04微积分(经济类)考研真题四

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南开大学南开 2004年专业基础(微观经济学、宏观经济学、劳动经济学) 考研真题及答案解析

经济学院南开大学2004年研究生入学考试试题考试科目：专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）专业：劳动经济学第一部分微观经济学、宏观经济学（共100分）一、简答题（每题6分，共30分）1.比较序数效用论和基数效用论在描述者均衡时的区别。

2.对于厂商来说，其产品的需求弹性大于1和小于1对其价格战略（采取降价还是涨价）将产生何种影响？3.什么是边际产品转换率，当它与消费者对这两种产品和边际替代率不等时，市场将怎样调整？4.什么是有效需求，在市场经济中，引起有效需求不足的原因通常有哪些？5.财政赤字对宏观经济有哪些影响？二、计算题：（每题10分，共20分）1.在多马（Domar ）增长模型中，要保持国民收入的动态均衡，投资的增长路径必须符合下式要求：()()0st I t I e ρ=（a ）请说明ρ和s 的含义。

（b ）如果在现实中投资的增长速度为r ，与动态均衡所要求的增长速度不同（r≠ρs ），将会发生什么情况？请给出严格的数学证明。

2.假定某企业A 的生产函数为：0.50.510Q K L =；另一家企业B 的生产函数为：0.60.410Q K L =。

其中Q 为产量，K 和L 分别为资本和劳动的投入量。

（a ）如果两家企业使用同样多的资本和劳动，哪一家企业的产量大？（b ）如果资本的投入限于9单位，而劳动的投入没有限制，哪家企业劳动的边际产量更大？三、论述题（每题15分，共30分）1.什么是信息不对称，请举例说明为什么信息不对称人导致市场失灵？2.在固定汇率或盯住汇率制度下，那些因素会造成本国货币升值的压力？根据你学到的经济学知识，分析人民币如果升值可能对本国经济和其它国家经济造成的影响。

四、分析题（共20分）根据美国的在关统计，（1）2002年美国的对外贸易赤字规模为4890亿美元，占美国当年GDP 的4.7%；（2）自2000年以来，美国政府开支不断扩大，从2000年相当于GDP 总额2%的财政盈余，发展为2003年相当于GDP 总额4%的财政赤字；（3）美国的失业率居高不下，达到九年来6.1%的最高水平；（4）与此同时，美联储在最近仍然维持45年以来的最低利率水平。

考研数学真题大串讲-微积分

例2（0 2012数一）grad

xy
z y
2,1,1
例2（1 1991数一）设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P 1,1,1处指向外侧的法向量,
求u= 6x2 8y2 在P处沿n的方向的方向导数 z
6）几何应用（曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线）
例2（ 2 2014数一）曲面z x2 1sin y y2 1sin x在点1,0,1处的切平面方程为
x, y 0,0
A连续,偏导存在 B连续,偏导不存在 C 不连续,偏导存在
D不连续,偏导不存在
注 : 对二重极限的三类情形
xy
1) lim
x, y0,0
x2
y2
不存在
取不同的路径如y kx会有不同的极限值
2） lim x, y0,0
x2
x
y2
不存在
3） lim x, y0,0
2
3) 1
2
例（4 2012数一）如果f x, y在点0, 0处连续,则下列命题正确的是
A若极限lim f x, y 存在,则f x, y在点0, 0处可微
x0 x y
y0
B若极限lim x0
f x
2
x,
y
y2
存在,
则f
x,
y在点0, 0处可微
y0
C 若f x, y在点0, 0处可微,则极限lim f x, y 存在
例1（5 2015数二）已知f x, y满足fxy x, y 2 y 1ex , fx x, 0 x 1ex, f 0, y y2 2y 求f x, y的极值
（2009数二）设z f (x, y)的全微分dz xdx ydy,则点（0, 0）

2004年北京大学经济学院考研真题及答案解析

育明教育【温馨提示】现在很多小机构虚假宣传，育明教育咨询部建议考生一定要实地考察，并一定要查看其营业执照，或者登录工商局网站查看企业信息。

目前，众多小机构经常会非常不负责任的给考生推荐北大、清华、北外等名校，希望广大考生在选择院校和专业的时候，一定要慎重、最好是咨询有丰富经验的考研咨询师！2004年北京大学经济学院考研真题及答案解析微观经济学部分一、解释下列概念，并比较每对概念的区别与联系：1．希克斯替代效应和司拉斯基替代效应（可能是补偿）2．边际替代率和边际效用递减3．帕累托最优和？？？二、完全竞争市场、垄断竞争市场、完全垄断市场的长期均衡和产量、效率和获利比较。

三、？特？模型宏观经济学部分一、关于乘数和平衡预算乘数二、财政政策（或货币政策）的引致效用三、高宏习题第八题，？？？？政治经济学部分资本主义：一、劳动性商品理论二、平均利润的原理（生产价格）社会主义：一、社会主义市场经济的功能二、收入分配（可能）育明教育：2014年考研专业课答题攻略（一）名词解释1．育明考研名师解析名词解释一般都比较简单，是送分的题目。

在复习的时候要把重点名词夯实。

育明考研专业课每个科目都有总结的重要名词，不妨作为复习的参考。

很多高校考研名词解释会重复，这就要考生在复习的同时要具备一套权威的、完整的近5年的真题，有近10年的最好。

2．育明考研答题攻略：名词解释三段论答题法定义——》背景、特征、概念类比、案例——》总结/评价第一，回答出名词本身的含义。

一般都可以在书本找到。

第二，从名词的提出的背景、它的特征、相似概念比较等方面进行简述。

第三，总结，可以做一下简短的个人评价。

3．育明教育答题示范例如：“战略人力资源管理”第一，什么是战略人力资源管理（这是答案的核心）第二，它的几个特征，并简单做一下解释。

第三，和职能人力资源管理，人事管理等进行对比。

4．危机应对如果出现没有遇到的名词解释，或者不是很熟悉的名词解释，则尽量把相关的能够想到的有条理的放上去，把最有把握的放在第一部分，不要拘泥于以上的答案框架。

北京航空航天大学经济学综合2004年考研真题参考答案

北京航空航天大学2004年硕士试题经济学综合814一、设效用函数为2121ln ),(x x x x u +=，求1x 和2x 的需求函数。

（本题10分）二、试证明企业要素需求与要素价格成减函数关系。

（本题10分）三、试证明完全竞争市场条件下企业供给曲线是边际成本曲线的一部分。

（本题15分）四、解释卡特尔组织不稳定性的原因。

（本题15分）五、为什么在宏观经济学可以将IS －LM 分析称为短期分析，将AD －AS 分析称为中期分析，将经济增长理论称为长期分析？（本题15分）六、试推导IS 曲线、LM 曲线和AD 曲线。

（本题15分）七、利用新古典生产函数推导出索罗新古典增长模型的基本方程，并求解人均产出的稳态增长率。

（设劳动增长率为n ，技术增长率为a ）（本题20分）八、社会主义市场经济体制下财政职能有哪些变化？（15分）九、社会经济发展对财政收入有哪些影响？（20分）十、结合税收支出的作用谈谈税收支出的管理。

（15分）答案部分北京航空航天大学2004年硕士试题经济学综合一、设效用函数为2121ln ),(x x x x u +=，求1x 和2x 的需求函数。

（本题10分）解：1121(,)1x u x x MU x ∂==∂，21222(,)1x u x x MU x x ∂==∂ 由消费者均衡条件可知，1212x x MU MU P P =，即1221P P x λ==，（λ为货币的边际效应）。

所以1x 的需求弹性无穷大，其需求函数就为11P λ=，表现为一条平行于需求量轴的直线，2x 的需求函数为221x P λ=，是一条双曲线。

二、试证明企业要素需求与要素价格成减函数关系。

（本题10分）证明：设L 为一种生产要素，()MP L 为要素的边际产品，即增加一个要素投入增加的产量，边际产品是递减的。

在完全竞争条件下，()L MP L ⨯为边际产品价值，相当于使用要素的“边际收益”，w 为要素价格，相当于使用要素的“边际成本”。

2004数学四--考研数学真题详解

B 2004 − 2 A2 =
．
⎛3 0 0 ⎞
【答】
⎜ ⎜
0
3
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 −1⎟⎠
【详解】因为
⎜⎛ −1 A2 = ⎜ 0
0 −1
0 ⎟⎞ 0⎟ ,
B 2004 = P −1 A2004 P .
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
故
B 2004 = P −1 ( A2 )1002 P = P −1EP = E ,
∑ Y
=
1 n
n i =1
Xi
，
则
(A)
D( X 1
+
Y
)
=
n
+ n
2
σ
2
．
(B)
D( X 1
−Y)
=
n
+ n
2
σ2
．
(C)
Cov( X1,Y )
=
σ2 n
．
(D) Cov( X1,Y ) = σ 2 ．
【答】 [C]
【详解】由于随机变量 X1, X 2 ,", X n (n > 1) 独立同分布, 于是可得
由极限的保号性，至少存在一点 x0 ∈ (a,b)
使得
f
(x0 ) x0
− −
f (a) a
>
0 ，即
f
(x0 )
>
f
(a) .
同理，至少存在一点 x0 ∈ (a,b) 使得 f (x0 ) > f (b) .
所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).
(12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价, 则必须 (A) 当| A |= a(a ≠ 0) 时, | B |= a . (B) 当| A |= a(a ≠ 0) 时, | B |= −a .

微积分(经济类)考研真题

1..使得试补充定义设)1()1,21[,)1(1sin 11)(f x x x x x f ∈--+=πππ6.._____)1ln 1[lim 20=++→x x x 极限](/03数四考研题5.3.设常数a ≠12,则∞n lim →ln[]n na n a 2112()-+-n=( ).02数三、四考研题1.设对任意的总有且则(A)(B)(C)(D)存在且等于零.存在但不一定等于零.一定不存在.不一定存在.)()(x x ϕ≤≤x ,g x f )(,x lim ∞→x g )(=-)(x ϕ[]0,x lim ∞→x f )(( ).00数三考研题.______2lim,0,02.30=+>>→xxx x b a b a 则均为常数若00数四考研题(D)(C)(B)(A)xx f x g f x f ( ).)()()0()('有可去间断点在有跳跃间断点在存在且为不恒等于零的奇函数设=则函数,,;;;.4.03数三考研题处左极限不存在处右极限不存在x =0x =0x =0x =0)(考研真题一上连续在]1,21[)(x f .03数三考研题上连续在使试补充定义设]0,21[)()0(0,21,)1(1)(x f f x x x f ∈---=π.7.03数四考研题1x πsin 1x π](.__________,,5)(cos sin lim8.0===--→b a b x ae xx x 则若04数三、四考研题得( ).)2)(1()2sin(||)(9.2x x x x x x f ---=在下列哪个区间内有界函数);1,0((B));0,1((A)-);2,1((C)).3,2((D)04数三、四考研题2..,),()(10.且内有定义在设x f +∞-∞04数三、四考研题.0)((D);)(0(C);)(0(B);)(0(A)( ).,0,0,0,1)(,)(lim 的取值有关处的连续性与在点的连续点必是的第二类间断点必是的第一类间断点必是则a x x g x g x x g x x g x x x x f x g a x f x ====⎪⎩⎪⎨⎧=≠==∞→)(11.极限.________12sinlim 2=+∞→x xx x 05数三、四考研题12.________.1lim )1(=⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→nn n n 06数三、四考研题13.当+→0x 时,与x 等价的无穷小量是( ).(A)xe -1; )1ln x +;11-+x ; x cos 1-.(B)(C)(D)(07数三、四考研题=-+-11lim x e e _____________.32cos 0xx 17.18.当0→x 时,ax x x f sin )(-=与)1ln()(2bx x x g -=为等价无穷小,14.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=cx c x x x f ,2,1)(2在),(+∞-∞则._____=c x内连续,设,0b a <<则n n nn b a 1)(lim --∞→+(A) ;a (B);1-a (C) ;b (D) .1-b 15.( ).等于16.设某企业生产线上产品合格率为0.96, 不合格产品中只有43进行再加工且再加工的合格率为0.8,其余均为废品80元20元2万元, 每件合格品获利, 每件废品亏损, , 问企业每天至少生产多少产品,?为保证该企业每天平均利润不低于产品可08四考研题08数三、四考研题08四考研题09数三考研题3..则( ).(A)61,1-==b a (B)61,1==b a (C)61,1-=-=b a (D)61,1=-=b a ;;;.19.函数xx x x f πsin )(3-=的可去间断点的个数,则( ).(A)3无穷多个(B)(C)21(D) ;;;.09数一、三考研题09数二、三考研题若111lim=--xx e a x x , 则a 等于( ).(A)0(B)1(C) 2(D)3→⎭⎫ ⎝⎛⎪][20.;;;.10数三考研题4..考研真题二设函数在点处可导则函数在点的充分条件是)(x f a =x ,)(x f a =x (A)(B)(C)(D))(a f =且0)(a f =0';)(a f >且0)(a f >0';)(a f <且0)(a f <0'.)(a f =且0)(a f 0';≠处不可导).(1.00数三、四考研题,00,00,1cos )(则处连续其导数在若若设λλ=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x x x x f ,2.的取1)(0)1(1)()(|1|)(3既非充分也非必要条件充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件处可导的在是处连续在其中设函数(D)(C)(B)(A)x x f x x x x x f ===-=ϕϕϕ则,).(,;;;.4.03数四考研题.0)(),,((D);0)(),,((C));()(),,((B));()(),,((A)( ).,0)(,0)(,],[)(5.00000000=∈='∈>∈>∈<'>''x f b a x x f b a x b f x f b a x a f x f b a x b f a f b a x f 使得至少存在一点使得至少存在一点使得至少存在一点使得至少存在一点误的是则下列结论中错且上连续在设04数三、四考研题._______|,1lnarctan 6.122=+-==x x x x d x d ye e e y 则设04数四考研题.____322=+-=b a b x b a x y 表示为可以通过轴相切与已知曲线则,x 3.03数三考研题.____值范围是03数三考研题327.设函数321+=x y ,则=)0()(n y ____________.07数三、四考研题8.设函数)(x f 在0=x 处连续,下列命题错误的是( ).(A)若xx f x )(lim→存在,则0)0(=f ;07数三、四考研题5..若x x f x f x )()(lim 0-+→存在,则0)0(=f ;若x x f x )(lim→存在,则)0(f '存在;若xx f x f x )()(lim 0--→存在,则)0(f '存在.(B)(D)(C)9.设某产品的需求函数为)(P Q Q =其对应的价格P 的弹性2.0=P ξ,则当10 000件时,价格增加1_________元.元会使产品收益增加需求为09数三考研题6..考研真题三-=+arctan 2.,)1(πe x y x渐近线的单调区间和极值求函数并求该函数图形的00数三、四考研题1.设)(x f 的导数在a x =处连续则(A)a x =是)(x f 的极小值点(B)a x =是)(x f 的极大值点(C)))(,(a f a 是曲线)(x f y =的拐点(D)a x =不是)(x f 的极值点))(,(a f a 也不是曲线;;;又,,1)(lim-=-→ax x f ax ',).(01数三、四考研题的拐点.)(x f y =2.已知)(x f 在),(+∞-∞内可导且e xf x =∞→)(lim )]1()([lim )(lim--=-+∞→∞→x f x f cx c x x xx 求c 的值.',,,01数三、四考研题3.某商品进价为a (元/件)根据以往经验b (元/件)时当销售价为,,,销4.售量为c 件(c b a ,,均为正常数且a b 34≥)市场调查表明销售价每下降,,10%销售量可增加40%现决定一次性降价试问当销售价定为多少时并求出最大利润.?,,,,获得最大利润可01数四考研题存在),(b a ∈ξ使))(()()(a b f a f b f -=-ξ(D),.'.0)('),3,0(.1)3(,3)2()1()0(,)3,0(,]3,0[)(=∈==++ξξf f f f f x f 使试证必存在且内可导在上连续在设函数.)(,).(),()(,1最小？并求出最小值为何值时问内的驻点为在设a t a a t at a t f a t +∞-∞-=>6.03数三考研题7.03数四考研题设函数)(x f 在],[b a 上有定义),(b a 内可导则当0)()(<b f a f 时),(b a ∈ξ使0)(=ξf 对任何),(b a ∈ξ有0)]()([lim =-→ξξf x f x (A)(B)在存在,,,,;;,( ).02数三、四考研题5.当)()(b f a f =时),(b a ∈ξ使0)(=ξf (C)存在,;',7..;)()0,0(,)(0(A)( ).|,)1(|)(8.的拐点不是曲线但的极值点是则设x f y x f x x x x f ==-=04数三、四考研题.)()0,0(,)(0(D);)()0,0(,)(0(C);)()0,0(,)(0(B)的拐点也不是曲线的极值点不是的拐点是曲线且的极值点是的拐点是曲线但的极值点不是x f y x f x x f y x f x x f y x f x ======.cos sin 1lim9.2220-→x xx x 求)(04数三、四考研题.,),)(1()();0()(.),20,0(,510010.降低价格反而使收益增加围内变化时说明价格在何范并用弹性为收益其中推导求需求量对价格的弹性为需求量其中价格设某商品的需求函数d d d d E R E Q d P d RE E Q P P Q -=II >I ∈-=04数三、四考研题11.当a 取下列哪个值时, 函数a x x x x f -+-=1292)(23(A) 2; (B) 4; (C) 6; (D) 8.恰有两个不同的零点.( )05数三、四考研题12.设,cos sin )(x x x x f +=下列命题中正确的是( ).(A))0(f 是极大值,)2(πf 是极小值;)0(f 是极小值,)2(πf 是极大值;(B)(C))0(f 是极大值,)2(πf 也是极大值;)0(f 是极小值,)2(πf 也是极小值.05数三、四考研题(D)13.以下四个命题中, 正确的是( ).(A)若)(x f '在(0,1)内连续, 则)(x f 在(0,1)内有界;(B)若)(x f 在(0,1)内连续, 则)(x f 在(0,1)内有界;(C)若)(x f '在(0,1)内有界, 则)(x f 在(0,1)内有界;(D)若)(x f 在(0,1)内有界, 则)(x f '在(0,1)内有界.05数三、四考研题14.求.111lim 0⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-→x e x x x 05数三、四考研题8..15.设函数)(x f 在2=x 的某邻域内可导, 且1)2(,)()(=='f e x f x f , 则_______)2(='''f .16.设函数)(x f 在0=x 处连续1)(lim220=→x x f x 则(A)0)0(=f 且)0(f '存在(B)1)0(=f 且)0(f '存在(C)0)0(=f 且)0(+'f 存在(D)1)0(=f 且)0(+'f 存在(且).17.设0,0,arctan sin 11),(>>--+=y x x y xy xy yy x f π,求(1)),(lim )(y x f x g y +∞→=;(2))(lim 0x g x +→,,.;;;.06数三、四考研题06数三、四考研题06数三、四考研题18.=+++++∞→)cos (sin 21lim323x x x x x x x ____________.07数三、四考研题19.曲线)1ln 1x e x y ++=渐近线的条数为( ).(A)0;1;2;3.(B)(C)(D)(07数三、四考研题20.设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 确定,试判断曲线)(x y y =在)1,1(附近的凹凸性.,点07数三、四考研题21.设函数)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内二阶可导且存在相等,又).()(),()(b g b f a g a f ==证明:(Ⅰ)存在),,(b a ∈η使得)()(ηηg f =; (Ⅱ)存在),,(b a ∈ξ使得)()(ξξg f ''=''.的最大值07数三、四考研题22. 设函数)(x f 在区间[-1是连续0=x 是函数的(A)跳跃间断点;(B)可去间断点(C)无穷间断点;(D)振荡间断点则,1],x g =)(( ).;.08数三、四考研题23.求极限.sin ln 1lim 2x x x x →08数三、四考研题9..25.设,)()(10d t x t t x f -=,10<<x 求)(x f 的极值、单调区间和凹凸.||区间24.已知函数)(x f 连续且,2)(lim 0=→xx f x 则曲线)(x f y =0=x 处切线方程为_______.上对应08数四考研题08数四考研题26.(1)证明拉格朗日中值定理:若函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,导,则存在()b a ,∈ξ使得()()a b f a f b f -'=-ξ)()(.证明:若函数)(x f 在0=x 处连续,在()()0,0>δδ内可导,且()A x f x ='+→0lim 则()0+'f 存在,且()A f ='+0.(2),可09数一、三考研题若曲线123+++=bx ax x y 有拐点)0,1(-,则=b ________.27.28.设函数)(x f ,)(x g 具有二阶导数,且,0)(<x g a x g =)(0是)(x g 的极值,则))((x g f 在0x 的极大值的一个充分条件是( ).(A)0)(<a f (B)0)(>a f (C)0)(<a f (D)0)(>a f ''''''''29.设x x f 10ln )(=,x x g =)(,10)(x e x h =,则当x 充分大时有( ).(A))()()(x f x h x g <<(B))()()(x f x g x h <<(C))()()(x h x g x f <<(D))()()(x h x f x g <<求极限x xx xln 11)1(lim -.→+∞30.10数三考研题;;;.10数三考研题/;;.;10数三考研题10数三考研题10..设xxx f )(sin =,求d x .2sin 7.02数三、四考研题考研真题四.______)(,1)(ln =+='x f x x f 则设95数三考研题.________,arcsin )(=+=x C x d x x xf 则设96数三考研题._____=x 98数三考研题1.3.4..)(arcsin 2d x x 求不定积分95数四考研题2.).(,0)(,1)0(x f x F F 试求已知>=6.填空d x x x arcsin =00数四考研题._____0,)()(x x f x F 时且当的原函数为设≥5.,)1(2)()(2x xe x F x f x+=99数四考研题)(x f 8.计算不定积分).0(11ln >⎪⎪⎭⎫⎝⎛++x d x x x09数二、三考研题11..考研真题五00数三考研题.__________12=++∞-xxe e d x1..131+∞-++=xx e e d xI 计算00数四考研题2.).()1()((0,1),1ξξξξf f --='∈使得试证明至少存在一点已知抛物线qx px y +=2 (其中0<p ,0>q )在第一象限内与直线5=+y x 相切,且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S .(1)问p 和q 为何值时,S 达到最大值?(2)求出此最大值5..01数三考研题).()()()(),,0(,,25)1(,),0()(111x f d uu f x d u u f td u u f t x f x f t x xt 求足条件且对所有内连续在设函数+=+∞∈=+∞01数四考研题6.满).(2)(),1,0()(3)1(,)1,0(,]1,0[)(31012ξξξξf f d xx f e f x f x ='∈=-使得证明存在且满足内可导在上连续在区间设01数四考研题7.._____)|(11||=+--d x e x x x 03数四考研题8.|)(,21),1(3110),1(21)(.)()(3.2则若若其中设x g x x x x x f d u u f x g x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+==,)1,0(,]1,0[)(x f 且满足内可导在上连续在设01数三考研题4..;;;)2,0(连续不连续递减无界内在区间(D)(C)(B)(A)01数三考研题)(.)1()()1(101k d x x f xe kf k x ->=12..,)0,1(),1,0()(的一段连续曲线是第一象限内连接点设B A x f y =9..)(,316,,,3的表达求的面积之和为的面积与曲边三角形梯形为坐标原点轴上的投影在为点为该曲线上任意一点x f x CBM OCMA O x M C +),(y x M 若03数四考研题.0],,0[,)(0的销售量为到时刻设某商品从时刻k T t kt t x t >∈=10.式.______)1(,21,1,2121,)(12.2=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤-=d x x f x x xe x f x 设04数三、四考研题).()(,)((D));()(,)((C);0,),()((B);0)((A)( ).,)()(,0,1,0,0,0,1)(13.0x f x F x F x f x F x F x x F x x F d t t f x F x x x x f x ='='=+∞-∞==⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=但不一定满足内可导在且满足内可导在点不可导在内连续在点不连续在则设),(+∞-∞),(+∞-∞04数四考研题.)((2);)()((1).)(0,)(,0.)(,0,,0,)(14.1122的最小值的表达式求的面积表示矩形对任何之间的面轴与曲线表示夹在设t S t S S t S t F y t x t t S t x F y x S x e x e x F x x -=≤≤≤≤->=⎩⎨⎧>≤=-04数四考研题(1)的值并确定时的商品剩余量k t ,.的该商品销售完时将数量为A T 试求,03数四考研题.],0[(2)上的平均剩余量在时间段T ,],[)(),(11.b a x g x f 且满足上连续在设04数三考研题,)()(),,[,)()(=∈≥b ab ax a x ad t t g d t t f b a x d t t g d t t f .)()(≤b ab ad x x xg d x x xf 证明欲在积13..15.设)(),(x g x f 在[0,1]上的导数连续, 且.0)(,0)(,0)0(≥'≥'=x g x f f (1).)()()()()(1g a f d x x g x f d x x f x g a≥'+'⎰⎰证明: 对任何],1,0[∈a 有05数三、四考研题16.下列结论中正确的是( ).(A)⎰+∞+1)1(x x d x与⎰+1)1(x x d x都收敛;⎰+∞+1)1(x x d x与⎰+1)1(x x d x都发散;(C)⎰+∞+1)1(x x d x发散,⎰+1)1(x x d x收敛;⎰+∞+1)1(x x d x收敛,⎰+1)1(x x d x发散.(B)(D)05数四考研题06数四考研题17.设函数)(x f 与)(x g 在]1,0[上连续)()(x g x f ≤则对任何)1,0(∈C (A)⎰⎰≥ccd t t g d t t f 2121)()((B)⎰⎰≤ccd t t g d t t f 2121)()((C)⎰⎰≥11)()(c cd t t g d t t f (D)⎰⎰≤11)()(c cd t t g d t t f 且,,).(;;;.18.如图,连续函数)(x f y =在区间]2,3[--,]3,2[上的图形分别是半1的上、,在区间]2,0[],0,2[-上的图形分别是直径为2的下、.设=xdt t f x F 0)()(,则下列结论正确的是( ).(A))2(43)3(--=F F ;)2(45)3(F F =;(C))2(43)3(F F =-;(D))2(45)3(--=-F F .(B)下半圆周径为上半圆周⎰1231-2-3-O xy设函数),(y x f 连续,则二次积分等于( ).19.1sin 2),(xdy y x f dx ππ⎰⎰07数三、四考研题07数三、四考研题14..(A)+ππyd x y x f dy arcsin 1),(; -ππyd x y x f dy arcsin 10),(;(C)+yd x y x f dy arcsin 21),(ππ;-yd x y x f dy arcsin 210),(ππ.(B)(D)⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20.设某商品的需求函数为,2160p Q -=其中p Q ,分别表示需求量和价,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是( ).(A)(B)(C) (D)10; 20; 30;40.格07数三、四考研题08数三考研题21.函数,1143x x x x x f ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求积分⎰=222._____)(d x x f 22.曲线方程为)(x f y =函数在区间],0[a 上有连续导数'ad x x f x 0)(( ).(A)曲边梯形ABOD 面积(B)梯形ABOD 面积(C)曲边三角形ACD 面积(D)三角形ACD 面积.则定积分表示;;;,⎰08数三、四考研题23. )(x f 是周期为2的的连续函数,(1)证明对任意实数+=22)()(t t d x x f d x x f ;(2)证明d t d s s f t f x g x t t-=+02)()(2)(是周期为2的周期函数.⎥⎦⎤⎢⎣⎡都有t ⎰⎰⎰⎰08数三、四考研题24.使不等式x d t ttxln sin 1>成立的x 的范围是(0,1)1,2π)ππ,2)+∞,π)(D)(C)(B)(A);(((;;.( ).25.设函数)(x f y =在区间[]31-图形如右图所示则函数⎰=x d t t f x F 0)()(为( ).,)(x f O 1-2-123x,)(x F O1-2-123x1-(A))(x F O1-2-123x1-(B)上的09数三考研题⎰09数三考研题15..设曲线)(x f y =,其中)(x f 是可导函数,且0)(>x f ,)(x f y =与直线y 及)1(>=t t x 所围成的曲边梯形,绕x 体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍,求该曲线方程.26.=0,x =1已知曲线)(x F O1-2-123x1-1(C))(x F O1-2-123x1-1(D)09数三考研题轴旋转一周所得的立27.设可导函数)(x y y =由方程=+-xy x x t d x x d x e 020sin 2确定,则.__________0==x d x d y⎰⎰28.设位于曲线)()ln 1(12<+=x e x x y 下方,x 轴上方的无界区域为G ,则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是 __________.≤+∞29.比较+10)]1[ln(|ln |d t t t n与1|ln |d t t t n ),2,1(=n 的大小,说明理.设+=1)]1[ln(|ln |d t t t u nn ),2,1(=n ,求极限n n M lim .⎰⎰ΛΛ⎰→∞(1)(2)设函数)(x f 在]3,0[上连续,在)3,0(内存在二阶导数,且),3()2()()0(220f f d x x f f +==(1)证明:存在),2,0(η使)0()(f f =η;(2))3,0(ξ,使0)(=ξf .⎰∈∈''30.10数三考研题10数三考研题由证明:存在10数三考研题10数三考研题16..考研真题六.)0(22围成的区域和直线x y a x a a y -=>-+-=,是由曲线其中D σ2.00数三考研题.__________,,,,=∂∂⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x z g f x y g y x xy f z 则均可微其中设1.00数三考研题,两个市场的需求假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品3.00数三/四考研题函数分别是;12,2182211Q P Q P -=-=),:,(),/:(2121Q Q P P 并且该企业生产吨单位即需求量分别表示该产品在两个市场的销售量和吨万元单位分别表示该产品在两个市场的价格和其中.,.5221Q Q Q Q Q C +=+=即表示该产品在两个市场的销售总其中这种产品的总成本函数是,(1)试确定两个市场上该产品的销售量和价如果企业实行价格差别策略量2=-xy e xy 和求d xd u ,.=-z x x d t tt e 0sin .,arctan,ln ,22d z xyv y x u u z v 求已知=+==5.00数四考研题设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数又函数)(x y y =及)(x z z =别由下列两式确定：6.,01数三考研题.;,,(2).,并比较两种价格策略下的总利润大使该企业的总利润最大化其统一的价格试确定两个市场上该产品的销售量及如果企业实行价格无差别策略使该企业获得最大利润}.2|),{(,),(,0,0,21),(222x y x y x D d x d y y x f x y x y x y x f ≥+=⎩⎨⎧≤≤≤≤=其中求其它设4.00数四考研题D格小分17..求二重积分的值,其中D 是由直线x y =,1-=y 及1=x 围成的平面区域.7.+d x d y xe y ]1[+y x )(22201数三考研题D设函数),,(z y x f u =有连续偏导数),(y x z z =由方程所确定d u 9.且求,,.zy x ze ye xe =-02数三考研题10.设闭区域0,:22≥≤+x y y x D .),(y x f 为D 上的连续函数,且-=d u d v v u f y x f ),(8),(π求).,(y x f --y x 122,02数四考研题D设)2(y x f e z x --=-,且当0=y 时,2x z =,则=8.01数四考研题________.∂∂xz 11.}.|),{,)sin 2222)(22ππ≤+=+=-+-y x y x D d y x e I y x其中积分区域计算二重积分(x d y (D03数三、数四考研题12.求又且满足具有二阶连续偏导数设2222222222)(21,[),(,1),(y gx g y x x f v u g v f u f v u f ∂∂+∂∂-==∂∂+∂∂,y ,].03数三、数四考研题13.=-=⎩⎨⎧≤≤==>d x y g x f D x a x g x f a ._______)()(,010,)()(,0表示全平面而其它设则d ,x y ,I D03数三、数四考研题14.y y y x f D y y y x f C y y y x f B y y y x f A y x y x f ),()(;),()(;),()(;),()(),(),(0000000000处的导数不存在在处的导数小于零在处的导数大于零在处的导数等于零在取得极小值在点设可微函数====.,则下列结论正确的( ).是03数三考研题18..22.设函数)(u f 可微且21)0(='f , 则)4(22y x f z -=在点(1, 2)处的全微分_______)2,1(=d z, .06数三、四考研题19.设)(u f 具有二阶连续导数, 且,),(⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x yf x y f y x g 求.222222y g y x g x ∂∂-∂∂05数三、四考研题20.计算二重积分,|1|22-+d y x σ其中}.10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D D05数三、四考研题21.求2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{22≤+=y x y x D 和最小值.(上的最大值05数四考研题处的.__________,0)(,)(,)(]),([),(15.2=∂∂∂≠+=vu fy g y g y g x y y xg f v u f 则且其中函数确定由关系式函数可微04数三考研题).(1)1(4,)(16.222222如右图所围成的平面区域和是由圆其中求=++=+++y x y x D d y y x σDOxyD 04数三、四考研题其中18.设,)cos(,)cos(,cos 2223222221+=+=+=d y x I d y x I d y x I σσσ(A)123I I I >>;321I I I >>;312I I I >>;213I I I >>.(C)(D)(B)DDD},1|),{(22≤+=y x y x D 则( ).05数三、四考研题17.设二元函数),1ln()1(y x xe z y x +++=+则._________|)0,1(=d z 05数三、四考研题19..24.x d y ,其中D 是由直线0,1,===x y x y ,所围成的平面区域.(D)若0),(00≠'y x f x 则0),(00≠'y x f y .,(C)若0),(00≠'y x f x 则0),(00='y x f y ;,(B)若0),(00='y x f x 则0),(00≠'y x f y ;,(A)若0),(00='y x f x 则0),(00='y x f x ;,下列选项正确的是( ).,),(00y x 是),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ下的一个极值点23.设),(y x f 与),(y x ϕ均为可微函数0),(≠'y x yϕ. 已知且,06数三、四考研题06数三、四考研题25.设),(v u f 是二元可微函数,,,⎭⎫⎝⎛=y x x y f z 则=∂∂-∂∂y zy x z x _______.07数三、四考研题26.设二元函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+<+≤+=2||||1,11||||,),(222y x y x y x x y x f 计算二重积分,),(Dd y x f σ其中}.2|||),({≤=y x y x D ,|+07数三、四考研题27.设,),(42y x e y x f +=则函数在原点偏导数目字存在的情况是)0,0(x f (A)'存在,)0,0(y f '存在;(B))0,0(x f (C)'存在,(D)都不存在.( ).)0,0(y f '不存在;)0,0(x f '不存在,)0,0(y f '存在;)0,0(x f ')0,0(y f ',08数三考研题28.设函数连续其中区域则为图中阴影部分f ,),(x d y v u F ==∂∂uF( ).,(x )D uv ,20..);(2u vf );((B)u vf );((C)2u f uv ).((D)u f uv (A)29.⎰⎰=-Dd x d y y x ._____)(2其中1:22≤+y x D .⎰⎰08数三考研题求二重积分Dd x d y xy ,)1,max(其中}.20,20|),{(≤≤≤≤=y x y x D 30.08数三考研题31.设),(y x z z =是由方程)(22z y x z y x ++=-+ϕ其ϕ具有2阶导数且1-≠'ϕ时(1)d z ;(2)记,1),(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=y z x zy x y x u 求.xu ∂∂所确定的函数,求,中08数三、数四考研题.32.求函数222z y x u ++=在约束条件22y x z +=和4=++z y x 大和最小值下的最08数三、数四考研题33.设)(x f 是连续奇函数)(x g 是连续偶函数{},x y x x y x D ≤≤-≤≤=,10|),(则正确的=Dd x d y x g y f ;0)()((A)=+D d x d y y g x f ;0)]()([(C),区域,( ).=Dd x d y y g x f ;0)()((B)=+Dd x d y x g y f ;0)]()([(D)08数四考研题34..________ln 2110=x d y x d xy 08数四考研题35.设e x Z )(+=,则=∂∂xz _____________.x y )0,1(36.求二元函数()y y y x y x f ln 2),(22++=的极值.09数一、三考研题37.求二重积分-Dd x d y y x )(,其中{}.x y y x y x D ≥≤-+-=,2)1()1(),(2209数二、三考研题09数三考研题计算二重积分d x d y y x D+3)(,其中D 由曲线21y x +=与直线02=+y x 及02=-y x 围成.⎰⎰求函数yz xy M 2+=在约束条件10222=++z y x 下的最大值和最小值.38.39.10数三考研题10数三考研题21...,,2,1,0,cos sin 40==n n n I n x d x x I 求设Λπ00数三考研题1.q p a (A)n a a q a a p n n n n n n n n n ,,2,1,2||,2||2.的敛散性都不定都收敛与条件收敛若则下列命题正确的是设=-=+=Λ;().则,q p a (B)n n n 都收敛与绝对收敛若;则,q p a (C)n n n 与条件收敛若;则,03数三考研题∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n .)()1|(2)1(12及其极值的和函数求幂级数x f x n x nn <-+|3.03数三考研题的敛散性都不定q p a (D)n n n 与绝对收敛若;则,1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 4.设有以下命题:①;,)(212收敛则收敛若-+n n n u u u ②;,1000收敛则收敛若+n n u u 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 04数三考研题考研真题七④.,,)(都收敛则收敛若+nn n n v u v u 则以上命题中正确的是( ).(A)①②;②③;③④;①④.1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n (B)(C)(D)③;,1lim1发散则若+∞→>nnn n u u u 1∑∞=n 5.设,,2,1,0Λ=>n a n 若n a 发散,--1)1(n n a 收敛, (A)-12n a 收敛,2n a 发散;收敛,-12n a 发散;(B)∑∞=1n ∑∞=1n 则下列结论正确的是( ).∑∞=1n ∑∞=1n 2n a ∑∞=1n ∑∞=1n 22.. 6.求幂级数⎪⎭⎫⎝⎛-+21121n x n 在区间)1,1(-内的和函数).(x S ∑∞=1n 05数三考研题8. 求幂级数∑∞-+---1121)12()1(n n n n n x 的收敛域及和函数)(x S .7.若级数n a 收敛( ).则级数,∞=1n ∑(A)收敛;(B)收敛;n ∞=1n ∑n a ∞=1n ∑-)1(n a (C)收敛;(D)++12n n a a 收敛.n a ∞=1n ∑1+n a ∞=1n ∑(C)-+212)(n n a a 收敛;(D)--212)(n n a a 收敛.∑∞=1n ∑∞=1n 05数三考研题06数三考研题06数三、数四考研题9.将函数431)(2--=x x x f 展开成1-x 的幂级数,并指出其收敛区间.07数三考研题10.设银行存款的年利率0.05,并依年复利计算A 万元实现第一年取出19万元28元n 年取出10+9n 万元A 至少为多少万元第二年取出…第问并能按此规律一直提取下去,,,,?r =.某基金会希望通过存()款万,08数三考研题11.幂级数nn nn x n e ∑∞=--12)1(的收敛半径为_____________.09数三考研题23..考研真题八x y y e y y 2.1)0(,1)0(02='==-'-''的解满足条件求微分方程00数三考研题1.2.已知满足+= (n 为正整数),且n ef n =)1(,求函数项级数之和)(x f n )(x f n e x ∑∞=1n )(x f n n x )(f 'n x 1-.01数三考研题3. (1)验证函数)()3(!9!6!31)(3963+∞<<-∞++++++=x n x x x x x y n满足微分方程y =++(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数!......y 'y ''e x .∑∞=0n ;)3(3n x n!02数三考研题),()(),(),()()(内满足以下条件在其中函数设x g x f x g x f x F +∞-∞=4..2)()(,0)0()()('),()('且e x g x f f x f x g x g x f x =+===:.)((2))((1)的表达式求出;所满足的一阶微分方程求x F x F 03数三考研题,1),(2222v fu f v u f =∂∂+∂∂又且满足具有二阶连续偏导数设,6..)(21,[),(222222y gx g y x xy f v u g ∂∂+∂∂-=求],03数三、四考研题.)()(;)()().()(8642642425.864的表达式所满足的一阶微分方程求的和函数为设级数x S x S x S x x x x II I +∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅Λ04数三考研题7.微分方程0=+'y y x 满足初始条件2(1)=y 的特解为_______.05数三、四考研题24..9.在xOy 坐标平面上, 连续曲线L 过点)0,1(M 其上任意点)0),(≠x y x P 处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数0>a )(1)求L 的方程;(2)当L 与直线ax y =所围成平面图形的面积为38时, 确定a 的值.8. 设非齐次线性微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个的解C x y x y ),(),(21为任意常数, 则该方程通解是(A)[];)()(21x y x y C - (B)[];)()()(211x y x y C x y -+(C)[];)()(21x y x y C +(D)[].)()()(211x y x y C x y ++:06数三、四考研题06数三、四考研题(10.微分方程321⎭⎫⎝⎛-=x y x y d x d y 满足1|1==x y 的特解为=y ___________.07数三、四考研题11.设函数)(x f 具有连续的一阶导数,且满足,)()()(0222+'-=xx dt t f t x x f 求)(x f 的表达式.⎰07数四考研题微分方程0=+'y y x 满足条件1)1(=y 的解是=y ______.08数三考研题13.微分方程0)(2=-+-x d y d x e x y x 的通解是._______=y 08数四考研题14.设某商品的收益函数为),(P R 收益弹性为,13P +其中P 为价格,且,1)1(=R 则.__________(=P R 设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+的两个特解, 常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解,21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解,则( ).(A)21=λ,21=μ(B)21-=λ,21-=μ(C)32=λ,31=μ(D)32=λ,32=μ'12.10数三考研题)15.若;;;.10数三考研题。

南开大学2004年考研初试真题(020204-金融学)微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史答案

经济学院南开大学2004年研究生入学考试试题考试科目：专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）专业：经济史第一部分微观经济学、宏观经济学（共100分）一、简答题（每题6分，共30分）1.比较序数效用论和基数效用论在描述者均衡时的区别。

2.对于厂商来说，其产品的需求弹性大于1和小于1对其价格战略（采取降价还是涨价）将产生何种影响？3.什么是边际产品转换率，当它与消费者对这两种产品和边际替代率不等时，市场将怎样调整？4.什么是有效需求，在市场经济中，引起有效需求不足的原因通常有哪些？5.财政赤字对宏观经济有哪些影响？二、计算题：（每题10分，共20分）1.在多马（）增长模型中，要保持国民收入的动态均衡，投资的增长路径必须符合下式要求：()()0st=I t I eρ（a）请说明ρ和s的含义。

（b）如果在现实中投资的增长速度为r，与动态均衡所要求的增长速度不同（r≠ρs），将会发生什么情况？请给出严格的数学证明。

2.假定某企业A的生产函数为：0.50.5=；另一家企业B的Q K L10生产函数为：0.60.410=。

其中Q为产量，K和L分别为资本和Q K L劳动的投入量。

（a）如果两家企业使用同样多的资本和劳动，哪一家企业的产量大？（b）如果资本的投入限于9单位，而劳动的投入没有限制，哪家企业劳动的边际产量更大？三、论述题（每题15分，共30分）1.什么是信息不对称，请举例说明为什么信息不对称人导致市场失灵？2.在固定汇率或盯住汇率制度下，那些因素会造成本国货币升值的压力？根据你学到的经济学知识，分析人民币如果升值可能对本国经济和其它国家经济造成的影响。

四、分析题（共20分）根据美国的在关统计，（1）2002年美国的对外贸易赤字规模为4890亿美元，占美国当年的4.7%；（2）自2000年以来，美国政府开支不断扩大，从2000年相当于总额2%的财政盈余，发展为2003年相当于总额4%的财政赤字；（3）美国的失业率居高不下，达到九年来6.1%的最高水平；（4）与此同时，美联储在最近仍然维持45年以来的最低利率水平。

北京航空航天大学经济学2004年考研真题参考答案

北京航空航天大学2004年硕士试题经济学482一、解释下列概念（本题共20分，每小题2分）1．边际效用2．经济成本3．Ceteris paribus4．逆向选择5．自然垄断6．外部性7．潜在产出8．实际利率9．公开市场操作（业务）10．购买力平价二、选择题（ABCD四个备选答案中，只有一个是最合适的，将其选出。

本题共40分，每小题2分）1．在无差异曲线上的任何一点，商品X和Y的边际替代率等于它们的（）A．价格之比B．数量之比C．边际效用之比D．边际成本之比2．如果两种商品的需求的交叉弹性小于零，这两种商品的关系是（）A．替代品B．互补品C．无关商品D．可能是替代品也可能是互补品3．过原点的线性供给各点的弹性为（）A．大于1B．小于1C．等于1D．不确定4．下面关于平均成本与边际成本关系的说法，哪一个是正确的（）A．平均成本上升，边际成本可能上升也可能下降B．在边际成本曲线的最低点，边际成本等于平均成本C．如果边际成本上升，平均成本一定上升D．在平均成本曲线的最低点，边际成本等于平均成本5．等成本线的斜率表示的是（）A．横轴要素价格对纵轴要素价格的比率B．纵轴要素价格对横轴要素价格的比率C．既定成本下的各种可能的产量D．既定产量下的总成本6．完全竞争厂商的主要策略手段是（）A．广告B．涨价C．降价D．降低成本7．垄断厂商达到均衡时，下列公式成立的是（）A．P＝MC＝MRB．P＞MC＝MRC．P＞MC＝ARD．ABC都对8．垄断竞争厂商短期达到均衡时候，它（）A．一定能够获得超额利润B．一定不能获得超额利润C．只能得正常利润D．获得超额利润、获得正常利润和亏损都有可能9．哪一年，苏格兰人亚当·斯密出版了《国民财富的性质和原因的研究》一书，从而创立了近代经济学体系。

（）A．1759年B．1776年C．1817年D．1794年10．一个厂商，有3个不同的项目可以生产，那么，从经济学家的角度，它阳多可以在几个项目中获利。

[考研类试卷]考研数学二(多元函数微积分)历年真题试卷汇编4.doc

（D）u(x，y)的最小值在D的内部取得，最大值都在D的边界上取得．
7 (15年)设函数f(u，v)满足依次是
8 (15年)设D是第一象限中由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x，围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续．则 f(x，y)dxdy=
9 (16年)已知函数f(x，）I1＞0．
（B）I2＞0．
（C）I3＞0．
（D）I4＞0．
6 (14年)设函数u(x，y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足
（A）u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得．
（B）u(x，y)的最大值和最小值都在D的内部取得．
（C）u(x，y)的最大值在D的内部取得，最小值都在D的边界上取得．
二、填空题
12 (12年)设其中函数f(u)可微，则
13 (14年)设z=z(x,y)是由方程e2yz+x+y2+z= 确定的函数，则
14 (15年)若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz|(0,0)=______．
15 (17年)设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且df(x，y)=yeydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则f(x，y)=_____．
[考研类试卷]考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (11年)设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g’(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是
（B）fx'+fy'=0．

西安交通大学经济学2004年考研试题及答案

西安交通大学2004年硕士学位研究生入学考试试题考试科目：经济学科目编号：494考试时间：1月11日下午所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上和其它草稿纸上一律无效。

一、解释名词（每小题5分，共20分）1．单一弹性2．经济租金3．资本边际效率4．凯恩斯陷阱二、计算题（每小题l0分，共30分）1．某产品的市场需求函数为d=60－p，该市场由一个垄断企业所支配。

其成本函数为c=22x求企业在均衡时的价格、供给及企业利润。

2．某产品x的市场需求函数为x=64－P，该市场由企业l、2支配，各自的成本函数均为c=4x+10，求（1）古诺均衡时两企业的利润及产量。

（2）若两个企业共谋，各自的产量和利润是多少？3．假定经济的短期生产函数是y=14N－0.04N2，劳动力的需求函数是N d=l75－12.5（W/P），劳动力的供给函数是Ns=70+5（W/P）。

求，当P=1和P=1.25的水平下劳动力市场均衡时的就业量。

三、简答题（每小题10分，共60分）l．简要说明时间因素是如何影响商品的供给弹性大小的？2．试说明完全竞争市场厂商在短期均衡的基本条件，并就以此为基础说明厂商在短期生产中经济决策的基本特征．3．什么是帕累托最优状态？根据经济学原理实现帕累托最优状态的前提是什么？4．简要说明投资在宏观经济学中的地位和影响，它与资本有何区别？5．什么是财政政策的“挤出效应”？一般地说来决定挤出效应大小的主要是什么？6．简要说明需求拉上性型通货膨胀理论的基本观点并进行评论。

四、论述题（每小题20分，共计40分）l．为什么在经济活动中会存在外部性？试通过事例说明它对于资源配置的影响。

根据经济学原理大致上有两种解决环境污染的方案，请你对比说明它们各自的优缺点。

2．试论述凯恩斯有效需求理论的内容，结合我国宏观经济运行中所表现出来的“双高”现象对上述理论进行评论。

答案部分西安交通大学2004年硕士学位研究生入学考试试题考试科目：经济学科目编号：494考试时间：1月11日下午所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上和其它草稿纸上一律无效。

微积分试卷及标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，与是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

微积分考研分类题

微积分考研分类题第二章极限与连续1． =++→∞x x x x 2sin 3553lim 2 。

2． =-+++-+++∞→])1(2121[lim n n n 。

3．设函数f (x ) = a x (a > 0, a ≠ 1)，则=∞→)]()2()1(ln[1lim 2n f f f n n 。

4． n 为正整数，a 为某实数，a ≠ 0，且a x x x n n x 1)1(lim 1999=--+∞→，则n = ，并且a= 。

5．设常数21≠a ，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-∞→n n a n na n )21(12ln lim 。

6．设对任意的x ，总有ϕ (x ) ≤ f (x ) ≤ g (x )，且0)]()([lim =-∞→x x g x ϕ，则)(lim x f x ∞→（）。

（A ）存在且等于零（B ）存在但不一定等于零（C ）一定不存在（D ）不一定存在7．设数列{a n }为无穷小量，{b n }是有界数列（对一切n , b n ≠ 0），则{a n b n }（）。

（A ）必是无穷小量（B ）有可能是无穷小量（C ）不可能是无穷小量（D ）必是无界数列8．设函数n n x xx f 211lim )(++=∞→，讨论函数f (x )的间断点，其结论为（）。

（A ）不存在间断点（B ）存在间断点x = 1（C ）存在间断点x = 0 （D ）存在间断点x = -19．函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界。

（）（A ）(-1, 0) （B ）(0, 1) （C ）(1, 2) （D ）(2, 3)10．设f (x ) 在 (-∞, +∞) 内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00),1()(x x x f x g ，则（）。

（A ）x = 0必是g (x ) 的第一类间断点（B ）x = 0必是g (x ) 的第二类间断点（C ）x = 0必是g (x ) 的连续点（D ）g (x ) 在点x = 0的连续性与a 的取值有关12. 曲线1x xe y =( )。

宏微观经济学真题答案2004

华中科技大学2004年招收硕士研究生入学考试试题考试科目：微宏观经济学一、名词解释（6×5分=30分）1.支持价格2.成本递增行业3.效用可能性曲线4.三部门经济5.非自愿失业6.乘数—加速数模型二、简答题（5×10分＝50分）1.试说明生产函数的边际报酬递减与边际技术替代率递减之间的关系。

2.简述垄断竞争市场的配置效果。

3.简述国民收入核算中的两种基本方法。

4.新凯恩斯主义，“新”在何处？5.什么是菲利普斯曲线？它在短期和长期中有何不同？三、计算题（3×10分＝30分）1.一个消费者，收入为120元，购买两种商品，效用为1221121),(X X X X U =。

（1）设商品价格分别为P 1＝12，P 2＝10，求消费者均衡；（2）商品1的价格下降为P 1＝10，求商品1的替代效应和收入效应。

2.某地农村有三个农村，共同在一小河上架设一座桥梁。

建桥的总费用是桥的宽度m的函数：TE ＝760m+5m 2。

各村对桥的宽度需求m i 与本村承担的单位（宽度）费用E i有关，具体如下：A 村：A A E m 05.025-=B 村：B B E m 04.016-=C 村：C C E m 04.020-=（1）求建桥的宽度；（2）求三村分别承担的建桥费用。

3.在新古典增长模型中，人均生产函数为()25.02k k k f y -==，人均储蓄率s 为0.3，假设人口的自然增长率n 为3%，求：（1）使经济均衡增长的k 值。

（2）黄金分割律所要求的人均资本量。

四、论述题（2×20分＝40分）1.最近几年，农村中大量青壮年劳力到城市和沿海打工，造成农村中的土地荒置。

试用微观经济理论解释和评价这一现象。

2.结合中国近几年实施的宏观经济政策，运用IS—LM模型分析财政政策和货币政策的效应性。

参考答案华中科技大学2004年招收硕士研究生入学考试试题考试科目：微宏观经济学一、名词解释（6×5分=30分）1.支持价格：又称为最低限价，指政府为了扶植某一行业的生产而规定的该行业产品的最低价格。

重庆大学804微观经济学(含宏观经济学)2004年考研真题及考研试题答案

重庆大学2004年硕士研究生入学考试试题科目代码：408科目名称：微观经济学（含宏观经济学）一、单项选择题（每小题3分，共72分）1．下列哪个选项不是经济学的基本假设：A．完全理性：B．完全竞争；C．政府干预经济；D．完全信息。

2．设某市鸡蛋市场上仅有5个养鸡场，每个养鸡场对鸡蛋的供给函数相等，均为：P=0.2q s+0.5，则该鸡蛋的市场供给为：A．P=Q s+2.5; B．P=0.2Q s+2.5; C．Q s=5P－2.5; D．Q s=25P－12.5.3．有数据表明，近年来，随着电价的提高，城镇居民的用电需求也在增加，说明：A．所有居民的用电不满足需求法则；B．大部分居民用电不满足需求法则；C．居民对电的需求量与电价根本没有关系；D．以上说法均不正确．4．己知两商品之间的关系为需求交叉函数：Qdx＝20－3Py，说明：A．商品x的需求量和商品y的需求价格之间的关系符合需求法则；B．由于Exy小于零，故两商品互为替代品C．由于正矽小于霉，故两商品互为互补品；D）由于Exy的大小还与具体的Py和Qdx有关，故无法判断二商品之间的关系。

5．关于需求弹性，以下说法正确的是：A．所有商品的需求价格弹性始终为负；B．高档品可以薄利多销；C．需求收入弹性为正的商品是奢侈品：D．以上说法均不正确。

6．某石油组织经过市场调查，其面临的需求曲线是线性的，现价每桶30美元，若每桶65美元仍会有人购买。

如幂决定提价到每桶32美元，可以推断提价后的销售收入将；A．增加；B．不变；C．减少；D．不确定。

7．若某人只消费x、y，x与y的价格之比为2，则在保持原有效用水平不变的基础上，x 与y的交换比例为：A．0.5：B．1；C．2：D．不确定与某人消费x、y的效用函数相关。

8．当利率提高时，小王减少消费增加储蓄，小李增加消费减少储蓄，这说明：A．利率变化与储蓄变化无关：B．小王不如小李富裕；C．对小王而言，利军提高的替代效应大于收入效应，小李则相反：D．对小王而言，利率提高的替代效应小于收入效应，小李则相反。

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(四)试题及答案 .doc

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(四)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以 0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x xb x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.(2) 设1ln arctan 22+-=x xxe e e y ，则1121+-==e e dx dy x .【分析】本题为基础题型，先求导函数即可.【详解】因为)1ln(21arctan 2++-=xxe x e y ，111222++-+='x x xx e e e e y ，所以，1121+-==e e dx dy x . (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ， ⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .（4）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵, 则=-220042A B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100030003 ．【分析】将B 的幂次转化为A 的幂次, 并注意到2A 为对角矩阵即得答案. 【详解】因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000100012A , P A P B 200412004-=.故E EP P P A P B===--11002212004)(,=-220042A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100030003.(5) 设()33⨯=ija A 是实正交矩阵，且111=a ，Tb )0,0,1(=，则线性方程组b Ax =的解是T)0,0,1(．【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果. 【详解】因为 b A x 1-=, 而且()33⨯=ij a A 是实正交矩阵, 于是 1-=A A T , A 的每一个行(列)向量均为单位向量, 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===-0011312111a a a b A b A x T.(6) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x ) 在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D). (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x ) 的极小值点.显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).(10) 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. (C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.[ B ]【分析】先求分段函数f (x )的变限积分⎰=xdt t f x F 0)()(，再讨论函数F (x )的连续性与可导性即可.【详解】当x < 0时，x dt x F x-=-=⎰0)1()(；当x > 0时，x dt x F x==⎰01)(，当x = 0时，F (0) = 0. 即F (x ) = |x |，显然，F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. 故选(B).(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必须(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 从而选 (D).(13) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{, 若αx X P =<}|{|, 则x 等于(A) 2αu . (B) 21αu - . (C) 21αu-. (D) αu -1. [ B ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(B).(14) 设随机变量n X X X ,,,21 )1(>n 独立同分布，且方差02>σ．令随机变量∑==ni i X n Y 11，则(A) 212)(σn n Y X D +=+． (B) 212)(σnn Y X D +=-． (C) nσY X Cov 21),(=． (D) 21),(σY X Cov =． [ C ]【分析】利用协方差的性质立即得正确答案..【详解】由于随机变量n X X X ,,,21 )1(>n 独立同分布, 于是可得),(1)1,(),(11111∑∑====ni i n i i X X Cov n X n X Cov Y X Cov),(1),(11111X X Cov nX X Cov n n i i ==∑=211)(1σnX D n ==. 故正确答案为(C).三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =30422044sin 212lim 2sin 41lim x xx x x x x x -=-→→. 346)4(21lim 64cos 1lim 22020==-=→→xx x x x x . (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . (17) (本题满分8分)设f (u , v )具有连续偏导数，且满足uv v u f v u f v u='+'),(),(.求),()(2x x f e x y x -=所满足的一阶微分方程，并求其通解.【分析】先求y '，利用已知关系uv v u f v u f v u='+'),(),(，可得到关于y 的一阶微分方程. 【详解】x v x ux x e x y x x f e x x f e x x f e y 222222),(),(),(2----+-='+'+-='，因此，所求的一阶微分方程为x e x y y 222-=+'.解得 x dxx dx e C x C dx e e x e y 232222)31()(---+=+⎰⎰=⎰(C 为任意常数).(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10.当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性).(19) (本题满分9分)设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,)(22x ex e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线y = F (x )之间的面积. 对任何t > 0，)(1t S 表示矩形-t ≤ x ≤ t ，0 ≤ y ≤ F (t )的面积. 求(I) S (t ) = S -)(1t S 的表达式；(II) S (t )的最小值.【分析】曲线y = F (x )关于y 轴对称，x 轴与曲线y = F (x )围成一无界区域，所以，面积S 可用广义积分表示. 【详解】(I) 120202=-==+∞-∞+-⎰x xedx e S ，t te t S 212)(-=，因此t te t S 221)(--=，t ∈ (0 , +∞). (II) 由于t e t t S 2)21(2)(---='，故S (t )的唯一驻点为21=t ，又t e t t S 2)1(8)(--=''，04)21(>=''eS ，所以，eS 11)21(-=为极小值，它也是最小值.(20) (本题满分13分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++,14)4()2(3,022,0432143214321x x μx λx x x x x x x μx λx 已知T)1,1,1,1(--是该方程组的一个解，试求(Ⅰ) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (Ⅱ) 该方程组满足32x x =的全部解．【分析】含未知参数的线性方程组的求解, 当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化增广矩阵为阶梯形, 然后对参数进行讨论. 由于本题已知了方程组的一个解, 于是可先由它来(部分)确定未知参数.【详解】将T)1,1,1,1(--代入方程组，得μλ=．对方程组的增广矩阵A 施以初等行变换, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1212)12(2001131012011422302112011λλλλλλλλλλA ，(Ⅰ) 当21≠λ时，有 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→2121100212101001001A ， 43)()(<==A r A r ，故方程组有无穷多解，且T ξ)0,21,21,0(0-=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 Tη)2,1,1,2(--=，故方程组的全部解为T T k ηk ξξ)2,1,1,2()0,21,21,0(0--+-=+= (k 为任意常数)．当21=λ时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000113102121101A ，42)()(<==A r A r ，故方程组有无穷多解，且T ξ)0,0,1,21(0-=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 Tη)0,1,3,1(1-=，Tη)2,0,2,1(2--=,故方程组的全部解为T T T k k ηk ηk ξξ)2,0,2,1()0,1,3,1()0,0,1,21(2122110--+-+-=++=(21,k k 为任意常数)．(Ⅱ) 当21≠λ时，由于32x x =，即 k k -=+-2121，解得 21=k ，故方程组的解为T T T ξ)1,0,0,1()2,1,1,2(21)0,21,21,1(-=--+-= ．当21=λ时，由于32x x =，即121231k k k =--，解得 212141k k -=，故方程组的全部解为 T T T k k ξ)2,0,2,1()0,1,3,1)(2141()0,0,1,21(22--+--+-=T T k )2,21,21,23()0,41,41,41(2---+-=， (2k 为任意常数)．(2) 对于题(Ⅱ), 实际上就是在原来方程组中增加一个方程, 此时新的方程组当21≠λ时有惟一解, 当21=λ时有无穷多解. (3) 在题(Ⅱ)中，当21=λ时，解得12221k k -=，方程组的全部解也可以表示为T T k ξ)4,1,1,3()1,0,0,1(1-+-=， (1k 为任意常数)．(21) (本题满分13分)设三阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值．若T α)0,1,1(1=, T α)1,1,2(2=, T α)3,2,1(3--=, 都是A 的属于特征值6的特征向量．(Ⅰ) 求A 的另一特征值和对应的特征向量；(Ⅱ) 求矩阵A ．【分析】由矩阵A 的秩为2, 立即可得A 的另一特征值为0. 再由实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量正交可得相应的特征向量, 此时矩阵A 也立即可得.【详解】 (Ⅰ) 因为621==λλ是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个．由题设知Tα)0,1,1(1=，Tα)1,1,2(2=为A 的属于特征值6的线性无关特征向量．又A 的秩为2，于是0||=A ，所以A 的另一特征值03=λ．设03=λ所对应的特征向量为T x x x α),,(321=，则有 01=ααT ，02=ααT，即⎩⎨⎧=++=+,02,032121x x x x x得基础解系为Tα)1,1,1(-=，故A 的属于特征值03=λ全部特征向量为T k αk )1,1,1(-= (k 为任意不为零的常数)．(Ⅱ) 令矩阵),,(21αααP =，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0661AP P ，所以1066-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3131313231311100661******** ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=422242224． (22) (本题满分13分)设A ,B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ，于是 61)|()()(==B A P AB P B P ，则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ，32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )，即),(Y X 的概率分布为：(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ．方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ (Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ，即Z 的概率分布为：(23) (本题满分13分)设随机变量X 在区间)1,0(上服从均匀分布，在)10(<<=x x X 的条件下，随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布，求(Ⅰ) 随机变量X 和Y 的联合概率密度； (Ⅱ) Y 的概率密度； (Ⅲ) 概率}1{>+Y X P ．【分析】正确理解已知条件, 即条件密度是求解本题的关键. 【详解】 (Ⅰ) X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他，，，010,1)(x x f X在)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他，，，00,1)|(|x y x x y f X Y当10<<<x y 时，随机变量X 和Y 的联合概率密度为 xx y f x f y x f X Y X 1)|()(),(|== 在其它点),(y x 处，有0),(=y x f ，即⎪⎩⎪⎨⎧<<<=．x y x y x f 其他，，010,1),((Ⅱ) 当10<<y 时，Y 的概率密度为⎰⎰-===+∞∞-1ln 1),()(y Y y dx xdx y x f y f ；当0≤y 或1≥y 时，0)(=y f Y ．因此 ⎩⎨⎧<<-=．y y y f Y 其他，，010,ln )((Ⅲ) ⎰⎰⎰⎰->+==>+xx Y X dy xdx dxdy y x f Y X P 112111),(}1{2ln 1)12(121-=-=⎰dx x ．。

历年考研微积分(高数)选择题汇总(2004

历年考研微积分（高数）选择题汇总（2004—2013年）（含答案和解析）（2013Ⅰ，1）已知0arctan lim k x x xc x→-=，则下列正确的是（）（A ）12,2k c ==- （B ）12,2k c ==（C ）13,3k c ==- （D ）13,3k c ==【答案】（D ）【分析】这是0型未定式，使用洛必达则即可．或者熟记常见无穷小的马克劳林公式则可快速解答．【详解1】22211000arctan 1lim lim lim k k k x x x x x x x x c x kx kx --→→→-+===，所以112k c k-==，，即13,3k c ==．【详解2】因为331arctan ()3x x x o x =-+，显然31arctan 3x x x -=，当然有13,3k c ==．应该选（D ）．（2013Ⅰ，2）曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-的切平面方程为（）（A ）2x y z -+=-（B ）0x y z ++= （C ）23x y z -+=-（D ）0x y z --=【答案】（A ）【分析】此题考查的是空间曲面在点000(,,)M x y z 处的法向量及切平面的方程．其中法向量为000(,,)(,,)|x y z x y z n F F F =．【详解】设2(,,)c o s ()F x y z x x y y z x =+++，则在点(0,1,1)-处()000(,,,,|(1,1,1)x y z x y z n F F F ==-，从而切平面方程为(0)(1)(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-．应该选（A ）．（2013Ⅰ，3）设1()2f x x =-，102()sin d (1,2,)n b f x n x x n π==⎰ ，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则94S ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）（A ）34（B ）14（C ）14-（D ）34【答案】（C ）【分析】此题考查的是傅立叶级数的收敛性．【详解】由条件可知，1sin n n b n x π∞=∑为1()2f x x =-的正弦级数，所以应先把函数进行奇延拓，由收敛定理可知1()sin n n S x b n x π∞==∑也是周期为２的奇函数，故91111()44444S S S f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，应选（C ）．（2013Ⅰ，4）设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记332(1,2,3,4)63i i L y x I y dx x dy i ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ ，则{}1234m a x ,,,I I I I =（）（A ）1I（B ）2I（C ）3I（D ）4I【答案】（D ）【分析】此题考查的是梅林公式和二重积分的计算．【详解】由格林公式，33222221()6322i i i i i L D D y x y y I y dx x dy x dxdy S D x dxdy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ． 222222222223400333()()2448R x y R x y R y x dxdy x y dxdy d r dr R πθπ+≤+≤+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所以13588I πππ=-=，232482I πππ=-⋅=；在椭圆D ：22221x y a b+≤上，二重积分最好使用广义极坐标计算：22221222222200122222222222001()cos sin 22()()22cos sin cos 4244x y a b y x dxdy d a r b r abrdr b b ab a ab a ab b a d πππθθθθθθθπ+≤⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭++⎛⎫=+== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰故3I =，4I =-=．显然4I 最大．故应选（D ）．（2013Ⅱ，1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中|()|2x πα<，则当0x →时，()x α是（）（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价的无穷小（D ）与x 等价的无穷小【答案】（C ）（2013Ⅱ，2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim 1n fn →∞⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（）（A ）2（B ）1（C ）1-（D ）2-【答案】（C ）（2013Ⅱ，3）设函数sin ,0()2,2x x f x x πππ≤<⎧=⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（）（A ）x π=是函数()F x 的跳跃间断点（B ）x π=是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导（D ）()F x 在x π=处可导【答案】（C ）（2013Ⅱ，4）设函数111,1(1)()1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（）（A ）2α<-（B ）2α>（C ）20α-<<（D ）02α<<【答案】（D ）（2013Ⅱ，5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（）（A ）2()yf xy '（B ）2()yf xy '-（C ）2()f xy x（D ）2()f xy x-【答案】（A ）（2013Ⅱ6，Ⅲ3）设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（）（A ）10I >（B ）20I >（C ）30I >（D ）40I >【答案】（B ）（2013Ⅲ，1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A ）23()()x o x o x ⋅=（B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x +=（D ）22()()()o x o x o x +=【答案】（D ）（2013Ⅲ，2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【答案】（C ）（2013Ⅲ，4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（）（A ）若1n n a a +>，则11(1)n n n a ∞-=-∑收敛（B ）若11(1)n n n a ∞-=-∑收敛，则1n n a a +>（C ）若1n n a ∞=∑收敛，则存在常数1P >，使lim p n n n a →∞存在（D ）若存在常数1P >，使lim pn n n a →∞存在，则1n n a ∞=∑收敛【答案】（D ）（2012ⅠⅡⅢ，1）曲线221x xy x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】（C ）【解析】221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线； 22lim 11x x x x →∞+=-，所以1y =是水平渐近线，没有斜渐近线，故有2条渐近线．（2012ⅠⅡⅢ，2）设函数2()(1)(2))x x nx f x e e e n =--…(-，其中n 为正整数，则(0)f '=（）（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n --（C ）1(1)!n n --（D ）(1)!n n -【答案】（C ）（2012Ⅰ，3）如果(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列命题正确的是（）（A ）若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（B ）若极限2200(,)limx y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)limx y f x y x y→→+存在（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200(,)lim x y f x y x y →→+存在【答案】（B ）【解析】由于(,)f x y 在(0,0)处连续，可知如果2200(,)limx y f x y x y →→+存在，则必有00(0,0)lim (,)0x y f f x y →→==．这样2200(,)limx y f x y x y →→+就可以写成2200(,)(0,0)lim x y f x y f x y ∆→∆→∆∆-∆+∆，即极限22(,)(0,0)limx y f x y f x y ∆→∆→∆∆-∆+∆存在，可知lim0x y ∆→∆→=，也即(,)(0,0)()()f x y f o x o y o ∆∆-=∆+∆+．由可微的定义知(,)f x y 在(0,0)处可微．（2012Ⅱ，3）设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++ ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的（）（A ）充分必要条件（B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件（D ）非充分也非必要【答案】（B ）【解析】由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim n n s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛．反之，{}n a 收敛，{}n s 却不一定有界，例如令1n a =，显然有{}n a 收敛，但n s n =是无界的．故数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件，选（B ）．（2012Ⅲ，3）设函数()f t 连续，则二次积分2222cos ()d f r rdr πθθ⎰⎰=（）（A）2220()dx x y dy +⎰ （B）2220()dx f x y dy +⎰（C）22201()dx x y dy +⎰⎰（D）22201()dx x y dy +⎰⎰【答案】（B ）【解析】由02πθ≤≤，可知积分区域在第一象限，由2cos 2r θ≤≤，可知222224,2(2cos )x y x x y r r θ+≤≤+≤故2220()I dx f x y dy =+⎰．（2012ⅠⅡ，4）设2sin (1,2,3)kx k eI e xdx k ==⎰，则有（）（A ）123I I I <<（B ）321I I I << （C ）231I I I <<（D ）213I I I <<【答案】（D ）【解析】由于当(,2)x ππ∈时sin 0x <，可知22sin 0x e xdx ππ<⎰，也即210I I -<，可知12I I >．又由于2223232sin sin sin x x x e xdx e xdx e xdx ππππππ=+⎰⎰⎰，对232sin x e xdx ππ⎰做变量代换t x π=-得()()()()222232222sin sin sin sin t t x x e xdx e t dt e tdt e xdx ππππππππππππ+++=+=-=-⎰⎰⎰⎰，故()()22232sin sin x x x e xdx eexdx πππππ+=-⎰⎰由于当(,2)x ππ∈时()22sin 0,0x x x eeπ+<-<，可知23sin 0x e xdx ππ>⎰，也即310I I ->，可知31I I >．综上所述有213I I I <<．（2012Ⅲ，4）已知级数11(1)i n α∞=-∑绝对收敛，21(1)n i nα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A ）102α<≤ （B ）112α<≤ （C ）312α<≤（D ）322α<≤【答案】（D ）【解析】由11(1)i n α∞=-∑绝对收敛，即1121i n α-∞=∑收敛，则有112α->，即32α>，由21(1)n i n∞-=-∑条件收敛，则有021α<-≤，即12α≤<．综上，322α<≤．（2012Ⅱ，5）设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是（）（A ）1212,x x y y >< （B ）1212,x x y y >> （C ）1212,x x y y <<（D ）1212,x x y y <>【答案】（D ）【解析】(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂表示函数(,)f x y 关于变量x 是单调递增的，关于变量y 是单调递减的．因此，当1212,x x y y <>时，必有1122(,)(,)f x y f x y <，故选（D ）．（2012Ⅱ，6）设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰（）（A ）π （B ）2 （C ）2- （D ）π-【答案】（D ）【解析】区域D 如图中阴影部分所示，为了便于讨论，再引入曲线sin y x =-将区域分为1234,,,D D D D 四部分．由于12,D D 关于y 轴对称，可知在12D D 上关于x 的奇函数积分为零，故1250D D x ydxdy =⎰⎰；又由于34,D D 关于x 轴对称，可知在34D D 上关于y 的奇函数为零，故3450D D x ydxdy =⎰⎰．因此()152sin 21xDDx y dxdy dxdy dx dy πππ--=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，故选（D ）．（2011Ⅰ，1）曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x x =----的拐点是（）（A ）(1,0)（B ）(2,0) （C ）(3,0)（D ）(4,0)【答案】（C ）【考点分析】本题考查拐点的判断．直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可．【解析】由()()()()2341234y x x x x =----可知1,2,分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===，(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点．（2011Ⅰ，2）设数列{}n a 单调减少，且lim 0n n a →∞=．1n n i i S a ==∑无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛域为（）（A ）(1,1]- （B ）[1,1)- （C ）[0,2) （D ）(0,2]【答案】（C ）【考点分析】本题考查幂级数的收敛域．主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强．【解析】()11,2n n k k S a n ===∑ 无界，说明幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≤；{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，说明级数()11nn n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥．因此，幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2．又由于0x =时幂级数收敛，2x =时幂级数发散．可知收敛域为[)0,2．（2011Ⅰ，3）设函数()f x 具有二阶连续的导数，且()0f x >．(0)0f '=．则函数ln ()()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）（A ）(0)1(0)0f f ''>> （B ）(0)1(0)0f f ''>< （C ）(0)1(0)0f f ''<> （D ）(0)1(0)0f f ''<<【答案】（C ）【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可．【解析】由()l n ()z f xf y =知()()ln (),()()x y f x z f x f y z f y f y ''''==，()()()xy f x z f y f y ''''=， ()ln ()xx z f x f y ''''=，22()()(())()()yy fy f y f y z f x f y '''-''=．所以00(0)(0)0(0)xy x y f z f f ==''''==，00(0)ln (0)xx x y z f f ==''''=，2200(0)(0)((0))(0)(0)(0)yy x y f f f z f f f =='''-''''==．要使得函数()ln ()z f x f y =在点（0，0）处取得极小值，仅需(0)ln (0)0f f ''>，(0)ln (0)(0)0f f f ''''⋅>，所以有(0)1(0)0f f ''>>，．（2011ⅠⅢ4，Ⅱ6）设4ln(sin )I x dx π=⎰，40ln(cot )J x dx π=⎰，40ln(cos )K x dx π=⎰．则,,I J K 的大小关系是（）（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 【答案】（B ）【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可．【解析】(0,)4x π∈时，0sin cos cot x x x <<<<，因此ln sin ln cos ln cot x x x << 4440lnsin lncos lncot xdx xdx xdx πππ<<⎰⎰⎰，故选（B ）．（2011ⅡⅢ，1）已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则（）（A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ）3,4k c == （D ）3,4k c ==-【答案】（C ）【解析】12()3sin sin33cos 3cos33sin 9sin3limlim lim lim (1)k k k k x x x x f x x x x x x xCx Cx Ckx Ck k x --→∞→∞→∞→∞---+===-33cos 27cos3273lim13,4(1)(2)(1)(2)k x x x k C Ck k k x Ck k k -→∞-+-===⇒==----．（2011ⅡⅢ，2）设函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则2330()2()lim x x f x f x x→-=（）（A ）2(0)f '- （B ）(0)f '-（C ）(0)f ' （D ）0【答案】（B ）【解析】232233300()2()()(0)2()2(0)lim lim x x x f x f x x f x x f f x f x x →→---+=223330()(0)()(0)lim 2(0)2(0)(0)x x f x x f f x f f f f x x →--'''=-=-=-．（2011Ⅱ，3）函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】（C ）（2011Ⅱ，4）微分方程2(0)x x y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为（）（A ）()x x a e e λλ-+（B ）()x x ax e e λλ-+ （C ）()x x x ae be λλ-+（D ）2()x x x ae be λλ-+【答案】（C ）（2011Ⅱ，5）设函数()f x ，()g x 均有二阶连续导数，满足(0)0f >，(0)0g <，(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）（A ）(0)0f ''<，(0)0g ''>（B ）(0)0f ''<，(0)0g ''< （C ）(0)0f ''>，(0)0g ''>（D ）(0)0f ''>，(0)0g ''< 【答案】（A ）（2011Ⅲ，3）设{}n u 是数列，则下列命题正确的是（）（A ）若1n n u ∞=∑收敛，则2121()n n n u u ∞-=+∑收敛（B ）若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛（C ）若1n n u ∞=∑收敛，则2121()n n n u u ∞-=-∑收敛（D ）若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】（A ）【解析】反例：（B ）项，11(1)1111...n n n n u ∞∞===-=-+-+∑∑；（C ）项，111111(1)1 (234)n n n n u n ∞∞===-⋅=-+-+∑∑；（D ）项，111111...n n n u ∞∞====+++∑∑．（2010Ⅰ，1）极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦（）（A ）1（B ）e（C ）a b e -（D ）b a e -【答案】（C ）【解析】[()]()()()()2()()lim lim 1()()()()x a b x ab x a x b x a x b x a b x aba b x x x a b x ab e x a x b x a x b -+-+-+-+-→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎡⎤-+⎪⎪=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭．（2010Ⅰ2，Ⅱ5）设函数(,)z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy x y∂∂+=∂∂（）（A ）x（B ）z（C ）x -（D ）z -【答案】（B ）【解析】,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭两边对x 求偏导，得12220zxzy x F F x x ∂-∂''-+=，解得 1221()z yF zF x F ∂''=+∂'； ,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭两边对y 求偏导，得12110z F F x x y ∂''+=∂，解得12F z x F '∂=-∂'，于是112221()yF z z x y yF zF z x y F F '∂∂''+=+-=∂∂''．（2010Ⅰ3，Ⅱ4）设,m n为正整数，则反常积分⎰的收敛性（）（A ）仅与m 取值有关（B ）仅与n 取值有关（C ）与,m n 取值都有关（D ）与,m n 取值都无关【答案】（C ）【解析】显然广义积分⎰有两个瑕点0x =与1x =，=+⎰，显然的收敛性与n 有关，当1n <时收敛，1n ≥时发散；的收敛性与m 有关．（2010Ⅰ4，Ⅱ6）2211lim ()()nnn i j nn i n j →∞===++∑∑（）（A ）12001(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰（B ）1001(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰（C ）1101(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰（D ）112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰【答案】（D ）【解析】222211111()()n nn ni j i j n nn i n j n i n j =====⋅++++∑∑∑∑，因为10111111lim lim 11nn n n i i dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰，12222011111lim lim 11nnn n j j n dx n j n x j n →∞→∞====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑⎰，所以11112222000011111lim ()()11(1)(1)nnn i j n dx dx dx dy n i n j x x x y →∞===⋅=⋅++++++∑∑⎰⎰⎰⎰．（2010Ⅱ，1）函数()f x =的无穷间断点的个数是（）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】（B ）（2010ⅡⅢ，2）设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数,λμ使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则（）（A ）11,22λμ==（B ）11,22λμ=-=- （C ）21,33λμ==（D ）22,33λμ==【答案】（A ）【解析】根据已知有11()()y p x y q x λ'+=，22()()y p x y q x λ'+=，于是将12y y λμ+和12y y λμ-分别代入得1212()()()()()y y p x y y q x λμλμλμ'+++=+， 1212()()()()()y y p x y y q x λμλμλμ'-+-=-，12y y λμ+是方程的解1λμ⇒+=，12y y λμ-是齐次方程的解0λμ⇒-=，故有12λμ==．（2010Ⅱ，3）曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a =（）（A ）4e（B ）3e（C ）2e（D ）e【答案】（C ）（2010Ⅲ，1）若011lim ()1x x a e x x →⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦，则a 等于（）（A ）0（B ）1（C ）2 （D ）3【答案】（C ）【解析】00001111lim ()lim (1)lim lim 112x x x x x x x x x e a e e ae a e a a x x x x→→→→-⎡⎤⎡⎤--=-+=+=-+=⇒=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．（2010Ⅲ，3）设函数()f x ，()g x 具有二阶导数，且"()0g x <．若0()=g x a 是()g x 的极值，则[]()f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是（）（A ）'()0f a < （B ）'()0f a >（C ）"()0f a < （D ）"()0f a >【答案】（A ）（2010Ⅲ，4）设10()ln f x x =，()g x x =，10()x h x e =，则当x 充分大时有（）（A ）()()()g x h x f x << （B ）()()()h x g x f x << （C ）()()()f x g x h x << （D ）()()()g x f x h x <<【答案】（C ）【答案】10()()1limlim 0()()10x x x g x g x h x h x e →∞→∞'==='，0x x x x →∞====，故()()()f x g x h x <<．（2009Ⅰ1，ⅡⅢ2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-等价无穷小，则（）（A ）11,6a b ==-（B ）11,6a b == （C ）11,6a b =-=-（D ）11,6a b =-=【答案】（A ）【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---== 230sin lim 16x a ax a b axa→==-=-⋅，36a b ∴=-，故排除（B ）、（C ）．另外201cos lim 3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故1a =，排除（D ）．所以本题选（A ）．（2009Ⅰ，2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4)k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=（）（A ）1I（B ）2I（C ）3I（D ）4I【答案】（A ）【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性．24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==；13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰；{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰．所以正确答案为（A ）．（2009Ⅰ3，Ⅱ6，Ⅲ4）设函数()y f x =在区间[1,3]-上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰的图形为（）x（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】（D ）【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减． ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增． ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数．④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增． ⑤由于F （x ）为连续函数结合这些特点，可见正确选项为（D ）．（2009Ⅰ，4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（）（A ）当1n n b ∞=∑收敛时，1n n n a b ∞=∑收敛（B ）当1n n b ∞=∑发散时，1n n n a b ∞=∑发散（C ）当1n n b ∞=∑收敛时，221n nn a b ∞=∑收敛（D ）当1n n b ∞=∑发散时，221nn n a b ∞=∑发散【答案】（C ）【解析】方法一：举反例．（A）取(1)nn n a b ==-（B ）取1n n a b n ==；（D ）取1n n a b n ==，故答案为（C ）．方法二：因为lim 0,n n a →∞=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时，有1n a <．又因为1n n b ∞=∑收敛，可得lim 0,n n b →∞=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时，有1n b <．从而，当12n N N >+时，有22n nn a b b <，则由正项级数的比较判别法可知221nn n a b ∞=∑收敛．（2009ⅡⅢ，1）函数3()sin x x f x nx-= 的可去间断点的个数为（）（A ） 1 （B ）2 （C ）3 （D ）无穷多个【答案】（C ）【解析】3()sin x x f x xπ-=，则当x 取任何整数时，()f x 均无意义，故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±．320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±．（2009Ⅱ，3）设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点（）（A ）不是(,)f x y 的连续点（B ）不是(,)f x y 的极值点（C ）是(,)f x y 的极大值点（D ）是(,)f x y 的极小值点【答案】（D ）【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂， 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂．又在(0,0)处，0,0z zx y∂∂==∂∂，210AC B -=>，故(0,0)为函数(,)z f x y =的一个极小值点．（2009Ⅱ，4）设函数(,)f x y 连续，则222411(,)(,)y xydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）（A ）2411(,)xdx f x y dy -⎰⎰（B ）241(,)xxdx f x y dy -⎰⎰（C ）2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰（D ）221(,)ydy f x y dx ⎰⎰【答案】（C ）【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤，{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-．将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-，故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰，故答案为（C ）．（2009Ⅱ，5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点(1,1)上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间(1,2)内（）（A ）有极值点，无零点（B ）无极值点，有零点（C ）有极值点，有零点（D ）无极值点，无零点【答案】（B ）【解析】由题意可知，()f x 是一个凸函数，即''()0f x <，且在点(1,1)处的曲率322|''|(1('))y y ρ==+，而'(1)1f =-，由此可得，''(1)2f =-在[1,2] 上，'()'(1)10f x f ≤=-<，即()f x 单调减少，没有极值点．对于(2)(1)'()1(1,2)f f f ζζ-=<- , ∈ ，（拉格朗日中值定理） (2)0f ∴ <而(1)10f =>由零点定理知，在[1,2] 上，()f x 有零点．故应选（B ）．（2009Ⅲ，3）使不等式1sin ln xtdt x t>⎰成立的x 的范围是（）（A ）(0,1)（B ）(1,)2π （C ）(,)2ππ（D ）(,)π+∞【答案】（A ）【解析】原问题可转化为求111sin sin 1()ln xx x tt f x dt x dt dt t t t =-=-⎰⎰⎰11sin 11sin 0x x t t dt dt t t--==>⎰⎰成立时x 的取值范围，由1sin 0tt->，()0,1t ∈时，知当()0,1x ∈时，()0f x >．故应选（A ）．（2009Ⅳ，1）在(,)ππ-内函数tan xy x=的可去间断点的个数为（）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【答案】（D ）【解析】tan xy x=， 0lim1tan x xx →=，0x =是可去间断点；2lim0tan x x x π→±=，2x π=±是可去间断点．故共3个，选（D ）．（2009Ⅳ，2）函数2ln(1)y x =+的单调增加图形为凹的区间是（）（A ）(,1)-∞-（B ）(1,0)-（C ）(0,1)（D ）(1,)+∞【答案】（C ）【解析】22001xy x x'=>⇒>+， 22222222(1)(12)011(1)(1)x y x x x x x x -''=⋅+-⋅=>⇒-<<++，取交集得：(0,1)x ∈，选（C ）．（2009Ⅳ，3）函数22()x x t f x e dt --=⎰的极值点为x =（）（A ）12（B ）14（C ）14-（D ）12-【答案】（A ）【解析】因2222()2()()()(12)x xx xf x e x x x e ----''=⋅-=-，令()0f x '=，得12x =，又102f ⎛⎫'≠ ⎪⎝⎭，故12x =是极值点，选（A ）．（2009Ⅳ，4）设区域22{(,)|2,0}D x y x x y x y =≤+≤≥，则在极坐标下二重积分xydxdy =⎰⎰（）（A ）2cos 22cos cos sin d r dr πθθθθθ⎰⎰（B ）2cos 320cos cos sin d r dr πθθθθθ⎰⎰（C ）2cos 20cos cos sin d r dr πθθθθθ⎰⎰（D ）2cos 30cos cos sin d r dr πθθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【解析】原积分2cos 2cos 3220cos 0cos cos sin cos sin d r r rdr d r dr ππθθθθθθθθθθ=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰．（2008Ⅰ1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】（B ）【详解】2()[l n (2)]2f x x x '=+⋅，(0)0f '=，即0x =是()f x '的一个零点，又2224()2ln(2)02x f x x x ''=++>+，从而()f x '单调增加（(,)x ∈-∞+∞），所以()f x '只有一个零点．（2008Ⅰ2）函数(,)arctan xf x y y=在点(0,1)处的梯度等于（）（A ）i（B ）-i（C ）j（D ）-j【答案】（A ）【详解】因为2211x y f x y '=+，2221y x y f x y -'=+，所以(0,1)1x f '=，(0,1)0y f '=，所以(0,1)10f =⋅+⋅=i j i grad ．（2008ⅠⅡ3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）（A ）''''''440y y y y +--= （B ）''''''440y y y y +++= （C ）''''''440y y y y --+=（D ）''''''440y y y y -+-=【答案】（D ）【详解】由微分方程的通解中含有x e 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=．故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-=．（2008Ⅰ4，Ⅱ5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（）（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛（B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛（C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛（D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛【答案】（B ）【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调．所以{()}n f x 单调且有界．故{()}n f x 一定存在极限．（2008Ⅱ，1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】（D ）【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点．又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点，（D ）正确．（2008ⅡⅢ2，Ⅳ4）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰表示的是（）（A ）曲边梯形ABOD 面积．（B ）梯形ABOD 面积．（C ）曲边三角形ACD 面积．（D ）三角形ACD 面积．【答案】（C ）【详解】0()()()()()()aaa aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰，其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()a f x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()a xf x dx '⎰为曲边三角形的面积．（2008Ⅱ4，Ⅲ1，Ⅳ2）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（）（A ）跳跃间断点（B ）可去间断点（C ）无穷间断点（D ）振荡间断点【答案】（A ）【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点．因为2000000ln 11sin lim ()lim lim lim lim lim 0csc |1|csc cot cos cosx x x xxxxxx xf x xx x xx xx ++++++→→→→→→=⋅==-=-=--，同理0lim ()0x f x -→=，又1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭，所以0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点．（2008Ⅱ6，Ⅲ4）设函数f连续，若22(,)D F u v =，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂（）（A ）2()vf u （B ）2()vf u u（C ）()vf u （D ）()vf u u【答案】（A ）【详解】用极坐标得()222()2011,()v uuf r rDf u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰，所以()2Fvf u u∂=∂．（2008Ⅲ，3）已知(,)f x y =，则（）（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在（B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在（C ）(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在（D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在【答案】（B）【详解】||000(,0)(0,0)11(0,0)limlim lim 0x x x x x f x f e f x xx→→→---'===-， ||0011lim lim 1x x x x e e x x ++→→--==，||0011lim lim 1x x x x e e x x---→→--==-，故(0,0)x f '不存在．2000(0,)(0,0)1(0,0)lim limlim 00y y y y f y f y f y yy→→→--'====-，故(0,0)y f '存在．（2008Ⅳ，1）设0a b <<，则1lim()nn nn ab --→∞+=（）（A ）a （B ）1a -（C ）b（D ）1b -【答案】（B ）【考点】考查幂指函数的极限．【解析】11111lim()lim 1lim 1nnnnn n n nnn n n ba ab a a ab a ------→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦．（2008Ⅳ，3）设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域{(,)|01,D x y x y =≤≤，则以下结论正确的是（）（A ）()()0Df yg x dxdy =⎰⎰（B ）()()0Df xg y dxdy =⎰⎰（C ）[()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰（D ）[()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰【答案】（A ）【考点】考查利用对称性求二重积分．【答案】（A ）中区域D 关于x 轴对称，()f y 是奇函数，被积函数()()f y g x 对y 是奇函数，故()()0Df yg x dxdy =⎰⎰．（2007ⅠⅡⅢⅣ，1）当0x +→（A）1- （B）（C1 （D）1- 【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案．【详解】当0x +→时，有11)-=--；1；211122x -= ．用排除法知应选（B ）．（2007Ⅰ2，Ⅱ5，ⅢⅣ6）曲线的渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断．【详解】因为01lim ln(1)x x e x →⎡⎤++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =为垂直渐近线；又1lim ln(1)0x x e x →-∞⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，所以0y =为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim lim lim 11x x xx x x x x y e e e x x x x e →+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤++=+===⎢⎥+⎣⎦1lim (1)lim ln(1)lim [ln(1)]lim [ln (1)]lim ln(1)0x x x x x x x x x x y x e x e x e e x e x --→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤-⋅=++-=+-=+-=+=⎢⎥⎣⎦于是有斜渐近线y x =，答案是（D ）．【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法．注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在．本题要注意e x 当,x x →+∞→-∞时1ln(1e )x y x=++的极限不同．（2007ⅠⅡⅢⅣ，3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是（）（A ）3(3)(2)4F F =-- （B ）5(3)(2)4F F =（C ）3(3)(2)4F F =（D ）5(3)(2)4F F =--【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f （x ）在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系．【详解】利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==，202202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰．所以33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）．【评注】本题属基本题型．本题利用定积分的几何意义比较简便．（2007ⅠⅡ4，Ⅳ2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是（）（A ）若0()limx f x x→存在，则(0)0f =（B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =（C ）若0()lim x f x x→存在，则(0)0f '=（D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系．由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去进行判断，然后选择正确选项．【详解】取()||f x x =，则0()()lim0x f x f x x→--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）．事实上，在（A ）（B ）两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f =．在（C ）中，0()limx f x x→存在，则00()(0)()(0)0,(0)lim lim 00x x f x f f x f f x x →→-'====-，所以（C ）项正确，故选（D ）．【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效．（2007Ⅰ5，Ⅱ6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()1,2,...,n u f n n ==，则下列结论正确的是（）（A ）若12u u >，则{}n u 必收敛（B ）若12u u >，则{}n u 必发散（C ）若12u u <，则{}n u 必收敛（D ）若12u u <，则{}n u 必发散【答案】（D ）【分析】本题依据函数()f x 的性质，判断数列{}()n u f n =．由于含有抽象函数，利用赋值法举反例更易得出结果．【详解】取()ln f x x =-，21()0f x x ''=>，12ln10ln 2u u =-=>-=，而()ln f n n =-发散，则可排除（A ）；取21()f x x =，46()0f x x ''=>，12114u u =>=，而21()f n n =收敛，则可排除（B ）；取2()f x x =，()20f x ''=>，1214u u =<=，而2()f n n =发散，则可排除（C ）；故选（D ）．事实上，若12u u <，则211(2)(1)()02121u u f f f ξ--'==>--．对任意()1,x ξ∈+∞，因为()0f x ''>，所以1()()0f x f c ξ''>>>，对任意()21,ξξ∈+∞，()121()()()()f x f f x x ξξξ'=+-→+∞→+∞．【评注】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算．（2007Ⅰ，6）设曲线（(,)f x y 具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N ，Γ为上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是（）（A ）(,)f x y dx Γ⎰ （B ）(,)f x y dy Γ⎰（C ）(,)f x y ds Γ⎰（D ）(,)(,)x y f x y dx f x y dy Γ''+⎰:(,)1L f x y =L【答案】（B ）【分析】直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项．【详解】设11221212(,),(,),,M x y N x y x x y y <>．先把曲线方程代入积分表达式，再计算有：21(,)0TTf x y dx dx x x ==->⎰⎰；21(,)0TTf x y dy dy y y ==-<⎰⎰；(,)0TTf x y ds ds s ==>⎰⎰；(,)(,)(,)0x y TTTf x y dx f x y dy df x y ''+==⎰⎰⎰．（2007Ⅱ，2）函数1(e e)tan ()e e x x xf x x +=⎛⎫- ⎪⎝⎭在[,]ππ-上的第一类间断点是x =（）（A ）0（B ）1（C ）2π-（D ）2π 【答案】（A ）【分析】因为函数为初等函数，则先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型．【详解】函数在0,1,2x x x π===±均无意义，而110000(e e)tan (e e)tan lim ()lim 0,lim ()lim 1e e e e x x x x x x x x x xf x f x x x ++--→→→→++====-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 111(e e)tan lim ()lim e e x x x x xf x x →→+==∞⎛⎫- ⎪⎝⎭； 122(e e)tan lim ()lim e e x x x x xf x x ππ→±→±+==∞⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以0x =为函数()f x 的第一类间断点，故应选（A ）．【评注】本题为基础题型．对初等函数来讲，无定义点即为间断点，然后再根据左右极限判断间断点的类型；对分段函数来讲，每一分段支中的无定义点为间断点，而分段点也可能为间断点，然后求左右极限进行判断．（2007Ⅱ，7）二元函数(,)f x y 在点(0,0)处可微的一个充要条件是（）（A ）()[](,)0,0lim(,)(0,0)0x y f x y f →-=（B ）00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim 0x y f x f f y f x y→→--==且（C ）((,)0,0lim0x y →=。

第四章积分及其应用部分考研真题及解答

第四章积分及其应用 4.1不定积分的概念01.34)设()f x 在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足1130(1)(),(1).x f kxe f x dx k -=>⎰证明至少存在一点(0,1),ξ∈使得1()2(1)().f f ξξξ-'=-（积分中值定理+辅助函数()()x F x xe f x -=）.4.2不定积分的计算02.4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()x f x dx '=⎰22ln ln x x C -+01.1)求2arctan xxe dx e⎰（分部积分+裂项） 01.2)求03.2) 计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+【详解】设t x tan =，则dx x xe x ⎰+232arctan )1(=tdt t t e t 2232sec )tan 1(tan ⎰+=.sin tdt e t ⎰又t d e tdt e t t cos sin ⎰⎰-==)cos cos (tdt e t e tt ⎰--=tdt e t e t e tt t sin sin cos ⎰-+-，故.)c o s (s i n 21s i n C t t e t d t e tt +-=⎰ 因此 dx x xe x⎰+232arctan )1(=C x x x e x ++-+)111(2122arctan =.12)1(2arctan C x e x x++- 06.2) arcsin xxe dx e ⎰求解：原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰2arcsin 1t du t u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 12x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰09.23)计算不定积分ln(1(0)x +>⎰t =得22212,1(1)tdtx dx t t -==-- 原式2222221ln(1)ln(1)(1)(1)(1)t t dt t d t t t --=+=+---⎰⎰ 2221ln(1)11ln(1)().1111t t d dt t t t t +=+=----+⎰⎰ 222ln(1)111ln(1)111()ln 14(1)4(1)2(1)1412(1)t t t dt C t t t t t t t +--++=-++=+-+--++--+⎰1ln(14x C =++-+11ln(122x C =+++-+ 09.农)不定积分2,,2t x t dx tdt === 原式2ln(2)ln(2).222ln(2)ln(2)22t t tdt dt t d t t t t ++===++++⎰⎰⎰2ln (2)t c =++2ln (2c =+4.3定积分的概念与性质 04.2) 22lim ln (1)n n→∞+[]B（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln(1)x dx +⎰02.2) 1lim1cosn n→∞++=提示：利用定积分定义+降幂公式07.1234)连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是（ C ）(A ) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F .03.2) 设⎰=401tan πdx xx I ,dx x xI ⎰=402tan π, 则 [ B ](A) .121>>I I (B) .121I I >> (C) .112>>I I (D) .112I I >>06.4) 设函数()f x 与()g x 在[0,1]上连续，且()()f x g x ≤，且对任何(0,1)c ∈（ D ）（A ）1122()()c cf t dtg t dt ≥⎰⎰（B ）1122()()c cf t dtg t dt ≤⎰⎰（C ）11()()cc f t dt g t dt ≥⎰⎰（D ）11()()ccf t dtg t dt ≤⎰⎰10.123)（I ）比较[]10|ln |ln(1)nt t dt +⎰与10|ln |ntt dt ⎰（1,2,n =）的大小，说明理由. （辅助函数求导法证明ln(1)(01)t t t +<≤≤）（II ）记[]1|ln |ln(1)nn t t dt μ=+⎰（1,2,n =），求极限lim n n μ→∞. （利用前问结果+夹逼定理）4.4微积分学基本定理01.34)设函数0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012(),1(1),123x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则()g x 在区间(0,2)内（ D ）（A ）无界（B ）递减（C ）不连续（D ）连续04.4) 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. (C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.[ B ]06.2) 设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数（B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数（D ）在x =0间断的偶函数02.24)设函数()f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是（ D ）（A ）20()xf t dt ⎰ （B ）20()xf t dt ⎰（C ）[()()]xt f t f t dt --⎰（D ）0[()()]xt f t f t dt +-⎰注：0()()xF x f t dt =⎰与()f x 奇偶性相反05.12)设F (x )是连续函数f (x )的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 [ A ](A ) F (x )是偶函数⇔f (x )是奇函数. (B) F (x )是奇函数⇔f (x )是偶函数.(C) F (x )是周期函数⇔f (x )是周期函数. (D) F (x )是单调函数⇔f (x )是单调函数. 04.12)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 [ B ] (A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. 08.1)设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为（ B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）308.3) 设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（ B ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点. ()D 振荡间断点.09.123) 设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰为（ D ）(考点：函数与其导函数之间的关系，定积分的几何意义。

历年考研微积分(高数)填空题汇总(2004

历年考研微积分（高数）填空题汇总（2004—2013年）（含答案和解析）（2013Ⅰ，9）设函数()y f x =由方程(1)x y y x e --=确定，则1lim 1n n f n →∞⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】1【详解】当0x =时，(0)1y f ==，利用隐函数求导法则知'(0)1f =．1(0)1lim 1lim '(0)11n n f f n n f f n n→∞→∞⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2013Ⅰ，10）已知3222123,,x x x x x y e xe y e xe y xe =-=-=-是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则该方程的通解为．【答案】3212x x x y C e C e xe =+-【详解】显然313x y y e -=和23x y y e -=是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为3212x x x y C e C e xe =+-，其中12,C C 为任意常数．（2013Ⅰ，11）设sin sin cos x t y t t t =⎧⎨=+⎩t 为参数，则224|t d y dx π==．【详解】cos ,cos ,dydx tdt dy t tdt t dx===，221sec cos d y t dx t ==，所以224|t d ydx π==（2013Ⅰ12，Ⅲ11）21ln (1)xdx x +∞=+⎰．【答案】ln2 【详解】112111ln 1ln 1ln |ln |ln 2(1)11(1)1x x x dx xd dx x x x x x x +∞+∞+∞+∞+∞=-=-+==+++++⎰⎰⎰ （2013Ⅱ，9）1ln(1)lim 2xx x x →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2013Ⅱ，10）设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy==．（2013Ⅱ，11）设封闭曲线L 的极坐标方程为cos366r ππθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，则L 所围成的平面图形的面积为．【答案】12π+（2013Ⅱ，12）曲线arctan x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为．【答案】04y x π+--=（2013Ⅱ，13）已知3222123,,x x x x x y e xe y e xe y xe =-=-=-是某个二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00|0,|1x x y y =='==的解为y =．【答案】32x x x e e xe --（2013Ⅲ，9）设曲线()y f x =和2y x x =-在点(0,1)处有公共的切线，则lim 2n n nf n →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭．【答案】2-（2013Ⅲ，10）设函数(,)z z x y =由方程()x z y xy +=确定，则(1,2)zx ∂=∂．【答案】2ln2-（2013Ⅲ，12）微分方程104y y y '''-+=的通解为y =．【答案】1212()x e C x C +（2012Ⅰ，9）若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及'()()2x f x f x e +=，则()f x =．【答案】x e【解析】特征方程为220r r +-=，特征根为121,2r r ==-，齐次微分方程'''()()2()0f x f x f x +-=的通解为212()x x f x C e C e -=+．再由'()()2xf x f x e+=得21222x x x C e C e e --=，可知121,0C C ==．故()x f x e =．（2012Ⅰ，10）20=⎰．【答案】2π【解析】令1t x =-得2111(2t π--=+==⎰⎰⎰．（2012Ⅰ，11）(2,1,1)grad z xy y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．【答案】{1,1,1} 【解析】2(2,1,1)(2,1,1)1grad ,,{1,1,1}z z xy y x y y y ⎛⎫⎧⎫+=-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭．（2012Ⅰ，12）设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰．【解析】由曲面积分的计算公式可知22DDy ds y y dxdy ∑=⎰⎰⎰⎰，其中{}(,)0,0,1D x y x y x y =≥≥+≤．故原式111220(1)ydy y dx y y dy -==-=⎰．（2012Ⅱ，9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d ydx==．【答案】1【解析】将0x =代入原方程可得0y =，方程21y x y e -+=两端对()22,2x y f x y xe +=-求导，有2y dy dyx e dx dx-=，将0x =、0y =代入可得，所以00x dy dx ==．再次求导得222222y y d y dy d y e e dx dx dx ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，再将0x =、0y =、00x dy dx ==代入可得221x d ydx ==．（2012Ⅱ，10）22222111lim 12n n nn n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭．【答案】4π【解析】原式11220111lim arctan 141nn i dx x n x i n π0→∞=====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑⎰．（2012Ⅱ，11）设1ln z f x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂．【答案】0 【解析】因为211,z zf f x x y y ⎛⎫∂∂''=⋅=⋅- ⎪∂∂⎝⎭，所以20z z x y x y ∂∂+=∂∂．（2012Ⅱ，12）微分方程2d (3)d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为．【答案】2x y =【解析】21(3)03dx ydx x y dy y x dy y +-=⇒=-13dx x y dy y⇒+=为一阶线性微分方程，所以112133dy dy y y x e y e dy C y dy C y -⎡⎤⎰⎰⎡⎤=⋅+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰31()y C y =+．又因为1y =时1x =，解得0C =，故2x y =．（2012Ⅱ，13）曲线2(0)y x x x =+<【答案】(1,0)-【解析】将21,2y x y =+=’”代入曲率计算公式，有323/222||2(1)21(21)y K y x ''==='+⎡⎤++⎣⎦．整理有2(21)1x +=，解得01x =-或，又0x <，所以1x =-，这时0y =，故该点坐标为(1,0)-．（2012Ⅲ，9）1cos sin 4lim(tan )x xx x π-→=．【答案】e【解析】sin cos 1ln tan tan 11cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos 44444lim(tan )lim lim lim lim x x x x x x xx xx xx xxx x x x x x eeeee πππππ-------→→→→→===== （2012Ⅲ，10）设函数1(),(())21,1x f x y f f x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，则x edy dx ==．【答案】1e【解析】222211ln ln ,22()1[()]1,1ln 1,12()1,()12(21)1,143,1x x e x e f x y f f x x e x x e f x f x x x x x ⎧⎛⎫⎧≥≥ ⎪⎪⎪⎧⎝⎭≥⎪⎪====⎨⎨⎨≤<-≤<-<⎪⎩⎪⎪--<⎩⎪-<⎩，所以11(ln 1)x e x ex edyx dxxe====-==（2012Ⅲ，11）函数(,)z f x y =满足0x y →→=，则(0,1)dz =．【答案】2dx dy - 【解析】由于0x y →→=，则01lim((,)22)0x y f x y x y →→-+-=．由于(,)f x y 连续，则(0,1)0120(0,1)1f f -+-=⇒=，则0x y →→=．观察可知(,)f x y 在(0,1)处可微，且(0,1)(0,1)2,1f fx y ∂∂==-∂∂，故2dz dx dy =-．（2012Ⅲ，12）由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中所围图形的面积为．【答案】4ln2 【解析】曲线4y x =和y x =交点为(2,2)，4y x=与4y x =交点为(1,4)，故4142120101413xx x xDS d dx dy dx dy xdx x dx x σ⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．（2011Ⅰ9，Ⅱ11）曲线0tan (0)4xy tdt x π=≤≤⎰的弧长为．【答案】14π-【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可．【解析】()2'22444400tan sec 1tan 14s y dx xdx x dx x x πππππ===-=-=-⎰⎰⎰．（2011Ⅰ，10）微分方程cos x y y e x '+=满足条件(0)0y =的解为．【答案】sin x y xe -=【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解．先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数．【解析】原方程的通解为11[cos ][cos ][sin ]dx dxx x x y e e x e dx C e xdx C e x C ----⎰⎰=⋅+=+=+⎰⎰．由(0)0y =，得0C =，故所求解为sin x y xe -=．（2011Ⅰ，11）设函数2sin (,)1xyt F x y dt t=+⎰，则2202x y Fx ==∂=∂．【答案】4【考点分析】本题考查偏导数的计算．【解析】()()22232222222cos 12sin sin ,11y xy x y xy xyF y xy F x x y x x y +-∂∂==∂+∂+，故2224x y F x ==∂=∂．（2011Ⅰ，12）设L 是柱面方程221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22Ly xzdx xdy dz ++=⎰ ．【答案】π【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算．首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可．【解析】曲线L 的参数方程为cos sin cos sin x t y t z t t =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，其中t 从0到2π．因此22202322202sin cos (cos sin )(sin )cos cos (cos sin )2sin cos sin sin cos cos 22Ly xzdx xdy dz t t t t t t t t t dt t t t t t t dt ππ++=+-++-=--+-⎰⎰⎰ π=．（2011Ⅱ，9）1012lim 2xxx →⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（2011Ⅱ，10）微分方程'cos x y y e x -+=满足条件(0)0y =的解为y =．【答案】sin x y e x -=（2011Ⅱ，12）设函数,()0,kx e f x λ-⎧=⎨⎩0,0,x x >≤(0)λ>，则()xf x dx +∞-∞=⎰．【答案】1λ（2011Ⅱ，13）设平面区域D 由直线y x =，圆222x y y +=及y 轴所围成，则二重积分Dxyd σ=⎰⎰．【答案】712（2011Ⅲ，9）设0()lim (13)x tt f x x t →=+，则'()f x =．【答案】3(13)x x e + 【解析】0ln(13)3lim30()lim t x t x t x ttt f x xexex e →+⋅→===⋅，故'333()3(13)x x x f x e xe x e =+=+（2011Ⅲ，10）设函数(1)xy xz y =+，则(1,1)|dz =．【答案】112ln 22ln 222dx dy ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】ln(1)ln(1)11(1,1)11(1)()()ln(1)1x x x x x x x x x z d x x e e x x dx x ++====∂+⎛⎫'===+++ ⎪∂+⎝⎭ 12ln 22⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2111ln 1ln 12(1,1)11111ln 111112ln 22yy y y y y y y y y y d y zy e e ydyy ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-⎡⎤⋅⎢⎥⎛⎫-+⎢⎥ ⎪'⎛⎫⎡⎤⎢⎥⎝⎭++ ⎪⎢⎥⎢⎥∂-⎛⎫⎝⎭====-⎢⎥⎢⎥ ⎪∂⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故112ln 22ln 222dz dx dy ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2011Ⅲ，11）曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为．【答案】2y x =-【解析】21(1)cos 4y y e y x y π''⋅+=⋅⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0,0x y ==时，21(1)y y ''⋅+=⎝⎭，所以2(1)2y y y '''+=⇒=-．故切线方程为2y x =-．（2011Ⅲ，12）曲线y 2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积．【答案】43π 【解析】2322211174(1)1333x V x dx x ππππ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-=-=-= ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰．（2010Ⅰ，9）设20,ln(1)ttx e y u du -==+⎰，则22t d ydx ==．【答案】0 【解析】2ln(1)t dy dy dte t dx dt dx =⋅=-+， 222222222ln(1)()ln(1)11t t t t dy d d y dt t t dx e t e e e t dx dt dx t t ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭=⋅=-++-=++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，于是220t d ydx ==．（2010Ⅰ，10）2π⎰=．【答案】4π-【解析】2222202cos 2(sin )2sin 4sin x tt tdt t d t t t t tdt πππππ=−−−→==-⎰⎰⎰⎰204sin 2sin 4sin 4t tdt tdt tdt ππππππ=-=-=-=-⎰⎰⎰（2010Ⅰ，11）已知曲线L 的方程为1||([1,1])y x x =-∈-，起点是(1,0)-，终点是(1,0)，则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰．【答案】0【解法一】补充1:0L y =（起点(1,0)，终点(1,0)-），由格林公式11222LL L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy ++=+-+⎰⎰⎰ ，而1112010y L L y Dxydx x dy xdxdy dy xdx -+-+===⎰⎰⎰⎰⎰，1120L L xydx x dy xydx +==⎰⎰，故原式0=．【解法二】012221[(1)][(1)]0Lxydx x dy x x x dx x x x dx -+=+++--=⎰⎰⎰．（2010Ⅰ，12）设22{(,,)|1}x y z x y z Ω=+≤≤，则Ω的形心的竖坐标z =．【答案】23【解析】zdvz dvΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，而2211203x y zzdv zdzdxdy z dz ππΩ+≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，22112x y zdv dzdxdy zdz ππΩ+≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以23z =．（2010Ⅱ，9）三阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解是y =．【答案】2123cos sin x C e C x C x ++（2010Ⅱ，10）曲线3221x y x =+的渐近线方程为．【答案】2y x =（2010Ⅱ，11）函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数()(0)n y =．【答案】2(1)!n n -⋅-（2010Ⅱ，12）当0θπ≤≤时，对数螺线r e θ=的弧长为．1)e π-（2010Ⅱ，13）已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l =12cm ，w =5cm 时，它的对角线增加的速率为．【答案】3cm/s（2010Ⅲ，9）设可导函数()y y x =由方程220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰确定，则x dy dx==．【答案】1-【解析】220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰两边对x 求导得2()2201)sin sin xx y e y t dt x x -+'+=+⎰(，代入0x =得20001)0101y x x x e y y y -==='''+=⇒+=⇒=-(．（2010Ⅲ，10）设位于曲线)y e x =≤<+∞下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是．【答案】24π【解析】体积22(1ln )eeV y dx dx x x ππ+∞+∞==+⎰⎰（作变量替换t x e =）2211arctan (1)4tt e dt t e t πππ+∞+∞===+⎰．（2010Ⅲ，11）设某商品的收益函数为()R P ，收益弹性为31P +，其中P 为价格，且(1)1R =，则()R P =．【答案】313P Pe-【解析】由已知条件有31R P P P R∂⋅=+∂，即32()11R P P P R P P '+==+（分离变量）．两边同时积分有31ln ln 3P R P C =++，即，31ln 3R P C P =+，所以有3333P P RCeR CPeP=⇒=，代入(1)1R =，得13C e -=，所以313()P R P Pe-=（2010Ⅲ，12）若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-，则b =．【答案】3【解析】根据条件得110,0x x y y =-=-'==，其中62y x a ''=+，于是得方程组110620a b a -+-+=⎧⎨-+=⎩，解得3a b ==．（2009Ⅰ，9）设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,)z f x xy =，则2zx y∂=∂∂．【答案】"'"12222xf f xyf ++【解析】''12z f f y x∂=+⋅∂，2"'""'"1222212222z xf f yx f xf f xyf x y ∂=++⋅=++∂∂．（2009Ⅰ，10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为12()x y C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件(0)2,(0)0y y '==的解为y =．【答案】2x y xe x =-++【解析】由12()x y c c x e =+，得121λλ==，故2,1a b =-=．微分方程为''2'y y y x -+=，设特解*y Ax B =+代入，',1y A A ==， 220,2A AxB x B B -++=-+==，∴特解*2y x =+， ∴12()2x y c c x e x =+++．把(0)2y =，'(0)0y =代入，得120,1c c ==-，故所求2x y xe x =-++．（2009Ⅰ，11）已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则Lxds =⎰．【答案】136【解析】由题意可知，2,,0x x y x x ==≤，则ds =，所以()20111314886Lxds x ==+==⎰．（2009Ⅰ，12）设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰．【答案】415π 【解法一】2122220sin cos z dxdydz d d d ππθϕρϕρϕρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()21240cos cos d d d ππθϕϕρρ=-⎰⎰⎰30cos 1423515d πϕπϕπ=⋅-⋅=⎰．【解法二】由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydz Ω⎰⎰⎰，所以，()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14002214sin sin 33515d r dr d πππππϕϕϕϕ=⋅⋅=⎰⎰⎰．（2009Ⅱ，9）曲线21022ln(2)tu x e duy t t --⎧=⎪⎨⎪=-⎩⎰在(0,0)处的切线方程为．【答案】2y x =【解析】221222ln(2)22t dy t t t t dt t ==--⋅=--2(1)1(1)1t t dx e dt--==⋅-=- 所以2dy dx=所以切线方程为2y x =.（2009Ⅱ，10）已知1k x e dx +∞-∞=⎰，则k =．【答案】2-【解析】01122lim bk xkxkx b e dx e dx e k +∞+∞-∞→+∞===⎰⎰，因为极限存在所以0k <，210k=-，2k =-．（2009Ⅱ，11）1lim sin x n e nxdx -→∞=⎰．【答案】0【解析】令sin sin cos x x x n I e nxdx e nx n e nxdx ---==-+⎰⎰2sin cos x x n e nx ne nx n I --=---，所以2cos sin 1xn n nx nx I e C n -+=-++．即11102220cos sin cos sin lim sin lim()lim()0111x x n n n n nx nx n n n ne nxdx e e n n n ---→∞→∞→∞++=-=-+=+++⎰．（2009Ⅱ，12）设()y y x =是由方程1yxy e x +=+确定的隐函数，则202x d y dx==．【答案】3-【解析】对方程xy 1y e x +=+两边关于x 求导有''1y y xy y e ++=，得'1yyy x e -=+．对''1y y xy y e ++=再次求导可得''''''22()0y y y xy y e y e +++=，得''2''2()yyy y e y x e +=-+(*)．当0x =时，0y =，'(0)0101y e -==，代入(*)得 ''20''032(0)((0))(0)(21)3(0)y y e y e +=-=-+=-+．（2009Ⅱ，13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为．【答案】2ee-【解析】因为()22ln 2x y x x '=+，令0y '=得驻点为1x e=．又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，故1x e=为2xy x =的极小值点，此时2e y e -=，又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0y x '<；1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0y x '>，故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递增．而()11y =，()()00022ln limlim11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x x x xxx x x y x e e ee ++→→+→++--+→→======，所以2xy x =在区间(]01，上的最小值为21e y e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2009Ⅲ，9）cos x x →=．【答案】32e【解析】2cos cos 100221(1cos )32lim lim 11233xx x x x x e x e x e x x-→→→→⋅-====．（2009Ⅲ，10）设()y x z x e =+，则(1,0)zx ∂=∂．【答案】2ln21+．【解析】由()y x z x e =+，故(,0)(1)x z x x =+，ln(1)ln(1)[(1)]ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++⎡⎤''⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥+⎣⎦．代入1x =得，ln 2(1,0)1ln 22ln 212z e x ∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭．（2009Ⅲ，11）幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为．【答案】1e【解析】由题意知，2(1)0n nn e a n --=>， 11112212211(1)()(1)(1)(1)11n n n n n n n nnn e e a e n n e n a n e n e e +++++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=⋅=⋅→→∞+--+⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．所以，该幂级数的收敛半径为1e．（2009Ⅲ，12）设某产品的需求函数为()Q Q P =，其对应价格P 的弹性0.2P ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元．【答案】8000【解析】所求即为()QP Q P Q ''=+．因为0.2P Q PQξ'==-，所以0.2Q P Q '=-，所以()0.20.8QP Q Q Q '=-+=．将10000Q =代入有()8000QP '=．（2009Ⅳ，9）20lim 1sin 3xx x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭．【答案】23e【解析】002sin222233ln 1sin limlim 3300lim(1sin )lim 3x x xx x x xxxx x xee ee →→⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭→→+====．（2009Ⅳ，10）设2()ln(4cos 2)f x x x =+，则8f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭．【答案】41π+【解析】由2()ln(4cos 2)f x x x =+，21()[42cos2(sin2)2]4cos 2f x x x x x'=+⋅-⋅+，则12444(42)81122f ππππ⎡⎤⎛⎛⎫'=+=-=⎢⎥ ⎪ ++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦+．（2009Ⅳ，11）设2(),()ln x f x e x x ϕ==，则10[(())(())]f x f x dx ϕϕ+=⎰．【答案】43【解析】2ln 2(())x f x e x ϕ==，2(())ln 2x f x e xϕ==，所以原式131220014(2)1333x x x dx x ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭⎰．（2009Ⅳ，12）设(,)f u v 为二元可微函数，(sin(),)xy z f x y e =+，则zx∂∂=．【答案】12cos()xy f x y yf e ''++ 【解析】根据复合函数求导法得12cos()xy zf x y yf e x∂''=++∂．（2008Ⅰ9，Ⅲ12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y =．【答案】1x【详解】由dy ydx x-=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y =+，又(1)1y =，所以1y x=．（ⅢⅠ10，Ⅱ11）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)处的切线方程为．【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y xdx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+．（2008Ⅰ，11）已知幂级数0(2)n n n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为．【答案】(1,5]【详解】幂级数0(2)n n n a x ∞=+∑的收敛区间以2x =-为中心，因为该级数在0x =处收敛，在4x =-处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为(4,0]-，即222x -<+≤时级数收敛，亦即0nn n a t ∞=∑的收敛半径为2，收敛域为(2,2]-．则0(3)n n n a x ∞=-∑的收敛半径为2，由232x -<-≤得15x <≤，即幂级数0(3)n n n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]．（2008Ⅰ，12）设曲面Σ是z =2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰．【答案】4π【详解】加221:0(4)z x y ∑=+≤的下侧，记∑与1∑所围空间区域为Ω，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++⎰⎰1122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2222222441()0()2x y x y ydxdydz x dxdy x y dxdy Ω+≤+≤=--=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22300142d r dr πθπ==⎰⎰．（2008Ⅱ，9）已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)f =．【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →===．所以(0)2f =．（2008Ⅱ10，Ⅳ12）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是y =．【答案】()x x e C --+【详解】微分方程()20x y x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--=，所以111()dx dx xx x x x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰．（2008Ⅱ，12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为．【答案】(1,6)--【详解】53235y x x =-⇒211351010(2)333x y x x x -+'=-=⇒134343101010(1)999x y x x x--+''=+=， 1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在．在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=-，故曲线的拐点为(1,6)--．（2008Ⅱ，13）设xy y z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)z x∂=∂．21)- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u =．所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yvvy u y y u ux y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以(1,2)21)2z x ∂=-∂．（2008ⅢⅣ，9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c =．【答案】1【详解】由题设知0||x c ≤≤，所以22,()1,2,x c x f x x c x c x cx ⎧>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎩．因为22lim ()lim (1)1x cx cf x x c --→→=+=+，22lim ()lim x c x cf x x c++→→==，又因为()f x 在(,)-∞+∞内连续，()f x 必在x c =处连续．所以lim ()lim ()()x cx cf x f x f c +-→→==，即2211c c c+=⇒=．（2008Ⅲ，10）设341()1x x f x x x ++=+，则2()f x dx =⎰．【答案】1ln32【详解】222111112x xx x f x x x x x x ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭，令1t x x =+，得2()2t f t t =-，所以22222111()ln(2)(ln6ln2)ln32222x f x dx dx x x ==-=-=-⎰⎰．（2008Ⅲ，11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()Dx y dxdy -=⎰⎰．【答案】【详解】21222220011()()224DDDx y dxdy x dxdy x y dxdy d r rdr ππθ-−−−−→=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰利用奇偶性．（2008Ⅳ，10）已知函数()f x 连续，且0()lim2x f x x→=，则曲线()y f x =上对应0x =处的切线方程是．【答案】2y x =【考点】考查利用导数定义求某点处的导数．【解析】由0()lim2x f x x →=且()f x 连续，则(0)0f =，0()(0)(0)lim 2x f x f f x→-'==，所以切线方程为2y x =．（2008Ⅳ，11）211ln y dx x xdy =⎰⎰．【答案】12【考点】考查二重积分的计算．【解析】22212121111(1)1ln (1)22yyx dx x xdy dx dx x dx -==-==⎰⎰⎰⎰⎰．【易错辨析】ln y y x xdy dx =．4π（2007Ⅰ，11）12311x e dx x=⎰．【答案】1212e【分析】先作变量代换，再分部积分．【详解】111121322132112111()2t t t xx e dx t e dt te dt e x t =−−−→=-==⎰⎰⎰．（2007Ⅰ，12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y x z f x y =，则zx∂=∂．【答案】112ln y x f yx f y y -''⋅+⋅ 【详解】利用复合函数求偏导公式，有112ln y x zf yx f y y x-∂''=⋅+⋅∂．（2007Ⅰ13，Ⅱ14）二阶常系数非齐次线性方程2432x y y y e '''-+=的通解为y =．【答案】3212e e 2e x x x C C +-【分析】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构求解，即先求出对应齐次方程的通解Y ，然后求出非齐次微分方程的一个特解*y ，则其通解为*y Y y =+．【详解】对应齐次方程的特征方程为2124301,3λλλλ-+=⇒==，则对应齐次方程的通解为312e e x x y C C =+．设原方程的特解为2*e x y A =，代入原方程可得22224e 8e 3e 2e 2x x x x A A A A -+=⇒=-，所以原方程的特解为2*2e x y =-，故原方程的通解为3212e e 2e x x x y C C =+-，其中12,C C 为任意常数．【评注】本题为基础题型.（2007Ⅰ，14）设曲面:||||||1x y z ∑++=，则(||)x y dS ∑+=⎰⎰ ．【解析】由于曲面Σ关于平面0x =对称，因此0xdS ∑=⎰⎰ ．又曲面:||||||1x y z ∑++=具有轮换对称性，于是1(||)||||||(||||||)3x y dS y dS x dS z dS x y z dS ∑∑∑∑∑+====++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11833dS ∑==⨯=⎰⎰ （2007Ⅱ，11）30arctan sin lim x x xx→-=．【答案】16-【分析】本题为未定式极限的求解，利用洛必达法则即可．【详解】232001cos arctan sin 1lim lim3x x x x x x x x →→--+=2201cos (1)lim 3x x x x →-+= 202cos sin (1)111lim 6366x x x x x x →-++==-+=-．【评注】本题利用了洛必达法则．本题还可用泰勒级数展开计算．因为333311arctan (), sin ()36x x x o x x x x o x =-+=++，所以30arctan sin 1lim 6x x x x →-=-．（2007Ⅱ，12）曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为．【分析】本题考查参数方程的导数及导数的几何意义．【详解】因为44d cos d sin 2cos sin t t y txt t tππ====--，所以曲线在对应于4t π=的点的切线斜率为，故曲线在对应于4t π=【评注】本题为基础题型．（2007ⅢⅣ，11）3231lim(sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+．【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论．【详解】因为323233110222lim lim0,|sin cos |22112x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++，所以3231lim(sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+．【评注】无穷小的相关性质：（1）有限个无穷小的代数和为无穷小；（2）有限个无穷小的乘积为无穷小；（3）无穷小与有界变量的乘积为无穷小．（2007ⅢⅣ12，Ⅱ13）设函数123y x =+，则()(0)n y =．【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式．【详解】()212,2323y y x x '==-++，则()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=．【评注】本题为基础题型．（2007ⅢⅣ13，Ⅱ15）设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z z x yx y ∂∂-=∂∂．【答案】122y x f f xy ⎛⎫''-- ⎪⎝⎭【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可．【详解】利用求导公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y∂''=-∂，所以122z z y x xy f f x y xy ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭．【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性．（2007ⅢⅣ，14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y==的特解为y =．【分析】本题为齐次方程的求解，可令y u x=．【详解】令yu x=，则原方程变为 33d 1d d d 22u u x u x u u x u x+=-⇒=-．两边积分得2111ln ln 222x C u -=--，即222111e e y u x x x C C=⇒=，将11x y==代入左式得e C =，故满足条件的方程的特解为2e e x y x =，即y =1e x ->．【评注】本题为基础题型．（2006Ⅰ，1）0ln(1)lim 1cos x x x x→+=-．【答案】2【解析】21ln(1),1cos (0)2x x x x x +-→ ，0ln(1)lim 21cos x x x x →+∴=-．（2006Ⅰ2，Ⅱ4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是．【答案】(0)x y cxe x -=≠ 【解析】这是变量可分离方程．（2006Ⅰ，3）设∑是锥面1)z z ≤≤的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰．【答案】2π【解析】补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧,2,3(1)P x Q y R z ===-1236P Q Rx y z∂∂∂++=++=∂∂∂， ∴16dxdydz ∑∑Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）6V =（V 为上述圆锥体体积）623ππ=⨯=，而123(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++-=⎰⎰（∵在1∑上：1,0z dz ==）．（2006Ⅱ，1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为．【答案】15y =【解析】4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-．（2006Ⅱ，2）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =．【答案】13【解析】2200sin()1lim ()lim33x x x f x x →→==．（2006Ⅱ，3）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰．【答案】12【解析】22222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰．（2006Ⅱ，5）设函数()y y x =由方程1e y y x =-确定，则0d d x y x==．【答案】e -【解析】当x =0时，y =1，又把方程每一项对x 求导，有y y y e xe y ''=--，(1)y yy xe e '+=-，0011x x y yye y e xe ==='=-=-+．（2006ⅢⅣ，1）(1)1lim nn n n -→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】1【分析】将其对数恒等化ln N N e =求解．【详解】(1)(1)11ln lim (1)ln 1lim lim nnn n n n n n n n n een -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而数列{(1)}n -有界，1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1lim(1)ln 0nn n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭故(1)01lim 1nn n e n -→∞+⎛⎫==⎪⎝⎭．（2006ⅢⅣ，2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导，且()()(2)1f x f x e f '-⋅=，则(2)f '''=．【答案】32e【分析】利用复合函数求导即可．【详解】由题设知，()()f x f x e '=，，两边对x 求导得()2()()()f x f x f x e f x e '''==，两边再对x 求导得2()3()()()2f x f x f x e f x e ''''==，又(2)1f =，故3()3()22f x f x e e '''==．（2006Ⅲ，3）设函数()f u 可微，且1()2f u '=，则22(4)z f x y =-在点(1,2)处的全微分(1,2)|dz =．【答案】42dx dy -【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算．【解法一】因为22(1,2)(1,2)(4)84zf x y x x ∂'=-⋅=∂，所以(1,2)(1,2)(1,2)|42z zdz dx dy dx dy x y ⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦．【解法二】对22(4)z f x y =-微分得222222(4)(4)(4)(82)dz f x y d x y f x y xdx ydy ''=--=--，故(1,2)|(0)(82)42dz f dx dy dx dy '=-=-．（2005Ⅰ，1）曲线221x y x =+的斜渐近线方程为．【答案】11.24y x =-【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可．【详解】因为22()1limlim 22x x f x x a x x x →∞→∞===+，[]1lim ()lim 2(21)4x x x b f x ax x →∞→∞-=-==-+，于是所求斜渐近线方程为1124y x =-．（2005Ⅰ2，Ⅱ4）微分方程2ln xy y x x '+=满足1(1)9y =-的解为．【答案】11ln 39y x x x =-【分析】直接套用一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解公式：()()[()]P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰，再由初始条件确定任意常数即可．【详解】原方程等价为2ln y y x x '+=，于是通解为22221[ln ][ln ]dxdxx x y ex edx C x xdx C x -⎰⎰=⋅+=⋅+⎰⎰=2111ln 39x x x C x -+，由1(1)9y =-得C=0，故所求解为11ln 39y x x x =-．（2005Ⅰ，3）设函数222(,,)161218x y z u x y z =+++，单位向量1,1,1}=n ，则(1,2,3)un ∂=∂．【分析】函数(,,)u x y z 沿单位向量{cos ,cos ,cos αβγ=n }的方向导数为：cos cos cos u u u un x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂．因此，本题直接用上述公式即可．【详解】因为3u x x ∂=∂，6u y y ∂=∂，9u zz ∂=∂，于是所求方向导数为(1,2,3)111333u n ∂=+=∂．（2005Ⅰ，4）设Ω是由锥面z =z ∑是Ω的整个边界的外侧，则xdydz ydzdx zdxdy ∑++=⎰⎰．【答案】321R π⎛ ⎝⎭. 【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可．【详解】3xdydz ydzdx zdxdy dxdydz ∑Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰223403sin 2(1Rd d d R ππρρφφθπ==⎰⎰⎰．（2005Ⅱ，1）设(1sin )x y x =+，则x dy π==．【答案】dx π-【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导．【解法一】(1sin )x y x =+=ln(1sin )x x e +，于是ln(1sin )cos [ln(1sin )]1sin x x xy e x x x+'=⋅++⋅+，从而()x dy y dx dx πππ='==-．【解法二】两边取对数，ln ln(1sin )y x x =+，对x 求导，得1cos ln(1sin )1sin x x y x y x'=+++，于是cos (1sin )[ln(1sin )]1sin x xy x x x x'=+⋅++⋅+，故()x dy y dx dx πππ='==-．（2005Ⅱ，2）曲线32y=【答案】32y x =+【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】因为32())limlim 1x x f x a x→+∞===， []3322)3lim ()lim2x x xb f x ax →+∞=-==，于是所求斜渐近线方程为32y x =+．（2005Ⅱ，3）1=⎰．【答案】4π 【分析】作三角代换求积分即可．【详解】令sin x t =，则1=⎰220sin cos (2sin )cos t t dt t tπ-⎰22200cos arctan(cos )1cos 4d t t t πππ=-=-=+⎰．（2005Ⅱ，5）当0x →时，2()x kx α=与()x β则k =．【答案】34【分析】题设相当于已知0()lim 1()x x x βα→=，由此确定k 即可．【详解】由题设，00()lim()x x x x x βα→→→==12k =20arcsin 1cos 3lim 14x x x x x k →+-==，得34k =．（2005ⅢⅣ，1）极限22lim sin1x xx x →∞=+．【答案】2【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可．【详解】22lim sin1x x x x →∞+=22lim 21x xx x →∞=+．（2005ⅢⅣ，2）微分方程0xy y '+=满足初始条件(1)2y =的特解为．【答案】2xy =【分析】直接积分即可．【详解】原方程可化为()0xy '=，积分得xy C =，代入初始条件得C=2，故所求特解为2xy =．（2005ⅢⅣ，3）设二元函数(1)ln(1)x y z xe x y +=+++，则(1,0)dz =．【答案】2(2)edx e dy ++ .【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可．【详解】ln(1)x y x y ze xe y x++∂=+++∂，11x y z x xe y y +∂+=+∂+，于是(1,0)2(2)dz edx e dy =++．（2004Ⅰ，1）曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为．【答案】1y x =-.【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线ln y x =的导数为1可确定切点的坐标．【详解】由1(ln )1y x x''===，得1x =，可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程为01(1)y x -=⋅-，即1y x =-．【评注】本题也可先设切点为00(,ln )x x ，曲线ln y x =过此切点的导数为11x x y x ='==，得01x =，由此可知所求切线方程为01(1)y x -=⋅-，即1y x =-．（2004Ⅰ，2）已知()x x f e xe -'=，且(1)0f =，则()f x =．【答案】21(ln )2x【分析】先求出()f x '的表达式，再积分即可．【详解】令x e t =，则ln x t =，于是有ln ()t f t t '=，即ln ()x f x x'=．积分得2ln 1()(ln )2x f x dx x C x ==+⎰．利用初始条件(1)0f =，得0C =，故所求函数为21()(ln )2f x x =．【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分．（2004Ⅰ，3）设L 为正向圆周222x y +=在第一象限中的部分，则曲线积分2Lxdy ydx -⎰的值为．【答案】32π【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分．【详解】正向圆周222x y +=在第一象限中的部分，可表示为,:02,x y θπθθ⎧=⎪→⎨=⎪⎩于是202]Lxdy ydx d πθθθθθ-=+⎰⎰22032sin 2d πππθθ=+=⎰【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可．（2004Ⅰ，4）欧拉方程222420(0)d y dyxx y x dx dx++=>的通解为．【答案】122c cy x x=+ 【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换t x e =化为常系数线性齐次微分方程即可．【详解】令t x e =，则1t dy dy dt dy dye dx dt dx dt x dt-=⋅==， 22222222111[]d y dy d y dt d y dydx x dt x dt dx x dt dt =-+⋅=-，代入原方程，整理得22320d y dyy dt dt++=，解此方程，得通解为212122t t c c y c e c e x x --=+=+．【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令t x e =，则欧拉方程222()d y dy ax bx cy f x dx dx++=，可化为22[]()t d y dy dya bcy f e dt dt dt-++=．（2004Ⅱ，1）设2(1)lim 1()n n xnx f x →∞-+=，则()f x 的间断点为x =．【答案】0。

04年上海财经研究生入学经济学试题

上海财经大学2004年硕士研究生入学考试经济学试题一、判断题（每小题1分，共20分）1. 沉没成本属于机会成本。

2. 需求曲线的需求行为的调整时间越长，需求就越具有弹性。

3. 需求曲线的每点都意味着消费者的均衡条件得到满足。

4. 所有的nash均衡同时也是占优策略（dominant strategy）均衡。

5. 利率上涨必然使消费者增加储蓄。

6. 埃奇渥思盒装图（edgeworth box）的契约线上的各点都是有效的。

7. 比较单一价格垄断盒完全竞争可知，消费者所损失的全部消费者剩余都被垄断者获取。

8. 一般认为基尼系数越小，收入分配就越趋向平等。

9. 买者的保留价格是买者愿意为商品物品支付的最低价格。

10. 任何一种可以由政府产生、提供的物品都是公共物品。

11. 外部性的存在意味着边际社会成本小于边际私人成本。

12. 平均成本定价规则可以达到配置效率。

13. 只有不存在任何失业时，经济才实现了充分就业。

14. 若一国具有绝对成本优势，它就不能从国际贸易中获益。

15. 对通货膨胀的预期会加剧实际的通货膨胀。

16. 货币主义者不相信流动性陷阱的存在。

17. 理性预期认为长短期的菲利普斯曲线万全相同。

18. 李嘉图等价格定例认为政府利用减税或举债的财政政策刺激经济都是有效的。

19. 扩张性财政政策在固定汇率下要比在浮动汇率下更有效。

20. 一国货币贬值总是导致其经常性收支状况改善。

二、选择题（每题1分，共40分）21. 在达到消费均衡时，消费者（）A.从各种商品中得到相同的效用B.在各种商品上的支出相同；C.从各种商品中获得的效用相同D.花在各种商品上的每元钱都具有相同的边际效用。

22. 下述哪种情况中，消费者剩余为零。

（）A.需求弹性大于1；B.需求弹性小于1；C.所购买的最后一个单位的商品；D.所购买的第一个单位的商品；23. 下列哪项陈述正确？（）A.所有的低挡品都是吉芬商品，所有的吉芬商品都是低档品；B.所有的低档品都吉芬商品，但不是所有的吉芬商品都是低档品；C.所有的吉芬商品都是低挡品，担不是所有的低挡品都是吉芬商品D.上述说法都不正确，因为在抵挡品和吉芬商品之间没有确定关系。

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