带电粒子在有界磁场磁场中的运动

d
αR O
过程模型：匀速圆周运动 规律：牛顿第二定律 + 圆周运动公式 条件：要求时间最短
t
s v
速度 v 不变，欲使穿过磁场时间最短，须使 s 有最 小值，则要求弦最短。
题1 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形 状如图所示，磁场宽度为 d。在垂直B的平面
内的A点，有一个电量为 －q、质量为 m、速
y B
如粒子带正电，则： 如粒子带负电，则：
60º v
60º
O 120º
x
A. 2mv qB
B. 2mvcosθ qB
C. 2mv(1-sinθ) qB
2mv(1-cosθ)
D. qB
M
D
C
θ θ θθ
P
N
θθ
练、 一个质量为m电荷量为q的带电粒子（不计重力）
从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60º的
束比荷为q/m=2 ×1011 C/kg的正离子，以不同角度α入射，
其中入射角 α =30º，且不经碰撞而直接从出射孔射出的
离子的速度v大小是 （
C）
αa
A．4×105 m/s B． 2×105 m/s
r
C． 4×106 m/s D． 2×106 m/s O′
O
解： 作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于 r
P
B v0
O
AQ
例、如图，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为
d =1.0×10－2m，A板上有一电子源P，Q点在P点正上方B
板上，在纸面内从P点向Q点发射速度在0～3.2×107m/s范
围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度
B=9.1×10－3T，已知电子质量 m=9.1×10－31kg ，电子电
度为 v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向 与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时
间最短？（已知 mv/Bq > d）
sinq d / 2 dBq
R 2mv
t
2q
2q
v
R
m arcsin
dBq 2mv
Bq
与边界的夹角为（90º－θ ）
d
v -q A θ m
θ O
中垂线
启示：要正确识别物理模型
强磁场B。电子束沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁
场，经过磁场区后，电子束运动的方向与原入射方向成θ
角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间的相互
作用力及所受的重力。求：
（1）电子在磁场中运动轨迹的半径R；
rB
（2）电子在磁场中运动的时间t；
vO θ
（3）圆形磁场区域的半径r。
解：（1） R mv
（1）要使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围。 （2）取不同v0值，求粒子在磁场中运动时间t 的范围？ （3）从ab边射出的粒子在磁场中运动时间t 的范围。
Hale Waihona Puke 解：（2）m3Bq
≤t≤
5m
3Bq
解：（3）
5m
6Bq ≤ t ≤
4m
3Bq
a
R1
R2
O
q v0
d
b
B c
例、如图，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于 纸面向里，
r－rcos60º= d
d
d
练、如图，在POQ区域内分布有磁感应强度为B的匀强
磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流(不
计重力)，沿纸面垂直于磁场边界OQ方向从A点垂直边
界射入磁场，已知OA=d，∠POQ=45º，离子的质量为
m、带电荷量为q、要使离子不从OP边射出，离子进
入磁场的速度最大不能超过多少？
P
rm
H
QN = d， PH = 2d， 代入数据得：
例、如图，一端无限伸长的矩形区域abcd内存在着磁感应
强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。从边ad
中点O射入一速率v0、方向与Od夹角θ=30º的正电粒子， 粒子质量为m，重力不计，带电量为q，已知ad=L。
（1）要使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围。 （2）取不同v0值，求粒子在磁场中运动时间t 的范围？ （3）从ab边射出的粒子在磁场中运动时间t 的范围。
里的匀强磁场，磁感应强度为B，许多质量为m，带电 量为+q的粒子，以相同的速率 v 沿位于纸面内的各个方 向，由小孔O射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的 相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的
区域，其中R=mv/qB，哪个图是正确的？（ A ）
A.
B.
2R
2R
O
O
B
M 2R R N
M R 2R
α
算时间：
T 2m qB
t=
q T 2
qm
qB
O
θ = 2α
注意：θ 应以弧度表示
解决带电粒子在匀强磁场中偏转的基本思路
(1)先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
(2)偏转角由 sinθ = L/R求出。 (3)侧移由 R2=L2 －(R－y)2 解出。
vL y
(4)经历时间由 t m q 得出。
点，此时速度方向与y轴的夹角为30º，P到O的距离为L。
不计重力。求磁感强度B磁场区域的半径R。 y
解析： 基本思路：
v 30°
1）作出运动轨迹；
P
2）找出有关半径的几何关系：L=3r L 3）结合半径、周期公式解。
mv2 evB = R
B 3mv qL
R
3 3L
r R
Ov
x
B
例、电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实
d
-q A v m
度为 v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向
与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时
间最短？（已知 mv/Bq > d）
题2 一条船在静水中的速度为v，河水的流
d
速为V，河宽为d。问船头方向与河岸的夹角为
vx
多少时，过河的时间最短？
A
河宽一定，欲使过河时间最短，须使vx 有最大值。当vx=v时，有过河的最短时间：
N
C.
2R D.
O
O
RM
M 2R
2R N M 2R
2R N
ON
……以速率 v 沿纸面各个方向由小孔O射入磁场
2R 2R
O
O
2R R
R 2R
A.
B.
O
2R
2R
C.
2R
R
O
2R
2R
D.
题1 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形 状如图所示，磁场宽度为 d。在垂直B的平面
内的A点，有一个电量为 －q、质量为 m、速
eB
Rθ 2
（2）由几何关系得：圆心角：α = θ
t T mq
O1
v
2 eB
（3）由如图所示几何关系可知， tan
q 2
r R
所以：r
mv
q
tan
eB 2
例、某离子速度选择器的原理图如图，在半径为R=10cm
的圆形筒内有B= 1×10－4 T 的匀强磁场，方向平行于轴
线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b。现有一
T 2 m
B
动能：
Ek
1 mv2 2
(qBR2) 2m
v m,q
解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本环节
找圆心：
vθ
已知两个速度方向：可找到两条
半径，其交点是圆心。 已知入射方向和出射点的位置：
v
θ
通过入射点作入射方向的垂线，
O
连接入射点和出射点，作中垂线，
v
交点是圆心。
αα
定半径： 几何法求半径 公式求半径
O′点， O′点即为轨迹圆的圆心。画出离子在磁
b
场中的轨迹如图示：
∠a O′b=2 =60º， ∴r=2R
qvB
=
mv2 r
vqBr21101 1- 040.24160m/s m
例、一磁场方向垂直于xOy平面，分布在以O为中心的圆形
区域内。质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开
始运动，初速为v，方向沿x正方向。粒子经过y轴上的P
t
d v
vy
题1 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形 状如图所示，磁场宽度为 d。在垂直B的平面
内的A点，有一个电量为 －q、质量为 m、速
度为 v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向 与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时 间最短？（已知 mv/Bq > d）
d
-q A v m
d
αR O
带电粒子的速度方向垂直于边界进入磁场时间最短
带电粒子在圆形磁场中的运动
带电粒子在匀强磁场中仅受磁场力作用时做匀速圆周 运动，因此，带电粒子在圆形匀强磁场中的运动往往涉及 粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。
两种基本情形：
B v α θO
边 界 圆
边
BB
界 OC
圆
A
O＇
θ
轨 迹
O′
圆
θ+ α = π
轨迹圆
两圆心连线OO′与点C共线。
例、如图，虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀
带电粒子在有界磁场中的运动
一、带电粒子在直边界磁场中的运动
带电粒子在匀强磁场中的运动
由洛伦兹力提供向心力
轨道半径：
r=
mv qB
qvB =
mv2 r
运动周期： T =
2 r
v
=
2 m
qB
——对于确定磁场，有 Tm/q，仅由粒子种类 决定，与R和v无关。
角速度： ω qB m
频率：
f 1 qB
sin =
d R
=
dBq mv
—— 模型识别错误 ！！！
t
=
=
=
v/R
R
arcsin
dBq mv
v
=
m
arcsin
dBq mv
Bq
d
题1 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形
状如图所示，磁场宽度为 d。在垂直B的平面
内的A点，有一个电量为 －q、质量为 m、速
-q A v m
度为 v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向 与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时 间最短？（已知 mv/Bq > d） 对象模型：质点
P
2r
2r
r
O
O
O
Q
rN
Q
Q 答案：MN( 31)r
练、如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小B的匀强
磁场，内有与磁场方向平行的板ab，在距ab距离为
l=16cm处，有一点状的放射源S向各个方向发射α粒子，α
粒子的速度都是v=3.0×106 m/s，已知 α粒子的电荷与质
量之比q/m= 5.0×107 C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动
Lv
+q , m B
L
例、如图，若电子的电量e，质量m，磁感应强度B及宽度
d已知，若要求电子不从右边界穿出，则初速度v0应满 足什么条件？
变化1：若v0向上与边界成60º角，则v0应满足什么条件？ 变化2：若v0向下与边界成60º角，则v0应满足什么条件？
v0 B e
B e v0
B
e
v0
d
r+rcos60º= d
方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y
轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出
点的坐标。
解析 ：
r 2a mv 3 Bq
y v
B
得 B 3mv
O′
2aq
射出点坐标为（0， 3 a ）
O
v
60º
a
x
例、如图，长为L的水平不带电极板间有垂直纸面向内
的匀强磁场B，板间距离也为L，现有质量为m，电量 为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点 处垂直磁场以速度v平行极板射入磁场，欲使粒子不 打在极板上，则粒子入射速度v应满足什么条件？
量 q×10－19C ，不计电子重力和电子间的相互作用力，且
电子打到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在A、B
两板上的范围。
解析 ：
电子打在A板上的范围是PH段。 B
QM N
电子打在B板上的范围是MN段。
v
rm B
因 qvB=mv2/rm 得： rm=2d A
QM = rm- rm2－d 2 = (2－ 3 )d
现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一个圆
形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场
区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过
O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘
PQ为该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。 现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不 同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带 电粒子打在边界PQ上的范围（粒子的重力不计）。
分析：从O点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周运动
的半径r相同，PO为这些轨迹圆周的P公共点。 M
Bq
θR
O
B
注意：这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的 交点不再是宽度线段的中点。 这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同！
带电粒子在直边界磁场中的运动
射当时带速电度粒与子边从界同夹一角边相界同入射出——对称性
例、如图，在第I象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁
场B。质量为m、电量大小为q的带电粒子(不计重力)， 在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度为v0，且 与x轴成60º角，试分析计算：穿越磁场时运动方向发 生的偏转角多大？带电粒子在磁场中运动时间多长？
的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。
解：α 粒子带正电，沿逆时针方向做
匀速圆周运动，轨道半径R为
a
P1
N
R mv 10cm 即：2R > l > R。
l
qB
N1P R2-(l-R)2 8cm
S
P2 b B
N2P (2R)2-l2 12cm
∴P1P2=20cm
例、如图，水平放置的平板MN上方有方向垂直于纸面向
解：（1）
R1+R1sin30º= L/2
得R1 = L/3 R2－ R2cos60º= L/2
得：R2 = L。
（1）
qBL m
qBL
≥v0≥ 3 m
a
R1
R2
O
q v0
d
b
B c
例、如图，一端无限伸长的矩形区域abcd内存在着磁感应
强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。从边ad
中点O射入一速率v0、方向与Od夹角θ=30º的正电粒子， 粒子质量为m，重力不计，带电量为q，已知ad=L。