《数学分析》考试大纲

《数学分析》考试大纲
一、课程名称：数学分析
二、适用专业: 数学与应用数学
三、考试方法：闭卷考试
四、考试时间：100分钟
五、试卷结构：总分：100分，选择题15分，填空题15分，计算题40分，证明题30分。

六、参考书目：
1、华东师范大学数学系编著，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，2010年第
4版。

2、中国科学技术大学常庚哲史济怀编著，《数学分析教程》（上、下册），高等教育
出版社，2003年第1版。

七、考试的基本要求：
数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容，考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。

应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能运用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。

能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。

八、考试范围
第一章实数集与函数
（一）考核内容
实数及其性质,绝对值与不等式。

区间与邻域，有界集与确界原理。

函数概念,函数的表示法。

函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。

具有某些特性的函数：有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。

（二）考核知识点
1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式；
2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理；
3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；
4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

（三）考核要求
1、了解实数域及性质；
2、掌握几种不等式及应用；
3、熟练掌握数域，上确界，下确界，确界原理；
4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶
性、有界性等）。

第二章数列极限
（一）考核内容
数列。

数列极限的定义,无穷小数列。

收敛数列性质：唯一性、有界性、保号
性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。

子列及子列定理。

数列极限存在的条件：数列极限的单调有界定理、柯西收敛准则。

（二）考核知识点
1、极限概念；
2、收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，单调性；
3、数列极限存在的条件：单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则。

（三）考核要求
1、熟练掌握数列极限“”定义；
2、掌握收敛数列的若干性质；
3、掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。

第三章 函数极限
（一）考核内容
求函数的极限，单侧极限。

函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性和四则运算法则。

函数极限存在的条件：归结原则、函数极限的单调有界定理和柯西准则。

两个重要极限。

无穷小量及其阶的比较,无穷大量，曲线的渐近线。

（二）考核知识点
1、函数极限的概念，单侧极限的概念；
2、函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性；
3、函数极限存在的条件：归结原则（Heine 定理），柯西准则；
4、两个重要极限；
5、无穷小量与无穷大量，阶的比较。

（三）考核要求
1、熟练掌握使用“”，“ ”语言，熟练叙述各类型函数极限；
2、掌握函数极限的若干性质；
3、掌握函数极限存在的条件。

（归结原则，柯西准则，左、右极限,单调有界等）；
4、熟练应用两个特殊极限；
5、牢固掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。

第四章 函数连续性
（一）考核内容
函数在一点的连续性,左、右连续,间断点及其分类，区间上的连续函数。

连续函数的局部性质：局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值性定理、根的存在定理，反函数的连续性,一致连续与一致连续性定理。

指数函数的连续性，初等函数连续性。

（二）考核知识点
1、函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类；
2、连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性；
3、初等函数的连续性。

（三）考核要求
1、熟练掌握)(x f 在0x 点连续的定义,等价定义；
2、掌握间断点及其类型；
3、了解在区间上连续的定义；
4、掌握)(x f 在一点连续的性质及闭区间上连续函数的性质；
5、了解初等函数的连续性。

第五章 导数与微分
（一）考核内容
导数的定义，导函数，导数的几何意义，极值，费马定理。

导数的四则运算法则，反
函数的导数, 复合函数的导数，基本求导法则与公式。

参变量函数的导数,隐函数的导数，初等函数的导数。

高阶导数。

微分概念，微分的几何意义，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，高阶微分，微分在近似计算中的应用。

（二）考核知识点
1、导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义；
2、求导法则：导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程的求导法则）；
3、微分：微分的定义，微分的运算法则，微分的应用；
4、高阶导数与高阶微分。

（三）考核要求
1、熟练掌握导数的定义及其几何意义；
2、牢固记住求导法则、求导公式；
3、会求各类函数的导数（复合函数、含参变量函数、隐函数、幂指函数、高阶导数（莱布尼兹公式））；
4、掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算；
5、理解连续、可导、可微的关系。

第六章 微分中值定量、不定式极限
（一）考核内容
罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，单调函数。

柯西中值定理。

不定式极限，罗比塔法则。

带有皮亚诺型余项、拉格朗日型余项的泰勒公式，泰勒公式在近似计算上的应用
（二）考核知识点
1、中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；
2、几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则；
3、泰勒公式。

（三）考核要求
1、牢固掌握微分中值定理及应用（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）；
2、会用洛比达法则求极限（将其他类型的不定型转化为0
0等类型）。

第七章 导数的应用
（一）考核内容
函数单调性与极值。

最大值与最小值。

函数的凸性与曲线的拐点。

函数图象的讨论。

方程的近似解。

极值的判别法；函数的升降、凸性讨论的有关理论及结果；画函数草图的基本要素和方法。

（二）考核知识点
1、函数的单调性与极值；
2、函数凹凸性与拐点.
（三）考核要求
1、掌握单调与)(x f 导数符号的关系，并用它证明)(x f 单调，不等式、求单调区间、
极值等；
2、利用)(x f 的二阶导数判定凹凸性及拐点;
3、了解凸函数及性质;
4、会求曲线各种类型的渐近线性.
第八章 极限与连续（续）
（一）考核内容
关于实数集完备性的基本定理：闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理与致密性定理，实数完备性基本定理的等价性。

闭区间上连续函数性质的证明。

（二）考核知识点
1、实数完备性六个等价定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理；
2、闭区间上连续函数整体性质的证明：有界性定理的证明，最大小值性定理的证明，介值性定理的证明，一致连续性定理的证明；
（三）考核要求
1、掌握下列基本概念：区间套、覆盖、有限覆盖、聚点、予列；
2、了解刻划实数完备性的六个定理的等价性，并掌握各定理的条件与结论；
3、学会用六个定理证明其他问题，如连续函数性质定理等.
第九章 不定积分
（一）考核内容
原函数与不定积分概念,基本积分表,线性运算法则。

换元积分法，分部积分法。

有理函数的不定积分,三角函数有理式的不定积分,某些无理函数的不定积分。

（二）考核知识点
1、不定积分概念；
2、换元积分法与分部积分法；
3、几类可化为有理函数的积分；
（三）考核要求
1、掌握原函数与不定积分的概念；
2、记住基本积分公式；
3、熟练掌握换元法、分部积分法；
4、了解有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。

第十章 定积分
（一）考核内容
概念引入（曲边梯形面积与变力作功），定积分定义，定积分的几何意义。

牛顿－莱布尼兹公式。

可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类：闭区间上的连续函数、只有有限个间断点的有界函数、单调函数。

定积分的基本性质，积分中值定理。

变限积分与原函数的存在性，微积分学基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法。

可积性理论补叙.
（二）考核知识点
1、定积分的概念：概念的引入、黎曼积分定义，函数可积的必要条件；
2、可积性条件：可积的必要条件和充要条件，达布上和与达布下和，可积函数类(连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数)；
3、微积分学基本定理：可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；
4、非正常积分：无穷积分收敛与发散的概念，审敛法（柯西准则，比较法，狄利克雷
与阿贝尔判别法）；瑕积分的收敛与发散的概念，收敛判别法。

（三）考核要求
1、掌握定积分定义、性质；
2、了解可积条件，可积函数类；
3、深刻理解微积分基本定理，并会熟练应用；
4、熟练计算定积分；
5、掌握广义积分收敛定义及判别法，会计算广义积分。

第十一章定积分应用
（一）考核内容
微元法。

平面图形的面积。

由平行截面面积求体积，旋转体体积。

平面曲线的弧长、曲率。

旋转曲面的面积。

定积分的近似计算.
（二）考核知识点
1、定积分的几何应用：平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，旋
转体的体积平面曲线的弧长与微分，曲率；
（三）考核要求
1、熟练计算各种平面图形面积；
2、会求旋转体或已知截面面积的体积；
3、会利用定积分求孤长、曲率、旋转体的侧面积.
第十二章数项级数
（一）考核内容
数项级数极其收敛与和的定义，柯西收敛准则，收敛级数的基本性质。

正顶级数收敛性的一般判别原则（比较原则），比式判别法与根式判别法，积分判别法。

拉贝判别法。

交错级数，莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与性质，条件收敛，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

（二）考核知识点
1、级数的敛散性：无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质；
2、正项级数：比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法，积分判别法；
3、一般项级数：交错级数与莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质，
阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

（三）考核要求
1、掌握数项级数敛散的定义、性质；
2、熟练掌握正项级数的敛、散判别法；
3、掌握条件、绝对收敛及莱布尼兹定理。

第十三章函数列与函数项级数
（一）考核内容
函数列与函数项级数的收敛、一致收敛性以及一致收敛的柯西准则，函数项级数的维尔斯特拉斯优级数判别法（M判别法），阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性、可积性与可微性。

（二）考核知识点
1、一致收敛性及一致收敛判别法（柯西准则，优级数判别法，狄利克雷与阿贝尔判别
法）；
2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连续性，可积性，可微性）。

1、掌握函数列及函数项级数的一致收敛定义；
2、掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法；;
3、函数列的极限函数，函数项级数的和函数的性质。

第十四章幂级数
（一）考核内容
阿贝尔第一定理, 幂级数的收敛半径与收敛区间,内闭一致收敛性，幂级数的性质，幂级数的四则运算。

泰勒级数，函数可以展开成泰勒级数的条件,初等函数的幂级数展开式。

复变量的指数函数和欧拉公式。

（二）考核知识点
1、幂级数：阿贝尔定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数
的分析性质；
2、几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。

（三）考核要求
1、熟练掌握幂级数收敛域、收敛半径及和函数的求法；;
2、了解幂级数的若干性质；
3、了解求一般任意阶可微函数的幂级数展开式的方法；
4、会利用间接法求一些初等函数的幂级数展开式。

第十六章多元函数极限与连续
（一）考核内容
平面点集概念，R2上的完备性定理,二元函数和n元函数概念。

二重极限,累次极限。

二元函数的连续性,复合函数的连续性。

有界闭域上连续函数的性质。

（二）考核知识点
1、平面点集与多元函数的概念；
2、二元函数的极限、累次极限；
3、二元函数的连续性：二元函数的连续性概念、连续函数的局部性质及初等函数连续
性。

（三）考核要求
1、了解平面点集的若干概念；
2、掌握二元函数二重极限定义、性质；
3、掌握二次极限，并掌握二重极限与二次极限的关系；
4、掌握二元连续函数定义、性质.
第十七章多元函数微分学
（一）考核内容
多元函数的可微性与全微分，偏导数及其几何意义,全微分存在的必要条件、充分条件，可微性的几何意义及应用。

复合函数的求导法则，复合函数的全微分。

方向导数与梯度。

高阶偏导数，二元函数的中值定理和秦勒公式，二元函数的极值与最值。

（二）考核知识点
1、可微性：偏导数的概念，偏导数的几何意义，偏导数与连续性；全微分概念；连
续性与可微性，偏导数与可微性；
2、多元复合函数微分法及求导公式；
3、方向导数与梯度；
4、泰勒定理与极值。

1、熟练掌握可微，偏导,可微的意义；
2、掌握二元函数可微，连续以及偏导函数连续等概念之间的关系；
3、会计算各种类型函数的偏导，函数的全微分；
4、会求空间曲面的切平面，法线；
5、会求函数的方向导数；
6、会求二元函数的无条件极值。

第十八章隐函数定理及其应用
（一）考核内容
隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数（存在惟一性、可微性）定
理，隐函数求导。

隐函数组概念，函数行列式，隐函数组定理，隐函数组求导，
反函数组与坐标变换。

几何应用。

条件极值与拉格朗日乘数法。

（二）考核知识点
1、隐函数：隐函数的概念，隐函数的定理，隐函数求导举例；
2、隐函数组：隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式；
3、几何应用：平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面和法
线；条件极值：条件极值的概念，条件极值的必要条件。

（三）考核要求
1、掌握一个方程确定的隐函数的条件，隐函数性质，隐函数的导数（偏导）公式；
2、会求空间曲线的切线与法平面；
3、会求空间曲面的切平面与法线；
4、掌握条件极值的拉格朗日乘子法。

第二十章重积分
（一）考核内容
平面图形的面积，二重积分的定义及其存在性，二重积分性质。

直角坐标系下二重积分的计算(化为累计积分)。

格林公式，平面曲线积分与路线无关的等价条件，原函数。

二重积分的变量替换公式，用极坐标计算二重积分。

三重积分的概念与性质，化三重积分为累次积分，三重积分的换元法，柱坐标变换与球坐标变换。

重积分在的应用：曲面的面积。

（二）考核知识点
1、二重积分概念：二重积分的概念，可积条件，可积函数，二重积分的性质；
2、二重积分的计算：化二重积分为累次积分，换元法（极坐标变换，一般变换）；
3、含参变量的积分；
4、三重积分计算：化三重积分为累次积分, 换元法（一般变换，柱面坐标变换，球坐
标变换）；
5、重积分应用：立体体积，曲面的面积，物体的重心，转动惯量；
6、含参量非正常积分概念及其一致敛性：含参变量非正常积分及其一致收敛性概念，
一致收敛的判别法(柯西准则，与函数项级数一致收敛性的关系，一致收敛的M判别法)，含参变量非正常积分的分析性质.
（三）考核要求
1、了解二重积分，三重积分的定义与性质；
2、掌握二重积分的换序，变量代换；
3、了解三重积分的换序，会用球、柱、广义球坐标进行代换计算三重积分；
4、了解含参量正常积分的定义及性质.
第二十二章曲线积分与曲面积分
（一）考核内容
第一型曲线积分的定义与计算。

第二型曲线积分的定义和计算，两类曲线积分的联系。

第一型曲面积分概念、性质和计算。

曲面的侧,第二型面积分概念、性质和计算，两类曲面积分之间的联系。

高斯公式,斯托克斯公式，空间曲线积分与路线无关的等价条件。

场论初步。

（二）考核知识点
1、第一型曲线积分的概念、性质与计算，第一型曲面积分的的概念、性质与计算；
2、第二型曲线积分的概念、性质与计算，变力作功，两类曲线积分的联系；
3、格林公式，曲线积分与路线的无关性, 全函数；
4、曲面的侧，第二型曲面积分概念及性质与计算，两类曲面积分的关系;
5、高斯公式，斯托克斯公式，空间曲线积分与路径无关性；
（三）考核要求
1、熟练掌握第一、二型曲线、曲面积分的计算方法；
2、了解两种曲线积分，两种曲面积分关系；
3、熟练运用格林公式，高斯公式，斯托克斯公式的计算；
4、掌握积分与路径无关的条件。