2020年广东省广州市铁一中学中考数学二模试卷(含答案解析)

2020年广东省广州市铁一中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.−2的绝对值是
A. −2
B. 2
C. ±2
D. −1
2
2.下列四个图案中，不是轴对称图案的是()
A. B. C. D.
3.如图，该几何体的俯视图可能是()
A.
B.
C.
D.
4.已知一元二次方程x2−6x+9=0，它的根的情况是()
A. 两个不相等的实数根
B. 两个相等的实数根
C. 无实根
D. 无法确定
5.如图，直线a//b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是()
A. 75∘
B. 55∘
C. 40∘
D. 35∘
6. 某班 30名学生的身高情况如下表：
身高(m) 1.55
1.58
1.60
1.62
1.66
1.70
人数
1
3
4
7
8
7
则这 30 名学生身高的众数和中位数分别是( )
A. 1.66m ，1.64m
B. 1.66m ，1.66m
C. 1.62m ，1.64m
D. 1.66m ，1.62m
7. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sinA =√2
2
，则cos B 的值为( )
A. 1
2
B. √22
C. √32
D. 1
8. 对角线互相平分且相等的四边形一定是( )
A. 等腰梯形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
9. 如图，已知AB//CD//EF ，那么下列结论正确的是( )
A. CD EF =BC
BE B. FD
AD =BC
CE C. AD
DF =BC
CE D. CE
EF =AD
AF
10. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE//BC ，若AD =1，
BD =2，则DE
BC 的值为( )
A. 1
2 B. 1
3 C. 1
4 D. 19
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 2017年4月17日，国家统计局公布2017年一季度我国GDP 增速为6.9%，国内生产总值约为
180700亿元，将数字180700用科学记数法表示为______． 12. 不等式组{3x +2>x
3x ≤x +4
的解集是______．
13. 已知x =4是一元二次方程x 2−3x +c =0的一个根，则另一个根为______．
14. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧面两竹条AB 、
AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，BD =20cm ，则扇面的面积为______cm 2．
15. 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，
延长BG 交CD 于点F.若AB =6，BC =√96，则DF 的长为__________________．
三、计算题（本大题共2小题，共19.0分）
16. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由
甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
17. 先化简，再求值：(x −1−
3x+1
)÷
x 2+4x+4x+1
，其中x 是满足不等式{5x +2>3(x −1)12x ≤2−32
x 的整数解．
四、解答题（本大题共7小题，共77.0分）
18.如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB，连
接DP．
(1)求证：△BCP≌△DCP；
(2)求证：∠DPE=∠ABC．
19.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°．
(1)作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E(用尺规作图，保留作图痕迹，不
要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，若BE=2，求CE的长．
20.为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成
绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成图1的条形统计图和图2的扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：
(1)求参加比赛的学生共有多少名？并补全图1的条形统计图．
(2)在图2扇形统计图中，m的值为______，表示“D等级”的扇形的圆心角为______度；
(3)组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大
赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
21.如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡
走3√5米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1：2．
(1)小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为________米；
(2)大树BC的高度约为多少米？(参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60) 22.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B
的坐标为(4,2)，直线y=−1
2x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=k
x
的图象经过点
M，N．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
23.在等腰△ABC中，AC=BC，P为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接PA.以点P为旋转中心，
将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB，
(1)当∠C=90°时，请你在图①中补全图形，并直接写出∠DBA的度数；
(2)如图②，若∠C=α，求∠DBA的度数(用含α的代数式表示)；
(3)连接AD，若∠C=30°，AC=2，∠APC=135°，请写出求AD长的思路.(可以不写出计
算结果)
24.如图，已知抛物线的顶点为P(1,4)，与y轴交于点C(0,3)，与x轴交于点A，B．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设Q是直线BC上方该抛物线上除点P外的一点，且△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：
本题考查了绝对值的概念.一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
解：|−2|=2．
故选B．
2.答案：B
解析：解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.答案：A
解析：
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：的俯视图可能是，
故选A．
4.答案：B
解析：
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
∵△=(−6)2−4×1×9=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
5.答案：C
解析：
本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据平行线的性质得出∠4=∠1=75°，然后根据三角形外角的性质即可求得∠3的度数．
解：
∵直线a//b，∠1=75°，
∴∠4=∠1=75°，
∵∠2+∠3=∠4，
∴∠3=∠4−∠2=75°−35°=40°．
故选C．
6.答案：A
解析：解：这组数据中，1.66出现的次数最多，故众数为1.66m，
∵共有30人，
∴第15和16人身高的平均数为中位数，
即中位数为：1
2
(1.62+1.66)=1.64m，
故选：A．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.答案：B
解析：
本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=√2
2
，
∴∠A=∠B=45°，∴cosB=√2
2
．
故选：B．
8.答案：B
解析：解：对角线互相平分切相等的四边形一定是矩形，
故选：B．
根据矩形的判定解答即可．
此题考查矩形的判定，关键是根据对角线互相平分切相等的四边形一定是矩形解答．
9.答案：C
解析：
本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
已知AB//CD//EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
解：∵AB//CD//EF，∴AD
DF =BC
CE
．
故选C．
10.答案：B
解析：解：∵AD =1，DB =2，
∴AB =AD +BD =1+2=3，
∵DE//BC ，
∴△ADE∽△ABC ，
∴DE BC =AD AB =13． 故选：B ．
由AD =1，DB =2，即可求得AB 的长，又由DE//BC ，根据平行线分线段成比例定理，可得DE ：BC =AD ：AB ，则可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定和性质，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
11.答案：1.807×105
解析：解：180700=1.807×105，
故答案为：1.807×105．
科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
12.答案：−1<x ≤2
解析：解：{3x +2>x ①3x ≤x +4 ②
∵解不等式①得：x >−1，
解不等式②得：x ≤2，
∴不等式组的解集为−1<x ≤2，
故答案为：−1<x ≤2．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出等式组的解集是解此题的关键．
13.答案：−1
解析：解：设另一个根为t，
根据题意得4+t=3，
解得t=−1，
即另一个根为−1．
故答案为−1．
另一个根为t，根据根与系数的关系得到4+t=3，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=
−b
a ，x1x2=c
a
．
14.答案：800
3
π
解析：解：120
360
×π×[302−(30−20)2]
=1
3
×π×800
=800
3
π(平方厘米)，
答：贴纸部分的面积为800
3
π平方厘米．
故答案为：800
3
π
扇面部分的面积等于大扇形减去小扇形的面积，已知圆心角120°，AB的长为30cm，扇面部分BD的长为20cm，根据扇形的面积公式解答即可．
本题考查了扇形面积计算公式=n
360
πr2的灵活应用，关键是根据扇面部分的面积等于大扇形减去小扇形的面积解答．
15.答案：4
解析：
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF，设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF 中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴∠A=∠BGE=90°，AE=EG，AB=BG，
∴∠EGF=90°，ED=EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A=∠D=90°，
∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，ED=EG，EF=EF，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF(HL)，
∴DF=FG，
∵BG=AB=6，设DF=x，则BF=6+x，CF=6−x，
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，
即(√96)2+(6−x)2=(6+x)2，
解得x=4．
故答案为4．
16.答案：解：(1)设这项工程的规定时间是x天，
根据题意得：(1
x +1
1.5x
)×15+5
x
=1．
解得：x=30．
经检验x=30是原分式方程的解．答：这项工程的规定时间是30天．
(2)该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷(1
30+1
1.5×30
)=18(天)，
则该工程施工费用是：18×(6500+3500)=180000(元)．答：该工程的费用为180000元．
解析：(1)设这项工程的规定时间是x 天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可．
(2)先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
17.答案：解：(x −1−3x+1)÷x 2+4x+4x+1
=
(x −1)(x +1)−3⋅x +12 =
(x +2)(x −2)x +1⋅x +1(x +2)2 =x−2x+2，
由不等式{5x +2>3(x −1)12x ≤2−32x 得，−2.5<x ≤1， ∴满足不等式{5x +2>3(x −1)12x ≤2−32
x 的整数解是−2、−1、0、1， ∵原分式中x +1≠0，x +2≠0，得x ≠−1且x ≠−2，
∴x =0时，原式=0−20+2=−1，
当x =1时，原式=1−21+2=−13．
解析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x 是满足不等式{5x +2>3(x −1)12x ≤2−32
x 的整数解，即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、一元二次方程的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 18.答案：证明：(1)在正方形ABCD 中，BC =DC ，∠BCP =∠DCP =45°，
∵在△BCP 和△DCP 中，
{BC =DC ∠BCP =∠DCP PC =PC
，
∴△BCP≌△DCP(SAS)；
(2)由(1)知，△BCP≌△DCP ，
∴∠CBP =∠CDP ，
∵PE =PB ，
∴∠CBP =∠E ，
∴∠CDP=∠E，
∵∠1=∠2(对顶角相等)，
∴180°−∠1−∠CDP=180°−∠2−∠E，
即∠DPE=∠DCE，
∵AB//CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC．
解析：(1)根据正方形的性质得出∠BCP=∠DCP，再根据全等三角形的判定证明即可；
(2)根据全等三角形的性质得出∠CBP=∠CDP，再利用对顶角相等和平行线性质证明即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出全等三角形是解题的关键．
19.答案：解：(1)如图所示，直线DE就是所求．
(2)连接AE，
因为∠A=120°，且AB=AC，
所以∠B=∠C=(180°−120°)÷2=30°，
因为DE是线段AB的垂直平分线，
所以AE=BE=2，∠BAE=∠B=30°，
又∠CAE=120°−30°=90°，
在RtΔCAE中，∠C=30°，
所以CE=2AE=4．
解析：本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
(1)根据题意作出图形即可；
(2)由于DE是AB的垂直平分线，得到AE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B=∠C=30°，再根据已知条件可求出∠CAE=90°，最后由直角三角形的性质即可得到结论．
20.答案：(1)根据题意得：3÷15%=20(人)，
∴参赛学生共20人，
则B等级人数为20−(3+8+4)=5(人)．
补全条形图如下：
(2)4072
(3)列表如下：
男女女
男(男，女)(男，女)
女(女，男)(女，女)
女(女，男)(女，女)
所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，
则P(恰好是一名男生和一名女生)=4
6=2
3
．
解析：
此题考查了条形统计图，扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．
(1)根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，由各等级人数之和等于总人数求出B等级人数可补全条形图；
(2)根据D等级的人数求得D等级扇形圆心角的度数，由C等级人数及总人数可求得m的值；
(3)列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
解：(1)见答案；
(2)C等级的百分比为8
20
×100%=40%，即m=40，
表示“D等级”的扇形的圆心角为360°×4
20
=72°，
故答案为40，72．
(3)见答案．
21.答案：解：(1)作DH⊥AE于H，如图．
在Rt△ADH中，∵DH
AH =1
2
，
∴AH=2DH，
∵AH2+DH2=AD2，
∴(2DH)2+DH2=(3√5)2，
∴DH=3．
故答案为：3；
(2)如图，延长BD交AE于点G，
设BC=xm，
由题意得，∠G=31°，
∴DG=
DH
sin∠G
≈
3
0.52
≈5.77
∴GH=DH
tan∠G ≈3
0.60
=5，
∴GA=GH+AH=5+6=11，
在Rt△BGC中，tan∠G=BC
GC
，
∴CG=BC
tan∠G =5
3
x，
在Rt△BAC中，∠BAC=45°，∴AC=BC=x．
∵GC−AC=AG，
∴5
3
x−x=11
解得x=33
2
=16.5．
答：大树的高度约为16.5米.
解析：本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
(1)作DH⊥AE于H，解Rt△ADH，即可求出DH；
(2)延长BD交AE于点G，解Rt△GDH，求出GH，得到AG；设BC=x米，根据正切的概念用x表示出GC、AC，根据GC−AC=AG列出方程，解方程得到答案．
22.答案：解：(1)∵B(4,2)，四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=2，
将y=2代入y=−1
2
x+3得：x=2，
∴M(2,2)，
把M的坐标代入y=k
x
得：k=4，
∴反比例函数的解析式是y=4
x
；
(2)∵S
四边形BMON =S
矩形OABC
−S△AOM−S△CON
=4×2−4=4，
OP×AM=4，
由题意得：1
2
∵AM=2，
∴OP=4，
∴点P的坐标是(0,4)或(0,−4)．
解析：本题是反比例函数和矩形的综合题目，主要考察了反比例函数系数k的几何意义、待定系数法求解析式、矩形的性质及三角形的面积公式．
x+3求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比(1)求出OA=BC=2，将y=2代入y=−1
2
例函数的解析式即可求出答案；
(2)求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标．
23.答案：解：(1)依题意补全图形，如图1所示，
过点P作PE//AC，
∴∠PEB=∠CAB，
∵AB=BC，
∴∠CBA=∠CAB，
∴∠PEB=∠PBE，
∴PB=PE，
∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=90°，
∴∠BPD=∠EPA，
∵PA=PD，
∴△PDB≌△PAE，
(180°−90°)=45°，
∵∠PBA=∠PEB=1
2
∴∠PBD=∠PEA=180°−∠PEB=135°，
∴∠DBA=∠PBD−∠PBA=90°；
(2)如图2，
过点P作PE//AC，
∴∠PEB=∠CAB，
∵AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB，
∴∠PEB=∠PBE，
∴PB=PE，
∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=α，∴∠BPD=∠EPA，
∵PA=PD，
∴△PDB≌△PAE，
∵∠PBA=∠PEB=1
2(180°−α)=90°−1
2
α，
∴∠PBD=∠PEA=180°−∠PEB=90°+1
2
α，∴∠DBA=∠PBD−∠PBA=α；
(3)如图3，
作AH⊥BC，
∵∠ACB=30°，AC=2，
∴AH=1，CH=√3，
∴BH=2−√3，
根据勾股定理得，AB=√AH2+BH2=2√2−√3，∵∠APC=135°，
∴∠APH=45°，
∴AP=√2AH=√2，
∵∠APD=∠ACB=30°，AC=BC，AP=DP，
∴△PAD∽△CAB，
∴AD
AB =AP
AC
=√2
2
，
∴AD=√2
2AB=√2
2
×2√2−√3=√4−2√3．
解析：此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，判断△PDB≌△PAE是解本题的关键，也是难点．
(1)依题意画出图形，如图1所示，先判断出∠BPD=∠EPA，从而得出△PDB≌△PAE，简单计算即可；
(2)先判断出∠CBA=∠CAB，∠BPD=∠EPA，从而得出△PDB≌△PAE，简单代换即可；
(3)先求出BH=2−√3，再根据勾股定理得，AB=2√2−√3，然后判断出△PAD∽△CAB，从而求出AD．
24.答案：解：(1)∵抛物线的顶点为P(1,4)，
∴设y=a(x−1) 2+4(a≠0)，
把C(0,3)代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=−1，
则抛物线解析式为y=−(x−1) 2+4=−x 2+2x+3；
(2)由B(3,0)，C(0,3)，得到直线BC解析式为y=−x+3，
∵S △
PBC =S △
QBC
，
∴PQ//BC，
过P作PQ//BC，交抛物线所得交点既为所求点Q．
∵P(1,4)，
∴直线PQ解析式为y=−x+5．
y=−x+5代入y=−x 2+2x+3得：x=1，y=4或x=2，y=3，
而(1,4)与P重合，
∴Q为(2,3)．
解析：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
(1)设出抛物线顶点坐标，把C坐标代入求出即可；
(2)由△BCQ与△BCP的面积相等，得到PQ与BC平行，①过P作PQ//BC，交抛物线于点Q，由点P的坐标可得直线PQ的解析式，然后代入二次函数解析式，解方程求出Q的坐标即可．。