4.3.1等比数列的概念 课件-高中数学人教版(2019)选择性必修二

成等比数列．
同理由于 成等比数列．
a9 a5
q4 ，a5 a1
q4
，所以
a5 a1
a9 ．于是 a5
a1 ，a5 ，a9
1. 已知数列{an}是等比数列，a3 ，a5 ，a7 ，是否成 等比数列？为什么？ a1 ，a5 ，a9 呢？
解：设{an}的公比为 q ，则 a3 a1q2 ，a5 a1q4 ，a7 a1q6 ， 由于 a52 (a1q4 )2 a12q8 ，a3 a7 a1q2 a1q6 a12q8 ， 所以 a52 a3 a7 .于是 a3 ，a5 ，a7 成等比数列．
四、课堂练习
1. 已知数列{an}是等比数列，a3 ，a5 ，a7 ，是否成 等比数列？为什么？ a1 ，a5 ，a9 呢？
解：设{an}的公比为 q ，则 a3 a1q2， a5 a1q4 ，a7 a1q6.
所以
a5 a3
q2 ，a7 a5
q2，即 a5 a3
a7 a5
.于是 a3 ，a5 ，a7
(4) 1，1.1，1.21，1.331，1.4641.
与等差中项类似，如果在 a 与 b 中间插入一个数G ，使 a ，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．此时G2 ab ．
二、探究新知
探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列an 的公比为 q ．根据等比数列的定义，可得
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数
列的公比，公比通常用字母 q 表示(显然 q 0)．
符号语言 an q(n ≥ 2, n N )．
an-1
课堂练习
1. 判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比．
(1) 3，9，15，21，27，33；
(2) 4，-8，16，-32，-128. q 2
(3)
1 3
，1，
6
1 9
，112
，1
15
，1
18
；
(4) 1，1.1，1.21，1.331，1.4641； q 1.1
课堂练习
思考 第(2)组与第(4)组数列，相邻三项有什么规律？ (2) 4，-8，16，-32，64，-128；
4
22
把
q
1 2
代入①，得
a1 384 ．此时 a5
a1q4
384 (1)4 2
24.
把
q1 2
代入①，得
a1
384．此时 a5
384 ( 1)4 2
24.
因此，{an} 的第5项是 24 或 24．
例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12， 求 {an}的第5项．
②的两边分别除以①的两边，得
an qnm， am
Hale Waihona Puke 所以an amqnm .例3 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成
等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项 与第5项的和等于132.求这个数列．
分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条 件列方程组求解．
二、探究新知
探究 你还可以用其他方法推导等比数列的通项公式吗？
设一个等比数列 an的公比为 q ．根据等比数列的定义，可得
所以
an a2
1
an q，a3
q，即 an1 q，aa4n
a1
a2
a3
左右两侧分别依次相乘 a2 a3 a4
q． q，
an
，an q
an-1 qqq
q qn1，
解：设前三项的公比为 q ，后三项的公差为 d ，则数列的各项
80 依次为 q2
，80 q
，80
，80 d
，80 2d
．于是得
80 q
(80
d
)
136，
80 q2
(80
2d
)
132.
解方程组，得
q d
2， 16，
或
q
2， 3
d 64.
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48．
5年内每年末得到的本利和分别是 a(1 r), a(1 r)2, a(1 r)3, a(1 r)4, a(1 r)5 ． ⑥
二、探究新知
探究 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算 发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？
如果用an表示数列①，那么有
a2 a1
9，a3 9，…，a10 9
a1 qx (x R) q
单调性与
f (x) qx (q 0) 单调性相反，即 q 1，等比数列 {an} 单调递减，
q 1，等比数列{an}单调性不变，0 q 1，等比数列{an}单调增．
三、典型例题
例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12， 求 {an }的第5项．
天得到的“锤”的长度依次是
1 ，1 ，1，1 ，1 ， 2 4 8 16 32
．
④
二、探究新知
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通 过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产 生的后代个数依次是
2，4，8，16，32，64， ．
⑤
4.某人存入银行a 元，存期为5年，年利率为 r ，那么按照复利，他
1 ，…，a10
2
a9
1
2．
如果用an表示数列⑤，那么有
a2 a1
2，a3 a2
2，…，a10 a9
2．
如果用 an 表示数列⑥，那么有
a2 a1
1+r，a3 a2
1 r，…，a10 a9
1 r ．
规律：上述六组数列中，每一项与前一项的比都等于同一个常数．
二、探究新知
思考 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中， 你能抽象出等比数列的概念吗？
同理由于 a52 (a1q4 )2 a12q8 ，a1 a9 a1 a1q8 a12q8，所 以 a52 a1 a9 ．于是 a1 ，a5 ，a9 成等比数列．
五、总结提升
等比数列的概念 1.等比数列的概念，等比中项的定义；
2.等比数列的通项公式 an a1qn1；
3.体会类比的数学思想．
a2
a9
．
规律 从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于 9．
如果用an表示数列②，那么有
a2 a1
100，a3 a2
100，…，a10 a9
100．
如果用an表示数列③，那么有
a2 a1
5，a3 a2
5，…，a10 a9
5．
如果用
an
表示数列④，那么有
a2 a1
1 ，a3 2 a2
解法2:
因为 a5 是 a4 与 a6 的等比中项，所以 a52 a4a6 48 12 576.
所以
a5 576 24 ．
因此，{an}的第5项是24或 24．
例2 已知等比数列{an}的公比为 q ，试用{an}的第 m 项 am 表示 an.
解：由题意，得
am a1qm1， ① an a1qn1. ②
二、探究新知
探究：类比指数函数的性质，判断公比 q 0 的等比数列的单调性？
指数函数 f (x) qx (q 0) ，q 1 时，指数函数 f (x) 单调递增；
0 q 1 ，指数函数 f (x) 单调递减．
①当 a1
0 ，因为 q 0
，则
f (x)
a1 q
qx (x R) 单调性与
二、探究新知
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
9，92，93， ，910；
①
100，1002，1003， ，10010； ②
5，52，53， ，510 ．
③
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”
如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每
a1 a2 a3 an1
化简得到 an a1qn1(n ≥ 2) ．
累乘法
又 a1 a1q0 a1q11 ，这就是说，当 n 1 时上式也成立．因此，
首项为 a1，公比为 q 的等比数列 {an}的通项公式为an a1qn1 ．
二、探究新知
探究： 类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
六、布置作业 教科书第34页习题4.3.1第1,2题
谢 谢！
分析：等比数列{an} 由a1 ，q 唯一确定，可利用条件列出关于 a1，q 的方程(组)，进行求解．
三、典型例题
例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，
求 {an }的第5项．
解法1:
由 a4
48 ，a6
12
，得
a1q3 a1q5
48， 12.
① ②
②的两边分别除以①的两边，得 q2 1 . 解得 q 1 或 1 .
所以
an1 an q. a2 a1q， a3 a2q=(a1q)q a1q2， a4 a3q=(a1q2 )q a1q3，
由此可得
an a1qn1 (n ≥ 2) ．
又 a1 a1q0 a1q11，这就是说，当 n 1 时上式也成立．因此， 首项为 a1，公比为 q 的等比数列 {an}的通项公式为 an a1qn1．
类函数建立相似的关系？
an a1qn1
an
a1 q
qn
q0 q 1
f (x) a1 qx (x R) q
等比数列{an} 的第 n 项 an 是指数函数 f (x) a1 qx (x R) 当 x n 时的函数值，
q 即 an f (n)．
二、探究新知
反之，任给指数函数 f (x) kax ( k，a 为常数，k 0 ，a 0 ， 且 a 1 )，则 f (1) ka ，f (2) ka2 ， f (n) kan， 构成 一个等比数列{kan}，其首项为ka ，公比为 a ．
f (x) qx (q 0) 相同，即 q 1 ，等比数列 {an}单调递增，q 1 ，
等比数列 {an} 单调性不变，0 q 1 ，等比数列{an}单调递减．
二、探究新知
探究：类比指数函数的性质，判断公比 q 0 的等比数列的单调性？
②当a1 0 ，因为 q 0
，则 f (x)
4.3.1 等比数列的概念
高二年级 数学
一、复习回顾
1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项
与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．
2.等差数列的通项公式 首项为a1 ，公差为d 的等差数列an的通
项公式为an a1 (n 1)d ．
思考：类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉 得还有怎样的数列是值得研究的？