高三导数压轴题题型归纳

导数压轴题题型
1. 高考命题回顾
例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）
(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.
(1)解 f (x )＝e x
－ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x
－1x ＋m ?f ′(0)＝e 0
－10＋m
＝0?m ＝1，
定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x
－1x ＋m ＝e x ?x ＋1?－1
x ＋1
，
显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
(2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x
－
1
x ＋2
(x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝e x －
1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1?x ＋2?2
>0， 所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根， 又g ′(－12)＝1e －13
2
<0，g ′(0)＝1－1
2>0，
所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，0内，
设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －
1t ＋2＝0⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12<t <0，
所以，e t
＝1
t ＋2
?t ＋2＝e －t ，
当x ∈(－2，t )时，g ′(x )<g ′(t )＝0，g (x )单调递减； 当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )>g ′(t )＝0，g (x )单调递增； 所以g (x )min ＝g (t )＝e t
－ln(t ＋2)＝1t ＋2＋t ＝?1＋t ?2
t ＋2
>0，
当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，
所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足2
12
1)0()1(')(x x f e f x f x +
-=-（2012全国新课标） (1)求)(x f 的解析式及单调区间；
(2)若b ax x x f ++≥
2
2
1)(，求b a )1(+的最大值。

（1）1211
()(1)(0)()(1)(0)2
x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+
令1x =得：(0)1f =
得：21
()()()12
x x f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+
()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增
得：()f x 的解析式为21
()2
x f x e x x =-+
且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞
（2）2
1()()(1)02
x f x x ax b h x e a x b ≥
++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增
x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾
②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+
得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥
令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-
当x =max ()2
e F x =
当1,a b ==时，(1)a b +的最大值为
2
e 例3已知函数ln ()1a x b
f x x x
=
++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（2011全国新课标） （Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k
f x x x
>
+-，求k 的取值范围。

解（Ⅰ）22
1
(
ln )
'()(1)x x b x f x x x
α+-=
-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-， 且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,
1,22
b a b =⎧⎪
⎨-=-⎪⎩
解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1
f ()1x x x x
=
++，所以
22ln 1(1)(1)
()()(2ln )11x k k x f x x x x x x
---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)
k x x
--(0)x >，则22
(1)(1)2'()k x x h x x -++=。

(i)设0k ≤，由22
2
(1)(1)
'()k x x h x x
+--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递减。

而(1)0h =
故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得
2
1
()01h x x
>-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得
2
11
x
- h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（
1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x
k
. （ii ）设0<k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下，且
244(1)0k ∆=-->，对称轴x=
1
11k >-.
当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'
h (x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得2
11
x -h （x ）<0,与题设矛盾。

（iii ）设k ≥1.此时212x x +≥，2(1)(1)20k x x -++>⇒'
h （x ）>0,而h （1）=0，故
当x ∈ （1，+∞）时，h （x ）>0，可得
2
11
x
- h （x ）<0,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为（-∞，0]
例4已知函数f(x)＝(x 3+3x 2+ax+b)e －x
. （2009宁夏、海南）
(1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.
解: (1)当a ＝b ＝－3时,f(x)＝(x 3+3x 2－3x －3)e －x ,故
f′(x)＝－(x 3+3x 2－3x －3)e －x +(3x 2+6x －3)e －x
＝－e －x (x 3－9x)＝－x(x －3)(x+3)e －x .
当x ＜－3或0＜x ＜3时,f′(x)＞0;当－3＜x ＜0或x ＞3时,f′(x)＜0. 从而f(x)在(－∞,－3),(0,3)单调增加,在(－3,0),(3,+∞)单调减少. (2)f′(x)＝－(x 3+3x 2+ax+b)e －x +(3x 2+6x+a)e －x ＝－e －x ［x 3+(a －6)x+b －a ］. 由条件得f′(2)＝0,即23
+2(a －6)+b －a ＝0,故b ＝4－a.
从而f′(x)＝－e －x ［x 3+(a －6)x+4－2a ］.因为f′(α)＝f′(β)＝0,
所以x 3+(a －6)x+4－2a ＝(x －2)(x －α)(x－β)＝(x －2)［x 2－(α+β)x+αβ］. 将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a －2. 故a 4124)(2-=-+=-αβαβαβ.又(β－2)(α－2)＜0，
即αβ－2(α+β)+4＜0.由此可得a ＜－6. 于是β－α＞6. 2. 在解题中常用的有关结论※
3. 题型归纳
①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用
（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换）
例1（切线）设函数
a x x f -=2
)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；
（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点
)0,(2x A 求证：a x x >>21.
例2（最值问题，两边分求）已知函数1()ln 1a
f x x ax x
-=-+
-()a ∈R . ⑴当1
2a ≤时，讨论()f x 的单调性；
⑵设2()2 4.g x x bx =-+当1
4
a =
时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.
②交点与根的分布
例3（切线交点）已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为
20y +=．
⑴求函数()f x 的解析式；
⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值；
⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．
例4（综合应用）已知函数
.23)32ln()(2x x x f -
+=
⑴求f (x )在[0,1]上的极值；
⑵若对任意0
]3)(ln[|ln |],31
,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围；
⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.
③不等式证明
例5 (变形构造法)已知函数
1)(+=
x a
x ϕ，a 为正常数．
⑴若)(ln )(x x x f ϕ+=，且a
29
=
，求函数)(x f 的单调增区间；
⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ，()22,y x B ，线段AB
的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '>．
⑶若)(ln )(x x x g ϕ+=，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有1
)
()(1212-<--x x x g x g ，求a
的取值范围．
例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2
>=a ax x x f .
（1）若2
)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）当1=a 时，设函数
x x f x g )()(=
，若1),1,1
(,2121<+∈x x e x x ，求证4
2121)(x x x x +<
例7（绝对值处理）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得
极大值．
（I ）求实数a 的取值范围；
（II ）若方程9
)32()(2
+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；
（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．
例8（等价变形）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．
（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，
求实数b 的取值范围；
（Ⅲ）当20e y x <<<且e x ≠时，试比较x
y x y ln 1ln 1--与的大小．
例9（前后问联系法证明不等式）已知
217
()ln ,()(0)22f x x g x x mx m ==
++<，直线l 与函数
(),()f x g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。

（I ）求直线l 的方程及m 的值；
（II ）若()(1)'()()h x f x g x =+-其中g'(x)是g(x)的导函数，求函数()h x 的最大值。

（III ）当0b a <<时，求证：
()(2).2b a
f a b f a a -+-<
例10 (整体把握，贯穿全题)已知函数ln ()1x
f x x
=
-． （1）试判断函数()f x 的单调性；
（2）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上的最大值；
（3）试证明：对任意*n ∈N ，不等式11ln(
)e n n
n n
++<
都成立（其中e 是自然对数的底数）． （Ⅲ）证明：2
121111
n n a a a n ++⋅⋅⋅+>+．
例11（数学归纳法）已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值.
（１）求实数m 的值；
（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，
则存在0(,)x a b ∈，使得0()()
()f b f a f x b a
-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<，
函数121112
()()
()()()f x f x g x x x f x x x -=
-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；
（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对
任意大于1-，且互不相等的实数12,,,n x x x L ，都有
1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .
④恒成立、存在性问题求参数范围
例12（分离变量）已知函数
x a x x f ln )(2
+=(a 为实常数). (1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在(1,+∞)上是增函数；
(2)求函数)(x f 在[1,e ]上的最小值及相应的x 值；
(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围.
例13（先猜后证技巧）已知函数x
x n x f )
1(11)(++=
（Ⅰ）求函数f (x )的定义域
（Ⅱ）确定函数f (x )在定义域上的单调性，并证明你的结论. （Ⅲ）若x >0时1
)(+>
x k
x f 恒成立，求正整数k 的最大值. 例14（创新题型）设函数f(x)=e x +sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).
(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a 的值；
(Ⅱ)当 a=1时,设P(x 1,f(x 1)), Q(x 2, g(x 2))(x 1>0,x 2>0), 且PQ//x 轴,求P 、Q 两点间的最短距离；
(Ⅲ)若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a 的取值范围．
例15(图像分析，综合应用) 已知函数
)1,0(12)(2
<≠++-=b a b ax ax x g ，在区间[]3,2上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x =
．
（Ⅰ）求b a ,的值；
（Ⅱ）不等式
02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 上恒成立，求实数k 的范围； （Ⅲ）方程0)3|12|2
(
|)12(|=--+-x
x k f 有三个不同的实数解，求实数k 的范围．
⑤导数与数列
例16（创新型问题）设函数2()()()x f x x a x b e =-+，a b R ∈、，x a =是()f x 的一个极大值点．
⑴若0a =，求b 的取值范围；
⑵当a 是给定的实常数，设123x x x ，，是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到
4x R ∈，使得1234x x x x ，，，的某种排列1234,,,i i i i x x x x （其中{}1234i i i i ，，，={}1234，，，）依次成等差数列?若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．
⑥导数与曲线新题型
例17（形数转换）已知函数()ln f x x =, 21
()2
g x ax bx =+(0)a ≠.
(1)若2a =-, 函数()()()h x f x g x =- 在其定义域是增函数,求b 的取值范围;
(2)在(1)的结论下,设函数ϕϕ2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x)的最小值;
(3)设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q,过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ,问是否存在点R,使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行?若存在,求出R 的横坐标;若不存在,请说明理由. 例18（全综合应用）已知函数()1ln
(02)2x
f x x x
=+<<-. (1)是否存在点(,)M a b ,使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由;
(2)定义21
1
1221
()()()(
)n n i i n S f f f f n n n n -=-==++⋅⋅⋅+∑,其中*n ∈N ,求2013S ;
(3)在(2)的条件下,令12n n S a +=,若不等式2()1n a m n a ⋅>对*n ∀∈N 且2n ≥恒成立,求实数m 的取值范围. ⑦导数与三角函数综合
例19（换元替代，消除三角）设函数2
()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；
（Ⅲ）当3a >， []10k ∈-，时，若不等式
22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立,求k 的值。

⑧创新问题积累 例20已知函数2()ln
44
x x
f x x -=+-. I 、求()f x 的极值.
II 、求证()f x 的图象是中心对称图形.
III 、设()f x 的定义域为D ,是否存在[],a b D ⊆.当[],x a b ∈时，()f x 的取值范围是
,44a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
?若存在,求实数a 、b 的值；若不存在，说明理由 导数压轴题题型归纳 参考答案
例1解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2
=-='x x g ，解得
33
±
=x .
)(x g '的变化情况如下表：
所以当
33=
x 时，)(x g 有最小值93
2)33(-
=g .
(2)证明：曲线)(x f y =在点
)2,(2
11a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为
)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得
12122x a x x +=，∴1
2
1
11211222x x a x x a x x x -=
-+=-
∵a x >1，∴0
212
1
<-x x a ，即12x x <.
又∵1122x a
x ≠
，∴
a x a x x a x x a x x =⋅>+=+=11111212222222
所以a x x >>21.
例2⑴1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->，222l 11
()(0)a ax x a f x a x x x x
--++-'=-+=>
令2()1(0)h x ax x a x =-+->
①当0a =时，()1(0)h x x x =-+>，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当
(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.
②当0a ≠时，由()0f x '=，即210ax x a -+-=，解得121
1,1x x a
==
-. 当1
2
a =
时12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 单调递减； 当102a <<
时，1
110a
->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减； 1
(1,1)x a
∈-时，()0,()0h x f x '<>，函数()f x 单调递增；
1
(1,)x a
∈-+∞时，()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减.
当0a <时1
10a
-<，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；
当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.
综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增；
当1
2
a =
时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减； 当102a <<
时,函数()f x 在(0,1)递减,1(1,1)a -递增,1
(1,)a
-+∞递减. ⑵当1
4
a =
时，()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈， 有11
()(1)2
f x f =-≥，
又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以
21
()2
g x -≥，[]21,2x ∈，（※）
又22()()4,[1,2]g x x b b x =-+-∈
当1b <时，min ()(1)520g x g b ==->与（※）矛盾；
当[]1,2b ∈时，2
min ()(1)40g x g b ==-≥也与（※）矛盾；
当2b >时，min 117
()(2)84,28g x g b b ==-≤-≥.
综上，实数b 的取值范围是17
[,)8
+∞.
例3解：⑴()2323f x ax bx '=+-．
根据题意，得()()12,10,
f f =-⎧⎪⎨'=⎪⎩即32,
3230,a b a b +-=-⎧⎨+-=⎩解得10a b =⎧⎨=⎩ 所以()33f x x x =-．
⑵令()0f x '=，即2330x -=．得1x =±．
因为()12f -=，()12f =-，所以当[]2,2x ∈-时，()max 2f x =，()min 2f x =-． 则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ，都有
()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-=，所以4c ≥．所以c 的最小值为4．
⑶因为点()()2,2M m m ≠不在曲线()y f x =上，所以可设切点为()00,x y ．
则30003y x x =-．因为()20033f x x '=-，所以切线的斜率为2
33x -． 则20
33x -=300032
x x m x ---，即32
02660x x m -++=． 因为过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，
所以方程320
02660x x m -++=有三个不同的实数解． 所以函数()32266g x x x m =-++有三个不同的零点． 则()2612g x x x '=-．令()0g x '=，则0x =或2x =．
则
()()00
22
g g >⎧⎪⎨<⎪⎩ ，即6020
m m +>⎧⎨
-+<⎩，解得62m -<<．
例4解：⑴2
3)
13)(1(33323)(+-+-=-+=
'x x x x x x f ， 令13
1
0)(-==='x x x f 或得（舍去）
)(,0)(,310x f x f x >'<≤∴时当单调递增；当)(,0)(,131
x f x f x <'≤<时递减.
]1,0[)(6
1
3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值.
⑵由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得x x a x x a 323
ln ln 323ln
ln ++<+->或
设3
32ln
323ln ln )(2
x x x x x h +=+-=，x x x x x g 323ln 323ln ln )(+=++=， 依题意知]31
,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，
0)32(2
)
32(33)32(3332)(2
>+=+⋅-+⋅+=
'x x x x x x x x g Θ， 03262)62(31323)(2
2>++=+⋅+=
'x x x
x x x x h ，
]3
1
,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立，
当且仅当.51
ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或
⑶由.022
3)32ln(2)(2
=-+-
+⇒+-=b x x x b x x f 令x
x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2
2+-=
+-+='-+-+=ϕϕ则， 当]3
7
,0[)(,0)(,]37,
0[在于是时x x x ϕϕ>'∈上递增；
]1,3
7[)(,0)(,]1,37[
在于是时x x x ϕϕ<'∈上递减，
而)1()3
7
(),0()37(
ϕϕϕϕ>>， ]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ恰有两个不同实根等价于
例5解：⑴2
22)1(1
)2()1(1)(++-+=+-='x x x a x x a x x f
∵a 2
9=
，令0)(>'x f 得2>x 或210<<x ,∴函数)(x f 的单调增区间为),2(),21
,0(+∞.
⑵证明：当0=a 时x x f ln )(=
∴x x f 1
)(=', ∴2
10021)(x x x x f +==',又1
212
12121212ln ln ln )()(x x x x x x x x x x x f x f k -=
--=--= 不妨设12x x > ， 要比较k 与)(0x f '的大小，即比较1
212
ln
x x x x -与212
x x +的大小， 又∵12x x >，∴ 即比较12ln
x x 与1)1(
2)(21
2
1
2
2
112+-=+-x x x x x x x x 的大小． 令)1(1
)
1(2ln )(≥+--=x x x x x h ,则0)1()1()1(41)(2
22≥+-=+-='x x x x x x h , ∴)(x h 在[)+∞,1上位增函数．
又112>x x ，∴0)1()(12=>h x x h ， ∴1)1(
2ln 1
2
1
2
1
2
+->x x x x x x ，即)(0x f k '> ⑶∵
1)()(1212-<--x x x g x g ，∴ []0)()(1
21122<-+-+x x x x g x x g
由题意得x x g x F +=)()(在区间(]2,0上是减函数．
︒1 当x x a x x F x +++
=≤≤1
ln )(,21， ∴ 1)1(1)(2++-
='x a x x F 由31
3)1()1(0)(222+++=+++≥⇒≤'x
x x x x x a x F 在[]2,1∈x 恒成立．
设=)(x m 3132+++x x x ，[]2,1∈x ，则031
2)(2
>+-='x x x m ∴)(x m 在[]2,1上为增函数，∴2
27
)2(=
≥m a . ︒2 当x x a x x F x +++
-=<<1
ln )(,10，∴ 1)1(1)(2++--='x a x x F 由11
)1()1(0)(222--+=+++-≥⇒≤'x
x x x x x a x F 在)1,0(∈x 恒成立
设=)(x t 112--+x
x x ，)1,0(∈x 为增函数,∴0)1(=≥t a
综上：a 的取值范围为2
27
≥
a . 例6解：（1）x ax x x f +=)ln(2)(',2)ln(2)('x x ax x x f ≤+=，
即x ax ≤+1ln 2在0>x 上恒成立 设x ax x u -+=1ln 2)(,2,012
)('==-=
x x
x u ，2>x 时，单调减，2<x 单调增， 所以2=x 时，)(x u 有最大值.212ln 2,0)2(≤+≤a u ，所以2
0e a ≤<. （2）当1=a 时，x x x
x f x g ln )
()(==
, e x x x g 1,0ln 1)(=
=+=,所以在),1(+∞e 上)(x g 是增函数，)1
,0(e
上是减函数.
因为11211<+<<x x x e
，所以111212121ln )()ln()()(x x x g x x x x x x g =>++=+
即)ln(ln 211211x x x x x x ++<
,
同理)ln(ln 212
2
12x x x x x x ++<. 所以)ln()2()ln()(
ln ln 211
2212112122121x x x x
x x x x x x x x x x x x +++=++++<+ 又因为,421
2
21≥++
x x x x 当且仅当“21x x =”时，取等号. 又1),1,1
(,2121<+∈x x e
x x ，0)ln(21<+x x ,
所以)ln(4)ln()2(21211
2
21x x x x x x x x +≤+++
,
所以)ln(4ln ln 2121x x x x +<+，
所以：42121)(x x x x +<.
例7（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f
由3
3
210)(+-
==⇒='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值， 所以313
3
2-<⇒>+-
a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ； （II ）由下表：
依题意得：9
)32()32(27622
+-
=++a a a ，解得：9-=a 所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=
（III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα
在区间[-2，2]有： 230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f
函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81，
所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．
例8解：（Ⅰ）x
ax x
a x f 1
1)(-=
-='，当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞ 单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；
当0>a 时，()0f x '<得10x a <<
，()0f x '>得1x a
>， ∴)(x f 在(10,)a 上递减，在(1),a +∞上递增，即)(x f 在a x 1
=处有极小值．
∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，
当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点．
（Ⅱ）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ，∴b x
x
x bx x f ≥-+
⇔-≥ln 112)(， 令x
x
x x g ln 11)(-
+
=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)
+∞,2e 上递增，
∴2
2min 11)()(e e g x g -
==，即211b e
≤-
． （Ⅲ）证明：)
1ln()1ln()1ln()1ln(+>+⇔++>-y e x e y x e
y x y
x ， 令)
1ln()(+=x e x g x
，则只要证明)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，
又∵)
1(ln 11)1ln()(2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+-
+=
'x x x e x g x ， 显然函数1
1
)1ln()(+-
+=x x x h 在),1(+∞-e 上单调递增． ∴01
1)(>-
>e
x h ，即0)(>'x g ， ∴)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，即)
1ln()1ln(+>+y e x e y
x ，
∴当1->>e y x 时，有)
1ln()
1ln(++>
-y x e y x ．
例9 解：（I ）1
'(),'(1)1;Qf x f x
=∴=l ∴直线的斜率为1，
且与函数()f x 的图像的切点坐标为（1，0），l ∴直线的方程为 1.y x =-
又l Q 直线与函数()y g x =的图象相切，211722
y x y x mx =-⎧⎪
∴⎨=++⎪⎩方程组有一解。

由上述方程消去y ，并整理得22(1)90x m x +-+=①
依题意，方程②有两个相等的实数根，2[2(1)]490m ∴∆=--⨯=解之，
得m=4或m=-2，0, 2.Qm m <∴=-
（II ）由（I ）可知217()2,22
g x x x =
-+ '()2,()ln(1)2(1)
g x x h x x x x ∴=-∴=+-+>-，1'()1.11
x
h x x x -∴=-=++ ∴∈当x (-1,0)时,h'(x)>0,h(x)单调，当(0,)x ∈+∞时，'()0,()h x h x <单减。

∴当x=0时，()h x 取最大值，其最大值为2。

（III ）()(2)ln()ln 2ln
ln(1).22a b b a f a b f a a b a a a
+-+-=+-==+ 证明，当(1,0)x ∈-时，ln(1),ln(1).22b a b a x x a a
--+<∴+
< 例10解：（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞．由已知2
1ln ()x
f x x -'=
．令()0f x '=，得x e =． 因为当0x e <<时，()0f x '>；当x e >时，()0f x '<．
所以函数()f x 在(0,]e 上单调递增，在[,)e +∞上单调递减．
（2）由（1）可知当2m e ≤，即2
e m ≤
时，()f x 在[,2]m m 上单调递增，所以
max ln 2()(2)12m
f x f m m
==
-． 当m e ≥时，()f x 在[,2]m m 上单调递减，所以max ln ()1m
f x m
=
-．
当2m e m <<，即2e m e <<时，max 1
()()1f x f e e
==-．综上所述，max
ln 21,0221
()1,2ln 1,m
e m m e
f x m e
e m
m e m
⎧-<≤⎪⎪
⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩
（3）由（1）知当(0,)x ∈+∞时max 1
()()1f x f e e
==-．所以在(0,)x ∈+∞时恒有
ln 1()11x f x x e =
-≤-，即ln 1
x x e
≤，当且仅当x e =时等号成立．因此对任意(0,)x ∈+∞恒有1ln x e ≤．因为10n n +>，1n e n +≠，所以111ln
n n n e n ++<⋅，即11ln()e n n
n n ++<．因此对任意*n ∈N ，不等式11ln()e n n
n n
++<
． 例11解：（１）当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 在区间(1,0)-上单调递增；
当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减.
∴函数()f x 在0x =处取得极大值，故1m =-.
（２）令121112
()()
()()()()()()f x f x h x f x g x f x x x f x x x -=-=-
---，
则1212
()()
()()f x f x h x f x x x -''=-
-.Q 函数()f x 在12(,)x x x ∈上可导，∴存在012(,)x x x ∈，
使得12012
()()
()f x f x f x x x -'=
-.
1
()11
f x x '=
-+Q ，000011()()()11(1)(1)x x h x f x f x x x x x -'''∴=-=
-=++++ Q 当10(,)x x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，1()()0h x h x ∴>=；
Q 当02(,)x x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，2()()0h x h x ∴>=；
故对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >.
（３）用数学归纳法证明.
①当2n =时，121λλ+=Q ，且10λ>，20λ>，
112212(,)x x x x λλ∴+∈，∴由（Ⅱ）得()()f x g x >，即
121122112211112212
()()
()()()()()f x f x f x x x x x f x f x f x x x λλλλλλ-+>
+-+=+-，
∴当2n =时，结论成立.
②假设当(2)n k k =≥时结论成立，即当121k λλλ+++=L 时，
11221122()()()()k k k k f x x x f x f x f x λλλλλλ+++>+++L L . 当1n k =+时，设正数
121
,,,k λλλ+L 满足
1211k λλλ++++=L ，令
12k
m λλλ=+++L ，
1
2
12,,,k
k m
m
m
λλλμμμ=
=
=
L ， 则11k n m λ++=，且121k μμμ+++=L .
∴当1n k =+时，结论也成立.
综上由①②，对任意2n ≥，n N ∈，结论恒成立.
例12 解：⑴当2-=a 时，x x x f ln 2)(2
-=，当),1(+∞∈x ，0)1(2)(2>-='x
x x f ， 故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．
⑵)0(2)(2>+='x x
a
x x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+．
若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ．
若222-<<-a e ，当2a x -=
时,0)(='x f ；当2
1a
x -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f
是减函数；当
e x a
≤<-2
时，0)(>'x f ，此时)(x f 是增函数． 故=min )]([x f )2
(
a
f -2
)2ln(2a a a --=． 若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='x f ），故函数)(x f 在
],1[e 上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +．
⑶不等式x a x f )2()(+≤，可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．
∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ，
因而x
x x
x a ln 22--≥（],1[e x ∈）
令x
x x x x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，
当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，
从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数，
故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-． 例13 解：（1）定义域),0()0,1(+∞⋃-
（2）,0)]1ln(1
1
[1)(2时当>+++-=
'x x x x x f 0)(<'x f 单调递减。

当)0,1(-∈x ，令0
)1(11)1(1)()1ln(1
1
)(2
2<+=+++-
='+++=
x x
x x x g x x x g ，
0)1(11)1(1)()1ln(1
1
)(2
2<+=+++-
='+++=x x
x x x g x x x g
故)(x g 在（－1，0）上是减函数，即01)0()(>=>g x g ，
故此时)]1ln(1
1[1)(2
+++-
='x x x x f 在（－1，0）和（0，+∞）上都是减函数 （3）当x >0时，1
)(+>
x k
x f 恒成立，令]2ln 1[21+<=k x 有 又k 为正整数，∴k 的最大值不大于3 下面证明当k=3时，)0( 1
)(>+>
x x k
x f 恒成立 当x >0时 021)1ln()1(>-+++x x x 恒成立
令x x x x g 21)1ln()1()(-+++=，则时当1 ,1)1ln()(->-+='e x x x g
时当1 ,1)1ln()(->-+='e x x x g ，0)(>'x g ，当0)( ,10<'-<<x g e x 时 ∴当)( ,1x g e x 时-=取得最小值03)1(>-=-e e g
当x >0时， 021)1ln()1(>-+++x x x 恒成立，因此正整数k 的最大值为3
例14解：(Ⅰ)F (x )= e x +sinx －ax,'()cos x F x e x a =+-.
因为x =0是F (x )的极值点,所以'(0)110,2F a a =+-==.
又当a =2时,若x <0, '()cos 0x F x e x a =+-<;若 x >0, '()cos 0x F x e x a =+->.
∴x =0是F (x )的极小值点, ∴a=2符合题意.
(Ⅱ) ∵a =1, 且PQ //x 轴,由f (x 1)=g (x 2)得:121sin x x e x =+,所以12111sin x x x e x x -=+-.
令()sin ,'()cos 10x x h x e x x h x e x =+-=+->当x >0时恒成立.
∴x ∈[0,+∞)时,h (x )的最小值为h (0)=1.∴|PQ|mi n =1.
(Ⅲ)令()()()2sin 2.x x x F x F x e e x ax ϕ-=--=-+-
则'()2cos 2.x x x e e x a ϕ-=++-()''()2sin x x S x x e e x ϕ-==--.
因为'()2cos 0x x S x e e x -=+-≥当x ≥0时恒成立,
所以函数S (x )在[0,)+∞上单调递增,
∴S (x )≥S (0)=0当x ∈[0,+∞)时恒成立;
因此函数'()x ϕ在[0,)+∞上单调递增, '()'(0)42x a ϕϕ≥=-当x ∈[0,+∞)时恒成立.
当a ≤2时,'()0x ϕ≥,()x ϕ在[0,+∞)单调递增,即()(0)0x ϕϕ≥=.
故a ≤2时F (x )≥F(－x )恒成立.
例15 解:（Ⅰ）(1)2()(1)1g x a x b a =-++- 当0>a 时，[]()2,3g x 在上为增函数
故(3)296251
(2)544220g a a b a g a a b b =-++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨
=-++==⎩⎩⎩
当[]0()2,3a g x <时，在上为减函数
故(3)296221
(2)244253g a a b a g a a b b =-++==-⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨
=-++==⎩⎩⎩ 011==∴<b a b Θ即2()21g x x x =-+. ()1
2f x x x
=+
-.
（Ⅱ）方程(2)20x x f k -⋅≥化为12222x
x
x
k +
-≥⋅ 2111(
)222x x k +-≥，令t x =2
1，221k t t ≤-+ ∵]1,1[-∈x ∴]2,2
1
[∈t 记
12)(2+-=t t t ϕ∴min ()0t ϕ= ∴0k ≤
（Ⅲ）方程0)3|12|2(
|)12(|=--+-x x
k f 化为0)32(|
12|21|12|=+--++-k k x
x
0)21(|12|)32(|12|2=++-+--k k x x ，0|12|x ≠-
令t x =-|12|， 则方程化为0)21()32(2=+++-k t k t （0t ≠）
∵方程0)32(|
12|21|12|=+--++
-k k
x x
有三个不同的实数解，
∴由|12|-=x t 的图像知，0)21()32(2=+++-k t k t 有两个根1t 、2t ， 且21t 1t 0<<< 或 101<<t ，1t 2= 记)21()32()(2k t k t t +++-=ϕ
则⎩⎨⎧<-=>+=0k )1(0k 21)0(ϕϕ 或 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<+<=-=>+=12k
3200k )1(0
k 21)0(ϕϕ∴0k > 例16 解： （Ⅰ）0a =时，()()2x
f x x x b e =+，
()()()()()2
2232x x x f x x x b e x x b e e x x b x b '''⎡⎤⎡⎤∴=+++=+++⎣⎦⎣⎦
， 令()()2
32g x x b x b =+++，()()2
2
38180b b b ∆=+-=-+>Q ，
∴设12x x <是()0g x =的两个根，
（1）当10x =或20x =时，则0x =不是极值点，不合题意；
（2）当10x ≠且20x ≠时，由于0x =是()f x 的极大值点，故120x x .<< ()00g ∴<，即20b <，0b .∴<
(Ⅱ)解：()()x f x e x a '=-2
(3)2x a b x b ab a ⎡⎤+-++--⎣⎦，
令2()(3)2g x x a b x b ab a =+-++--，
22=(3)4(2)(1)80a b b ab a a b ∆-+---=+-+>则， 于是，假设12x x ，是()0g x =的两个实根，且12x x .<
由（Ⅰ）可知，必有12x a x <<，且12x a x 、、是()f x 的三个极值点，
则1
x =
2
x =
假设存在b 及4x 满足题意，
（1）当12x a x ，，等差时，即21x a a x -=-时，则422x x a =-或412x x a =-，
于是1223a x x a b =+=--，即3b a .=--
此时4223x x a a b =-=--+a a -=+
或4123x x a a b =-=--a a -=-
（2）当21x a a x -≠-时，则212()x a a x -=-或12()2()a x x a -=- ①若()122x a a x -=-，则2
2
4x a x +=
， 于是()()2
813323221+-+-
--=
+=b a b a x x a ，
即
()().33812
++-=+-+b a b a 两边平方得()()2
191170a b a b +-++-+=，
30a b ++<Q ，于是1a b +-=
b a =- 此时224x a x +=
=()().2
3
1343332++=--=++---+a b b a b a a ②若12()2()a x x a -=-，则2
1
4x a x +=
，
于是21
32a x x =+=
，
()33a b .=++两边平方得()()2
191170a b a b +-++-+=，
30a b ++>Q ，于是1a b +-=
b a =-
此时142(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++=
==--=+
综上所述，存在b 满足题意，
当b=－a －3时，4x a =±b a =--
时，4x a =，
b a =--
时，4x a =. 例17解:(1)依题意:.ln )(2bx x x x h -+=()h x Q 在(0,+∞)上是增函数,
1
()20h x x b x
'∴=
+-≥对x∈(0,+∞)恒成立,
(2)设].2,1[,,2∈+==t bt t y e t x 则函数化为
当t=1时,y m i n =b+1; 当t=2时,y mi n =4+2b
当)(,4x b ϕ时-≤的最小值为.24b +
(3)设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且则点M 、N 的横坐标为.2
2
1x x x +=C 1
在点M 处的切线斜率为.2
|12
12
121x x x k x x x +==
+= C 2在点N 处的切线斜率为.2
)
(|
212
221b x x a b ax k x x x ++=+=+=
假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行,则.21k k =
2
22112
112
1
x 2(
1)
x 2(x x )x ln .x x x x 1x --∴==++ 设,1,1)
1(2ln ,112>+-=
>=u u u u x x u 则 ① 这与①矛盾,假设不成立.故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行 例18 (1)假设存在点(,)M a b ,使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q
也在函数()y f x =的图像上,则函数()y f x =图像的对称中心为(,)M a b .
由()(2)2f x f a x b +-=,得21ln
1ln 2222x a x b x a x
-+++=--+, 即22222ln 0244x ax
b x ax a -+-+=-++-对(0,2)x ∀∈恒成立,所以220,440,b a -=⎧⎨
-=⎩解得1,1.a b =⎧⎨=⎩
所以存在点(1,1)M ,使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数
()y f x =的图像上.
(2)由(1)得()(2)2(02)f x f x x +-=<<.
令i x n =
,则()(2)2i i
f f n n
+-=(1,2,,21)i n =⋅⋅⋅-. 因为1221
()()(2)(2)n S f f f f n n n n
=++⋅⋅⋅+-+-①,
所以1221
(2)(2)()()n S f f f f n n n n
=-+-+⋅⋅⋅++②,
由①+②得22(21)n S n =-,所以*21()n S n n =-∈N . 所以20132201314025S =⨯-=. (3)由(2)得*21()n S n n =-∈N ,所以*1
()2
n n S a n n +=
=∈N . 因为当*n ∈N 且2n ≥时,2()121ln ln 2
n a m n m n n m
a n n ⋅>⇔⋅>⇔
>-
. 所以当*n ∈N 且2n ≥时,不等式
ln ln 2n m n >-恒成立min
ln ln 2n m n ⎛⎫
⇔>- ⎪
⎝⎭. 设()(0)ln x
g x x x
=
>,则2
ln 1()(ln )x g x x -'=.
当0x e <<时,()0g x '<,()g x 在(0,)e 上单调递减;
当x e >时,()0g x '>,()g x 在(,)e +∞上单调递增. 因为23ln 9ln8(2)(3)0ln 2
ln 3
ln 2ln 3
g g --=-=>⋅,所以(2)(3)g g >,
所以当*n ∈N 且2n ≥时,[]min 3
()(3)ln 3
g n g ==. 由[]min ()ln 2m g n >-
,得3ln 3ln 2m >-,解得3ln 2ln 3
m >-. 所以实数m 的取值范围是3ln 2
(,)ln 3
-
+∞. 例19 解：当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且
2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，
处的 切线方程是25(2)y x +=--，整理得580x y +-=．
（Ⅱ）解：2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-
22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．令()0f x '=，解得3
a
x =
或x a =． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．
（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：
因此，函数()f x 在3a
x =
处取得极小值3a f ⎛⎫
⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
；
函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =．
（2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：
因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；
函数()f x 在3a
x =
处取得极大值3a f ⎛⎫
⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
．
（Ⅲ）证明：由3a >，得
13
a
>，当[]10k ∈-，
时，cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤． 由（Ⅱ）知，()f x 在(]1-∞，
上是减函数，要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥，x ∈R 只要22cos cos ()k x k x x --∈R ≤，即22cos cos ()x x k k x --∈R ≤①
设2
211()cos cos cos 24g x x x x ⎛
⎫=-=-- ⎪⎝
⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2．
要使①式恒成立，必须22k k -≥，即2k ≥或1k -≤．
所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．
例20 (I)/(6)()4(2)(4)x x f x x x -=
-- ./(2)注意到2
04
x x ->-,得(,2)(4,)x ∈-∞⋃+∞，解
(6)
04(2)(4)
x x x x -=--得6x =或0x =.当x 变化时，/(),()f x f x 的变化情况如下表：
所以1(0)ln 2f =是()f x 的一个极大值,3
(6)ln 22f =+ 是()f x 的一个极大值../(4)
(II) 点()0,(0),(6,(6))f f 的中点是3
(3,)4
,所以()f x 的图象的对称中心只可能是
3
(3,)4
./(6) 设(,())P x f x 为()f x 的图象上一点,P 关于3
(3,)4
的对称点是
3(6,())2Q x f x --.463
(6)ln ()242
x x f x f x x ---=+=--Q .Q ∴也在()f x 的图象上, 因而
()f x 的图象是中心对称图形. /(8)
(III) 假设存在实数a 、b .Q [],a b D ⊆,2b ∴<或4a >.
若02b ≤<, 当[],x a b ∈时, 1()(0)ln
02f x f ≤=<,而04b ≥()4
b
f x ∴≠.故此时()f x 的取值范围是不可能是,44a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. /(10)
若46a <≤,当[],x a b ∈时, 33()(6)ln 222f x f ≥=+
>,而342a ≤()4
a
f x ∴≠.故
此时()f x 的取值范围是不可能是,44a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
./(12)
若06a b a b <<<<或,由()g x 的单调递增区间是()(),0,6,-∞+∞,知,a b 是
()4x f x =
的两个解.而2()ln 044
x x f x x --==-无解. 故此时()f x 的取值范围是不可能是,44a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. /
(14) 综上所述,假设错误,满足条件的实数a 、b 不存在.。