中考综合模拟测试《数学试卷》含答案解析

数学中考综合模拟检测试题
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一、选择题
1. 下列四个实数中，是无理数的为( ) A.
B.
27
C. D.
3
2. 如图所示的几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
3. 如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70°，∠E ＝30°，则∠C 等于( )
A. 30°
B. 40°
C. 60°
D. 70°
4. 如果分式||1
1
x x -+的值为0，那么的值为( ) A. -1
B. 1
C. -1或1
D. 1或0
5. 下列计算正确的是( ) A. 66122a a a += B. 25822232-÷⨯= C. ()7
21120a a a a ⋅-⋅=-
D. ()32233122ab a b a b ⎛⎫
-
⋅-= ⎪⎝⎭
6. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为( ) A. 275×104
B. 2.75×104
C. 2.75×1012
D. 27.5×1011
7. 如图，△ABD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 中，∠DBC =90°，∠BCD =60°，DC 中点为E ，AD 与BE 的延长线交于点F ，则∠AFB 的度数为( )
A. 30°
B. 15°
C. 45°
D. 25°
8. 若不等式组11324x x
x m
+⎧<-⎪
⎨⎪<⎩无解，则的取值范围为( )
A 2m ≤
B. 2m <
C. 2m ≥
D. 2m >
9. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为
1
3
，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为( )
A. (3，2)
B. (3，1)
C. (2，2)
D. (4，2)
10. 如图，BC 是半圆的直径，，是BC 上两点，连接BD ，CE 并延长交于点，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为( )
A. 35︒
B. 38︒
C. 40︒
D. 42︒
二、填空题
11. 1
483
的结果是_____． 12. 将一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝2，则CD 的长为______．
13. 在光明中学组织的全校师生迎”五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数是_______．
14. 在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分,,,A B C D 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是_______．
三、解答题
15. 计算：22
1
6313969
a a a a a +⎛⎫-+÷ ⎪+--+⎝⎭． 16. 解分式方程：
31133x x
-=-- ______________． 17. 已知如图，△ABC 中，AB ＝AC ，用尺规在BC 边上求作一点P ，使△BP A ∽△BAC (保留作图痕迹，不写作法)．
18. 学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级(1)班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间(单位：min )进行了抽样调查．并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、顿率分布表和频数分布扇形图． 组别
课前预习时间/t min
频数(人数)
频率
1 010t ≤<
2 2
1020t ≤<
0.10
3 2030t ≤< 16 0.32
4 3040t ≤< 5
40t ≥
3
请根据图表中的信息，回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量为 ，表中的a = ，b = ，c = ; (2)试计算第4组人数所对应扇形圆心角的度数;
(3)该校九年级其有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于20min 的学生人数． 19. 某商场运动服装专柜，对,A B 两种品牌的远动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表．
第一次 第二次 品牌运动服装数/件 20 30 品牌运动服装数/件 30 40 累计采购款/元
10200
14400
(1)问,A B 两种品牌运动服的进货单价各是多少元?
(2)由于品牌运动服的销量明显好于品牌，商家决定采购品牌的件数比品牌件数的3
2
倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件品牌运动服?
20. 在如图菱形ABCD 中，点是BC 边上一点，连接AP ，点,E F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得AED ABC ∠=∠，ABF BPF ∠=∠．
(1)求证：ABF DAE ≌;(2)求证：DE BF EF =＋．
21. 2018年3月2日，500架无人飞机在西安创业咖啡街区的夜空绽放，西安高新区用”硬科技”打造了最具独特的风景线，2018”西安年，最中国”以一场华丽的视觉盛宴完美收官，当晚，某兴趣爱好者想用手中的无人机测量大雁塔的高度，如图是从大雁塔正南面看到的正视图，兴趣爱好者将无人机上升至离地面185米高大雁塔正东面的F点，此时，他测得F点都塔顶A点的俯视角为30°，同时也测得F点到塔底C 点的俯视角为45°，已知塔底边心距OC＝23米，请你帮助该无人机爱好者计算出大雁塔的大体高度(结果精确到01米)?(3≈1.73，2≈1.41)．
22. 如图，点A(3
2
，4)，B(3，m)是直线AB与反比例函数
n
y
x
(x＞0)图象的两个交点．AC⊥x轴，垂足
为点C，已知D(0，1)，连接AD，BD，BC．
(1)求直线AB的表达式;
(2)△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2，求S2－S1．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣2，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C(0，8)，连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B(不含O 点和B点)，且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．
(1)求抛物线的表达式;
(2)连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标;
(3)作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积最大值．
24. 问题探究
(1)如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为;
(2)如图②，在△ADC中，AD=2，CD=4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值?若存在，请求出其最大值;若不存在，请说明理由;
问题解决
(3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=42，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值?若存在，请求出其最大值;若不存在，请说明理由．
答案与解析
一、选择题
1. 下列四个实数中，是无理数的为()
A. B. 2
7
C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据无理数的定义”也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比”即可．
【详解】由无理数的定义得：四个实数中，只有3是无理数
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键．
2. 如图所示的几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】从左向右看，得到的几何体的左视图是．
故选B．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3. 如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠E＝30°，则∠C等于( )
A. 30°
B. 40°
C. 60°
D. 70°
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平行线的性质得出∠A ＝∠EFD ，再根据三角形的外角性质求出∠C 即可． 【详解】解：∵AB ∥CD ，∠A ＝70°， ∴∠EFD ＝70°， ∵∠E ＝30°， ∴∠C ＝40°， 故选B ．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，关键是求出∠EFD 的度数和求出∠EFD ＝∠A ． 4. 如果分式||1
1
x x -+的值为0，那么的值为( ) A. -1 B. 1
C. -1或1
D. 1或0
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分式的值为零的条件可以求出x 的值． 【详解】根据题意，得 |x|-1=0且x+1≠0， 解得，x=1． 故选B ．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0;(2)分母不为0．这两个条件缺一不可． 5. 下列计算正确的是( ) A. 66122a a a += B. 25822232-÷⨯= C. ()7
21120a a a a ⋅-⋅=- D. ()32233122ab a b a b ⎛⎫
-
⋅-= ⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
根据整式的加减、有理数的乘方运算、同底数幂的乘法、积的乘方逐项判断即可．
【详解】A 、6662a a a +=，此项错误
B 、25825825822222222-----+=⨯=÷⨯⨯=，此项错误
C 、()7
211271120a a a a a ++⋅-⋅=-=-，此项正确
D 、()()32223675
1128422ab a b ab a b a b ⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=，此项错误
故选：C ．
【点睛】本题考查了整式的加减、有理数的乘方运算、同底数幂的乘法、积的乘方，熟记各运算法则是解题关键．
6. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为( ) A. 275×104 B. 2.75×
104 C. 2.75×
1012 D. 27.5×
1011 【答案】C 【解析】
【详解】解：将27500亿用科学记数法表示为：2.75×1012． 故选C ．
【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数．
7. 如图，△ABD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 中，∠DBC =90°，∠BCD =60°，DC 中点为E ，AD 与BE 的延长线交于点F ，则∠AFB 的度数为( )
A. 30°
B. 15°
C. 45°
D. 25°
【答案】B 【解析】 解：
∵∠DBC =90°，E 为DC 中点，
∴BE =CE =
1
2
CD ，∵∠BCD =60°，∴∠CBE =60°，∴∠DBF =30°，∵△ABD 是等腰直角三角形，∴∠ABD =45°，∴∠ABF =75°，∴∠AFB =180°﹣90°﹣75°=15°，故选B ．
8. 若不等式组11324x x
x m
+⎧<-⎪
⎨⎪<⎩无解，则的取值范围为( )
A. 2m ≤
B. 2m <
C. 2m ≥
D. 2m >
【答案】A 【解析】 【分析】
求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m 的不等式，解之可得． 【详解】解不等式
1132
x x
+<-，得：x ＞8， ∵不等式组无解， ∴4m≤8， 解得m≤2， 故选A ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知”同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为
1
3
，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为( )
A (3，2) B. (3，1) C. (2，2) D. (4，2)
【答案】A 【解析】
【详解】∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13
， ∴
AD BG =1
3
， ∵BG =6， ∴AD =BC =2， ∵AD ∥BG ， ∴△OAD ∽△OBG ，
∴
OA OB =1
3
， ∴
2OA
OA +=13
， 解得：OA =1，∴OB =3， ∴C 点坐标为：(3，2)， 故选A ．
10. 如图，BC 是半圆的直径，，是BC 上两点，连接BD ，CE 并延长交于点，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为( )
A. 35︒
B. 38︒
C. 40︒
D. 42︒
【答案】C 【解析】 【分析】
连接CD ，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可， 【详解】连接CD ，如图所示：
∵BC 是半圆O 的直径， ∴∠BDC=90°， ∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=20°， ∴∠DOE=2∠ACD=40°， 故选C ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质;熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
二、填空题
11. 计算
1
489
3
-的结果是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
先化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
1
489
3
-4333
=-=3
故答案为3．
【点睛】此题考查二次根式的加减运算，注意先化简，再合并．
12. 将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，则CD的长为______．
【答案】12﹣3
【解析】
【分析】
如图(见解析)，过点B作BG CF
⊥于点G，先根据直角三角形的性质、平行线的性质得出45,60,2
BCF EDF BC
∠=︒∠=︒=,
CG DG的长，然后根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过点B作BG CF
⊥于点G
90,45
ACB A
∠=︒∠=︒
9045
ABC A
∴∠=︒-∠=︒，即45
ABC A
∠=∠=︒
122
BC AC
∴==
//
AB CF
45
ABC
BCF
∴==
∠
∠︒
Rt BCG为等腰直角三角形
2
122
CG BG BC ∴==
= 又
90,30F E ∠=︒∠=︒
9060EDF E ∴=︒-∠=∠︒
在Rt BDG 中，tan BG BDG DG ∠=，即12
tan 60DG
︒= 解得1212
43tan 603
DG =
==︒
1243CD CG DG ∴=-=-
故答案：1243-．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形，进而运用到解直角三角形的方法是解题关键．
13. 在光明中学组织的全校师生迎”五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数是_______．
【答案】96分 【解析】 【分析】
先根据图得出这25名同学的得分，再根据中位数的定义即可得．
【详解】由图可知，得分为94分的有5人，得分为96分的有8人，得分为98分的有9人，得分为100分的有3人
则将这25名同学的得分按从小到大的顺序进行排序，排在第13位的得分为96分 由中位数的定义得：这些成绩的中位数是96分 故答案为：96分．
【点睛】本题考查了中位数的定义，读懂图形，掌握中位数的定义是解题关键．
14. 在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分,,,A B C D 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是_______． 【答案】14
【解析】 【分析】
根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率． 【详解】如下图所示，
小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果， ∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是41164
=， 故答案为
14
． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答
三、解答题
15. 计算：22
1
6313969
a a a a a +⎛⎫-+÷ ⎪+--+⎝⎭． 【答案】63
a + 【解析】 【分析】
根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】原式22
33
19(3)a a a a ++=-
÷--
2
3(3)1(3)(3)3
a a a a a +-=-⋅+-+
3
13
a a -=-
+ 3(3)
3a a a +--=
+ 63a =
+. 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则、分式的通分、约分法则是解题的关键． 16. 解分式方程：31
133x x
-=
-- ______________． 【答案】x ＝7 【解析】 【分析】
方程两边都乘以最简公分母，注意不要漏乘没有分母的项;去括号，移项合并同类项，即可求得方程的解． 【详解】解：方程两边都乘以(x-3),得：3-(x-3)=-1 去括号，移项，得：-x=-1-6 合并同类项，得：x=7 经检验，x=7是原方程的根 故答案为：x=7
【点睛】本题考查了解分式方程，注意在去分母时，不要漏乘没有分母的项，解分式方程必须验根． 17. 已知如图，△ABC 中，AB ＝AC ，用尺规在BC 边上求作一点P ，使△BP A ∽△BAC (保留作图痕迹，不写作法)．
【答案】详见解析 【解析】 【分析】
作出AB 的垂直平分线，可得BP ＝AP ，则∠PBA ＝∠BAP ，进而得出△BPA ∽△BAC ． 【详解】解：如图所示：点P 即为所求， 此时△BPA ∽△BAC ．
【点睛】此题主要考查了相似变换以及复杂作图，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．
18. 学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级(1)班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间(单位：min)进行了抽样调查．并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、顿率分布表和频数分布扇形图．
组别课前预习时间/t min频数(人数) 频率
t≤< 2
1 010
t≤<0.10
2 1020
t≤<16 0.32
3 2030
t≤<
4 3040
t≥ 3
5 40
请根据图表中的信息，回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量为，表中的a=，b=，c=;
(2)试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数;
(3)该校九年级其有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数．
【答案】(1)50，5，24，0.48;(2)第4组人数所对应的扇形圆心角的度数为172.8;(3)九年级每天课前预习时间不少于20min的学生约有860人.
【解析】
【分析】
(1)根据3组的频数和百分数，即可得到本次调查的样本容量，根据2组的百分比即可得到a的值，进而得到2组的人数，由本次调查的样本容量-其他小组的人数即可得到b，用b÷本次调查的样本容量得到c;
(2)根据4组的人数占总人数的百分比乘上360°，即可得到扇形统计图中”4”区对应的圆心角度数;
(3)根据每天课前预习时间不少于20min的学生人数所占的比例乘上该校九年级总人数，即可得到结果．【详解】(1)16÷0.32=50，a=50×0.1=5，b=50-2-5-16-3=24，c=24÷50=0.48;
故答案为50，5，24，0.48;
(2)第4组人数所对应的扇形圆心角的度数=360°×0.48=172.8°;
(3)每天课前预习时间不少于20min的学生人数的频率=1-
2
50
-0.10=0.86，
∴1000×0.86=860，
答：这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数是860人．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图的应用，解题时注意：通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
19. 某商场的运动服装专柜，对,A B两种品牌的远动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表．
(1)问,A B两种品牌运动服的进货单价各是多少元?
(2)由于品牌运动服的销量明显好于品牌，商家决定采购品牌的件数比品牌件数的3
2
倍多5件，在采购总价
不超过21300元的情况下，最多能购进多少件品牌运动服?
【答案】(1),A B两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元;(2)最多能购进65件品牌运动服. 【解析】
【分析】
(1)直接利用两次采购的总费用得出等式进而得出答案;
(2)利用采购B品牌的件数比A品牌件数的3
2
倍多5件，在采购总价不超过21300元，进而得出不等式求出
答案．
【详解】(1)设,A B两种品牌运动服的进货单价分别为元和元.
根据题意，得203010200
304014400x y x y +=⎧⎨+=⎩
，
解之，得240180
x y =⎧⎨
=⎩.
经检验，方程组的解符合题意.
答：,A B 两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元.
(2)设购进品牌运动服件，则购进品牌运动服352m ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
件， ∴32401805213002m m ⎛⎫
++≤
⎪⎝⎭
， 解得，40m ≤.
经检验，不等式的解符合题意，∴33
54056522
m +≤⨯+=. 答：最多能购进65件品牌运动服.
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 20. 在如图菱形ABCD 中，点是BC 边上一点，连接AP ，点,E F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得AED ABC ∠=∠，ABF BPF ∠=∠．
(1)求证：ABF DAE ≌;(2)求证：DE BF EF =＋． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 【分析】
(1)根据菱形的性质得到AB=AD ，AD ∥BC ，由平行线的性质得到∠BOA=∠DAE ，等量代换得到∠BAF=∠ADE ，求得∠ABF=∠DAE ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论; (2)根据全等三角形的性质得到AE=BF ，DE=AF ，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】证明：(1)∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB AD =，AD BC ∥， ∴BPA DAE ∠=∠.
在ABP ∆和DAE ∆中， 又∵ABC AED ∠=∠， ∴BAF ADE ∠=∠.
∵ABF BPF ∠=∠且BPA DAE ∠=∠， ∴ABF DAE ∠=∠， 又∵AB DA =， ∴()ABF DAE ASA ≅ (2)∵ABF DAE ≅， ∴AE BF =，DE AF =. ∵AF AE EF BF EF =+=+， ∴DE BF EF =+.
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 21. 2018年3月2日，500架无人飞机在西安创业咖啡街区的夜空绽放，西安高新区用”硬科技”打造了最具独特的风景线，2018”西安年，最中国”以一场华丽的视觉盛宴完美收官，当晚，某兴趣爱好者想用手中的无人机测量大雁塔的高度，如图是从大雁塔正南面看到的正视图，兴趣爱好者将无人机上升至离地面185米高大雁塔正东面的F 点，此时，他测得F 点都塔顶A 点的俯视角为30°，同时也测得F 点到塔底C 点的俯视角为45°，已知塔底边心距OC ＝23米，请你帮助该无人机爱好者计算出大雁塔的大体高度(结果精确到0.1米)?(3≈1.73，2 ≈1.41)．
【答案】大雁塔的大体高度是65.1米． 【解析】 【分析】
作FD ⊥BC ，交BC 的延长线于D ，作AE ⊥DF 于E ，则四边形AODE 是矩形．解直角△CDF ，得出CD ＝DF ＝185米，那么OD ＝OC+CD ＝208米，AE ＝OD ＝208米．再解直角△AEF ，求出EF ＝AE•tan ∠FAE ＝
2083
3
米，然后根据OA＝DE＝DF﹣EF即可求解．
【详解】解：如图，作FD⊥BC，交BC的延长线于D，作AE⊥DF于E，则四边形AODE是矩形．由题意，可知∠FAE＝30°，∠FCD＝45°，DF＝185米．
在直角△CDF中，∵∠D＝90°，∠FCD＝45°，
∴CD＝DF＝185米，
∴OD＝OC+CD＝208米，
∴AE＝OD＝208米．
在直角△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠FAE＝30°，
∴EF＝AE•tan∠FAE＝208×
3
3
＝
2083
3
(米)，
∴DE＝DF﹣EF＝185﹣2083
3
≈185﹣119.95≈65.1(米)，
∴OA＝DE≈65.1米．
故大雁塔的大体高度是65.1米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
22. 如图，点A(3
2
，4)，B(3，m)是直线AB与反比例函数
n
y
x
(x＞0)图象的两个交点．AC⊥x轴，垂足
为点C，已知D(0，1)，连接AD，BD，BC．
(1)求直线AB 的表达式;
(2)△ABC 和△ABD 的面积分别为S 1，S 2，求S 2－S 1．
【答案】(1)463y x =-
+;(2)34 【解析】
【分析】
(1)先由A 点坐标求出反比例函数的表达式，再求出B 点坐标，最后运用待定系数法求直线AB 的表达式即可;
(2)ABC 的面积可由”底乘高除以2”直接求得，ABD △的面积运用”补”的思想求出，然后两者作差即可得．
【详解】(1)由点3
(,4)2A 在反比例函数(0)n y x x
=>的图象上 ∴432
n
=
∴6n = ∴反比例函数的表达式为6(0)y x x
=
> 将点(3,)B m 代入6y x =得623m == ∴(3,2)B
设直线AB 的表达式为y kx b =+ 将点3(,4),(3,2)2A B 代入得34232k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得436
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 则直线AB 的表达式为463
y x =-+;
(2)由点A 、B 的坐标得4AC =，点B 到AC 的距离为33322-= ∴1134322
S =⨯⨯= 如图，设直线AB 与y 轴的交点为E
令0x =得6y =，则点E 坐标为(0,6)E
(0,1)D
∴615DE =-=
由点3
(,4),(3,2)2A B 得：点A 、B 到DE 的距离分别为32
，3 ∴2113155352224
BDE ADE S S S
=-=⨯⨯-⨯⨯= 则21153344S S -=-=．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求反比例函数、一次函数的表达式，在平面直角坐标系中求几何图形的面积，正确求出两个函数的表达式是解题关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (﹣2，0)，点B (4，0)，与y 轴交于点C (0，8)，连接BC ，又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B (不含O 点和B 点)，且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ．
(1)求抛物线的表达式;
(2)连接AC ，AP ，当直线l 运动时，求使得△PEA 和△AOC 相似点P 的坐标;
(3)作PF ⊥BC ，垂足为F ，当直线l 运动时，求Rt △PFD 面积的最大值．
【答案】(1) y ＝﹣x 2+2x +8;(2)点P (
1523,416
);(3)165 【解析】
【分析】
(1)将点A 、B 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解;
(2)只有当∠PEA ＝∠AOC 时，PEA △∽AOC ，可得：PE ＝4AE ，设点P 坐标(4k ﹣2，k )，即可求解; (3)利用Rt △PFD ∽Rt △BOC 得： 2()PFD BOC S PD S BC
=，再求出PD 的最大值，即可求解． 【详解】解：(1)将点A 、B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：42016408a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩
，
解得：a = -1，b =2，c =8，
故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +8;
(2)∵点A (﹣2，0)、C (0，8)，
∴OA ＝2，OC ＝8，
∵l ⊥x 轴，∴∠PEA ＝∠AOC ＝90°，
∵∠P AE ≠∠CAO ，
∴只有当∠PEA ＝∠AOC 时，PEA △∽AOC ， 此时AE PE CO AO =，即：82
AE PE =， ∴AE ＝4PE ，
设点P 的纵坐标为k ，则PE ＝k ，AE ＝4k ，
∴OE ＝4k ﹣2，
将点P 坐标(4k ﹣2，k )代入二次函数表达式并解得：
k ＝0或2316(舍去0)，则点P (1523,416); (3)在Rt △PFD 中，∠PFD ＝∠COB ＝90°，
∵l ∥y 轴，
∴∠PDF ＝∠COB ，
∴Rt △PFD ∽Rt △BOC ， ∴2()PFD BOC S PD S BC
=， ∴S △PDF ＝2(
)PD BC •S △BOC ， 而S △BOC ＝12OB •OC ＝12
×4×8=16，
BC
==
∴S △PDF ＝2()PD BC
•S △BOC ＝15PD 2， 即当PD 取得最大值时，S △PDF 最大，
将B 、C 坐标代入一次函数表达式y kx b =+得：
408
k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：28k b =-⎧⎨=⎩
， ∴直线BC 的表达式为：y ＝﹣2x +8，
设点P (m ，﹣m 2+2m +8)，则点D (m ，﹣2m +8)，
则PD ＝﹣m 2+2m +8+2m ﹣8＝﹣(m ﹣2)2+4，
当m ＝2时，PD 的最大值为4，
故当PD ＝4时，∴S △PDF ＝15
PD 2＝165． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想把代数和几何结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求得线段之间的关系是正确解答本题的关键.
24. 问题探究
(1)如图①，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，则线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为 ;
(2)如图②，在△ADC 中，AD=2，CD=4，∠ADC 是一个不固定的角，以AC 为边向△ADC 的另一侧作等边△ABC ，连接BD ，则BD 的长是否存在最大值?若存在，请求出其最大值;若不存在，请说明理由; 问题解决
(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，
∠BAD=60°，，若BD ⊥CD ，垂足为点D ，则对角线
AC的长是否存在最大值?若存在，请求出其最大值;若不存在，请说明理由．
【答案】(1)BE+DF=EF;(2)存在，BD的最大值为6;(3)存在，AC的最大值为26．
【解析】
【分析】
(1)作辅助线，首先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AEG，进而得到EF=FG问题即可解决;
(2)将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE，由旋转可得，
CE=AD=2，BD=BE，∠DBE=60°，可得DE=BD，根据DE＜DC+CE，则当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，问题即可解决;
(3)以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，由旋转的性质得△DBE是等边三角形，则DE=AC，根据在等边三角形BCE中，EF⊥BC，可求出BF，EF，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，可求出DF，则AC=DE≤DF+EF，代入数值即可解决问题.
【详解】(1)如图①，延长CD至G，使得DG=BE，
∵正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠AFG=90°，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠GAF=∠EAF，
又∵AF=AF，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF=GF=DG+DF=BE+DF，
故答案为BE+DF=EF;
(2)存在．
在等边三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，
如图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE．
由旋转可得，CE=AD=2，BD=BE，∠DBE=60°，
∴△DBE是等边三角形，
∴DE=BD，
∴在△DCE中，DE＜DC+CE=4+2=6，
∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，
∴BD的最大值为6;
(3)存在．
如图③，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，
∵AB=BD，∠ABC=∠DBE，BC=BE，
∴△ABC≌△DBE，
∴DE=AC，
∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC，
∴BF=BC=2，
∴EF=BF=×2=2，
以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，
∴DF=BC=×4=2，
∴AC=DE≤DF+EF=2+2，即AC的最大值为2+2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质以及旋转的性质.。