最新2019年九年级上第一次月考数学试卷(五四学制)含答案解析

九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）
一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分．）
1．已知反比例函数y=的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）
A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣6）D．（﹣6，1）
2．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）
A．B．C．D．
3．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为（）
A．B．C．D．h•sinα
4．点A（﹣1，1）是反比例函数y=的图象上一点，则m的值为（）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1
5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）
A．10m B． m C．15m D． m
6．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
7．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数y=的图象经过点B，则k的值是（）
A．1 B．2 C．D．
8．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）
A．5米B．6米C．8米D．（3+）米
9．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为（ ）
A ．（11﹣2）米
B ．（11﹣2）米
C ．（11﹣2）米
D ．（11﹣4）米
10．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°．公路PQ 上A 处距O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为（ ）
A ．12秒
B ．16秒
C ．20秒
D ．30秒．
11．在△ABC 中，若三边BC 、CA 、AB 满足BC ：CA ：AB=5：12：13，则cosB=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．如图，在平面直角坐标系中，A （﹣3，1），以点O 为顶点作等腰直角三角形AOB ，双曲
线y 1=在第一象限内的图象经过点B ．设直线AB 的解析式为y 2=k 2x+b ，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）
A ．﹣5＜x ＜1
B ．0＜x ＜1或x ＜﹣5
C ．﹣6＜x ＜1
D ．0＜x ＜1或x ＜﹣6
二、填空题（本共5小题，共20分，只求填写最后结果，每小题填对得4分．）
13．已知点A （﹣1，y 1），B （1，y 2）和C （2，y 3）都在反比例函数y=（k ＞0）的图象上．则______＜______＜______（填y 1，y 2，y 3）．
14．如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC=，则对角线AC 的长为______．
15．已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为（1，3），则另一个交点坐标是______．
16．如图，先锋村准备在坡角为α=30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为______米．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（k≠0）上，则k的值为______．
三、解答题：
18．计算：
（1）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°
（2）2cos30°﹣|1﹣tan60°|+tan45°•sin45°．
19．如图，已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A（1，4）和点B（n，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．
20．为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．
（1）求车架档AD的长；
（2）求车座点E到车架档AB的距离．
（结果精确到 1cm．参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75≈3.7321）
21．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x ≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．22．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=k
2
（1）求k 1、k 2、b 的值；
（2）求△AOB 的面积；
（3）若M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y=图象上的两点，且x 1＜x 2，y 1＜y 2，指出点M 、N 各位于哪个象限，并简要说明理由．
23．如图，某仓储中心有一斜坡AB ，其坡度为i=1：2，顶部A 处的高AC 为4m ，B 、C 在同一水平地面上．
（1）求斜坡AB 的水平宽度BC ；
（2）矩形DEFG 为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m ，EF=2m ，将该货柜沿斜坡向上运送，
当BF=3.5m 时，求点D 离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m ）
24．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k 为常数，且k ≠0）的图象交于A （1，a ），B 两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分．）
1．已知反比例函数y=的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）
A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣6）D．（﹣6，1）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断．
【解答】解：把（2，3）代入反比例解析式得：k=6，
∴反比例解析式为y=，
则（﹣2，﹣3）在这个函数图象上，
故选B．
2．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义．
【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B 有关的RT △ABD ，算出AB 的长，再求出BD 的长，即可求出余弦值．
【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，
∴cos ∠B==．
故选B ．
3．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．h•sin α
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】由已知转化为解直角三角形问题，角α的正弦等于对边比斜边求出滑梯长l．
【解答】解：由已知得：sinα=，
∴l=，
故选：A．
4．点A（﹣1，1）是反比例函数y=的图象上一点，则m的值为（）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】把点A（﹣1，1）代入函数解析式，即可求得m的值．
【解答】解：把点A（﹣1，1）代入函数解析式得：1=，
解得：m+1=﹣1，
解得m=﹣2．
故选B．
5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）
A．10m B． m C．15m D． m
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案．
【解答】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，
即tan∠BAC===，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×5=10m，
故选：A．
6．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断．
【解答】解：∵cosA=，tanB=，
∴∠A=45°，∠B=60°．
∴∠C=180°﹣45°﹣60°=75°．
∴△ABC为锐角三角形．
故选A．
7．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数y=的图象经过点B，则k的值是（）
A．1 B．2 C．D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
【分析】首先过点B作BC垂直OA于C，根据AO=2，△ABO是等边三角形，得出B点坐标，进而求出反比例函数解析式．
【解答】解：过点B作BC垂直OA于C，
∵点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OC=1，BC=，
∴点B的坐标是（1，），
把（1，）代入y=，
得k=．
故选C．
8．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）
A．5米B．6米C．8米D．（3+）米
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．
【解答】解：设CD=x，则AD=2x，
由勾股定理可得，AC==x，
∵AC=3米，
∴x=3，
∴x=3米，
∴CD=3米，
∴AD=2×3=6米，
在Rt△ABD中，BD==8米，
∴BC=8﹣3=5米．
故选A．
9．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）
A．（11﹣2）米B．（11﹣2）米C．（11﹣2）米D．（11﹣4）米
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相减即可求得BC长．
【解答】解：如图，延长OD，BC交于点P．
∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，
∴在直角△CPD中，DP=DC•cot30°=2m，PC=CD÷（sin30°）=4米，
∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，
∴△PDC∽△PBO，
∴=，
∴PB===11米，
∴BC=PB﹣PC=（11﹣4）米．
故选：D．
10．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（）
A．12秒B．16秒C．20秒D．30秒．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．【解答】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选：B．
11．在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足BC：CA：AB=5：12：13，则cosB=（）
A．B．C．D．
【考点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．
【分析】设比例的每一份为k，由比例式表示出三角形的三边，然后利用勾股定理的逆定理判断出此三角形为直角三角形，根据锐角三角函数定义，用∠B的对边AC比上斜边AB，化简后可得出cosB的值．
【解答】解：由△ABC三边满足BC：CA：AB=5：12：13，
可设BC=5k ，CA=12k ，AB=13k ，
∵BC 2+CA 2=（5k ）2+（12k ）2=25k 2+144k 2=169k 2，AB 2=（13k ）2=169k 2，
∴BC 2+CA 2=AB 2，
∴△ABC 为直角三角形，∠C=90°，
则cosB===．
故选：C ．
12．如图，在平面直角坐标系中，A （﹣3，1），以点O 为顶点作等腰直角三角形AOB ，双曲
线y 1=在第一象限内的图象经过点B ．设直线AB 的解析式为y 2=k 2x+b ，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）
A ．﹣5＜x ＜1
B ．0＜x ＜1或x ＜﹣5
C ．﹣6＜x ＜1
D ．0＜x ＜1或x ＜﹣6
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】由△AOB 是等腰三角形，先求的点B 的坐标，然后利用待定系数法可求得双曲线和
直线的解析式，然后将将y 1=与y 2=联立，求得双曲线和直线的交点的横坐标，然后根据图象即可确定出x 的取值范围．
【解答】解：如图所示：
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠3+∠2=90°．
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
∵点A的坐标为（﹣3，1），
∴点B的坐标（1，3）．
将B（1，3）代入反比例函数的解析式得：3=，
∴k=3．
∴y
=
1
将A（﹣3，1），B（1，3）代入直线AB的解析式得：，
解得：，
=．
∴直线AB的解析式为y
2
将y 1=与y 2=联立得；，
解得：，
当y 1＞y 2时，双曲线位于直线线的上方，
∴x 的取值范围是：x ＜﹣6或0＜x ＜1．
故选：D ．
二、填空题（本共5小题，共20分，只求填写最后结果，每小题填对得4分．）
13．已知点A （﹣1，y 1），B （1，y 2）和C （2，y 3）都在反比例函数y=（k ＞0）的图象上．则 y 1 ＜ y 3 ＜ y 2 （填y 1，y 2，y 3）．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据反比例函数中k ＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y=（k ＞0）中k ＞0，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小． ∵﹣1＜0，﹣1＜0，
∴点A （﹣1，y 1）位于第三象限， ∴y 1＜0，
∴B （1，y 2）和C （2，y 3）位于第一象限，
∴y 2＞0，y 3＞0，
∵1＜2，
∴y 2＞y 3，
∴y 1＜y 3＜y 2．
故答案为：y 1，y 3，y 2．
14．如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC=，则对角线AC 的长为 24 ．
【考点】菱形的性质；解直角三角形．
【分析】连接BD ，交AC 与点O ，首先根据菱形的性质可知AC ⊥BD ，解三角形求出BO 的长，利用勾股定理求出AO 的长，即可求出AC 的长．
【解答】解：连接BD ，交AC 与点O ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，
在Rt △AOB 中，
∵AB=15，sin ∠BAC=，
∴sin∠BAC==，
∴BO=9，
∴AB2=OB2+AO2，
∴AO===12，
∴AC=2AO=24，
故答案为24．
15．已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为（1，3），则另一个交点坐标是（﹣1，﹣3）．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，
∴该点的坐标为（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
16．如图，先锋村准备在坡角为α=30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，
那么这两树在坡面上的距离AB为米．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离AB．
【解答】解：由于相邻两树之间的水平距离为5米，坡角为α=30°，
则两树在坡面上的距离AB==（米）．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，
将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（k≠0）上，则k的值为﹣．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化-对称；翻折变换（折叠问题）．
【分析】先过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，构造矩形CDOE，再根据折叠的性质求得AC=2，∠ACD=30°，根据直角三角形的性质以及勾股定理，求得AD与CD的长，得出点C 的坐标，最后计算反比例函数解析式即可．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，则CE=DO，CD=EO，
∵A（﹣2，0），
∴AO=2，
由折叠得，AC=AO=2，∠CAO=2∠BAO=60°，
∴Rt△ACD中，∠ACD=30°，
∴AD=AC=1，CD==，
∴DO=AO﹣AD=2﹣1=1，OE=，
又∵点C在第二象限，
∴C（﹣1，），
∵点C在双曲线y=（k≠0）上，
∴k=﹣1×=﹣，
故答案为：﹣
三、解答题：
18．计算：
（1）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°
（2）2cos30°﹣|1﹣tan60°|+tan45°•sin45°．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先分别根据绝对值的性质、特殊角三角函数值、分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：（1）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°=6×（）2﹣×﹣2×=
﹣；
（2）2cos30°﹣|1﹣tan60°|+tan45°•sin45°=2×﹣+1+1×=1+．
19．如图，已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A（1，4）和点B（n，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，从而确定反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出a，b的值，从而确定一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象即可得出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象过点A（1，4），
∴4=，即m=4，
∴反比例函数的解析式为：y=．
∵反比例函数y=的图象过点B（n，﹣2），
∴﹣2=，
解得：n=﹣2
∴B（﹣2，﹣2）．
∵一次函数y=ax+b（k≠0）的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），
∴，
解得．
∴一次函数的解析式为：y=2x+2；
（2）由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值．
20．为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．
（1）求车架档AD的长；
（2）求车座点E到车架档AB的距离．
（结果精确到 1cm．参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75≈3.7321）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）在RT△ACD中利用勾股定理求AD即可．
（2）过点E作EF⊥AB，在RT△EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案．【解答】解：（1）∵在RT△ACD中，AC=45cm，DC=60cm，
∴AD==75，
∴车架档AD的长为75cm，
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
∵AE=AC+CE=45+20（cm）
∴EF=AEsin75°=（45+20）sin75°≈62.7835≈63cm，
∴车座点E到车架档AB的距离是63cm．
21．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x ≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
【考点】反比例函数的应用；一次函数的应用．
【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；（2）利用y=4分别得出x的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，
将（4，8）代入得：8=4k，
解得：k=2，
故直线解析式为：y=2x，
当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=，
将（4，8）代入得：8=，
解得：a=32，
故反比例函数解析式为：y=；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），
下降阶段的函数关系式为y=（4≤x≤10）．
（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，
当y=4，则4=，解得：x=8，
∵8﹣2=6（小时），
∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．
22．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=k 2x+b 的图象交于点A （1，8）、B （﹣4，m ）．
（1）求k 1、k 2、b 的值；
（2）求△AOB 的面积；
（3）若M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y=图象上的两点，且x 1＜x 2，y 1＜y 2，指出点M 、N 各位于哪个象限，并简要说明理由．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）先把A 点坐标代入y=可求得k 1=8，则可得到反比例函数解析式，再把B （﹣4，m ）代入反比例函数求得m ，得到B 点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式即可求得结果；
（2）由（1）知一次函数y=k 2x+b 的图象与y 轴的交点坐标为（0，6），可求S △AOB =×6×
2+×6×1=15；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结果．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=与一次函数y=k 2x+b 的图象交于点A （1，8）、B （﹣4，m ），
∴k 1=8，B （﹣4，﹣2），
解，解得；
（2）由（1）知一次函数y=k 2x+b 的图象与y 轴的交点坐标为C （0，6），
∴S △AOB =S △COB +S △AOC =×6×4+×6×1=15；
（3）∵比例函数y=的图象位于一、三象限，
∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，
∵x 1＜x 2，y 1＜y 2，
∴M ，N 在不同的象限，
∴M （x 1，y 1）在第三象限，N （x 2，y 2）在第一象限．
23．如图，某仓储中心有一斜坡AB ，其坡度为i=1：2，顶部A 处的高AC 为4m ，B 、C 在同一水平地面上．
（1）求斜坡AB的水平宽度BC；
（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，
当BF=3.5m时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】（1）根据坡度定义直接解答即可；
（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．证出∠GDH=∠SBH，根据=，得到GH=1m，利用勾股定理求出DH的长，然后求出BH=5m，进而求出HS，然后得到DS．
【解答】解：（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，
∴BC=4×2=8m．
（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．
∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，
∴∠GDH=∠SBH，
∴=，
∵DG=EF=2m，
∴GH=1m，
∴DH==m，BH=BF+FH=3.5+（2.5﹣1）=5m，
设HS=xm，则BS=2xm，
∴x2+（2x）2=52，
∴x=m，
∴DS=+=2m≈4.5m．
24．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；轴对称-最短路线问题．
【分析】（1）由点A在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A的坐标，再由点A 的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，连接PB．由点B、D的对称性结合点B的坐标找出点D的坐标，设直线AD的解析式为y=mx+n，结合点A、D的坐标利用待定系数法求出直线AD的解析式，令直线AD的解析式中y=0求出点P的坐标，再通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，
得：a=﹣1+4，解得：a=3，
∴点A的坐标为（1，3）．
把点A（1，3）代入反比例函数y=，
得：3=k，
∴反比例函数的表达式y=，
联立两个函数关系式成方程组得：，
解得：，或，
∴点B的坐标为（3，1）．
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB
的值最小，连接PB，如图所示．
∵点B 、D 关于x 轴对称，点B 的坐标为（3，1）， ∴点D 的坐标为（3，﹣1）．
设直线AD 的解析式为y=mx+n ，
把A ，D 两点代入得：，
解得：，
∴直线AD 的解析式为y=﹣2x+5．
令y=﹣2x+5中y=0，则﹣2x+5=0，
解得：x=，
∴点P 的坐标为（，0）．
S △PAB =S △ABD ﹣S △PBD =BD•（x B ﹣x A ）﹣BD•（x B ﹣x P ）=×[1﹣（﹣1）]×（3﹣1）﹣×
[1﹣（﹣1）]×（3﹣）=．
2016年10月6日。