概率论与数理统计期末考试题及答案

概率论与数理统计期末考试题及答案
模拟试题
填空题(每空3分，共45 分)
1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85,则P(A| B)=
P( A U B)=
1
2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为—,A发生且B 不发生的概率与 B
9
发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：_______________________ ;
3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率:
;没有任何人的生日在同一个月份的概率
I Ae x, X c 0
4、已知随机变量X的密度函数为：W(x) = {1/ 4, 0 < X V 2，则常数A=
0, x>2
分布函数F(x)= ，概率P{—0.5
5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若P{X>1} =5/ 9，贝U p =
若X与丫独立，则Z=max(X,Y)的分布律:
6、设X ~ B(200,0.01), Y - P(4),且X 与丫相互独立，则D(2X-3Y)=
COV(2X-3Y , X)=
7、设X1,X2,III,X5是总体X ~ N(0,1)的简单随机样本，则当k = 时,
丫"⑶；
8、设总体X~U(0,巧日：>0为未知参数，X i,X2,lil,X n为其样本,
-1n
X =—S X i为
n i 二
样本均值，则日的矩估计量为:
9、设样本X i,X2，川，X9来自正态总体N(a,1.44)，计算得样本观察值X = 10，求参
数a的置信度为95%的置信区间:
计算题(35分)
1、(12分)设连续型随机变量X的密度函数为:
「1
求：1) P{|2X —1|<2} ; 2) Y =X 2
的密度函数 S(y) ； 3) E(2X-1);
2、（12分）设随机变量（X,Y ）的密度函数为
3、（ 11分）设总体X 的概率密度函数为:
X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。

1 ）求参数日的极大似然估计量a ；
叭X)=
L
x,
0<x< 2<="" p="">
2
其它
1) 2) 3) 「1/4,
(x,y) t o
求边缘密度函数（X ）,
（y ）；
冋X 与丫是否独立？是否相关? 计算Z = X + Y 的密度函数笃⑵|y |cx,0 vxc2,
其他
I 1
l ie 飞
〔0
x>0 0 >0
X c0
2）验证估计量e?是否是参数9的无偏估计量。

应用题（20分）
1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别
是3/10,1/5，1/10和2/5。

如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。

现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大?
2. （10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过质含
0.5 %,假定有害物量X服从正态分布。

现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据:
0.530 %, 0.542 %, 0.510 %, 0.495 %, 0.515 %
能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定（G =0.05）?
附表:
U0.975 =1.96,U0.95 =1.65,t0.975（4）=2.776,t0.95（4）=2.132,t0.975（5）=2.571,t0.95（4）
=2.015
四
、
1
、
2
、
3
、
、
5
、
五
、
答案（模拟试题一）填空题（每空3分，共45 分）0.8286，0.988
2/3
126126
6、D(2X-3Y)=
I X -
e , 2
2 4
1,
X <0
0 e x <2 ,
x》2
Z=max(X,Y) 的分布
律:
43.92
7、当k =-￡
2—时，丫
9、日的矩估计量
为:
[9.216，10.784]
2X。

计算题（35
分）
P{—0.5 c X <1}=
8/27 16/27
COV(2X-3Y, X)= 3.96
CT x^X；"⑶；
1、解1) P{|2X -1|c2} = P{—0.5CX <1.5} 2）①(、心(玖(77)+役(-7?)), ?Y(y)詔2? 10，
i1
={4，
10,
0<4<="" p="">
其它
y <0
y >0
3)E(2X-1)=2EX 一1 =2咒4-1
3 3
3*5；
4 2
3/27;
又因为 EY=0 , EXY=0，所以，COV(X,Y)=0 n
3、解
1
) L(为'X 2」|| ' X n '日)=PI
i A
nx In L(X 1,X 2，川，X n ,8) =— nInQ
y
令
dlnL —n +n
x=0
d 9
9 92
解出：e=X
2)
；E^=E X =EX =8
/.现日的无偏估计量。

1、（ 10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、
是3/10,1/5 , 1/10和2/5。

如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4, 1/3, 1/2。

现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大? 解：设事件A1 , A2 , A3 , A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机” ，其概率分别等于3/10, 1/5 , 1/10和2/5，事件B 表示“迟到”，
2、解: "x
1 f-dy, 1) W x(x) = J W(x,y)dy =｛」4 0,
-be _oC
-be
Y(y)= J?(x, y)dx =
-oC
‘2
1
* |y|
4
0,
2) 显然，?（x,y ） H?x（x ）W Y （y ），
所以
x
其它 10,
0 e x <2
其它
I 1
|y|<
匕(2-|y|), 詔4
其它1°,
X 与丫不独立。

|y|<2
其它
八
、
应用题（20分），因此X 与丫不相关。

3)
-be
码(Z)= J ?(x,z -x)dx
*■ -CC 『21 J/z-dx,
〔0,
其它
0 < z <4 i 1
才2
10,
z
8'
0 <="" c="" p="">
其它
n
i±
轮船、汽车或飞机来的概率分别
已知概率 P{B|A}, i =1,2,3,4 分别等于 1/4, 1/3, 1/2, 0 23
则
P{B ^ P(
A
P(B|A 2 五
计算 X =0.5184, S =0.018
t = X ~0.5
75=2.2857 沁0.95(4),
所以，拒绝H 。

，说明有害物质含量超过了规定。

附表:
U 0.975 =1.96,5.95 =1.651.975(4) = 2.776怎95(4)=2.132血975 (5)=2.571,鮎.95(4) =2.015
P(A i |B) =
P(A ,)P(B|A) _ 9
p(A |B
^ P(A 2)P(B|A 2) 8
23 ' 2
P(B)
P(B)
23
P (A 3|BH
P(A 3
)P(B|A
3^^, P (A 4
|BH
P(A 4
)P(B|A
4^0
23
P(B)
P(B)
由概率判断他乘火车的可能性最大。

2.（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过
0.5 %,假定有害物
质含量X 服从正态分布N （a,cr 2
）。

现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据: 0.530 %, 0.542 %, 0.510 %, 0.495 %, 0.515 %
能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定（a =0.05）? 解：H 0：a<0.5 (%) , H 1：a￡
拒绝域为：^0 ={
S
4 扁沁0.95(4)}
</x<>。