【名师导学】高三数学(理)一轮总复习(新课标 课件+考点集训)：5章第35讲
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2（1－2n） n（1＋2n－1） 【解析】Sn＝ ＋ ＝2n＋1 2 1－2 －2＋n2.
2.数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4 － ＋…＋(－1)n 1·n，则S17＝( A ) A.9 B.8 C.17 D.16 【解析】S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16 ＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14 ＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.
(4)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比 数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即 可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法 推导的． (5)分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数 列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分 别求和而后相加减． (6)并项求和法 一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称为 并项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求 解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100 ＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
2n－1 的前n项和为Tn，则Tn＝ 5.记数列n3
（3＋n）· 2n 9－ － 3n 1 .
22 2n－1 2 【解析】Tn＝1＋2× ＋3×3 ＋…＋n3 ， 3 22 2n－1 2n 2 2 Tn＝ ＋2×3 ＋…＋(n－1)3 ＋n3 ， 3 3 2 n－1 1 2 2 2 两式相减得， Tn＝1＋ ＋ 3 ＋…＋ 3 － 3 3 2n 2n 2n n3 ＝31－3 －n3 ， 2n 2n （3＋n）· 2n 故Tn＝91－3 －3n3 ＝9－ . n－ 1 3
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝ 1 15，则数列a a 的前100项和为( A ) n n＋ 1 100 99 99 101 A. B. C. D. 101 101 100 100
【解析】
1 1 1 1 ∴ a a 的前100项和T100＝ 1－2 ＋ 2－3 ＋… n n＋ 1 1 1 1 100 ＋ 100－101 ＝1－ ＝ .故选A. 101 101
一、裂项相消法求和 例1 已知数列 an 中，a1＝a，a2＝t(常数t>0)，Sn nan－a1 是其前n项和，且Sn＝ . 2 (1)试确定数列 an 是否为等差数列，若是，求出 其通项公式；若不是，说明理由； Sn＋2 Sn＋1 (2)令bn＝ ＋ ，证明：2n<b1＋b2＋…＋ Sn＋1 Sn＋2 * . n ∈ N bn<2n＋3
4.数列{an}满足对任意的n∈N＋，均有an＋an＋1＋ an＋2为定值.若a7＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前 100项的和S100＝( B ) A.132 B.299 C.68 D.99
【解析】对任意的n∈N＋，均有an＋an＋1＋an＋2为 定值， ∴(an＋1＋an＋2＋an＋3)－(an＋an＋1＋an＋2)＝0，故an ＋3＝an， ∴ an 是以3为周期的数列，故a1＝a7＝2，a2＝a98 ＝4，a3＝a9＝3， ∴S100＝(a1＋a2＋a3)＋…＋(a97＋a98＋a99)＋a100 ＝33(2＋4＋3)＋a1＝299.故选B.
第35讲特殊数列求和【学习目标】 1．熟练掌握等差、等比数列前 n 项和公式． 2．熟练掌握非等差、等比数列求和的几种方法，如 错位相减、裂项相消以及分组求和等．
【基础检测】 1.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数 列{an}的前n项和为( C ) A.2n＋n2－1 B.2n＋1＋n2－1 C.2n＋1＋n2－2 D.2n＋n－2
(2)裂项相消求和法 数列{an}满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相 邻的项正负抵消从而求得其和． (3)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离” 的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的 前 n 项的和即可用倒序相加法，如等差数列前 n 项的和 公式就是用此法推导的．
n（an－a1） 【解析】(1)令 Sn＝ 中 n＝1，即得 2 n（an－a1） nan a1＝0，Sn＝ ＝ ，即有 2Sn＝nan， 2 2 又有 2Sn－1＝(n－1)an－1(n≥2)两式相减得： 2an＝nan－(n－1)an－1(n≥2)， 即(n－2)an＝(n－1)an－1(n≥2)， 于是 (n － 3)an － 1 ＝ (n － 2)an － 2 ， (n － 4)an － 2 ＝ (n － 3)an－3，…，a3＝2a2(n≥3)， 以上 n － 2 个等式相乘得： an ＝ (n － 1)a2 ＝ (n － 1)t(n≥3)， 经验证 a1，a2 也适合此式，所以数列{an}是等差 数列，其通项公式为 an＝(n－1)t.
【知识要点】 求数列前 n 项和的基本方法 (1)公式法 数列{an}为等差或等比数列时直接运用其前 n 项和 公式求和． （a1＋an）n 若{an}为等差数列，则 Sn＝ ＝ 2 n（n－1） na1＋ d ____________________ ． 2 若{an}为等比数列，其公比为 q， na1 则当 q＝1 时，Sn＝_________({ an}为常数列)； a1－anq a1（1－qn） 1－q 1－q 当 q≠1 时， Sn＝______________ ＝_____________ ．
2.数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4 － ＋…＋(－1)n 1·n，则S17＝( A ) A.9 B.8 C.17 D.16 【解析】S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16 ＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14 ＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.
(4)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比 数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即 可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法 推导的． (5)分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数 列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分 别求和而后相加减． (6)并项求和法 一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称为 并项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求 解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100 ＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
2n－1 的前n项和为Tn，则Tn＝ 5.记数列n3
（3＋n）· 2n 9－ － 3n 1 .
22 2n－1 2 【解析】Tn＝1＋2× ＋3×3 ＋…＋n3 ， 3 22 2n－1 2n 2 2 Tn＝ ＋2×3 ＋…＋(n－1)3 ＋n3 ， 3 3 2 n－1 1 2 2 2 两式相减得， Tn＝1＋ ＋ 3 ＋…＋ 3 － 3 3 2n 2n 2n n3 ＝31－3 －n3 ， 2n 2n （3＋n）· 2n 故Tn＝91－3 －3n3 ＝9－ . n－ 1 3
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝ 1 15，则数列a a 的前100项和为( A ) n n＋ 1 100 99 99 101 A. B. C. D. 101 101 100 100
【解析】
1 1 1 1 ∴ a a 的前100项和T100＝ 1－2 ＋ 2－3 ＋… n n＋ 1 1 1 1 100 ＋ 100－101 ＝1－ ＝ .故选A. 101 101
一、裂项相消法求和 例1 已知数列 an 中，a1＝a，a2＝t(常数t>0)，Sn nan－a1 是其前n项和，且Sn＝ . 2 (1)试确定数列 an 是否为等差数列，若是，求出 其通项公式；若不是，说明理由； Sn＋2 Sn＋1 (2)令bn＝ ＋ ，证明：2n<b1＋b2＋…＋ Sn＋1 Sn＋2 * . n ∈ N bn<2n＋3
4.数列{an}满足对任意的n∈N＋，均有an＋an＋1＋ an＋2为定值.若a7＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前 100项的和S100＝( B ) A.132 B.299 C.68 D.99
【解析】对任意的n∈N＋，均有an＋an＋1＋an＋2为 定值， ∴(an＋1＋an＋2＋an＋3)－(an＋an＋1＋an＋2)＝0，故an ＋3＝an， ∴ an 是以3为周期的数列，故a1＝a7＝2，a2＝a98 ＝4，a3＝a9＝3， ∴S100＝(a1＋a2＋a3)＋…＋(a97＋a98＋a99)＋a100 ＝33(2＋4＋3)＋a1＝299.故选B.
第35讲特殊数列求和【学习目标】 1．熟练掌握等差、等比数列前 n 项和公式． 2．熟练掌握非等差、等比数列求和的几种方法，如 错位相减、裂项相消以及分组求和等．
【基础检测】 1.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数 列{an}的前n项和为( C ) A.2n＋n2－1 B.2n＋1＋n2－1 C.2n＋1＋n2－2 D.2n＋n－2
(2)裂项相消求和法 数列{an}满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相 邻的项正负抵消从而求得其和． (3)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离” 的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的 前 n 项的和即可用倒序相加法，如等差数列前 n 项的和 公式就是用此法推导的．
n（an－a1） 【解析】(1)令 Sn＝ 中 n＝1，即得 2 n（an－a1） nan a1＝0，Sn＝ ＝ ，即有 2Sn＝nan， 2 2 又有 2Sn－1＝(n－1)an－1(n≥2)两式相减得： 2an＝nan－(n－1)an－1(n≥2)， 即(n－2)an＝(n－1)an－1(n≥2)， 于是 (n － 3)an － 1 ＝ (n － 2)an － 2 ， (n － 4)an － 2 ＝ (n － 3)an－3，…，a3＝2a2(n≥3)， 以上 n － 2 个等式相乘得： an ＝ (n － 1)a2 ＝ (n － 1)t(n≥3)， 经验证 a1，a2 也适合此式，所以数列{an}是等差 数列，其通项公式为 an＝(n－1)t.
【知识要点】 求数列前 n 项和的基本方法 (1)公式法 数列{an}为等差或等比数列时直接运用其前 n 项和 公式求和． （a1＋an）n 若{an}为等差数列，则 Sn＝ ＝ 2 n（n－1） na1＋ d ____________________ ． 2 若{an}为等比数列，其公比为 q， na1 则当 q＝1 时，Sn＝_________({ an}为常数列)； a1－anq a1（1－qn） 1－q 1－q 当 q≠1 时， Sn＝______________ ＝_____________ ．