数学必修一3.1.1方程的根和函数的零点

f0>0 ∴f1<0 f2>0
1>0 ，即 a－2＋1<0 ， 4a－4＋1>0
3 解得 <a<1； 4
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(3)当 a<0 时，设方程的两根为 x1，x2， 1 则 x1·2＝ <0， x a x1，x2 一正一负不符合题意． 3 综上，a 的取值范围为 <a<1. 4
答案：B
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类型三 判断零点的个数
【例3】 判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点的个数． 思路分析：构造函数y＝lnx和函数y＝－x＋3，从而将原问题转 化为判断这两个函数图象交点的个数问题．也可利用函数的单调性借
助函数零点的存在性定理来判断．
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热点提示 本节重点学习函数的零点的概念以及零点存在的判定方法．这 些内容比较抽象，学习的关键是把它具体化、形象化，也就是在熟练 掌握二次函数的有关知识的基础上，结合二次函数图象，由特殊到一
般逐渐理解零点的概念，并会判断零点的存在.
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1 A．(0， ) 2 1 C．( ，1) 2
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1 x 解析：设 f(x)＝( ) －x，则 f(0)＝1>0， 10 1 1 1 1 f( )＝( ) － ＝ 0.1－ 0.25<0， 2 10 2 2 f(1)＝ 1 1 －1<0，f(2)＝( )2－2<0， 10 10
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思路分析：从已知的区间(a，b)中，求f(a)和f(b)，判断是否有 f(a)·f(b)<0.
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1 1 1 1 解：f( )＝ －ln ＝ ＋1>0， e 3e e 3e 1 1 f(1)＝ －ln1＝ >0， 3 3 e e f(e)＝ －lne＝ －1<0. 3 3 综合选项，可知选 D.
上有f(－3)f(5)>0，但函数f(x)＝x2 －2x－8在区间[－3,5]上有零点－
2,4；而在区间[5,6]上也有f(5)f(6)>0，但函数无零点．
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1．函数y＝2x－4的零点是( A．x＝0
) B．x＝1
C．x＝2
解析：2x－4＝0，x＝2. 答案：C
D．(2,0)
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类型二 【例 2】 函数零点的存在性问题 1 设函数 f(x)＝ x－lnx(x>0)，则 y＝f(x)( 3 )
1 A．在区间( ，1)，(1，e)内均有零点 e 1 B．在区间( ，1)(1，e)内均无零点 e 1 C．在区间( ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 e 1 D．在区间( ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 e
虽然也不符合题意，但
只有通过求解才能说明．
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解决有关根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端 点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．
(3)写出由题意得到的不等式．
类型一
求函数的零点
【例1】
x的取值范围．
求函数y＝－x2－2x＋3的零点，并指出y>0，y<0时，
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解：解二次方程－x2－2x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝1， ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3,1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，画出这个函数的简图，从图象 上可以看出当－3<x<1时，y>0；当x<－3或x>1时，y<0.
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解：(1)解法一：设方程 x2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0 的两根分别为 x1、x2(x1<x2)， 依题意，只需满足(x1－1)(x2－1)<0，即 x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由 根与系数的关系可得(2m＋14)＋2(m＋3)＋1<0，即 4m＋21<0，解得 21 m<－ . 4 解法二：由于函数图象开口向上，故依题意，只需 f(1)<0， 21 即 1＋2(m＋3)＋2m＋14<0，即 4m＋21<0，解得 m<－ . 4
求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0
有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点，否 则函数f(x)不存在零点．
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1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝－x2－4x－4. x－1x2－4x＋3 (2)f(x)＝ ； x－3 (3)f(x)＝4x＋5； (4)f(x)＝log3(x＋1)．
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3 方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________． 解析：分别作出函数f(x)＝3－2－x与函数g(x)＝x2的图象，如下 图所示．
∵f(0)＝2，g(0)＝0， ∴从图象上可以看出它们有2个交点，从而方程2 －x＋x2＝3有2
个实数解．
答案：2
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类型四 【例4】 函数零点的应用 (1)函数f(x)＝x2＋2(m＋3)x＋2m＋14有两个零点，且
一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围； (2)关于x的方程mx2 ＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根且一根大
于4，一根小于4，求实数m的取值范围．
思路分析：利用根与系数的关系或利用函数图象、数形结合求 解．
解：由题意知方程 x2－ax－b＝0 的两个根是 2 和 3，∴a＝5，b 1 ＝－6，∴g(x)＝－6x －5x－1，由－6x －5x－1＝0，解得 x1＝－ ， 2
2 2
1 1 1 x2＝－ .∴函数 g(x)的零点是－ ，－ . 3 2 3
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2．下列函数存在零点的是( A．y＝ 4 x
) B．y＝log7x D．y＝3x
C．y＝－x2＋x－1
解析：log7x＝0，则x＝1. 答案：B
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1 x 3．已知曲线 y＝( ) 与 y＝x 的交点的横坐标是 x0，则 x0 的取值 10 范围是( ) 1 B. 2 D．(1,2)
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温馨提示：判断函数f(x)＝h(x)－g(x)的零点个数问题，可采用 数形结合的方法．
对于判断一般函数的零点个数问题，可以先利用零点存在性定
理确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性，从而确定零点的个
数．如果函数比较复杂，也可构造两个函数，将零点问题转化为函数 图象的交点问题，借助图象判断零点的个数．
答案：D
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温馨提示：这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只 要判断区间[a，b]的端点值的乘积是否有f(a)· f(b)<0，并且看函数f(x) 的图象在[a，b]上是否是连续曲线即可．
这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方
法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即 可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的
1 显然只有 f(0)· )<0，选 A. f( 2
答案：A
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4．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是________． 解析：令f(x)＝0，即x2－3x－4＝0，解得x1＝4，x2＝－1，即为 函数的零点． 答案：4，－1
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5．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ ax－1的零点．
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3．1.1 方程的根与函数的零点
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目标要求 1.结合二次函数的图象，理解函数的零点概念，领会函数零点
与相应方程根的关系．
2．掌握判定函数零点存在的条件，会判断一元二次方程根的 存在性及根的个数.
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2．函数零点与方程根的联系 方程f(x)＝0有实数根 ⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 ⇔函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲 线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存 在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
(4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体 现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不
等式时要注意条件的完备性．
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4 当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一 个根在(1,2)上．
解：(1)当 a＝0 时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题 意； (2)当 a>0 时，设 f(x)＝ax2－2x＋1， ∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，
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解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得 x＝－2，所以函数的零点为－2. x－1x2－4x＋3 (2)令 ＝0，解得 x＝1，所以函数的零点为 1. x－3 (3)令 4x＋5＝0，则 4x＝－5<0，即方程 4x＋5＝0 无实数根，所以 函数不存在零点． (4)令 log3(x＋1)＝0，解得 x＝0，所以函数的零点为 0.
解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝lnx，y＝－x＋3 的图象，如下图所示．
由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数 f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点．
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2 解 法 二 ： 因 为 f(3) ＝ ln3>0 ， f(2) ＝ － 1＋ ln2 ＝ ln <0 ， 所 以 e f(3)· f(2)<0，说明函数 f(x)＝x－3＋lnx 在区间(2,3)内有零点． 又 f(x)＝x－3＋lnx 在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只有一 个零点．
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3,1.
当y>0时，x的取值范围是(－3,1)； 当y<0时
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温馨提示：函数的零点即对应方程的根．本题借助零点和二次 函数的图象得出不等式ax2＋bx＋c>0(<0)的解集，体现了数形结合的 思想方法．
有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性．
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2
2 函数 f(x)＝lnx－ 的零点所在的大致区间是( x B．(2,3) D．(e，＋∞)
)
A．(1,2) 1 C．( ，1)和(3,4) e
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解析：易知 f(x)在其定义域上为增函数， ∵f(1)＝－2<0，f(2)＝1n2－1<0， ∴在(1,2)内 f(x)无零点，A 不对； 2 又 f(3)＝ln3－ >0， 3 ∴f(2)· f(3)<0， ∴f(x)在(2,3)内有一个零点．故选 B.
1．零点：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y ＝f(x)的零点，这样，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根， 也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 温馨提示：(1)若函数y＝f(x)有零点，则零点一定在其定义域 内． (2)函数的零点不是真正意义的点，而是实数．
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(2)令 g(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14，
m>0 依题意得 g4<0 m<0 或 g4>0，
19 得－ <m<0. 13
温馨提示：(2)中很容易漏掉对 m 的讨论，m＝0 时，显然不符合
m>0 题意，所以解题时没有出现，而对于 g4<0
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●想一想：有人说：“若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)>0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内一 定没有零点．”你认为这种说法对吗？举例说明． 提示：这种说法不对．例如函数f(x)＝x2 －2x－8在区间[－3,5]