6.2.1 边缘密度函数.ppt

x3
0
4
综上
x3
f
X
x
4
0 x2
y 1 y x
2
0
其余
0
G
2x
解⑵ 当 y 0 或 y 1时, f x, y 0, 所以 fY y 0.
而当 0 y 1时,
fY y
f x, y dx
2 2xydx 4 y 1 y2
2y
故
y
fY
y
4
y
1
y2
0
0 y 1
x,
y
2 xy
0
x, yG
其余
区域 G由直线
y
x 2
,
x
2,
y
0
围成, 如图所示:
求 X 与Y 的边缘密度函数.
y 1 y x
2
0
G
2x
解⑴ 当 x 0或 x 2时, f x, y 0, 所以 fX x 0.
而当 0 x 2时,
fX x
f x, y dy
x
2 2xydy
本身就是两个一维连续型随机变量它的两个分量因此它们各自的分布就称为的关于或关于的边缘分布
连续型随机变量及其分布
边缘概率密度函数
对于二维连续型随机变量 X ,Y , 它的两个分量 X 或 Y
本身就是两个一维连续型随机变量, 因此它们各自的分布就
称为 X ,Y 的关于 X 或关于 Y的边缘分布.
P X ai P X ai ,Y bj i 1, 2,
j
fY y
f x, ydx
y
P Y bj P X ai,Y bj j 1,2,
i
例1 试求上一小节例1中随机变量的边缘密度函数.
解 已经求得 X ,Y 的联合分布为
y
f
x,
y
6 xy 2
y x1
f
x,
y
1 /
0
2
x, y D
其余
1,1
e2,e2
D
0
1
e2 x
边缘密度函数分别为
fX x
f
x,
y
dy
1 x
1
dy
02
0
1
2
x
1 x e2
0
其余
1 x e2
x 1或 x e2
y x1
1,1
e2,e2
0
1
e2 x
fY y
f x, y dx
x0
1x
同理可求得, 当 y 0或 y 1时, f x, y 0 ,
所以 fY y 0 ; 当0 y 1时,
y
fY y
f x, y dx
y
1
16xy2dx 3y2 综上即得: 0
y
fY
y
3y2
0
0 y 1
其余
0
1x
例2 设随机变量 X ,Y 的联合密度函数为
f
lim P X x,Y y lim F x, y ˆ F , y
x
x
为随机变量 Y 的边缘分布函数.
由联合分布函数和联合概率密度函数之间的关系知
FX x P X x,Y
x
f x, y dy dx
按一维密度函数定义, 称
fX x
f x, ydy
x
2 2
,
ρ
,则
X ~ N
1,12
,Y ~ N
2
,
2 2
.
谢谢
为随机变量 X 的边缘概率密度函数（或边缘分布）;
同理,
FY y P X ,Y y
y
f x, y dx dy
称
fY y
f
x, ydx
y
为随机变量 Y 的边缘概率密度函数（或边缘分布）.
连续型和离散型随机变量的对照
fX x
f x, ydy
x
其余
1
0
y x/2
G
2x
例3 设平面区域 D由曲线 y 1 , y 0, x 1, x e2 围成, x
二维随机变量 X ,Y 服从区域 D 上的均匀分布, 求边缘分布.
解 区域 D的面积为 D e2 1 dx ln x e2 2.
1x
1
因此随机变量 X ,Y 的联合密度函数为:
问题: 已知联合密度函数, 如何求出边缘密度函数?
注意到 FX x P X x P X x,Y
lim P X x,Y y lim F x, y ˆ F x,
y
y
称 FX x ˆ F x, 为随机变量 X 的边缘分布函数;
同理, 称 FY y P Y y P X ,Y y
e2 1
1 dx , 2
1 y 1
1 dx , 2
0,
0 y e2 e2 y 1 y 0或 y 1y ຫໍສະໝຸດ x11,1e2,e2
0
1
e2 x
1 2
e2
1
,
1
2
1 y
1,
0,
0 y e2 e2 y 1
其余
定理3.6
设 X ,Y ~ N
1,
2
,
12
,
0
0 x, y 1
其余
1
当 0 x 1时,
0
x1 x
fX x
f x, y dy 16xy2dy 2x
0
f
x,
y
6 xy 2
0
0 x, y 1
其余
y
当 x 0或 x 1时, f x, y 0 ,
1
所以 f X x 0 ; 综上即得:
f
X
x
2x
0
0 x1
其余