3132+-=与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距3z最大由图可以看出，当直线z x y 3132+-=经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距3z 最大，最大值为314.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元［知识拓展］再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l然后，作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y∈［3,12］若设t=2x+y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求t 的最大值和最小值分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y∈［3,12］(1)从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l 0：2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l0 可知，当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x,y)满足2x+y ＞0,即t ＞而且，直线l 往右平移时，t 随之增大（引导学生一起观察此规律）在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点B （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点A （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.所以t m a x=2×5+2=12,t(2)(3)［合作探究］师诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域） 2.设t=0，画出直线l3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解4.最后求得目标函数的最大值及最小值布置作业1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本 1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？分析：将已知数据列成下表：甲原料（吨）乙原料（吨）费用限额成本 1 000 1 500 6 000 运费500 4002 000 产品90100解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x 吨、y 吨，生产z 千克产品，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥,2000400500,600015001000,0,0y x y x y x作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：由⎩⎨⎧=+=+.2045,1232y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.720,712y x 令90x+100y=t ，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t ，当90x+100y=t过点M （712,720）时，直线90x+100y=t中的截距最大由此得出t 的值也最大，z m a =90×712+100×720答：工厂每月生产440千克产品2.某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？解：设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y张，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,93,82y x y x y x目标函数为作出可行域：把直线l ：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=2x+3y 取得最大值解方程⎩⎨⎧=+=+,93,82y x y x 得M 的坐标为（2，3）答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润3.课本106页习题3.3A组第2课时导入新课师前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念师同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）（2）设t=0，画出直线l(3)观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解 (4)最后求得目标函数的最大值及最小值推进新课师【例1】已知x 、y 满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,2502,3002y x y x y x 试求z=300x+900y 的最大值时的整点的坐标及相应的z的最大值师分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点解：如图所示平面区域A O BC ，点A （0，125），点B （150，0），点C 的坐标由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,3200,3350y x 得C （3350,3200），令t=300x+900y，即,90031t x y +-=欲求z=300x+900y 的最大值，即转化为求截距t[]900的最大值，从而可求t 的最大值，因直线90031t x y +-=与直线x y 31-=平行，故作x y 31-=的平行线，当过点A （0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A 使z 取最大值，z m ax师【例2】求z=600x+300y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250， x≥0,y≥0的整数值师分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解解：可行域如图所示四边形A O BC ，易求点A （0，126），B （100，0）,由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25223003y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.5191,5369y x 得点C 的坐标为（5369,5191因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y 取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y ，可知当时，z 取最大值为z m ax师【例3】已知x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,12,22y x y x y x 求z=3x+y 的最小值师分析：可先找出可行域，平行移动直线l 0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值解：不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合可行域如右图所示作直线l 0:3x+y=0，作一组与直线l 0平行的直线 ∵x、y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标由图可知：当直线l:3x+y=t 通过P （0，1）时，t 取到最小值1，即zmin师评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解师课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x［教师精讲］师（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y解：不等式组表示的平面区域如右图所示：当x=0,y=0时，z=2x+y=0，点（0，0）在直线l 0:2x+y=0上作一组与直线l 0平行的直线可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t最大所以z m a x =2×2-（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如右图所示从图示可知直线3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（89,817）的直线所对应的t 最大所以z min =3×(-2)+５×(-1)=-11,z m a x =3×89+5×817［知识拓展］某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？师分析：将已知数据列成下表：消耗量产品资源甲产品（1 t ）乙产品(1 t)资源限额（t ）A 种矿石（t ） 10 4 300B 种矿石(t)5 4 200 煤(t) 利润（元）4 9 3606001 000解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x目标函数为作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域作直线即直线把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x得M 的坐标为x=29360≈12.4,y=291000答：应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）（2）设t=0，画出直线l（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解（4）最后求得目标函数的最大值及最小值以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解当然也要注意问题的实际意义布置作业课本第105页习题3.3A 组3、第3课时导入新课师前面我们已经学习了用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤.这节课我们继续来看它们的实际应用问题推进新课师【例5】营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少克？师分析：将已知数据列成下表：食物/kg 碳水化合物/kg蛋白质/kg 脂肪/kg A 0.105 0.07 0.14 B0.1050.140.07若设每天食用x kg 食物A ，食物B ，总成本为z ，如何列式？生由题设条件列出约束条件①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,y 0,x 0.06,0.07y 0.14x 0.06,0.14y 0.07x 0.075,0.105y 105x .0 其目标函数二元一次不等式组①等价于②⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,6714,6147,577y x y x y x y x师作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完成，再与课本上的对照生考虑z=28x+21y,将它变形为2834z x y +-=,这是斜率为34－、随z 变化的一族平行直线.28z 是直线在y 轴上的截距，当28z 取得最小值时，z 的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y 取得最小值由图可见，当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M 时，截距z[]28最小，即z 最小解方程组⎩⎨⎧=+=+6714,577y x y x 得点M(71,74)，因此，当71=x ,74=y 时，z=28x+21y 取最小值，最小值为由此可知每天食用食物A 约143克，食物B 约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元师【例6】在上一节课本的例题（课本95页例3）中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元.那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？学段班级学生数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中 45 2 26/班 2/人高中 40 3 54/班 2/人师由前面内容知若设开设初中班x 个，高中班y 个，收取的学费总额为z 万元此时，目标函数z=0.16×45x+0.27×40y,可行域如下图把z=7.2x+10.8y 变形为54532z x y +-=，得到斜率为-32－，在y 轴上截距为545z ，随z 变化的一组平行直线由图可以看出，当直线z=7.2x+10.8y 经过可行域上的点M 时，截距545z 最大，即z 最大解方程组⎩⎨⎧=+=+402,30y x y x 得点M （20,10），因此，当x=20,y=10时，z=7.2x+10.8y 取最大值，最大值为由此可知开设20个初中班和10个高中班时，每年收取的学费总额最多，为252万元师【例7】在上一节例4中（课本96页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？生若设生产x 车皮甲种肥料，y 车皮乙种肥料，能够产生的利润z 万元.目标函数可行域如下图：把z=x+0.5y 变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2，在y 轴上截距为2z,随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线y=-2x+2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大解方程组⎩⎨⎧=+=+104,661518y x y x 得点M(2,2),因此当x=2,y=2时，z=x+0.5y 取最大值，最大值为由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元［教师精讲］师以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解当然也要注意问题的实际意义. 课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；（2）设t=0，画出直线l 0；（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解；（4）最后求得目标函数的最大值及最小值以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解当然也要注意问题的实际意义.布置作业课本第105页习题3.3 B组1、2、板书设计第1课时简单线性规划问题图1课堂小结线性规划问题的相关概念图2第2课时简单线性规划问题例1课堂小结例3例2第3课时简单线性规划问题例5课堂小结例7例6。

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4.2 简单线性规划整体设计教学分析线性规划是优化的具体模型之一,二元一次不等式有着丰富的实际背景,是刻画平面区域的重要工具.学生能够体会线性规划的基本思想,并能借助几何直观解决一些简单的线性规划问题,本节的主要目的是让学生体会数学知识形成过程中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用.求线性目标函数的最值问题是本节的重点,也是本节的难点.实际教学中要注意以下几个问题:①充分利用数形结合来理解线性规划的几个概念和思想方法.②可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域,可行域可以是封闭的多边形,也可以是一侧开放的无限大的平面区域.③如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值,最优解一般就是多边形的某个顶点.到底哪个顶点为最优解,可有两种确定方法:一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点便是;另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来判断. 三维目标1.使学生了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法.2.通过本节内容的学习,培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力. 重点难点教学重点:求线性目标函数的最值问题,培养学生“用数学”的意识. 教学难点:求线性目标函数的最值问题. 课时安排 2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(问题导入)由身边的线性规划问题导入课题,同时阐明其重要意义.如6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元.而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元.如果想买2枝玫瑰或3枝康乃馨,那么价格比较结果是怎样的呢？可由学生列出不等关系,并画出平面区域.由此导入了新课.思路2.(复习导入)前面已经学习了二元一次不等式组的解集的几何形式,先让学生在坐标系中画出⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+1,330,65y x y y x 的解集表示的区域.学生画出后,教师点拨:怎样找到符合不等式的x 、y 值,使得z=2x+y 取得最大、最小值呢？z=2x+y 在坐标平面上表示的几何意义又是什么呢？由此展开新课. 推进新课新知探究提出问题①回忆二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法. ②探究交流导入新课思路2中的问题.活动:教师引导学生回顾二元一次不等式表示平面区域常用的方法是:直线定界、原点定域.即先画出对应直线,再将原点坐标代入直线方程中,看其值比零大还是比零小.不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,是它们平面区域的公共部分. 接下来教师引领学生探究交流导入新课思路2中的问题,设x,y 满足以下条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+)3(.1)2(,3)1(,3065y x y y x 求z=2x+y 的最小值和最大值.由前面知道,满足每个不等式的解集都可以表示一个平面区域,满足不等式组的解集则表示这些平面区域的公共区域(如图1).图1这时,问题转化为:当点(x,y)在公共的平面区域中时,求z=2x+y 的最小值和最大值. 为此,我们先来讨论当点(x,y)在整个坐标平面上变化时,z=2x+y 值的变化规律. 当z=-3,-1,0,2,4时,可得到直线: l 2′:2x+y=-3; l 1′:2x+y=-1; l 0:2x+y=0; l 1:2x+y=2; l 2:2x+y=4.显然,这是一组平行线.由图2可看出,当直线l 0向上平移时,所对应的z 随之增大;当直线l 0向下平移时,所对应的z 随之减小.图2如图3,在把l 0向上平移过程中,直线与平面区域首先相交的顶点A(31,1)所对应的z 最小;最后相交的顶点B(524,1)所对应的z 最大.图3从而得到z min =2×31+1=35; z max =2×524+1=553. 讨论结果:①②略.提出问题①上述探究的问题中,z 的几何意义是什么?结合图形说明.②结合以上探究,理解什么是目标函数?线性目标函数?什么是线性规划?弄清什么是可行解?可行域?最优解?活动:教师引导学生结合前面的探究与学生一起理解z 的几何意义就是直线z=2x+y 在y 轴上的截距,让学生明确这点对灵活解题非常有帮助.进一步探究上述问题,不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=2x+y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫作线性目标函数.线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示. 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x,y)叫作可行解，由所有可行解组成的集合叫作可行域. 其中,使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫作这个问题的最优解. 讨论结果:①②略. 应用示例例1 已知x 、y 满足不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,12,22y x y x y x z=3x+y 的最小值.活动:可先找出可行域，平行移动直线l 0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.解:不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合. 可行域如图4阴影部分所示.作直线l 0:3x+y=0，作一组与直线l 0平行的直线l:3x+y=t(t ∈R ). ∵x 、y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标,由图4可知,当直线l:3x+y=z 通过点P(0，1)时，z 取到最小值1，即z min =1.图4点评:简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的. (1)寻找线性约束条件，线性目标函数;(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解. 变式训练设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-,1,1,22y x y x y x 则z=2x+3y 的最大值是_________________.解析:画出可行域如图5,使2x+3y 取得最大值的点为P.图5由⎩⎨⎧==-1,-2,-2y x y x 得⎩⎨⎧==.4,3y x∴z max =2×3+3×4=18. 答案:18例2 求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤+ 3.5-1,15,35y x x y y x解:不等式组所表示的平面区域如图6所示.图6从图示可知直线3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点(-2，-1)的直线所对应的t 最小，以经过点(89,817)的直线所对应的t 最大. 所以z min =3×(-2)+５×(-1)=-11,z max =3×89+5×817=14.变式训练(2007山东枣庄)已知x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+0,3,0,5-k y x x y x 且z=2x+4y 的最小值为-6,则常数k 等于( )A.2B.9C.310D.0 解析:如图7所示,当直线z=2x+4y 经过两直线x=3和x+y+k=0的交点时,z 有最小值-6,所以-6=2×3+4y.y=-3,代入x+y+k=0,得k=0.图7答案:D例3 已知x 、y 满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0,252,2300,2y x y x y x 试求z=300x+900y 取最大值时整点的坐标及相应的z 的最大值.活动:先画出平面区域,然后在平面区域内寻找使z=300x+900y 取最大值时的整点. 解:如图8所示,平面区域AOBC,点A(0,125),点B(150,0),图8由方程组⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,3200,3350y x 得C(3350,3200). 令t=300x+900y ，即y=-31x+900t , 欲求z=300x+900y 的最大值，即转化为求截距900t的最大值，从而可求t 的最大值. 因直线y=-31x+900t 与直线y=-31x 平行，故作y=-31x 的平行线. 当过点A(0，125)时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A 使z 取最大值，z max =300×0+900×125=112 500. 点评:解决此类问题的关键是准确画出可行域. 变式训练求z=600x+300y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0y 0,x ,2522y x ,300y 3x 的整数值.解:可行域如图9所示的图9四边形AOBC ，易求点A(0，126)，B(100，0),由方程组⎩⎨⎧=+=+2522y x 300y 3x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒,5191,5369y x得点C 的坐标为(5369,5191).因题设条件要求整点(x,y)使z=600x+300y 取最大值，将点(69，91)，(70，90)代入z=600x+300y ，可知当⎩⎨⎧==90y 70,x 时，z 取最大值为z max =600×70+300×90=69 000.例4 设x,y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥36.3y 4x 12,3y 4x --4,y -3,x(1)求目标函数z=2x+3y 的最小值与最大值;(2)求目标函数z=-4x+3y-24的最小值与最大值. 解:(1)作出可行域(如图10阴影部分).图10令z=0,作直线l:2x+3y=0.当把直线l 向下平移时,所对应的z=2x+3y 的函数值随之减小,所以,直线经过可行域的顶点B 时,z=2x+3y 取得最小值.从图中可以看出,顶点B 是直线x=-3与直线y=-4的交点,其坐标为(-3,-4);当把l 向上平移时,所对应的z=2x+3y 的函数值随之增大,所以直线经过可行域的顶点D 时,z=2x+3y 取得最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+36,3y 4x 12,3y 4x -可以求得顶点D 的坐标为(3,8).此时,顶点B(-3,-4)与顶点D(3,8)为最优解.所以 z min =2×(-3)+3×(-4)=-18, z max =2×3+3×8=30.(2)可行域同(1)(如图11阴影部分).图11作直线l 0:-4x+3y=0,把直线l 0向下平移时,所对应的z′=-4x+3y 的函数值随之减小,即z=-4x+3y-24的函数值随之减小,从图14可以看出,直线经过可行域顶点C 时,z′=-4x+3y 取得最小值,即z=-4x+3y-24取得最小值.顶点C 是直线4x+3y=36与直线y=-4的交点,解方程组⎩⎨⎧=+=36,3y 4x -4,y得到顶点C 的坐标（12，-4），代入目标函数z=-4x+3y-24,得z min =-4×12+3×(-4)-24=-84.由于直线l 0平行于直线-4x+3y=12,因此当把直线l 0向上平移到l 1时，l 1与可行域的交点不止一个，而是线段AD 上的所有点. 此时,z max =12-24=-12.点评:(1)有条件的可用图形计算器或数学软件作出可行域,并动态显示目标函数的变化情况,进而直观地判断最优解.(2)二元线性规划问题中,最优解可能有无数多个.(3)设目标函数z=Ax+By+C,在约束条件下,当B>0时,求目标函数z=Ax+By+C 的最小值或最大值的求解程序为: ①作出可行域;②作出直线l 0∶Ax+By=0;③确定l 0的平移方向,依可行域判断取得最优解的点;④解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最小值或最大值. 知能训练课本本节练习1 1—4. 课堂小结1.由学生归纳整合本节学习的相关内容，重点探究了目标函数中y 的系数大于0的情况.2.教师简要强调,线性规划问题求解的格式与步骤.主要是寻找线性约束条件,目标函数,画出可行域,在可行域内求目标函数的最优解. 作业课本习题3—4 A 组5.设计感想1.本教案设计强调多媒体教学.新大纲明确指出:要积极创造条件,采用现代化的教学手段进行教学.根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性,为突出重点、突破难点,增加教学容量,激发学生的学习兴趣,增强教学的条理性、形象性,本节课采用计算机辅助教学,以直观、生动地揭示可行域以及平移直线的动态变化情况.2.优化教学过程.根据本节课的内容特点,本节课的设计采用启发引导、讲练结合的教学方法,着重于培养学生分析、解决问题的能力以及良好的学习品质的形成.3.本教案注重学生的探究过程,让学生体验探究问题的成就感,一切以学生自己的自主探究活动为主,教师不要越俎代庖.(设计者:郑吉星)第2课时导入新课思路1.(直接导入)上节课,我们讨论了目标函数中y 的系数大于0的情况，现在我们探究y 的系数小于0的情况.思路2.(复习导入)让学生回忆以前我们探究的二元一次不等式(组)表示平面区域的方法、步骤以及上节课所学线性规划的几个概念.教师提出,这一节我们将应用这些知识来进一步探究目标函数的最大值、最小值问题.进而引入新课. 推进新课新知探究提出问题①回忆上节课用图解法解决线性规划问题的步骤是什么?②怎样利用约束条件求出目标函数的最优解?怎样求目标函数的最优解的整数解?活动:教师与学生一起回忆上节课用图解法解决线性规划问题的步骤,之后教师可出示多媒体课件与学生共同探究求目标函数易错的地方.在解题中,平行移动直线时易出现失误,避免这个错误的办法是:首先图形要画准确,把已知区域边界直线的斜率从小到大依次排序.再与目标函数的斜率相比较,这个斜率在已知区域边界直线的哪两个斜率之间,这个最优解就在哪两条直线的交点处取得.这是由斜率与倾斜角的递增关系所决定的.若要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),则应作适当的调整,其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线的附近与此直线距离最近的整点,不要在近似解附近寻找.讨论结果:①②略. 应用示例例1 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤+02x 1,y -x 4,2y x 下，求目标函数z=3x-y 的最小值和最大值.活动:本例目标函数中y 的系数为-1,从直线截距的角度看z 的几何意义是直线3x-y-z=0截距的相反数.因此当直线l 0:3x-y=0向上平移时,所对应的z 随之减小;当直线l 0:3x-y=0向下平移时,所对应的z 随之增大.解:当z=-4,-2,0,1,3时,可得到一组平行线 l 2:3x-y=-4; l 1:3x-y=-2; l 0:3x-y=0; l 1′:3x -y=1; l 2′:3x -y=3.由图12可知,当直线l 0向上平移时,所对应的z 随之减小;当直线l 0向下平移时,所对应的z 随之增大.图12作出可行域(如图13).图13可知,z=3x-y 随直线l 0:3x-y=0向上平移而减小,随l 0向下平移而增大,所以,在顶点B 取得最小值,在点A 取得最大值.顶点B 是直线x+2y=4与直线x+2=0的交点,解方程组⎩⎨⎧=+=+0,2x 4,2y x可求出顶点B 的坐标（-2，3），代入目标函数，即可得最小值z min =3×(-2)-3=-9. 顶点A 是直线x+2y=4与直线x-y=1的交点，解方程组⎩⎨⎧==+1,y -x 4,2y x得到顶点A 的坐标为（2，1），代入目标函数，即可得最大值z max =3×2-1=5.点评:充分利用数形结合，理解z 的几何意义，弄清直线l 0平移方向与目标函数的函数值的变化趋势的关系. 变式训练已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≥30,5y 3x -4,3y -x 1,x 求目标函数z=2x-y 的最大值和最小值.解:根据x 、y 满足的约束条件作出可行域,即如图14所示的阴影部分(包括边界).图14作直线l 0:2x-y=0,再作一组平行于l 0的直线l:2x-y=t,t ∈R .可知,当l 在l 0的右下方时,直线l 上的点(x,y)满足2x-y>0,即t>0,而且直线l 往右平移时,t 随之增大.当直线l 平移至l 1的位置时,直线经过可行域上的点B,此时所对应的t 最大;当l 在l 0的左上方时,直线l 上的点(x,y)满足2x-y<0,即t<0,而且直线l 往左平移时,t 随之减小.当直线l 平移至l 2的位置时,直线经过可行域上的点C,此时所对应的t 最小.由⎩⎨⎧=+=+0,30-5y 3x 0,43y -x 解得点B 的坐标为(5,3); 由⎩⎨⎧=+=0,30-5y 3x 1,x 解得点C 的坐标为(1,527). 所以z max =2×5-3=7;z min =2×1-527=-517. 例2 求z=4a-2b 在约束条件⎩⎨⎧≤+≤≤≤4b a 2,2b -a 1-下的最小值与最大值.活动:本例与上例的类型是一样的,教师可让学生独立探究完成,对个别困难学生给予适时点拨.解:作出可行域(如图15).图15仿上例,可知z 在顶点A 取得最小值,在顶点C 取得最大值.由⎩⎨⎧=+=2,b a -1,b -a 得A （21,23); 由⎩⎨⎧=+=4,b a 2,b -a 得C （3，1）. 所以z min =4×21-2×23=-1,z max =4×3-2×1=10.点评:准确画出可行域是成功解决本例的关键.变式训练点(x,y)是区域｜x ｜+｜y ｜≤1内的动点,求ax-y(a>0)的最大值及最小值.解：区域｜x ｜+｜y ｜≤1为四条直线x+y=1,x-y=1,-x+y=1,-x-y=1所围成的区域，如图16（1）和（2）中的阴影部分.图16设z=ax-y(a>0),当a≥1时,设直线l 0:ax-y=0,并作一组平行于l 0的直线ax-y=t,当直线位于l 1位置时〔如图(1)〕,即l 1过点(-1,0)时,t 取最小值;当直线位于l 2的位置时〔如图(1)〕,即l 2过点(1,0)时,t 取最大值.当0<a<1时,设直线l 0′:ax -y=0,作一组平行于l 0′的直线ax-y=t,当直线位于l 1′的位置时〔如图(2)〕,即l 1′过点(0,-1)时,取最小值-1;当直线位于l 2′的位置时〔如图(2)〕,即过点l 2′(0,1)时,t 取最大值1.综上所述,当a≥1时,ax-y 的最大值为a,最小值为-a,当0<a<1时,ax-y 的最大值为1,最小值为-1.例3 设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤1,x 25,5y 3x -3,4y -x 分别求:(1)z=6x+10y;(2)z=2x-y;(3)z=2x-y(x,y 均为整数)的最大值、最小值.解:(1)先作出可行域,如图17所示的△ABC 的区域,且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1,522).图17作出直线l 0:6x+10y=0,再将直线l 0平移,当l 0的平行线l 1过B 点时,可使z=6x+10y 达到最小值;当l 0的平行线l 2过A 点时,可使z=6x+10y 达到最大值.∴z min =6×1+10×1=16;z max =6×5+10×2=50.(2)同上,作出直线l 0:2x-y=0,再将直线l 0平移,当l 0的平行线l 1过C 点时,可使z=2x-y 达到最小值;当l 0的平行线l 2过A 点时,可使z=2x-y 达到最大值.∴z max =8,z min =-512. (3)同上,作出直线l 0:2x-y=0,再将直线l 0平移,当l 0的平行线l 2过A 点时,可使z=2x-y 达到最大值,∴z max =8.当l 0的平行线l 1过C 点时,可使z=2x-y 达到最小值,但由于522不是整数,而最优解(x,y)中,x 、y 必须都是整数, ∴可行域内的点C(1,522)不是最优解. 当l 0的平行线经过可行域内的整点(1,4)时,可使z=2x-y 达到最小值.∴z min =-2.知能训练课本本节练习2 1—3.课堂小结1.让学生自己归纳整合本节所学的知识方法,并写出在线性约束条件下,当B<0时,求z=Ax+By+C 的最小值或最大值的求解程序,自己在本节中的最大收获有哪些？2.教师强调,通过本节学习,应全面掌握在线性约束条件下,求目标函数的最小值或最大值的方法,特别是求整点最优解的方法.作业课本习题3-4 A 组6.设计感想1.本节内容有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识.本节内容渗透了多种数学思想,是向学生进行数学思想方法教学的典型教材,也是培养学生观察、作图能力的典型教材.2.通过与上节类比,利用知识迁移,让学生更深入了解并掌握新知.这里强调的还有作图的规范问题,这是学生容易忽视的,但这又是本节课很重要的一部分.3.关于难度把握问题,依据《新课标准》及教材分析,二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象,按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解,再加上学生对代数问题等价转化为几何问题,以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程,故本节知识内容定为了解层次.但这个了解不同于其他的了解,应注意让学生切实学会从实际问题抽象出约束条件及目标函数,并注意规范书写解答步骤.(设计者:郑吉星)。