湖北省荆门龙泉中学2015届高考模拟数学(理)试题
数学理卷·2015届湖北省荆州市普通高等学校招生全国统一考试(5月模拟)(2015.05)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数 学（理 科）本试题卷共4页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设{010},{1,2,3,5,7,9}U U A B x N x A B ==∈≤≤=ð，则B 的非空真子集的个数为( ) A. 5B. 30C. 31D. 322. 已知12,l l 的方程分别为1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为零），2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为零），则12l l ⊥的充要条件是 ( ) A.12121A A B B =- B.12121A A B B =-且120B B ≠ C. 12120A A B B +=D. 120B B ≠时，12121A A B B =-，120B B =时， 120A A ≠ 3. 在去年足球甲联赛上，一队每场比赛平均失球数是1. 5， 全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队每场比赛平均失球数是2.1 ，全年失球个数的标准差为0.4，下列说法正确的是( )A. 平均来说一队比二队防守技术好B. 二队比一队技术水平更稳定C. 一队有时表现很差，有时表现很好D. 二队很少失球 4. 复数3)2i +等于( ) A. i -B. iC. －1D. 15. 已知2(,)XN μσ时，()0.6826P X μσμσ-<≤-=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=则()21322x dx --=⎰( )A. 0.043B. 0.0215C. 0.3413D. 0.47726. 用右边框图求数列1{}n n+的前100项和，矩形赋值框和菱形 判断框应分别填入( )A. 1,100?i S S i i +=+≥ B. 1,101?i S S i i +=+≥ C. ,100?1i S S i i =+≥- D. ,101?1i S S i i =+≥- 7. ,,,231x y z R x y z ∈++=且222114x y z ++= ，则32x y z ++=( )A.73B.7C. 1D.578. 设21()32ln 32f x x x x =-++，则下列区间中有零点的是 ( ) A. 1(0,)e B. 1(,1)eC. (1,2)D. (2,)e9. Rt ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c （其中c 为斜边），分别以,,a b c 边所在的直线为旋转轴，将ABC ∆旋转一周得到的几何体的体积分别是123,,V V V ，则( ) A. 123V V V +=B.123111V V V += C. 222123V V V += D.222123111V V V += 10. 如图，半径为2的O 与直线MN 切于点P ，射线PK 从PN 出发，绕P 点逆时针旋转到PM ，旋转过程中， PK 交O 于Q ，设(02)POQ x x π∠=≤≤， 弓形PmQ 的面积为()S f x =，那么()f x 的图象大致为 ( )二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．5555除以8的余数为______________．12．向曲线22x y x y +=+所围成的区域内任投一点，这点正好落在21y x =-与x 轴所围成区域内的概率为______________．13．n S 表示前n 个正整数倒序相乘的和，如1211,1221,S S =⨯=⨯+⨯D.24242424A.B.C.3132231S =⨯+⨯+⨯，则n S =______________．（将结果写成分解因式的形式） 14．已知对任意平面向量(,)AB x y =，把AB 绕其起点A 逆时针旋转θ角得到向量(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 逆时针旋转θ角得到P ，设(1,2),(2,2A B ，把点B 绕起点A 逆时针旋转6π得到点P ，P 的坐标为 ______，方程2xy =是以x 轴，y 轴为渐近线的双曲线，将该双曲线的每一点经过同样的方式旋转后可得到焦点在x 轴的双曲线，则得到的双曲线的标准方程为______． 选做题：（任选做一题） 15．如图，PA 是O 的切线，A 为切点，过PA 的中点M作割线交O 于,B C 两点，若2PC PB =，则ABCPBMS S ∆∆=16. 过M 点(1,2)-的直线l 的参数方程为31cos 432sin4x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(,)t R t ∈为参数以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系下的曲线C 的方程为2cos sin ,l ρθθ=与C 交于,A B 两点，则MA MB ⋅=__________．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题12分）ABC ∆中，cos cos a A b B =（1）判断ABC ∆的形状；（2）设(sin 1,cos )m A A =+,(sin 1,cos )n B B =+，求m n ⋅的范围．18．（本题12分）四棱维P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，过D作DE PC ⊥交PC 于E ，过E 作EF PB ⊥交PB 于F（1）求证：PB ⊥平面EFD （2）当PD DC 为何值时，二面角C PB D --的余弦值为3． 19．（本题12分）甲箱子里装有3个白球m 个黑球，乙箱子里装有m 个白球，2个黑球，在一次试验中，分别从这两个箱子里摸出一个球，若它们都是白球，则获奖 （1） 当获奖概率最大时，求m 的值；（2）在（1）的条件下，班长用上述摸奖方法决定参加游戏的人数，班长有4次摸奖机DA BCEF P PC M会（有放回摸取），当班长中奖时已试验次数ξ即为参加游戏人数，如4次均未中奖，ξ=，求ξ的分布列和Eξ．则020．（本题12分）下图中正方形的个数依次构成数列{}n a 的前3项（1） 如果这个数列中，1n a +是n a 的一次函数，求出{}n a 的一个递推公式； （2）在（1）的条件下，求{}n a 的通项公式； （3）设171n n n n a b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．21．（本题13分）从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰好为左焦点1F ，点A 是椭圆上的右顶点，12,B B 是椭圆的上、下顶点，已知11//,AB OP F A =（1）求椭圆的方程；（2）设(,0),(,0)M m N n 是两定点，实数,m n 满足什么条件时，1B M 与2B N 的交点T始终在椭圆上？22. （本题14分）设sin (),[0,]2x x f x x e π=∈ （1）求()f x 的单调区间； （2）证明()f x x ≤恒成立； （3）设12,[0,],,0,12x x p q p q π∈>+=，求证1212()()()f px qx pf x qf x +≥+2015年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数学（理科）参考答案一、选择题：1. B 必修Ⅰ，P12 －B 组－42. C 必修Ⅱ，P101 －B 组－43. A 必修Ⅲ，P81－44. B5. B 选修Ⅱ－3 P73 正态分布概念6. B 选修Ⅱ－3 P116－A 组－1（4）7. D 选修Ⅳ－5 P40 例38. B9. D 必修2 P30.310.D 选修Ⅱ－2 P65－9二、填空题：11.7 选修Ⅱ－3 P40－912.436π+ 必修Ⅱ P144－B 组－313.(1)(2)6n n n ++选修Ⅱ－2 P96－B 组－214.22(1,4);4x y -= 必修Ⅳ－P113－B 组－3 15. 3 选修Ⅳ－1 P40－6 16. 2 选修Ⅳ－4 P36－例1三、解答题：17.必修5 P10－B 组－2（1）ABC ∆为等腰∆或Rt ∆ ………………4分 （2）sin sin sin sin 1cos cos m n A B A B A B ⋅=++++cos()sin sin 1A B A B =-+++ ………………6分1. A B =时，2sin 2(0,)2m n A A π⋅=+∈sin (0,1)(2,4)A m n ∴∈∴⋅∈ ………………9分2. 2A B π+=时，cos(2)sin cos 12m n A A A π⋅=-+++2sin cos sin cos 1A A A A =+++设sin cos ,(1A A t t +=∈，22sin cos 1A A t =-2211(2,2m n t t t t ∴⋅=-++=+∈ ………………12分18. 选修Ⅱ－1 P109－例4（1）略………………5分（2）设,DC a PD b ==，以D 为原点，,,DA DB DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标，则平面PCB 的法向量(0,,)m b a =，平面PBD 的法向量(1,1,0)n =-，由3cos ,m n <>=,DP b DC =∴=12分19. 选修Ⅱ－3 P59－2（1）获奖概率33,26325m p m m m m n=⋅==++++或3时max 310P =…………4分（2）ξ的取值有0，1，2，3，43000210021470310294157261.57261000010000E ξ+⨯+⨯+⨯=== ………………12分20.必修5－P34－B 组1及P47－4（1）1231,9,73a a a === 11181n n a a a +=⎧⎨=+⎩ ………………4分（2）817n n a -= ………………7分（3）11181718117497()8181(81)(81)818177n n n n n n n n n b +++-⋅+==⋅=-------⋅ 111177()178181n n n S ++∴=-=--- ………………12分21. 选修Ⅱ－1 P81－2 选修Ⅳ－4 P34－2（1）221105x y += ………………4分(2)12(0,5),(0,B B12:1,:1B M B N x x l l m n ∴+== 设00(,)T x y2200(115x y mn ∴==-22222200000011,,1010551010x y y x x x mn mn +=∴-=∴=∴= ………………12分22. 选修Ⅳ－5 P37-8(1) )cos sin 4()x xx x x f x e eπ+-'== (0,)4x π∈时，()0f x '> (,)42x ππ∈时， ()0f x '< ()f x ∴的增区间为(0,)4π()f x 的减区间为(,)42ππ………………4分（2）设()()g x f x x =-，则)4()1xx g x eπ+'=- 2sin()2cos 2()0x xx x g x e e π-+-''==< ()g x '∴在[0,]2π上↓,()(0)0()g x g g x ''∴≤=∴在[0,]2π上↓ ()(0)0g x g ≤= sin 0x xx e∴-≤ 即()f x x ≤ ………………8分 （3）不妨设1202x x π≤≤≤， 构造函数222()()[()()],[0,]F x f px qx pf x qf x x x =+-+∈则2222sin()sin sin ()px qx x x px qx x p x F x q e e e ++=--⋅222[cos()sin()](cos sin )()px qx xp px qx px qx p x x F x e e++-+-'=- 222[2cos()](2cos )()px qx xp px qx p x F x e e +-+-''=- 2222[cos()cos ]px qx x px qx x p e p px qx e x e e ++-+-=222(1)()0px qx x qx p x q x x +-=--=-≥220,cos()cos 2px qx x px qx x π∴≥+≥≥∴+≤又01p << 20c o s ()c o s 1p p x q x x ∴≤+<≤ 又20px qx x e e +<≤22cos()cos px qx x e p px qx e x +∴⋅+< ()0()F x F x '''∴≥∴在2[0,]x 上↑2()()0F x F x ''∴≤=()F x ∴在2[0,]x 上↓ 2()()0F x F x ∴≥= 22()()()f px qx pf x qf x ∴+≥+ 2[0,]x x ∀∈ 成立1212()()()f px qx pf x qf x ∴+≥+………………14分。
2015年湖北数学高考卷理科含问题详解
实用文档绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.607的共轭复数为．为虚数单位，1ii．．．．A．B．C．1D．i1i??2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A．134石B．169石C．338石D．1365石n的展开式中第4项与第83．已知项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为)(1?x1211109．D．B．A ．C 2222实用文档22????．设，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是，4)XN(N,Y(),2211??A．)Y?)?P(P(Y?12??．B)?)?P(P(X?X12，C．对任意正数t)?t)?P(YP(X?t，D．对任意正数t)?t)?P(YP(X?t 题图第4p 成等比数列；，5．设.：若3n?a,,a,a,a?Ra,a,n121n22222222q：，则)a?a?)(aa??a(aa?)(?aa?a?a??an1231n223n?1?2n1qpq是的必要条件的充分条件，但不是A．qpq是的充分条件的必要条件，但不是B．qp C．的充分必要条件是qpq既不是的必要条件的充分条件，也不是D．0,x?1,??0,x?x?0,sgn上的增函数，．已知符号函数，则是61)(a?x)?f(f(x)ax)g(x)?f(R??0.x??1,?．B．A x??sgnsgn[g(sgn[g(x)]?sgnxx)]．C．D)]f(x(x)]?sgn[g(x)]sgn[f(x)]??sgn[sgn[g11”的为事件“”的概率，7．在区间上随机取两个数，记为事件“yx,1][0,pp?y||x?y?x?21221为事件“”的概率，则概率，p?xy 32A．B．p?p?p?p?pp332121．C．D pp?p?p??pp231123同时增加个单位的双曲线8．将离心率为的实半轴长和虚半轴长0)m(mb(a?b)?aCe11的双曲线，则长度，得到离心率为Ce22时，；当B．当时，，A．对任意的baa?b?ba,ee?ee?ee?221121时，．当C．对任意的，时，；当D ba?ba?eee?ee?e?ba,21122122}?Z2,x,y|?2,|y|?yB?{(x,)|x}y?1,x Z y?,,A?{(xy)x?，定义集合9．已知集合，}B)?,(x,yA(,{(x?xy?y)x,y)??AB?中元素的个数为，则B?A212211213045 D．77 B．49 C．A．n2x，若存在实数的最大整数. ，使得，…，表示不超过，．设10n]?[t]?2[tt R?x1[?t[]x]，则正整数同时成立的最大值是n．．．．6 ．．．．A3 B4 C5 D实用文档分．请将答案填在答题卡对应分，共25二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5．．．．．题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．．．14题）（一）必考题（11—．，则11．已知向量，3?||OA??OA?ABOBOAπx2 12．函数的零点个数为．|ln(x?1)f(x)?4cos2sincos(?x)?x?|22 D的处时测得公路北侧一山顶在西偏北．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到1330A，则此山的高度方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为3075Bm.?CD yBDCN M AC O x TBA第13题图题图第14AB的上方），与14．如图，圆与轴相切于点轴正半轴交于两点（，在yB,AC0)(1,Tx2AB?．且；（Ⅰ）圆的标准方程为C．．22两点，下列三个结论：任作一条直线与圆相交于（Ⅱ）过点1x?y?O:NM,ANBNBMANAMAMA．；①②；③2????22?MBNBMBMBNANA其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）P AAPBC是圆的割线，是圆的切线，如图，为切点，BPC AB . 且，则PBBC?3?AC A16．（选修4-4：坐标系与参数方程）第15题图xOyOxl的极坐标方已知直线以在直角坐标系中，为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.实用文档1?x?t?,??t tlCABC???,两程为为参数) ，，曲线相交于( 的参数方程为与0)??3cos(sin?1?y?t??t?点，则 .?||AB三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分11分）π????在某一个周期内的图象某同学用“五点法”画函数)0,|x??)(|?(fx)?Asin(2时，列表并填入了部分数据，如下表：π3π???x0 π2π22ππ5x63??)?Asin(x 55?（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解)xf(．．．．．．．．．．．析式；??个单位长度，得到的图图象上所有点向左平行移动（Ⅱ）将)xy?fy?(x)g(?0)(5π?的最小值. . 象若，求图象的一个对称中心为)gy?(x0),(12实用文档18．（本小题满分12分）dnq．已知，，，项和为等比数列的公比为设等差数列的公差为，，前d?q2a?{a}bb{b}?S21n1nn．100S?10（Ⅰ）求数列，的通项公式；}{{a}b nn a n n项和．时，记，求数列的前（Ⅱ）当?c1?dT{c}nnn b n 19．（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．P底面，中，侧棱如图，在阳马ABCD?PABCD?PD于作交的中点且，过棱，PCPD?CDPBEFE?PBE点，连接F.,BE,DF,BDDEF．试判断四面体是（Ⅰ）证明：DEF平面PB?DBEF（只需写否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角CD；若不是，说明理由；出结论）π，（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为ABCDDEF3BADC 19题图第求的值．BC分）（本小题满分1220．小12吨，使用设备某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶BA,A元．要求每小时，获利12001.5吨产品需鲜牛奶吨，使用设备1.5时，获利1000元；生产1B. 12小时2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过天产品的产量不超过产品产量的BA,AB W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为假定每天可获取的鲜牛奶数量W18 12 15 P0.20.3 0.5（单位：元）该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z 是一个随机变量．的分布列和均值；（Ⅰ）求Z元的概100001天的最大获利超过3（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求天中至少有率．分）（本小题满分1421．NOMNON处铰链与转动，长杆可绕所示．一种作图工具如图1是滑槽的中点，短杆通过OAB ABDDONMNAB 内作上的栓子在滑槽可沿滑槽，滑动，且．当栓子连接，3MN??DN?ON1DNCMN也不动）不动时，处的笔尖画出的曲线记为．以为绕转动一周（带动往复运动时，，OO．．原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．ABx实用文档C的方程；（Ⅰ）求曲线（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线llQP,0l:x?2yxl:?2y?0?21OPQ的面积是否存在最小值？若有且只有一个公共点，试探究：△总与曲线C存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．yNNBOAD O x DM M2题图1第第21题图2114分）22．（本小题满分1n，e为自然对数的底数．的各项均为正数，已知数列}a{)a(n?b?n(1?)N n?nn n1xn与e的大小；（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较e?f(x)?1x?)(1?nbbbbbbbbb n22131211的公式，并给出证明；，由此推测计算（Ⅱ）计算，，aaaaaaaaa n312212111（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：.)aac?(anSe?}}a{{cTST nn21nnnnnnn实用文档绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案分）50小题，每小题5分，共一、选择题（本大题共101．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）．12．2 1311．96100122．；（Ⅱ）①②③14．15（Ⅰ）．1622)?1)??(y(x?522三、解答题（本大题共6小题，共75分）分）（1117．π??. 数据补全如下表：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得??2,?A?5,6??0 Eπ2πF3π2Eπ2π且函数表达式为.)??5sin(2xf(x)6ππ?.，得（Ⅱ）由（Ⅰ）知)2?)x?5sin(2x(x)?5sin(2x?)?g(f66因为的对称中心为，. Z?k0),ksiny?xπ(πππk??，，解得令 .Zk????kπ?x?2x?26212ππ5πk5π?，由于函数的图象关于点成中心对称，令)y?g(x??(,0)?1221212πππk???取得最小值时，. 由.可知，当解得，1k?Zk?0???23618．（12分）10a?45d?100,2a?9d?20,??11（Ⅰ）由题意有，即??ad?2,ad?2,??11实用文档1?9,a?79),?a?(2n??1,n?a?2?1,a?1n????9n1故解得或或????21n?22,d?.2b?.?d?????1n?.()b?9?n9? n?9?1n?21?n，于是，故，知（Ⅱ）由，2b?1d?1n?a?2?c nnn1n?21n?35792①，???T?1???n1n?23422222935n?11712. ②????T???n532n42222222②可得①-12n?12n?3111，??3?????T?2nn?22nn2222222n?3.故T??6nn?12分）1219．（）（解法1（Ⅰ）因为底面，所以，BCABCD?PD?PD由底面为长方形，有，而，D?PDCDCDBCABCD?所以. 而，所以. DEBC?PCDBC?平面平面DEPCD?又因为，点是的中点，所以. PCDEPC?CD?PDE而，所以平面. 而，所以. CPCBC?PBCDE?PBDE?PBCPB?平面，所以平面.又，DEEF?EEFPB?PBDEF?由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，PBCBDEFPB??DEDEF即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. DFB?EFB，?DEF，?DEB?，BDEF（Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面ABCDDGPBCBCGDEFFE的交线. 由（Ⅰ）知，，所以. DGPB?DEF平面PB?又因为底面，所以. 而，所以.PPDPB?DGABCD?PD?PDPBD平面DG?故是面与面所成二面角的平面角，ABCDDEFBDF?2???1BD?，设，，有?BCPD?DC?1πPDB, 得, 由在Rt△, 中PB?DF??FDB?DPF?3πBD2??. 解得则, 2?3tanDPFtan?????1?3PD实用文档2DC1所以.???2BCπ2DC所成二面角的大小为与面时，. 故当面ABCDDEF?2BC3）（解法2设分别为为原点，射线轴的正半轴，建立空间直角坐标系. （Ⅰ）如图2，以zx,y,DPDA,DC,D???的，则，，点是，1),1,PB?(?PC?PD?DC?1BCP(,0,,0,0,1)(,B1,0))(0,1,0CD(0,0),E1111中点，所以，，),,)DE(0,E?(0,2222. ，即于是0?PB?DEDE?PB.，而，所以又已知EDEEF?PB?EFDEFPB?平面., 因, 则, 所以1)?PC?(0,1,0PC?DE?PCDE?PBC平面DE?由的四个面都是直角三角形，，平面，可知四面体平面PBCBDEFPB?DEFDE?.是一个鳖臑，其四个面的直角分别为即四面体DFB?DEF，?EFB，?DEB，?BDEFzPP219题解答图第19题解答图1第，所以（Ⅱ）由是平面的一个法向量；1)?(0,0,DPABCDABCD?平面PD?1)??,BP1,?(. ，所以由（Ⅰ）知，是平面的一个法向量DEFDEF?PB平面π，若面与面所成二面角的大小为ABCDDEF31π1DP?BP??cos?则，23||DP?BP||2?2?21DC ? . 解得所以2?.???2BC实用文档π2DC. 所成二面角的大小为时，故当面与面ABCDDEF?2BC3分）20．（12（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有yx,BA,z2x?1.5y?W,??x?1.5y?12,?（1）?2x?y?0,??x?0, y?0.?目标函数为．yx?1200z?1000yyy1210888(3,6)B(3,6)B(2.4,4.8)B(6,4)C12(0,0)A12C(6,0)xA(0,0)(7.5,0)(9,0)xDCOO12(0,0)AxO3题解答图第202题解答图第201 题解答图第20当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．12W?(6, 0)CA(0, 0), B(2.4, 4.8),5z将变形为，y1000x?1200z??xy??612005zy轴上的截距最大，在当时，直线：l4.8y?x?2.4, ??xy?61200最大获利．8160?1200??z?2.4?10004.8Z?max当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．15W?(7.5, 0)B(3, 6), CA(0, 0),5z将变形为，y1200xz?1000???xy?612005z当时，直线：在轴上的截距最大，yl6?x?3, y?y?x?61200最大获利．10200?6?1200?Z?z?31000?max当时，（1）表示的平面区域如图3，18W?四个顶点分别为.(9, 0)D(3, 6), C(6, 4), A(0, 0), B5z将变形为，y1200z?1000x???xy?612005zy轴上的截距最大，：当时，直线在l4y?x?6,?xy??61200最大获利．10800?1200?46?Zz??1000?max故最大获利的分布列为Z8160 1020010800 Z0.20.50.3 P实用文档因此，9708.10800?0.2??8160?0.3?10200?0.5?E(Z)，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率0.7??0.2p?P(Z?10000)?0.51元的概率为天中至少有1天最大获利超过10000由二项分布，3 330.973.1?0.3??1?(1?p)?p1．（14分）21 （Ⅰ）设点，，依题意，2)?D(t,0)(|t|),y(x,y),M(xN00，且，1|?|DN|?|ONDN?2MD yPND xOQM21题解答图第22?1,?y?(x?t)?00所以，且)y?2(x?t,?(t?x,y)?00221.?y?x??00,2t2t?x?x??0即且0.?(t?2x)t?0.2yy???0 0，由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于tND22yxyx22，，代入于是，故，可得1?y?xx?2t1???x?,y?000004162422yx的方程为即所求的曲线C1.??4161. ，都有）当直线的斜率不存在时，直线为或（Ⅱ）（14?xx?4?ll84?4?S??OPQ?212）当直线的斜率存在时，设直线，（l)??:y?kx?m(kl2,?kx?my?222. 由消去，可得y0168kmx?4m(1?4k?)x???2216,4y?x??总与椭圆有且只有一个公共点，因为直线Cl2222220?m64k16)m?4(1?4k?)(4??，即①所以. 4k?m?16,my?kx??mmmm?22.；同理可得又由可得),Q)P(,(?0,y?x?2k1?22k1?2k1?21?k?||m2的距离为和，可得由原点到直线O|xx1|PQ|??k?|PQ?dQP2k1?2m222mm111?|PQ|?Sd?|m||x?x|??|m|??. ②Q?OPQP2k412121222?k?k?实用文档21k?42m2. 将①代入②得，8?S?OPQ?22k?4114k?212?4k12当时，；8?)?8(1?)S?8(?kOPQ?2214k?4k?142124k1?2.时，当)?8(?1?S?8()?k0?OPQ?22k1k?41?4421222，所以，则因，，1k?0?1?481?)??2S0?k??8(?OPQ?22kk4141??4.当且仅当时取等号0k?S8.的最小值为所以当时，0k?OPQ?OPQ8.的面积取得最小值在四个顶点处相切时，△）（2）可知，当直线与椭圆综合（1Cl分）22．（14x?.，（Ⅰ）的定义域为e1?(x)f?)??(??,f(x)?，即时，单调递增；当0x?))(x?0xf(f?.时，单调递减当，即0?x)f(xx)?0f(. 的单调递增区间为，单调递减区间为故)??,0)??f(x)(0,(x. 时，当，即ex??10?x0?f(0)?f(x)1111n . ①令，即，得e?1?ex?)?(1?n nnnbbbbb11222121112（Ⅱ）；；3???1)?2?2(1??)1?1??2)??(2??1(12a1aaaa21211bbbbbb133********. 4?(3?3??3(1?)1)???3aaaaaa312213bbb nn21②由此推测：.1)(?n?aaa n12.下面用数学归纳法证明②. ，②成立1）当时，左边右边（?1n?2?bbb kk12. 时，②成立，即（2）假设当k?n1)k?(?aaa k1211k?时，当，由归纳假设可得1?n?ka1)(1?)(b?k?1k?k?11k?bbbbbbbb11??1kkk1k2k12kk?1?1. 2)??1)(1?)?(k1)??(k??(k1kaaaaaaaa?1k?k?12kk112.所以当时，②也成立1?n?kn. 都成立21）（），可知②对一切正整数根据（几何平均不等式，的定义及①得（Ⅲ）由的定义，②，算术-bc nn1111)aa(?)aaa?)a()a(?a(?a??c?c??cT?c n321n11112223n321n实用文档1111)(bbbb(bb))(bb)(b n321n32112211?????14?n23b?b?b?b?bb?bb?bn12312211?????1)n4??22n?3(3?11111111??????b[?b][?]???b2n14?122?33nn(?1)3?1)?n(n(1)n?2?n11111)?b?b(1?(()?b?)??n211?nn1n?2n?1bbb11121nn21?a?))?(1???a)a????(1(1?2n12n21n1.???eaa?eaeS?e2nn1.即SeT?nn。
2015年高考模拟试题_湖北省部分重点中学高三联考数学(理)卷
2015届湖北省部分重点中学高三第一次联考数学（理）试题第一部分选择题一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑。
1.已知两个集合，，则（）.A. B. C. D.2．若是纯虚数，则=（）A. B. C. D.3.已知命题:所有素数都是偶数，则是（）A.所有的素数都不是偶数B.有些素数是偶数C.存在一个素数不是偶数D.存在一个素数是偶数4.设，函数的导函数为，且是奇函数，则（）A.0B.1C.2D.5.三个实数成等差数列，首项是9.若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（）A.1B.4C.36D.496.已知函数的定义域为，值域为.下列关于函数的说法：①当时，；②将的图像补上点，得到的图像必定是一条连续的曲线；③是上的单调函数；④的图象与坐标轴只有一个交点.其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.47.等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则其公比为（）A. B. C. D.8.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（）A.4B.6C.8D.109.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，，则为（）A．4:3:2B．5:4:3C．6:5:4D．7:6:510.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A. B. C. D.第二部分非选择题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。
11.设球的半径为时间的函数，若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为.12.在△ABC中，边角，过作，且，则.13.已知两个实数满足且，则三个数从小到大的关系是（用“”表示）.14.已知，各项均为正数的数列满足，若，则.15.已知函数.如果存在实数，使函数，在处取得最小值，则实数的最大值为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共75分。
湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学四校联考2015届高
湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学四校联考2015届高三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）若a=log23，b=log32，，则下列结论正确的是（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a3．（5分）已知两个集合A={x|y=ln（﹣x2+x+2）}，，则A∩B=（）A．B．C．（﹣1，e）D．（2，e）4．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q5．（5分）以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．③④B．①②C．②③D．②④6．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC一定是（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，则（）A．f（sin）＜f（cos）B．f（sin）＞f（cos）C．f（sin1）＜f（cos1）D．f（sin）＞f（cos）8．（5分）关于函数，有下列命题：①其表达式可写成；②直线图象的一条对称轴；③f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到；④存在α∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立则其中真命题为（）A．②③B．①②C．②④D．③④9．（5分）我们常用以下方法求形如y=f（x）g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导得到：•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）••f′（x），于是得到y′=f（x）g（x）[g′（x）]lnf（x）+g（x）••f′（x），运用此方法求得函数y=x（x＞0）的极值情况是（）A．极小值点为eB．极大值点为eC．极值点不存在D．既有极大值点，又有极小值点10．（5分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x）=ax（a为常数），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知对于任意k∈（0，1），g（x）=ax是函数f（x）=的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（）A．e﹣1∉M，e∉M B．e﹣1∉M，e∈M C．e﹣1∈M，e∉M D．e﹣1∈M，e∈M二、填空题：（本大题共4小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上）（一）必做题（11～14题）11．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若log2a2+log2a8=1，则a5=．12．（5分）计算定积分（x2+sinx）dx=．13．（5分）已知函数f（x）=sin3x+2015x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为．14．（5分）已知函数f（x）=．则（ⅰ）f（f（x））=；（ⅱ）给出下列四个命题：①函数f（x）是偶函数；②存在x i∈R（i=1，2，3），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等边三角形；③存在x i∈R（i=1，2，3），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形；④存在x i∈R（i=1，2，3，4），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形是菱形．其中，所有真命题的序号是．一、选修4-4坐标系与参数方程选讲15．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为．一、选修4-1几何证明选讲16．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知，PC=4，圆心O 到BC的距离为，则圆O的半径为．三．解答题：（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．18．（12分）已知等差数列{a n}的前三项和为12，且a1，a2，a4成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，是否存在正整数，使得b1+b2+…+b n＞，对∀n＞M（n∈N+）恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．20．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21．（13分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O=45°．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m1+m2=0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．22．（14分）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学四校联考2015届高三上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．解答：解：复数z====﹣1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选D．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．（5分）若a=log23，b=log32，，则下列结论正确的是（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的单调性将a、b、c与0和1进行比较，从而可得a、b、c的大小关系．解答：解：∵a=log23＞log22=1，0=log31＜b=log32＜log33=1，＜log41=0，∴c＜b＜a故选D．点评：本题主要考查了对数函数的单调性，以及对数值的比较大小，同时考查运算求解的能力，属于基础题．3．（5分）已知两个集合A={x|y=ln（﹣x2+x+2）}，，则A∩B=（）A．B．C．（﹣1，e）D．（2，e）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中函数的定义域确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B 的交集即可．解答：解：由A中的函数y=ln（﹣x2+x+2）}，得到﹣x2+x+2＞0，即x2﹣x﹣2＜0，整理得：（x﹣2）（x+1）＜0，即﹣1＜x＜2，∴A=（﹣1，2），由B中的不等式变形得：（2x+1）（e﹣x）≤0，且e﹣x≠0，即（2x+1）（x﹣e）≥0，且x≠e，解得：x≤﹣或x＞e，即B=（﹣∞，﹣]∪（e，+∞），则A∩B=（﹣1，﹣]．故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据指数函数的单调性判断命题p的真假；利用函数的零点判定定理判断命题q 的真假，再由复合命题真值表依次判断可得答案．解答：解：∵当x＜0时，2x＞3x，∴命题p为假命题；∵f（x）=x3+x2﹣1，图象连续且f（0）•f（1）＜0，∴函数f（x）存在零点，即方程x3=1﹣x2有解，∴命题q为真命题，由复合命题真值表得：p∧q为假命题；p∧￢q为假命题；（￢p）∧q为真命题；￢p∧￢q为假命题．选故C．点评：本题考查了简单命题的真假判定，复合命题的真假判定规律，熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．5．（5分）以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．③④B．①②C．②③D．②④考点：利用导数研究函数的单调性．专题：规律型．分析：利用导数大于0可得其单调递增区间，导数小于0可得其单调递减区间，①②③④的正确性．解答：解：①该三次函数的导函数的图象为开口方向向下的抛物线，该抛物线在x轴下方的区间对应原函数的递减区间，该抛物线在x轴上方的区间对应原函数的递增区间，符合要求，正确；②同理可分析②正确；③从其导函数图象来看，原函数在（﹣∞，0）单调递增，在（0，a）单调递减（a为图中虚线处的横坐标），图与题意不符，故③错误；④同理可分析④错误；故选A．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查函数图象与其导函数图象之间的对应关系，考查分析问题的能力与数形结合的思想，属于中档题．6．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC一定是（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形考点：三角形的形状判断；向量在几何中的应用．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则将等式中的向量，，用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状解答：解：∵（﹣）•（+﹣2）=（﹣）•[（﹣）+（﹣）]=（﹣）•（+）=•（+）=（﹣）•（+）=||2﹣||2=0∴||=||，∴△ABC为等腰三角形．故答案为：B点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查平面向量的数量积及应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．7．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，则（）A．f（sin）＜f（cos）B．f（sin）＞f（cos）C．f（sin1）＜f（cos1）D．f（sin）＞f（cos）考点：奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．专题：证明题；压轴题；探究型．分析：观察题设条件与选项．选项中的数都是（0，1）的数，故应找出函数在（0，1）上的单调性，用单调性比较大小．解答：解：x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，故偶函数f（x）在[3，4]上是增函数，又定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），故函数的周期是2所以偶函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，所以f（x）在（0，1）上是减函数，观察四个选项A中sin＜cos，故A不对；B选项中sin＞cos，故B不对；C选项中sin1＞cos1，故C对；D亦不对．综上，选项C是正确的．故应选C．点评：本题考查函数的周期性与函数的单调性比较大小，构思新颖，能开拓答题者的思维深度．8．（5分）关于函数，有下列命题：①其表达式可写成；②直线图象的一条对称轴；③f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到；④存在α∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立则其中真命题为（）A．②③B．①②C．②④D．③④考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；诱导公式的作用；正弦函数的对称性．专题：压轴题；阅读型．分析：①将两函数解析式化简整理，若表示同一个函数，则①正确，否则错误．②若时，f（x）取得最值，则②正确．否则错误．③根据左加右减原则，写出平移后图象对应的解析式，进行对照可以断定正误④考虑先取特殊值，比如取α=等进行验证．解答：解：=（sin2x﹣cos2x）．=（cos2x﹣sin2x）．与原函数不为同一个函数，①错误．②时，f（x）=sin[2×（）﹣]=sin（﹣）=﹣1，函数取得最小值，所以直线图象的一条对称轴．②正确③将g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到，得到图象对应的解析式是y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，与f（x）不为同一个函数．③错误．④取α=，f（x+α）=f（x+）==sin（2x+），f（x+3α）=f （x+3•）==sin（2x+3π﹣）=sin（2x+2π+π﹣）=sin（2x+），所以存在取α=∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立．④正确．故选C．点评：本题考查三角函数图象性质，三角函数式的化简，三角函数图象变换．在图象平移变换中，针对的是x的变化，③中，平移后相位应由2x变化为2（x﹣）即为2x﹣，而不是2x﹣．9．（5分）我们常用以下方法求形如y=f（x）g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导得到：•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）••f′（x），于是得到y′=f（x）g（x）[g′（x）]lnf（x）+g（x）••f′（x），运用此方法求得函数y=x（x＞0）的极值情况是（）A．极小值点为eB．极大值点为eC．极值点不存在D．既有极大值点，又有极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：根据定义，先求原函数的导数，令导数大于0，解不等式即可解答：解：由题意知y′=•（•lnx+••1）=•，（x＞0）令y'＞0，得1﹣lnx＞0∴0＜x＜e，x＞e，y′＜0所以极大值点为e，故选：B．点评：本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．10．（5分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x）=ax（a为常数），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知对于任意k∈（0，1），g（x）=ax是函数f（x）=的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（）A．e﹣1∉M，e∉M B．e﹣1∉M，e∈M C．e﹣1∈M，e∉M D．e﹣1∈M，e∈M考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：函数g（x）=ax（a为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点），根据函数，再分离参数，确定函数的单调性，求最值，即可得到结论．解答：解：令F（x）=﹣ax，则F（x）=﹣ax≥0对于任意k∈（0，1）恒成立由题意，x＞0时，a≤，x＜0时，a≥，下面考虑a≤，令h（x）=，则h′（x）=由h′（x）＜0得x＜k，由h′（x）＞0得x＞k，所以h（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，所以当x=k时h（x）取得最小值h（k）=，∴∵k∈（0，1），∴a≤ex＜0时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，∴a≥0，∴0≤a≤e∴e﹣1∈M，e∈M故选D．点评：本题考查新定义，考查函数恒成立问题，考查分析问题解决问题的能力，对于恒成立问题往往转化为函数最值问题处理．二、填空题：（本大题共4小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上）（一）必做题（11～14题）11．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若log2a2+log2a8=1，则a5=．考点：等比数列的性质；对数的运算性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由对数的运算性质结合已知得到log2（a2a8）=1，求出a2a8=2，再由等比数列的性质得答案．解答：解：由log2a2+log2a8=1，得log2（a2a8）=1，∴a2a8=2．∵数列{a n}是等比数列，∴a52=a2a8=2．所以a5=故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质和等比数列的性质，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）计算定积分（x2+sinx）dx=．考点：定积分．专题：计算题．分析：求出被积函数的原函数，再计算定积分的值．解答：解：由题意，定积分===．故答案为：．点评：本题考查定积分的计算，确定被积函数的原函数是关键．13．（5分）已知函数f（x）=sin3x+2015x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为（﹣2，）．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：运用导数，先求出单调性和奇函数，再根据单调性得到不等式，运用一次函数的单调性，求出x的范围．解答：解：由f（x）=sin3x+2015x，f′（x）=3sin2x•cosx+2015＞0，则f（x）为增函数且为奇函数，f（mx﹣2）+f（x）＜0即为f（mx﹣2）＜﹣f（x）=f（﹣x），由题意得到mx﹣2＜﹣x在m∈[﹣2，2]恒成立，即有﹣2x﹣2＜﹣x且2x﹣2＜﹣x，解得，﹣2＜x＜．故答案为：（﹣2，）．点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意运用主元法思想，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=．则（ⅰ）f（f（x））=1；（ⅱ）给出下列四个命题：①函数f（x）是偶函数；②存在x i∈R（i=1，2，3），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等边三角形；③存在x i∈R（i=1，2，3），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形；④存在x i∈R（i=1，2，3，4），使得以点（x i，f（x i））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形是菱形．其中，所有真命题的序号是①②④．考点：命题的真假判断与应用．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：（ⅰ）对x分类：x∈Q和x∈C R Q，再由解析式求出f（f（x））的值；（ⅱ）①对x分类：x∈Q和x∈C R Q，分别判断出f（﹣x）=f（x），再由偶函数的定义判断出①正确；②不正确；由③解析式做出大致图象：根据图象和等腰直角三角形的性质，进行判断即可；④取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可得出此四边形为平行四边形．解答：解：（ⅰ）由题意知，f（x）=，当x∈Q时，f（x）=1∈Q，则f（f（x））=1；当x∈C R Q时，f（x）=0∈Q，则f（f（x））=1，综上得，f（f（x））=1；（ⅱ）对于①与②，当x∈Q时，则﹣x∈Q，故f（﹣x）=1=f（x），当x∈C R Q时，则﹣x∈C R Q，故f（﹣x）=0=f（x），∴函数f（x）是偶函数，①正确；②不正确；对于③，根据f（x）=，做出函数的大致图象：假设存在等腰直角三角形ABC，则斜边AB只能在x轴上或在直线y=1上，且斜边上的高始终是1，不妨假设A，B在x轴上，如图故斜边AB=2，故点A、B的坐标不可能是无理数，否则O点不再是中点，故不存在，另外，当AB在y=1上，C在x轴时，由于AB=2，则C的坐标应是有理数，故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，③错误；对于④，根据③做出的图形知，取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且是对角线相互垂直，可以做出以点（x i，f（x i））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形为菱形，④正确．故答案为：①②④点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查对函数定义的理解与综合应用，考查抽象思维与逻辑思维能力，属于难题．一、选修4-4坐标系与参数方程选讲15．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为（1，）．考点：参数方程化成普通方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可．解答：解：曲线参数方程（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：；曲线（t∈R）的普通方程为：；解方程组：得：∴它们的交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．点评：本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题．一、选修4-1几何证明选讲16．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知，PC=4，圆心O 到BC的距离为，则圆O的半径为2．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题．分析：根据已知中从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知，PC=4，我们由切割线定理及求出PB的长，进而求出弦BC的长，然后根据半径弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，即可求出答案．解答：解：∵PA为圆的切线，PBC为圆的割线，由线割线定理得：PA2=PB•PC又∵，PC=4，∴PB=2，BC=2又∵圆心O到BC的距离为，∴R=2故答案为：2点评：本题考查圆的切割线定理与垂径定理，属于中等题．其中根据切割线定理求出弦BC的长是解答本题的关键．三．解答题：（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：综合题．分析：（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简三角函数，即可求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）先求出C，再利用sin（A+C）=2sinA，结合正弦、余弦定理，可求a，b的值．解答：解：（1）…．（3分）∵，∴，∴f（x）的最大值为0，最小正周期是…（6分）（2）由，可得∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴∴，∴∵sin（A+C）=2sinA，∴由正弦定理得①…（9分）由余弦定理得∵c=3∴9=a2+b2﹣ab②由①②解得，…（12分）点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查正弦、余弦定理的运用，属于中档题．18．（12分）已知等差数列{a n}的前三项和为12，且a1，a2，a4成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，是否存在正整数，使得b1+b2+…+b n＞，对∀n＞M（n∈N+）恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．考点：数列的求和；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由题意可得，由此能求出a n=2n．（Ⅱ）b n==，从而b1+b2+…+b n=2﹣（）n﹣1，进而得到＞2﹣，由此能求出M的最小值为8．解答：解：（I）由题意可得：，设{a n}的公差为d，则，解得a1=2，d=2或a1=4，d=0．∵a1，a2，a4成公比不为1的等比数列，∴d=2，故a n=2n．（Ⅱ）∵b n==，∴b1+b2+…+b n==2﹣（）n﹣1，∵b1+b2+…+b n，∴＞2﹣，∴（）n﹣1＜，∴＜，解得n≥9，∴M≥8，故M的最小值为8．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数值的最小值的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC；（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面角P ﹣EC﹣D的大小为．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，结合向量的数量积求出二面角P﹣EC﹣D的大小，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．解答：解：（I）CM与BN交于F，连接EF．由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．因为E是AB的中点，所以AN∥EF．…（7分）又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，所以AN∥平面MEC．…（9分）（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h），=（，﹣2，0），=（0，﹣1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令y=h，∴=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），∴cos＜，＞===，解得h=，∴在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P﹣EC﹣D的大小为．点评：本题考查存在性问题，直线与平面平行的判断，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）根据年利润=销售额﹣投入的总成本﹣固定成本分0＜x＜80和当x≥80两种情况得到L与x的分段函数关系式；（2）当0＜x＜80时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥80时，利用基本不等式来求L的最大值．解答：解：（1）当0＜x＜80，x∈N*时，当x≥80，x∈N*时，L（x）=﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）∴．（2）当0＜x＜80，x∈N*时，，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950当x≥80，x∈N，∵，∴当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000＞950．综上所述，当x=100时L（x）取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．点评：考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．21．（13分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O=45°．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m1+m2=0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2，故可得椭圆G的标准方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）直线l1：y=kx+m1与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；（ⅱ）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值．解答：（Ⅰ）解：设椭圆G的标准方程为．因为F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．所以，a2=b2+c2=2．…（2分）所以，椭圆G的标准方程为．…（3分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）证明：由消去y得：．则，…（5分）所以===．同理．…（7分）因为|AB|=|CD|，所以．因为m1≠m2，所以m1+m2=0．…（9分）（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．因为m1+m2=0，所以．…（10分）所以=．（或）所以当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查三角形的面积，同时考查利用基本不等式求最值，正确求弦长，表示出四边形的面积是解题的关键．22．（14分）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=b=0代入函数解析式，求y=f（x）在点（0，f（0））处的导数，得到切线方程y=h（x）然后构造函数F（x）=f（x）﹣h（x），利用导数求其最小值为F（0），则结论即可证明；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，构造函数G（x）=，求其导函数，分a≥﹣1和a＜﹣1讨论，讨论可知a≥﹣1时f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，a＜﹣1时不合题意；（Ⅲ）把要证的结论转化为证，然后结合（Ⅱ）与（Ⅰ）中的结论采用换元的办法证得，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．解答：解：（Ⅰ）当a=0，b=0时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f′（0）=1，f（0）=1，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=1（x﹣0），即：y=h（x）=x+1；证明：令F（x）=f（x）﹣h（x）=e x﹣x﹣1，∴F′（x）=e x﹣1≥0，∴F（x）=e x﹣x﹣1单调递增，又F（0）=0，∴F（x）≥F（0），即e x≥x+1（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，令G（x）=，∴G′（x）=e x﹣x+a，当a≥﹣1时，由（1）知G′（x）=e x﹣x+a≥e x﹣x﹣1≥0，∴G（x）=单调递增，又G（0）=0，∴．当a＜﹣1时，G′′（x）=e x﹣1＞0，∴G′（x）=e x﹣x+a单增，又G′（0）=1+a＜0，∴存在x0∈[0，+∞），使G′（x0）=0，即，∴G（x）在（0，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增，又∵G（0）=0，∴x∈（0，x0）时，G（x）＜0不合题意，故a≥﹣1；（Ⅲ）要证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1），即证，也就是．由（Ⅱ），令a=﹣1可知：，令，则，∴，又由（Ⅰ）可知：e x＞1+x（x＞0），∴x＞ln（1+x），令，∴，∴，∴，即，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论、数学转化等数学思想方法，综合考查了学生的推理运算，逻辑思维等能力，是难度较大的题目．。
2015年高考理数真题试卷(湖北卷)【答案加解析】
2015年高考理数真题试卷（湖北卷）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.(2015·湖北）为虚数单位，的共轭复数为（）A. B. - C. 1 D. -12.（2015·湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石3.(2015·湖北）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A. B. C. D.4.(2015湖北）设，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A. B.C. 对任意正数，D. 对任意正数,5.(2015·湖北）设. 若p：成等比数列；q：，则（）A. p是q的充分条件，但不是q的必要条件B. p是q的必要条件，但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6.（2015·湖北）.已知符号函数是R上的增函数，,则（）A. B.C. D.7.(2015·湖北）在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（）A. B. C. D.8.(2015·湖北）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）A. 对任意的，B. 当时，；当时，C. 对任意的，D. 当时，；当时，9.(2015·湖北）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）A. 77B. 49C. 45D. 3010.(2015·湖北）设整数. 若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数n的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（2015·湖北）已知向量AB，，则________ .12.（2015·湖北）函数的零点个数为 ________ ．13.（2015·湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30∘的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75∘的方向上，仰角为30∘，则此山的高度CD=________ m.14.（2015·湖北）（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则ABAC=________ .15.(2015·湖北）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极坐标方程为，曲线C的参数方程为 ( t为参数) ，与C相交于两点，则________ .三.解答题16.（2015·湖北）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值.17.(2015·湖北）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)当时，记，求数列的前项和．18.(2015·湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P-ABCD中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接(1)证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；(2)若面与面所成二面角的大小为，求的值．19.(2015·湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为（Ⅰ）求Z的分布列和均值；该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．20.(2015·湖北）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB 内作往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C的方程；(2)设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．21.(2015·湖北）已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数．(1)求函数的单调区间，并比较与的大小；(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；(3)令，数列，的前项和分别记为,, 证明：.答案解析部分一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
2015年湖北数学高考卷理科(含答案)
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合M={x|x²3x+2=0}，则集合M的元素个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面内对应的点位于（）A. y轴上B. x轴上C. 直线y=x上D.直线y=x上3. 函数f(x)=x²+2x+3，若f(x0)是f(x)在区间[1,1]上的最小值，则x0的取值范围是（）A. 1≤x0≤1/2B. 1≤x0≤1C. 1/2≤x0≤1D. 1/2≤x0≤14. 已知等差数列{an}的公差为2，若a1+a3+a5=12，则a4的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 125. 若函数y=cosx的图像向右平移π/3个单位长度，得到函数y=cos(xπ/3)的图像，则函数y=cos(xπ/3)的图像的一条对称轴方程为（）A. x=π/3B. x=π/6C. x=π/6D.x=π/3二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a>b，则a²>b²。
（）2. 对于任意实数x，都有(x²)′=2x。
（）3. 若函数f(x)在区间(∞, +∞)上单调递增，则f′(x)>0。
（）4. 等差数列的通项公式为an=a1+(n1)d。
（）5. 三角函数的周期都是2π。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x)=2x²4x+3，则f(1)=______。
2. 设等差数列{an}的公差为3，若a1=4，则a5=______。
3. 若向量a=(2,3)，向量b=(1,2)，则a·b=______。
4. 在直角坐标系中，点P(3,4)关于原点的对称点坐标为______。
5. 若函数y=lg(x1)的定义域为（），则其值域为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x)=x²2x3的单调递增区间。
2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．（2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） （A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．（3）【2015年湖北，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） （A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力．（4）【2015年湖北，理4，5分】设211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．（5）【2015年湖北，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ） （A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列，则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠；对命题q ，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要 0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a条件．故选A ．（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <（C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >， 当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．（9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B⊕中元素的个数为（ ）（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30 【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．（10）【2015年湖北，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<； 由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题）（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ． 【答案】9 【解析】因为OA AB ⊥，3OA =，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．（12）【2015年湖北，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2 【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数()f x 由2个零点．【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．（13）【2015年湖北，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．【答案】1006【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD BC ︒==，所以1006CD =m ． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为 ；（2）过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号） 【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =，22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NBMB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +，M ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2015年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______．【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==． 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．（16）【2015年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB =．【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t 得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即232,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年湖北，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期（1．．．．．．．．．．．（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象． 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ． 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．（18）【2015年湖北，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=， 于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-，故12362nn n T -+=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．（19）【2015年湖北，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．解：解法一：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC PCD ⊥平面． 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点， 所以DE PC ⊥． 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ． 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥． 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以 PD DG ⊥． 而PD PB P =，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BD DPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=．所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． 解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而DE EF E =，所以PB DEF ⊥平面． 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑， 四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量． 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+， 解得2λ=． 所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，2DC BC =． 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．（20）【2015年湖北，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时．Z （单位：元）是一个随机变量．（1）求Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．（21）【2015年湖北，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探 究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．②当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--． 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年湖北，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（1）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（2）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；（3）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ，证明：e n n T S <．解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减． 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞．当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e xx +<． 令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<． ①（2）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边=右边2=，②成立．②假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kk b b b k a a a =+． 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++．所以当1n k =+时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．（3）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S ． 即e n n T S <．【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。
2015年高考(湖北卷)数学(理工类)试题参考答案
即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 DEB，DEF，EFB，DFB .
z
P
P
F
E
D
F
E
G
C
D
C y
A
B
第 19 题解答图 1
xA
B
第 19 题解答图 2
（Ⅱ）由 PD 平面ABCD ，所以 DP (0, 0, 1) 是平面 ABCD 的一个法向量； 由（Ⅰ）知， PB 平面DEF ，所以 BP (, 1, 1) 是平面 DEF 的一个法向量. 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 π ， 3 则 cos π BP DP 1 1 ， 3 | BP | | DP | 2 2 2
解得 2 . 所以 DC 1 2 . BC 2
故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 π 时， DC 2 .
3
BC 2
20．（12 分） （Ⅰ）设每天 A, B 两种产品的生产数量分别为 x, y ，相应的获利为 z ，则有
2x 1.5y W , x 1.5y 12, 2x y 0, x 0, y 0.
二、填空题（本大题共 6 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
11．9
12．2
13．100 6
14．（Ⅰ） (x 1)2 ( y 2)2 2 ；（Ⅱ）①②③ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分） 17．（11 分）
15． 1 2
16． 2 5
（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 A 5, 2, π . 数据补全如下表： 6
p 1 (1 p1)3 1 0.33 0.973.
21．（14 分） （Ⅰ）设点 D(t, 0) (| t | 2) ， N(x0, y0 ), M (x, y) ，依题意， MD 2DN ，且 | DN || ON |1， y P
湖北省2015年理科数学高考模拟卷1(包含答案)
湖北省2015年高考理科数学模拟试卷(一)出题人：彭连兵一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 满足i z i 31)3(+-=-（其中i 是虚数单位），则z 的实部为 （A ）6 （B ）1 （C ）1- （D ）6- 2.已知,x y R ∈，且2323xyyx --+>+，则下列各式中正确的是A.0x y ->B. 0x y +<C. 0x y -<D.0x y +> 3.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.B.C.D.4.执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的 A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．20155．已知等比数列{}n a 的前10项的积为32，则以下说法中正确的个数是①数列{}n a 的各项均为正数； ②数列{}n a {}n a 的公比必是正数； ④数列{}n a 中的首项和公比中必有一个大于1．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个6．“n ＝10”是“n”的展开式中有常数项的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 7.某班组织文艺晚会，准备从A,B 等8个节目中选出4个节目演出，要求：A,B 两个节目至少有一个选中，且A,B 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为 A.1860B.1320C.1140D.10208.设函数()()()222ln 2f x x a x a=-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值为 A ．15 B ．25 C ．12D ．1 9．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为，两条曲线在第一象限的交点记为P ，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的取值范围是（A ）)51,0( （B ）)31,51( （C ）1(,)3+∞ （D ）1(,)5+∞10．已知函数2)(x e x f x -=，b ax x g +=)((0>a )，若对]2,0[1∈∀x ，]2,0[2∈∃x ，使得)()(21x g x f =，则实数a ,b 的取值范围是（A ）2502-≤<e a ,1≥b （B ）2502-≤<e a ,1≤b （C ）252-≥e a ,1≥b （D ）252-≥e a ,1≤b二、填空题：本大题共5小题，每小题5分．11.已知ΔABC 中，∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ，若a = 1,2cos C + c = 2b ，则ΔABC 的周长的取值范围是_____。
湖北省荆门市龙泉中学高三数学上学期8月月考试卷 理(
2015-2016学年湖北省荆门市龙泉中学高三（上）8月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确的答案填涂在答题卡上．）1．已知命题P：∃x0∈R+，log2x0=1，则￢P是（）A．∀x0∈R+，log2x0≠1B．∀x0∉R+，log2x0≠1C．∃x0∉R+，log2x0≠1 D．∃x0∉R+，log2x0≠12．在一次射击训练中，甲、乙两名运动员各射击一次．设命题p是“甲运动员命中10环”，q是“乙运动员命中10环”，则命题“至少有一名运动员没有命中10环”可表示为（）A．p∨q B．（￢p）∧（￢q）C．（￢p）∨（￢q）D．p∨（￢q）3．设全集U=R，集合M={x|y=lg（x2﹣1）}，N={x|0＜x＜2}，则N∩（∁U M）=（）A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x＜1}4．当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（）A．x3＜3x＜log3x B．3x＜x3＜log3x C．log3x＜x3＜3x D．log3x＜3x＜x35．已知函数f（x）=，则f[f（2）]=（）A．B．C．2 D．46．函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A．B．C．D．7．已知a1，a2，b1，b2均为非零实数，集合A={x|a1x+b1＞0}，B={x|a2x+b2＞0}，则“”是“A=B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数f（x）=e|x|+x2，（e为自然对数的底数），且f（3a﹣2）＞f（a﹣1），则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．9．设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，集合B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（1，+∞）10．已知f（x）=x3﹣3x+2m，在区间上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）A．m＞6 B．m＞9 C．m＞11 D．m＞1211．已知函数，若f（m）+f（n）=1，则f（m•n）的最小值为（）A．B．C．D．12．定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若幂函数f（x）=x a的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为．14．函数f（x）=的定义域为．15．已知f（x）为R上增函数，且对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]=4，则f（log35）= ．16．已知函数f（x）=g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：①函数f（x）的值域为[0，]；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解；④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是[，]．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．18．已知命题p：方程（ax+2）（ax﹣1）=0在[﹣1，1]上有解；命题q：x1，x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立．若命题p是真命题，命题q为假命题，求实数a的取值范围．19．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），，记F（x）=2f（x）+g（x）（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．20．某企业有一条价值为m万元的生产流水线，要提高其生产能力，提高产品的产值，就要对该流水线进行技术改造，假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足：①y与（m﹣x）x2成正比；②当时，；③，其中a为常数，且a∈[0，2]（1）设y=f（x），求出f（x）的表达式；（2）求产值y的最大值，并求出此时x的值．21．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B 两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）在抛物线上是否存在不与原点重合的点P，使得过点P的直线交抛物线于另一点Q，满足PF⊥QF，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直？并请说明理由．22．已知函数f（x）=alnx﹣，g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）．（1）若函数f（x）在区间（0，1）内是增函数，求实数a的取值范围；（2）当b＞0时，函数g（x）的图象C上有两点P（b，e b）、Q（﹣b，e﹣b），过点P、Q作图象C的切线分别记为l1、l2，设l1与l2的交点为M（x0，y0），证明：x0＞0．2015-2016学年湖北省荆门市龙泉中学高三（上）8月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确的答案填涂在答题卡上．）1．已知命题P：∃x0∈R+，log2x0=1，则￢P是（）A．∀x0∈R+，log2x0≠1B．∀x0∉R+，log2x0≠1C．∃x0∉R+，log2x0≠1 D．∃x0∉R+，log2x0≠1【考点】特称命题；命题的否定．【分析】将命题P中的“∃”换为“∀”，同时将结论“log2x0=1”否定，则得到￢P．【解答】解：命题P：∃x0∈R+，log2x0=1，则￢P是∀x0∈R+，log2x0≠1故选A【点评】本题考查含量词的命题的否定规则：将命题中的量词交换同时结论否定即可，属于基础题．2．在一次射击训练中，甲、乙两名运动员各射击一次．设命题p是“甲运动员命中10环”，q是“乙运动员命中10环”，则命题“至少有一名运动员没有命中10环”可表示为（）A．p∨q B．（￢p）∧（￢q）C．（￢p）∨（￢q）D．p∨（￢q）【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】先求出命题￢p和￢q，从而求出其复合命题即可．【解答】解：命题￢p：甲没射中目标，￢q：乙没射中目标；∴“至少有一位运动员没有射中目标”就是“甲没射中目标，或乙没射中目标”；所以可表示为（￢p）∨（￢q）．故选：C．【点评】本题考查了复合命题的表示，考查命题的否定，是一道基础题．3．设全集U=R，集合M={x|y=lg（x2﹣1）}，N={x|0＜x＜2}，则N∩（∁U M）=（）A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x＜1}【考点】交集及其运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】由全集U=R，集合M={x|y=lg（x2﹣1）}={x|x＜﹣1或x＞1}，先求出C U M，再由集合N能够求出N∩（∁U M）．【解答】解：∵全集U=R，集合M={x|y=lg（x2﹣1）}={x|x＜﹣1或x＞1}，∴C U M={x|﹣1≤x≤1}，∵集合N={x|0＜x＜2}，∴N∩（∁U M）={x|0＜x≤1}．故选B．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（）A．x3＜3x＜log3x B．3x＜x3＜log3x C．log3x＜x3＜3x D．log3x＜3x＜x3【考点】不等关系与不等式；对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为0＜x＜1，所以可选取中间数0，1，利用对数函数、幂函数、指数函数的单调性即可比较出其大小．【解答】解：∵0＜x＜1，∴log3x＜log31=0，0＜x3＜1，1=30＜3x，∴，故选C．【点评】掌握对数函数、指数函数、幂函数的单调性是解题的前提．5．已知函数f（x）=，则f[f（2）]=（）A．B．C．2 D．4【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解函数在即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（2）=﹣f[f（2）]=f（﹣）===．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．6．函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先判断出函数为奇函数，再根据零点的个数判断，问题得以解决．【解答】解：∵f（﹣x）=sin（﹣x）•ln（x2+1）=﹣（sinx•ln（x2+1））=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，∵sinx存在多个零点，∴f（x）存在多个零点，故f（x）的图象应为含有多个零点的奇函数图象．故选B．【点评】本题通过图象考查函数的奇偶性以及单调性，属于基础题．7．已知a1，a2，b1，b2均为非零实数，集合A={x|a1x+b1＞0}，B={x|a2x+b2＞0}，则“”是“A=B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】分类讨论．【分析】先根据，进行赋值说明此时A≠B，然后根据“M⇒N，M是N的充分不必要条件，N是M的必要不充分条件”，进行判定即可．【解答】解：∵∴取a1=1，a2=﹣1，b1=﹣1，b2=1，A≠B而A=B⇒∴“”是“A=B”的必要不充分条件故选B【点评】本题主要考查了以不等式为载体考查两集合相等的充要条件，以及赋值法的运用，属于基础题．8．已知函数f（x）=e|x|+x2，（e为自然对数的底数），且f（3a﹣2）＞f（a﹣1），则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】先判定函数的奇偶性和单调性，然后将f（3a﹣2）＞f（a﹣1）转化成f（|3a﹣2|）＞f（|a﹣1|），根据单调性建立不等关系，解之即可．【解答】解：∵f（x）=e|x|+x2，∴f（﹣x）=e|﹣x|+（﹣x）2=e|x|+x2=f（x）则函数f（x）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增∴f（﹣x）=f（x）=f（|﹣x|）∴f（3a﹣2）=f（|3a﹣2|）＞f（a﹣1）=f（|a﹣1|），即|3a﹣2|＞|a﹣1|两边平方得：8a2﹣10a+3＞0解得a＜或a＞故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的综合应用，绝对值不等式的解法，同时考查了转化的思想和计算能力，属于属于基础题．9．设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，集合B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（1，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先求解一元二次不等式化简集合A，B，然后分析集合B的左端点的大致位置，结合A∩B中恰含有一个整数得集合B的右端点的范围，列出无理不等式组后进行求解．【解答】解：由x2+2x﹣3＞0，得：x＜﹣3或x＞1．由x2﹣2ax﹣1≤0，得：．所以，A={x|x2+2x﹣3＞0}={x|x＜﹣3或x＞1}，B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}={x|}．因为a＞0，所以a+1＞，则且小于0．由A∩B中恰含有一个整数，所以．即，也就是．解①得：a，解②得：a．所以，满足A∩B中恰含有一个整数的实数a的取值范围是．故选B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了数学转化思想，训练了无理不等式的解法，求解无理不等式是该题的一个难点．此题属中档题．10．已知f（x）=x3﹣3x+2m，在区间上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）A．m＞6 B．m＞9 C．m＞11 D．m＞12【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；规律型；转化思想；导数的综合应用．【分析】三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．【解答】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）∵函数的定义域为，∴函数在（，1）上f′（x）＜0，（1，3）上f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（，1）单调递减，在区间（1，3）单调递增，则f（x）min=f（1）=2m﹣2，f（3）=2m+18，f（）=2m﹣，f（3）＞f（），f（x）max=f（3）=2m+18由题意知，f（1）=2m﹣2＞0 ①；f（1）+f（1）＞f（3），即﹣4+4m＞18+2m②由①②得到m＞11为所求．故选：C．【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[，3]上的最小值与最大值，考查导数的综合应用．11．已知函数，若f（m）+f（n）=1，则f（m•n）的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据函数f（x）的解析式和f（m）+f（n）=1用lnn表示出lnm，然后代入到f （mn）的表达式，最后由基本不等式可得答案．【解答】解：∵f（x）=∴f（m）+f（n）=2﹣﹣=1∴∴lnm+1=∴f（mn）=1﹣=1﹣=1﹣=1﹣=1﹣≥1﹣=（当且仅当，即n=m=e3时等号取到）故选B．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属中档题，使用基本不等式时注意等号成立的条件．12．定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】数形结合；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由不等式f（x）＞﹣xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，得到函数h（x）=xf（x）在x＞0时是增函数，再由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数得到h（x）=xf（x）为偶函数，结合f（0）=f（3）=f（﹣3）=0，作出两个函数y1=xf（x）与y2=﹣lg|x+1|的大致图象，即可得出答案．【解答】解：定义在R的奇函数f（x）满足：f（0）=0=f（3）=f（﹣3），且f（﹣x）=﹣f（x），又x＞0时，f（x）＞﹣xf′（x），即f（x）+xf′（x）＞0，∴[xf（x）]'＞0，函数h（x）=xf（x）在x＞0时是增函数，又h（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x），∴h（x）=xf（x）是偶函数；∴x＜0时，h（x）是减函数，结合函数的定义域为R，且f（0）=f（3）=f（﹣3）=0，可得函数y1=xf（x）与y2=﹣lg|x+1|的大致图象如图所示，∴由图象知，函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为3个．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若幂函数f（x）=x a的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为x﹣4y+4=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】先设出幂函数的解析式，然后根据题意求出解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=4处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可．【解答】解：∵f（x）是幂函数，设f（x）=xα∴图象经过点（4，2），∴2=4α∴α=∴f（x）=f'（x）=它在A点处的切线方程的斜率为f'（4）=，又过点A（4，2）所以在A点处的切线方程为x﹣4y+4=0故答案为：x﹣4y+4=0【点评】本小题主要考查幂函数的定义和导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．函数f（x）=的定义域为（0，）∪（2，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【解答】解：要使函数有意义，则∵∴log2x＞1或log2x＜﹣1解得：x＞2或x所以不等式的解集为：0＜x或x＞2则函数的定义域是（0，）∪（2，+∞）．故答案为：（0，）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了函数定义域的求法，即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，最后注意要用集合或区间的形式表示出来，这是易错的地方．15．已知f（x）为R上增函数，且对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]=4，则f（log35）= 6 ．【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】因为f（x）是R上的增函数，所以若f（x）﹣3x不是常数，则f[f（x）﹣3x]便不是常数．而已知f[f（x）﹣3x]=4，所以f（x）﹣3x是常数，设f（x）﹣3x=m，所以f（m）=4，f（x）=3x+m，所以f（m）=3m+m=4，容易知道该方程有唯一解，m=1，所以f（x）=3x+1，所以便可求出f（log35）．【解答】解：根据题意得，f（x）﹣3x为常数，设f（x）﹣3x=m，则f（m）=4，f（x）=3x+m；∴3m+m=4，易知该方程有唯一解，m=1；∴f（x）=3x+1；∴f（log35）=5+1=6．故答案为：6．【点评】对于单调函数，当自变量的值是变量时，函数值也是变量，考查单调函数零点的情况．16．已知函数f（x）=g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：①函数f（x）的值域为[0，]；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解；④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是[，]．其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】分段函数的应用．【专题】阅读型；函数的性质及应用．【分析】求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判断①；化简g（x），判断g（x）的单调性即可判断②；求出g（x）在[0，1]的值域，求出方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解的a的范围，即可判断③；由③得，有解的条件为：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范围，即可判断④．【解答】解：当x∈[0，]时，f（x）=﹣x是递减函数，则f（x）∈[0，]，当x∈（，1]时，f（x）==2（x+2）+﹣8，f′（x）=2﹣＞0，则f（x）在（，1]上递增，则f（x）∈（，]．则x∈[0，1]时，f（x）∈[0，]，故①正确；当x∈[0，1]时，g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0）=﹣acos x﹣2a+2，由a＞0，0≤x≤，则g（x）在[0，1]上是递增函数，故②正确；由②知，a＞0，x∈[0，1]时g（x）∈[2﹣3a，2﹣]，若2﹣3a＞或2﹣＜0，即0＜a＜或a＞，方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解，故③错；故存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则解得≤a≤．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查分段函数的运用，考查函数的值域和单调性及运用，考查存在性命题成立的条件，转化为最值之间的关系，属于易错题和中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1将曲线C1的参数方程消去参数α，即可得出C1的普通方程．将代入上述方程即可得出极坐标方程．（Ⅱ）由曲线C2的极坐标方程ρcos（θ+）=2，展开为=2，即可得直角坐标方程，与圆的方程联立即可得出交点坐标．【解答】解：（Ⅰ）将曲线C1的参数方程（α为参数）．消去参数α，得（x﹣2）2+y2=4，∴C1的普通方程为：x2+y2﹣4x=0．将代入上述方程可得ρ2﹣4ρcosθ=0，∴C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由曲线C2的极坐标方程ρcos（θ+）=2，展开为=2，可得直角坐标方程得：x﹣y﹣4=0．由，解得或．∴C1与C2交点的直角坐标分别为（4，0），（2，﹣2）．可得极坐标分别为（4，0）或．【点评】本小题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．18．已知命题p：方程（ax+2）（ax﹣1）=0在[﹣1，1]上有解；命题q：x1，x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立．若命题p是真命题，命题q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】若命题p为真，推出a|≥1即a≥1或a≤﹣1，对于命题q，推出|x1﹣x2|的最大值等于3．利用a2﹣5a﹣3≥3解得a≥6或a≤﹣1，利用命题p是真命题，命题q为假命题，求解即可．【解答】解：若命题p为真，可知（ax+2）（ax﹣1）=0，显然a≠0，∴或∵x∈[﹣1，1]故有或，∴|a|≥1即a≥1或a≤﹣1…对于命题q，∵x1，x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，∴x1+x2=m，x1•x2=﹣2，∴又m∈[﹣1，1]，故|x1﹣x2|的最大值等于3．由题意得：a2﹣5a﹣3≥3解得a≥6或a≤﹣1故命题q为真，a≥6或a≤﹣1…命题p是真命题，命题q为假命题，则，实数a的取值范围为1≤a＜6…【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．19．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），，记F（x）=2f（x）+g（x）（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．【考点】函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）可得F（x）的解析式，由可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x的值，注意验证即可；（2）方程可化为，设1﹣x=t∈（0，1]，构造函数，可得单调性和最值，进而可得吗的范围．【解答】解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）由，可解得﹣1＜x＜1，所以函数F（x）的定义域为（﹣1，1）令F（x）=0，则…（*）方程变为，即（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0解得x1=0，x2=﹣3，经检验x=﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0即函数F（x）的零点为0．（2）方程可化为=，故，设1﹣x=t∈（0，1]函数在区间（0，1]上是减函数当t=1时，此时x=0，y min=5，所以a m≥1①若a＞1，由a m≥1可解得m≥0，②若0＜a＜1，由a m≥1可解得m≤0，故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤0【点评】本题考查函数的零点与方程的跟的关系，属中档题．20．某企业有一条价值为m万元的生产流水线，要提高其生产能力，提高产品的产值，就要对该流水线进行技术改造，假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足：①y与（m﹣x）x2成正比；②当时，；③，其中a为常数，且a∈[0，2]（1）设y=f（x），求出f（x）的表达式；（2）求产值y的最大值，并求出此时x的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题．【分析】（1）根据y与（m﹣x）x2成正比，建立关系式，再根据②求出比例系数，得到函数f（x）的表达式，再求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（2）本题为含参数的三次函数在特定区间上求最值，利用导数研究函数在给定区间上的单调性即可求出最大值，注意分类讨论．【解答】解：（1）∵y与（m﹣x）x2成正比，∴设y=f（x）=k（m﹣x）x2，又时，∴解得k=4，从而有y=4（m﹣x）x2…由解得故f（x）=4（m﹣x）x2…（2）∵f（x）=4mx2﹣4x3，∴f'（x）=4x（2m﹣3x）令f'（x）=0解得x1=0，…（ⅰ）若，即，当x∈（0，时，f'（x）＞0所以f（x）在[0，上单调递增；当时，f'（x）＜0，由于f（x）在，上单调递减，故当时，f（x）取得最大值…（ⅱ）若，即时，当x∈（0，时，由于f'（x）＞0，∴f（x）在[0，上单调递增，故…综上可知：时，产值y的最大值为，此时投入的技术改造费用为；当时，产值y的最大值为，此时投入的技术改造费用为．…【点评】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、利用导数研究三次函数的最值及分类讨论思想，属于中档题．21．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B 两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）在抛物线上是否存在不与原点重合的点P，使得过点P的直线交抛物线于另一点Q，满足PF⊥QF，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直？并请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设抛物线的方程为x2=2py，由抛物线的定义和已知条件可得p的方程，解p 可得；（Ⅱ）设P（x1，y1），x1≠0，Q（x2，y2），由切线和垂直关系以及韦达定理可得y1的方程，解y1进而可得x1，可得符合题意的点P．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），设A（x A，y A），B（x B，y B），由抛物线定义可知y A+y B+p=8，又AB中点到x轴的距离为3，∴y A+y B=6，∴p=2，∴抛物线的标准方程是x2=4y；（Ⅱ）设P（x1，y1），x1≠0，Q（x2，y2），则x2=4y在P处的切线方程是y=x﹣y1，直线PQ：y=﹣x+2+y1代入x2=4y得x2+x﹣4（2+y1）=0，由韦达定理可得x1+x2=﹣，x1x2=﹣8﹣4y1，∴x2=﹣﹣x1，y2=+y1+4，而=y12﹣2y1﹣﹣7=0，整理可得y13﹣2y12﹣7y1﹣4=0，（y1＞0），变形可得y13+y12﹣3y12﹣7y1﹣4=0，可得y12（y1+1）﹣3y12﹣7y1﹣4=0，可得y12（y1+1）﹣（3y12+7y1+4）=0，即y12（y1+1）﹣（y1+1）（3y1+4）=0，可得（y1+1）（y12﹣3y1﹣4）=0，可得（y1+1）（y1+1）（y1﹣4）=0即（y1+1）2（y1﹣4）=0，解得y1=4，故存在点P（±4，4）满足题意．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，涉及抛物线的标准方程和韦达定理的应用，属中档题．22．已知函数f（x）=alnx﹣，g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）．（1）若函数f（x）在区间（0，1）内是增函数，求实数a的取值范围；（2）当b＞0时，函数g（x）的图象C上有两点P（b，e b）、Q（﹣b，e﹣b），过点P、Q作图象C的切线分别记为l1、l2，设l1与l2的交点为M（x0，y0），证明：x0＞0．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求出函数的导数，得到关于a的不等式，求出a的最小值即可；（2）先求出导函数，求出切线方程，构造出新函数h（b），通过讨论h（b）的单调性，从而证出结论．【解答】解：（1）∵f（x）=alnx+﹣1，∴f′（x）=，若函数f（x）在区间（0，1）内是增函数，则a（x+1）2﹣2x≥0，∴a≥=，∴a≥；（2）∵g′（x）=e x，∴g（b）=g′（b）=e b，∴l1：y=e b（x﹣b）+e b…①，g（﹣b）=g′（﹣b）=e﹣b，∴l2：y=e﹣b（x+b）+e﹣b…②，由①②得：e b（x﹣b）+e b=e﹣b（x+b）+e﹣b，两边同乘以e b得：e2b（x﹣b）+e2b=x+b+1，∴（e2b﹣1）x=b•e2b﹣e2b+b+1，∴x0=，分母e2b﹣1＞0，令h（b）=be2b﹣e2b+b+1，∴h′（b）=2be2b﹣e2b+1，∴h″（b）=4be2b+1＞0，∴h′（b）min→h′（0）→0+，∴h（b）min→h（0）→b＞0，∴x0＞0．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，第一问表示出关于a的不等式是解题的关键，第二问中构造出新函数是解题的关键，本题有一定的难度．。
2015年高考模拟试题_湖北省部分重点中学高三联考数学(理)卷
12. 在△ABC 中， C 6 0 , A B 2 3 , A B 边上的高为
0
8 3
，则 A C B C =
;
13. 已知函数 f x 2 x , g x l o g 2 x x , h x l o g 2 x 2 的零点依次为 a, b, c，则
x
a, b, c 的大小关系是
2
。
1
x
14. 已知 f ( x ) l g ( x 3 x 1) , g ( x ) ( ) m ，若 x1 [ 0, 3] , x 2 [1, 2 ] ，使得 f ( x1 )
2
＞g( x 2 ) ，则实数 m 的取值范围是
; ，都有
e
2
1
e e
2
,
) 2
B． ,
e
2
1 e
C．
1
e
,
D． 2,
e
2
1 e
x 又
10 ．定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( 2 x ) f ( x ) ，当 x 0, 1 时 ， f ( x )
2014～2015 年度湖北省部分重点中学高三联考 数学（理科）试题
注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上的方框涂黑。 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸 上无效。 3.用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上 无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科预测卷及答案(湖北卷)
2015年全国高考湖北卷（理科）数学模拟2015年湖北省高考数学(理科)预测试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作．．卡上图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．。
．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．，在试题卷考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．（2015•长沙模拟）设复数z满足，则=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣i2．（2015•株洲一模）给出下列四个命题：命题p1：“a=0，b≠0”是“函数y=x2+ax+b为偶函数”的必要不充分条件；命题p2：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（）A． p1∧p2B．p1∨¬p2C．p1∨p2D．p1∧¬p23．（2015•怀化一模）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=lg}，在区间（﹣3，3）上任取一实数x，则x∈A∩B的概率为（）A．B．C．D．4．（2015•武汉模拟）已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥a，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β5．（2015•湖北模拟）以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；④若某项测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ≤4）=0.9，则P（ξ≤﹣2）=0.1．其中真命题的个数为（）A． 1 B．2C．3D．46．（2015•武汉模拟）10件产品中有3件次品，不放回地抽取2次，在第1次抽出的是次品的前提下，则第2次抽出正品的概率是（）A．B．C．D．7．（2015•永州二模）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上顶点 A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C，若=2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．8．（2015•湖北模拟）已知函数若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣4，2）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）9．（2011•江西校级模拟）已知一个四位数其各个位置上的数字是互不相等的非负整数，且各个数字之和为12，则这样的四位数的个数是（）A． 108 B．128 C．152 D．17410．（2015•黄冈模拟）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（，3）C．（1，）D．（1，）∪（，3）二．填空题（共6小题）11．（2015•湖北模拟）已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），则sinα的值为．12．（2015•湖北模拟）执行如图所示的程序框图，若输出结果是i=3，则正整数a0的最大值为．13．（2015•武汉模拟）（1+x）（1﹣x）10展开式中x3的系数为．2015年全国高考湖北卷（理科）数学模拟14．（2015•湖北模拟）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”．那么是斐波那契数列中的第项．（2015•湖北模拟）直线l的参数方程是（其中t为参数），圆c的极坐标方程为ρ=2cos 15．（θ+），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是．16．（2015•武汉模拟）在极坐标系中，点P（2，﹣）到直线l：ρsin（θ﹣）=1的距离是．三．解答题（共7小题）17．（2015•黄冈模拟）设函数f（x）=sin2x+cos（2x+）（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及此时x的取值集合；（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（）=﹣，且C为锐角，求sinA的值．18．（2013•天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）再取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（2015•武汉模拟）已知{a n}是由正数组成的数列，其前n项和S n与a n之间满足：a n+=（n≥1且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）设b n=（）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（2014秋•武汉月考）如图，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连结GH．（Ⅰ）求证：AB∥GH；（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值．2015年全国高考湖北卷（理科）数学模拟21．（2013•莱芜二模）已知定点（p为常数，p＞O），B为x轴负半轴上的一个动点，动点M使得|AM|=|AB|，且线段BM的中点在y轴上．（I）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设EF为曲线C的一条动弦（EF不垂直于x轴），其垂直平分线与x轴交于点T（4，0），当p=2时，求|EF|的最大值．21．（2015•湖北模拟）已知函数f（x）=ax++（1﹣2a）（a＞0）（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）证明：1+++…+≥ln（n+1）+（n≥1）；（3）已知S=1+++…+，求S的整数部分．（ln2014≈7.6079，ln2015≈7.6084）2015年湖北省高考数学(理科)预测试卷参考答案一．选择题（共10小题）二．填空题（共6小题）11．． 12． 3 ． 13．﹣75 ．14．2016 ． 15．2． 16． 3 ．三．解答题（共6小题）17．解：（Ⅰ）f（x）=+cos2x﹣sin2x=﹣sin2x，…（2分）∴当sin2x=﹣1时，f（x）max=；…（4分）此时2x=2kπ﹣（k∈Z），∴x的取值集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}．…（6分）（Ⅱ）∵f（）=﹣sinC=﹣，∴sinC=，∵C为锐角，∴C=，…（8分）由cosB=得sinB==，∴sinA=sin（﹣B）=cosB+sinB=．…（12分）18．解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=2015年全国高考湖北卷（理科）数学模拟P（X=3）==P（X=4）==EX==X的分布列为x 1 2 3 4P19．解：（I）∵a n+=（n≥1且n∈N*），两边平方化为．∴，a1＞0，解得a1=1．当n≥2时，，∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}为等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．（II）b n=•a n=，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+，∴=+…+，∴=++…+﹣，∴T n=1++…+﹣=﹣=．20．（Ⅰ）证明：∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，…（1分）∴EF∥AB，DC∥AB，…（2分）∴EF∥DC．又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD．…（3分）又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，…（4分）∴EF∥GH．又EF∥AB，∴AB∥GH．…（6分）（Ⅱ）解：在△ABQ中，∵AQ=2BD，AD=DQ，∴∠ABQ=90°，即AB⊥BQ．又PB⊥平面ABQ，∴BA，BQ，BP两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA=BQ=BP=2，则B（0，0，0），Q（0，2，0），D（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，2），∴=（﹣1，﹣1，2），=（0，﹣1，2）．…（8分）设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），由•=0，•=0，得，取z=1，得=（0，2，1）．…（10分）又=（0，2，0）为平面PAB的一个法向量，∴cos＜n，＞==．设平面PAB与平面PCD所成角为θ，则sinθ==．故平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为．…（12分）21．解：如图，（Ⅰ）设M（x，y），则BM的中点G的坐标为，B（﹣x，0）．又A（），故．由题意知GA⊥GM，所以，2015年全国高考湖北卷（理科）数学模拟所以y2=2px．当M点在x轴上时不满足题意，故曲线C的方程为y2=2px（p＞0，x≠0）；（Ⅱ）设弦EF所在直线方程为y=kx+b，E（x1，y1），F（x2，y2）．由，得：k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0①则．则线段EF的中点为，即．线段EF的垂直平分线方程为．令y=0，x=4，得，得bk=2﹣2k2，所以．所以==．再由①，△=（2kb﹣4）2﹣4k2b2=4k2b2﹣16kb+16﹣4k2b2=16﹣16kb=16﹣16（2﹣2k2）=32k2﹣16＞0．得：，即0＜．所以，当，即k=时，|EF|2取得最大值，最大值等于36，即|EF|的最大值为6．22．解：（1）∵函数f（x）=ax++（1﹣2a），f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min≥0，又∵g′（x）=a﹣﹣=，而当=1，即a=时，①当≤1即a时，g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min=g（1）=0≥0；②当＞1即0＜a＜时，g′（x）=0时x=；且1≤x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＞0；则g（x）min=g（）≥0①，又∵g（）≤g（1）=2a﹣1＜0与①矛盾，不符题意，故舍．∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．（2）证明：由（1）可知a时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=时，（x﹣）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，令x依次取，，，…，时，则有×（﹣）≥ln ，×（﹣）≥ln ，…×（﹣）≥ln ，由同向不等式可加性可得[（+++…+）﹣（+++…+）]≥ln（n+1），即[（1+++…++n）﹣（n﹣﹣﹣﹣…﹣）]≥ln（n+1），也即[2（1+++…+）+﹣1]≥ln（n+1），也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．（3）由（2）的结论，可得，S=1+++…+≥ln2015+∈（8，9），又S=1+++…+＞dx=lnx|=ln2014≈7.6，则有S的整数部分为9．。
2015年湖北省高考数学试卷（理科）答案与解析
A．i B．﹣i C．1D．﹣1 考点：虚数单位i及其性质．系的扩充和复数．专题：数系的扩充和复数．接利用复数的单位的幂运算求解即可．分析：直接利用复数的单位的幂运算求解即可．解答：解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．点评：本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．A．134石B．169石C．338石D．1365石考点：随机抽样和样本估计总体的实际应用．专题：计算题；概率与统计．算题；概率与统计．粒，可得比例，即可得出结论．分析：根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．解答：解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，石，故选：B．题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．A．212B．211C．210D．29考点：二项式定理；二项式系数的性质．项式定理．专题：二项式定理．分析：直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．解答：解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10．（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．故选：D．点评： 本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．算能力．4．（5分）（2015•湖北）设X ～N （μ1，ς12），Y ～N （μ2，ς22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（如图所示．下列结论中正确的是（ ）A ． P （Y ≥μ2）≥P （Y ≥μ1）B ． P （X ≤ς2）≤P （X ≤ς1）C ． 对任意正数t ，P （X ≤t ）≥P （Y ≤t ）D ． 对任意正数t ，P （X ≥t ）≥P （Y ≥t ）考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题： 概率与统计．率与统计． 分析： 直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可． 解答： 解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P （X ≤t ）≥P（Y ≤t ）． 故选：C ．点评： 本题考查了正态分布的图象与性质，题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，学习正态分布，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数一定要紧紧抓住平均数μ和标准差ς这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质． 5．（5分）（2015•湖北）设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3．若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：（a 12+a 22+…+a n ﹣12）（a 22+a 32+…+a n 2）=（a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣1a n ）2，则（，则（ ） A ． p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件的必要条件 B ． p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件的充分条件 C ． p 是q 的充分必要条件的充分必要条件 D ． p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件的必要条件考点： 等比数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列；简易逻辑．差数列与等比数列；简易逻辑．分析： 运用柯西不等式，可得：（a 12+a 22+…+a n ﹣12）（a 22+a 32+…+a n 2）≥（a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣1a n ）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．解答：解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．不成等比数列． 故p是q的充分不必要条件．的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查充分必要条件的判断，题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键．等式解题是关键．6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（，则（ ）A．s gn[g（x）]=sgnx B．s gn[g（x）]=﹣sgnx C．s gn[g（x）]=sgn[f（x）]D．s gn[g（x）]=﹣sgn[f （x）]考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．数的性质及应用．分析：直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．的值，判断选项即可．解答：解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，﹣sgn[f （x ）]=﹣sgn （x+1）=；所以D 不正确；不正确；故选：B ．点评： 本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．属于中档题．7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记P 1为事件“x+y ≥”的概率，P 2为事件“|x ﹣y|≤”的概率，P 3为事件“xy ≤”的概率，则（的概率，则（ ） A ． P 1＜P 2＜P 3 B ． P 2＜P 3＜P 1 C ． P 3＜P 1＜P 2D ． P 3＜P 2＜P 1考点： 几何概型． 专题： 概率与统计．率与统计．分析： 作出每个事件对应的平面区域，出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，求出对应的面积，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．比较即可． 解答： 解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P 1：D （0，），F （，0），A （0，1），B （1，1），C （1，0）， 则阴影部分的面积S 1=1×1﹣=1﹣=，S 2=1×1﹣2×=1﹣=，S 3=1×+dx=+lnx|=﹣ln =+ln2，∴S 2＜S 3＜S 1， 即P 2＜P 3＜P 1，故选：B ．点评： 本题主要考查几何概型的概率计算，题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．利用数形结合是解决本题的关键．利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．接通过图象比较面积的大小即可比较大小． 8．（5分）（2015•湖北）将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b （a ≠b ）同时增加m （m ＞0）个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则（，则（ ） A ． 对任意的a ，b ，e 1＞e 2 B ． 当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2 C ． 对任意的a ，b ，e 1＜e 2 D ． 当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论． 解答： 解：由题意，双曲线C 1：c 2=a 2+b 2，e 1=；双曲线C 2：c ′2=（a+m ）2+（b+m ）2，e 2=，∴=﹣=，∴当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2， 故选：D ． 点评： 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）（2015•湖北）湖北）已知集合已知集合A={（x ，y ）|x 2+y 2≤1，x ，y ∈Z}，B={（x ，y ）||x|≤2，|y|≤2，x ，y ∈Z}，定义集合A ⊕B={（x 1+x 2，y 1+y 2）|（x 1，y 1）∈A ，（x 2，y 2）∈B}，则A ⊕B 中元素的个数为（素的个数为（ ）A．77 B．49 C．45 D．30 考点：集合中元素个数的最值．专题：新定义；开放型；集合．定义；开放型；集合．分析：由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求，根据定义可求解答：解：∵A={（x，y）|x 2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）} ∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素个元素故选：C．点评：本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．素．10．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（的最大值是（ ）A．3B．4C．5D．6考点：进行简单的演绎推理．专题：创新题型；简易逻辑．新题型；简易逻辑．分析：由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4 解答：解：∵[t]=1，∴t∈[1，2），又∵[t2]=2，∴t2∈[2，3），∴t∈[，），又t2∈[2，3），∴t4∈[4，9），∴[t4]=4，∴正整数n的最大值4 故选：B．点评：本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．湖北）已知向量⊥||=3，则•=9．考点：平面向量数量积的运算．面向量及应用．专题：平面向量及应用．已知结合平面向量是数量积运算求得答案．分析：由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．解答：解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．cos﹣2．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．数的性质及应用．分析：利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可．个数即可．解答：解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）| =2sinx﹣|ln（x+1）| =sin2x﹣|ln（x+1）|，的图象，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．所以函数的零点有2个．个．故答案为：2．点评：本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．考点：解三角形的实际应用．算题；解三角形．专题：计算题；解三角形．分析：设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．解答：解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．列式求解．14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．的标准方程为 （x﹣1）2+（y﹣）2=2；（1）圆C的标准方程为（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：两点，下列三个结论：①=； ②﹣=2； ③+=2．其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是 ①②③ ．（写出所有正确结论的序号）（写出所有正确结论的序号）考点： 命题的真假判断与应用；圆与圆的位置关系及其判定． 专题： 创新题型；简易逻辑．新题型；简易逻辑． 分析： （1）取AB 的中点E ，通过圆C 与x 轴相切于点T ，利用弦心距、利用弦心距、半径与半弦长之间半径与半弦长之间的关系，计算即可；的关系，计算即可；（2）设M （cos α，sin α），N （cos β，sin β），计算出、、的值即可．的值即可．解答： 解：（1）∵圆C 与x 轴相切于点T （1，0）， ∴圆心的横坐标x=1，取AB 的中点E ， ∵|AB|=2，∴|BE|=1， 则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C （1，），则圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣）2=2，故答案为：（x ﹣1）2+（y ﹣）2=2．（2）∵圆心C （1，），∴E （0，），又∵|AB|=2，且E 为AB 中点，中点， ∴A （0，﹣1），B （0，+1）， ∵M 、N 在圆O ：x 2+y 2=1上，上， ∴可设M （cos α，sin α），N （cos β，sin β），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，成立，正确．﹣=﹣（）=2，②正确．+=+（）=，③正确．正确．故答案为：①②③．点评：本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．注意解题方法的积累，属于难题．=．考点：与圆有关的比例线段．理和证明．专题：推理和证明．，利用相似三角形求出比值即可．分析：利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可．解答：解：由切割线定理可知：P A2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△P AB与△P AC中，∠P=∠P，∠P AB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△P AB∽△P AC，∴==．故答案为：．题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．点评：本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．（．考点：简单曲线的极坐标方程；双曲线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．标系和参数方程．参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后分析：化极坐标方程化直角坐标方程，求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案．求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案．解答：解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．联立，得，即．∴A（），B（），∴|AB|=．故答案为：．考查了直线和圆锥曲线题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线点评：本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，的位置关系，是基础的计算题．的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πx Asin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0 ）的解析式；（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．的最小值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．角函数的图像与性质．分析：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可得解．可得解．解答：．数据补全如下表： 解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0 π2πx Asin（ωx+φ）05 0 ﹣5 0 且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．点评： 本题主要考查了由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查． 18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式的通项公式 （2）当d ＞1时，记c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．考点： 数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列．差数列与等比数列． 分析： （1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d ＞1时，由（1）知c n =，写出T n 、T n 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．等比数列的求和公式，计算即可． 解答：解：（1）设a 1=a ，由题意可得，解得，或，当时，a n =2n ﹣1，b n =2n n ﹣11；当时，a n =（2n+79），b n =9•；（2）当d ＞1时，由（1）知a n =2n ﹣1，b n =2n ﹣1，∴c n ==， ∴T n =1+3•+5•+7•+9•+…+（2n ﹣1）•， ∴T n =1•+3•+5•+7•+…+（2n ﹣3）•+（2n ﹣1）•，∴T n =2+++++…+﹣（2n ﹣1）•=3﹣，∴T n =6﹣．点评： 本题考查求数列的通项及求和，题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．积累，属于中档题． 19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角；若不是，说明理由；（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角．面都是直角三角形，确定直角．（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可．角的平面角，转化到直角三角形求解即可．解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．标系，运用向量的数量积判断即可．2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．解答：解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面ABCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．的四个面都是直角三角形， 由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，的交线． 在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB 所成二面角的平面角，故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DGF=∠FDB=，则tan=tan∠DPF===，解得．所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．的四个面都是直角三角形，由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；的一个法向量；的一个法向量． 由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得．所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．点评：本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．空间角的求解，属于难题．20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18 0.3 0.5 0.2 P P 0.3 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．元）是一个随机变量．的分布列和均值；（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．的概率．考点：简单线性规划的应用；离散型随机变量的期望与方差．等式的解法及应用；概率与统计．专题：不等式的解法及应用；概率与统计．分析：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获的分布列．求出期望即可．利，然后得到Z的分布列．求出期望即可．）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．分）解答：（12分），则有 解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C （6，0）．将z=1000x+1200y变形为，轴上的截距最大，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160．当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．将z=1000x+1200y变形为，轴上的截距最大，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．的分布列为：故最大获利Z的分布列为：Z 8160 10200 10800 P 0.3 0.5 0.2 因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708 （2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，元的概率为：由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：．点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．的方程；（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小求出该最小试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，有且只有一个公共点，试探究：椭圆C有且只有一个公共点，值；若不存在，说明理由．值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．新题型；开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题．专题：创新题型；开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题．的方程；分析：（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．行求解即可．解答：解：（1）∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，轴上时，等号成立，轴时，等号成立． 同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为．（2）①当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 为：x=4或x=﹣4，都有S △OPQ =，②直线l 的斜率k 存在时，直线l 为：y=kx+m ，（k），由消去y ，可得（1+4k 22）x 22+8kmx+4m 22﹣16=0，∵直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，有且只有一个公共点，∴△=64k 2m 2﹣4（1+4k 2）（4m 2﹣16）=0，即m 2=16k 2+4，①， 由，可得P （，），同理得Q （，），原点O 到直线PQ 的距离d=和|PQ|=•|x P ﹣x Q |，可得S △OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S △OPQ =||=8||，当k 22＞时，S △OPQ =8（）=8（1+）＞8，当0≤k 2＜时，S △OPQ =8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k 2＜时，∴0＜1﹣4k 2≤1，≥2，∴S △OPQ =8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，时取等号，∴当k=0时，S △OPQ 的最小值为8，综上可知当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，三角形OPQ 的面积存在最小值为8． 点评： 本题主要考查椭圆方程的求解，题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（14分）（2015•湖北）已知数列{a n }的各项均为正数，b n =n （1+）na n （n ∈N +），e 为自然对数的底数．然对数的底数．（1）求函数f （x ）=1+x ﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e 的大小；的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；的公式，并给出证明；（3）令c n =（a 1a 2…a n ），数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n ＜eS n ．考点：数列与不等式的综合． 专题：创新题型；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．创新题型；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用． 分析：（1）求出f （x ）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x ＜e x ．取x=即可得到答案；案；（2）由b n =n （1+）na n （n ∈N +），变形求得，，，由此推测=（n+1）n．然后利用数学归纳法证明．．然后利用数学归纳法证明． （3）由c n 的定义、=（n+1）n 、算术﹣几何平均不等式、b n 的定义及，利用放缩法证得T n ＜eS n ．解答： （1）解：f （x ）的定义域为（﹣∞，+∞），f ′（x ）=1﹣e x ． 当f ′（x ）＞0，即x ＜0时，f （x ）单调递增；）单调递增；当f ′（x ）＜0，即x ＞0时，f （x ）单调递减．）单调递减． 故f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．当x ＞0时，f （x ）＜f （0）=0，即1+x ＜e x．令，得，即．①（2）解：；=；．由此推测：=（n+1）n ．②下面用数学归纳法证明②．（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．成立．（2）假设当n=k 时，②成立，即．当n=k+1时，，由归纳假设可得，由归纳假设可得=．∴当n=k+1时，②也成立．也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．都成立．（3）证明：由c n 的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n 的定义及①得T n =c 1+c 2+…+c n = ====＜ea 1+ea 2+…+ea n =eS n ．即T n ＜eS n ．点评： 本题主要考查导数在研究函数中的应用，本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．压轴题．。
2015湖北理高考数学试题
2015普通高等学校招生全国统一考试(湖北理)一、选择题1．i 为虚数单位，i 607＝()A ．iB ．－IC ．1D ．－1 【解析】因i 607＝(i 2)303i ＝－i ，故应选B ．2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石【解析】254粒和1 534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计．设1 534石米内夹谷x 石，则由题意知x 1 534＝28254，解得x ≈169．故这批米内夹谷约为169石．3．已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为() A ．212B ．211 C ．210 D ．29【解答】已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得C 3n ＝C 7n，可得n ＝3＋7＝10．(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为：12×210＝29．故选：D ．4．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )【解析】正态分布密度曲线图像关于x ＝μ对称，故μ1＜μ2，从图中容易得到P (X ≤t )≥P (Y ≤t )．5．设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3．若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件；B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件；D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【解】对命题p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列，则公比q ＝a na n －1(n ≥3)且a n ≠0；对命题q ，①当a n＝0时，(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2成立；②当a n ≠0时，根据柯西不等式，等式(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n)2成立，则a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n －1a n －2＝a n a n －1，故a 1，a 2，…，a n 成等比数列，故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件． 解析 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q 2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件．取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q 成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件．即p 是q 的充分不必要条件．6．已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，，f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a ＞1)，则()A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝－sgn xC ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 【解】因f (x )是R 上的增函数，令f (x )＝x ，故g (x )＝(1－a )x ，因a ＞1，故g (x )是R 上的减函数，由符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩．7．在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 3＜p 1C ．p 3＜p 1＜p 2D ．p 3＜p 2＜p 1【解析】满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12”对应的图形如图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2＜p 3＜p 1．8．将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m ＞0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则()A ．对任意的a ，b ，e 1＞e 2B ．当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2C ．对任意的a ，b ，e 1＜e 2D ．当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2【解析】由题意，双曲线C 1：c 2＝a 2＋b 2，e 1＝ca；双曲线C 2：c ′2＝(a ＋m )2＋(b ＋m )2，e 2＝，故e 21－e 22＝b 2a2﹣＝，故当a＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2，故选：D ．9．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30【解一】因A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z}＝{(0，0)，(0，1)，(0，﹣1)，(1，0)，(﹣1，0)，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z}＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，﹣1)，(0，﹣2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)(1，﹣1)，(1，﹣2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，﹣1)，(2，﹣2)，(﹣1，﹣2)，(﹣1，﹣1)，(﹣1，0)，(﹣1，1)，(﹣1，2)，(﹣2，﹣2)，(﹣2，﹣1)，(﹣2，0)，(﹣2，1)，(﹣2，2)}，因A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，故A ⊕B ＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，﹣1)，(0，﹣2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，﹣1)，(1，﹣2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，﹣1)，(2，﹣2)，(﹣1，﹣2)，(﹣1，﹣1)，(﹣1，0)，(﹣1，1)，(﹣1，2)，(﹣2，﹣2)，(﹣2，﹣1)，(﹣2，0)，(﹣2，1)，(﹣2，2)，(﹣2，3)，(﹣2，﹣3)，(0，﹣3)，(2，﹣3)，(﹣1，3)，(﹣1，﹣3)，(1，3)，(2，3)，(0，3)，(3，﹣1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，﹣2)，(﹣3，2)，(﹣3，1)，(1，﹣3)，(﹣3，﹣1)，(﹣3，0)，(﹣3，﹣2)}共45个元素；【解二】由题意知，A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }＝{(0，1)，(0，﹣1)，(1，0)，(﹣1，0)}，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，故由新定义集合A ⊕B 可知，x 1＝±1，y 1＝0或x 1＝0，y 1＝±1．当x 1＝±1，y 1＝0时，x 1＋x 2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，y 1＋y 2＝－2，－1，0，1，2，故此时A ⊕B 中元素的个数有：7×5＝35个；当x 1＝0，y 1＝±1时，x 1＋x 2＝－2，－1，0，1，2，y 1＋y 2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，这种情形下和第一种情况下除y 1＋y 2的值取－3或3外均相同，即此时有5×2＝10，由分类计数原理知，A ⊕B 中元素的个数为35＋10＝45个，故应选C ． 【解三】因集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z}，故集合A 中有5个元素，即图中圆中的整点，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z}，中有5×5＝25个元素，即图中正方形ABCD 中的整点，A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }的元素可看作正方形A 1B 1C 1D 1中的整点(除去四个顶点)，即7×7﹣4＝45个．10．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是() A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【解析】若[t ]＝1，则t ∈[1，2)，若[t 2]＝2，则t ∈[2，3)(因为题目需要同时成立，则负区间舍去)，若[t 3]＝3，则t ∈[，)，若[t 4]＝4，则t ∈[，)，若[t 5]＝5，则t ∈[，)，其中3≈1．732，≈1．587，≈1．495，≈1．431＜1．495，通过上述可以发现，当t ＝4时，可以找到实数t 使其在区间[1，2)∩[2，3)∩[，)∩[，)上，但当t ＝5时，无法找到实数t 使其在区间[1，2)∩[2，3)∩[，)∩[，)∩[，)上，故正整数n 的最大值4．二、填空题11．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝．【解】因OA →⊥AB →，|OA →|＝3，故OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·OB →＝OA →2＝9．12．函数f (x )＝4cos 2x 2cos(π2－x )－2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为．【解答】函数f (x )的定义域为：{x |x ＞﹣1}．f (x )＝4cos 2x 2cos(π2﹣x )﹣2sin x ﹣|ln(x ＋1)|＝2sin x (2cos 2x2－1)﹣|ln(x ＋1)|＝sin2x ﹣|ln(x ＋1)|，分别画出函数y ＝sin2x ，y ＝|ln(x ＋1)|的图像，由函数的图像可知，交点个数为2．故函数的零点有2个．13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________ m ．【解】依题意，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACB ＝45°，因为AB ＝600，由正弦定理可得600sin 45°＝BCsin 30°，即BC ＝300 2 m ，在Rt △BCD中，因为∠CBD ＝30°，BC ＝3002，所以tan 30°＝CD BC ＝CD3002，所以CD ＝100 6 m ．14．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且AB ＝2．⑴．圆C 的标准．．方程为； ⑵．过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①．|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②．|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③．|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22．其中正确结论的序号是．(写出所有正确结论的序号)【解】⑴．由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝2，解得r ＝2．故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2．⑵．由⑴知，A (0，2－1)，B (0，2＋1)．设M (a ，b )，则|MA ||MB |＝a 2＋[b －(2－1)]2a 2＋[b －(2＋1)]2＝1－b 2＋[b －(2－1)]21－b 2＋[b －(2＋1)]2＝(2－1)b －(2－2)(2＋1)b －(2＋2)＝(2－1)(b －2)(2＋1)(b －2)＝(2－1)2(2＋1)(2－1)＝2－1．同理|NA ||NB |＝2－1．故|NA ||NB |＝|MA ||MB |，①正确；|NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2，②正确；|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝12－1＋2－1＝22，③正确．综上，正确结论的序号是①②③．16．(选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则AB ＝． 三、解答题17．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：⑴．请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数y ＝f (x )的解析式； ⑵．将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )图像的一个对称中心为(5π12，0)，求θ的最小值．【解析】⑴．根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6．数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin(2x －π6)．⑵．由⑴知，f (x )＝5sin(2x －π6)，得g (x )＝5sin(2x ＋2θ－π6)．因y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ．令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z ．由于函数y ＝g (x )的图像关于点(5π12，0)成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z ．由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6． 18．设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100．⑴．求数列{a n }，{b n }的通项公式；⑵．当d ＞1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n ．【解析】⑴．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n ＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.⑵．由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1①，12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n ②．①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1．19．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE ．⑴．证明：PB ⊥平面DEF ．试判断四面体BDEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；⑵．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC /BD 的值．【解析】⑴．因PD ⊥底面ABCD ，故PD ⊥BC ，由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ，故BC ⊥平面PCD ．而DE ⊂平面PCD ，故BC ⊥DE ．又PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，故DE ⊥PC ．而PC ∩BC ＝C ，故DE ⊥平面PBC ．而PB ⊂平面PBC ，故PB ⊥DE ．又PB ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，故PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB ． ⑵．如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD ，的交线．由⑴知，PB ⊥平面DEF ，故PB ⊥DG ．又PD ⊥底面ABCD ，故PD ⊥DG ．而PD ∩PB ＝P ，故DG ⊥平面PBD ．故∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设PD ＝CD ＝1，BC ＝λ，有BD＝(1＋λ2)12，在Rt △PDB 中，由DF ⊥PB ，得∠DFP ＝∠FDB ＝π3，则tan π3＝tan ∠DPF ＝BD /PD ＝(1＋λ2)12＝3，解得λ＝2．故DC /BC ＝22，故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC /BC ＝22．第19题解答图2第19题解答图1【解二】⑴．如图2，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD ＝CD ＝1，BC ＝λ，则D (0，0，0)，P (0，0，1)，B (λ，1，0)，C (0，1，0)，PB →＝(λ，1，－1)，点E 是PC 的中点，故E (0，12，12)，DE →＝(0，12，12)，于是PB →·DE →＝0，即PB ⊥DE ．又EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，故PB ⊥平面DEF ．因PC →＝(0，1，－1)，DE →·PC →＝0，则DE ⊥PC ，故DE ⊥平面PBC ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB ．⑵．由PD ⊥平面ABCD ，故DP →＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量；由⑴知，PB ⊥平面DEF ，故BP →＝(－λ，－1，1)是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则cos π3＝1/(2＋λ2)12＝12，解得λ＝2．故DC /BC ＝1λ＝22，故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC /BC ＝22．20．某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量．⑴．求Z 的分布列和均值；⑵．若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．【解析】设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为Z ，则有2 1.5,1.512,20,0, 0x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩①，目标函数为z ＝1000x ＋1200y ．当W ＝12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A (0，0)，B (2．4，2．8)，C (6，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为561200z y x =-+，当x ＝2．4，y ＝2．8时，直线l ：561200zy x =-+在y轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝2．4×1000＋2．8×1200＝8160．当W ＝15时，(1)表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7．5，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为561200zy x =-+，当x ＝3，y ＝6时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝3×1000＋6×1200＝10200．当W ＝18时，(1)表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (6，4)，D (9，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为561200z y x =-+，当x ＝6，y ＝4时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝6×1000＋4×1200＝10800．故最大获利因此，E (Z )＝8160×0．3＋10200×0．5＋10800×0．2＝9708．⑵．由⑴知，一天最大获利超过10000元的概率P 1＝P (Z ＞10000)＝0．5＋0．2＝0．7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为P ＝1－(1－P 1)3＝0．973．21．一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连结，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C 的方程；(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．第20题解答图1 第20题解答图2第20题解答图3【解析】(1)设点D (t,0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎪⎨⎪⎧ (x 0－t )2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0．由于当点D不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y 2，代入x 20＋y 20＝1，可得x 216＋y 24＝1，即所求曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1． (2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8．②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎫k ≠±12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4．(*1)又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k ．由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m |1＋k 2和PQ ＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12·PQ ·d ＝12|m |·|x P －x Q |＝12·|m |⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2．(*2)将(*1)代入(*2)得，S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2＝8|4k 2＋1||4k 2－1|．当k 2＞14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋14k 2－1＝8⎝⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1＞8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋11－4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2．因0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8．综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．22．已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n (1＋1n )n a n ，n ∈N *，e 为自然对数的底数．⑴．求函数f (x )＝x ＋1－e x 的单调区间，并比较(1＋1n )n 与e 的大小；⑵．计算11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n nb b b a a a L L 的公式，并给出证明； ⑶．令c n ＝(a 1a 2…a n )1n ，数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n ＜e S n ． 【解析】⑴．f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x ．当f (x )＞0，即x ＜0时，f (x )单调递增；当f (x )＜0，即x ＞0时，f (x )单调递减．故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．当x ＞0时，f (x )＜f (0)＝0，即1＋x ＜e x ．令x ＝1n ，得1＋1n ＜e 1n ，即(1＋1n )n ＜e ．①⑵．11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；123312123123b b b bb b a a a a a a =⋅＝32·3(1＋13)3＝(3＋1)3＝43．由此推测：1212(1).n n nb b b n a a a=+L L ② 下面用数学归纳法证明②．(1)当n ＝1时，左边＝右边＝2，②成立．(2)假设当n ＝k 时，②成立，即1212(1)k k kb b b k a a a =+L L ．当n ＝k ＋1时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++L L L L ．故当n ＝k ＋1时，②也成立．根据(1)(2)，可知②对一切正整数n 都成立．⑶．由c n 的定义，②，算术-几何平均不等式，b n 的定义及①得123n n T c c c c =++++=L 111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++L L111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++L L 12312112122334(1)n b b b b b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+L L 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++L L L 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++L 1212n b b b n <+++L 1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++L 12e e e n a a a <+++L =n eS ． 即T n ＜e S n ．2015普通高等学校招生全国统一考试(广东文)一、选择题1．若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{1} C ．{0} D ．{－1，1} 【解析】M ∩N ＝{1}，故选C ．2．已知i 是虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－2【解析】(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝1＋2i －1＝2i ，故选D ．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x 2＋sin x【解析】函数f (x )＝x 2＋sin x 的定义域为R ，关于原点对称，因f (1)＝1＋sin 1，f (－1)＝1－sin 1，故函数f (x )＝x 2＋sin x 既不是奇函数，也不是偶函数；函数f (x )＝x 2－cos x 的定义域为R ，关于原．4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，x ＋y ≥0，x ≤4，则z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．2B ．5C ．8D ．10 【解析】作出可行域如图所示：作直线l 0：2x ＋3y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：2x ＋3y ＝z ，当直线l 经过点A 时，z ＝2x ＋3y 取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，故点A 的坐标为(4，－1)，故z max ＝2×4＋3×(－1)＝5，故选C ．5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b ＜c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3【解析】由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得：b ＝2或b ＝4，因b ＜c ，故b ＝2，故选B ．6．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交【解析】若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与l 1，l 2中的一条相交，故选A ．7．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0．4B ．0．6C ．0．8D ．1 【解析】5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，恰有一件次品，有6种，分别是(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，设事件A ＝ “恰有一件次品”，则P (A )＝0．6，故选B ．8．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9【解析】由题意得：m 2＝25－16＝9，因m ＞0，故m ＝3，故选C ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．2B ．3C ．4D ．510．若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p ＜s ≤4，0≤q ＜s ≤4，0≤r ＜s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t ＜u ≤4，0≤v ＜w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．50 【解析】当s ＝4时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有4×4×4＝64种，当s ＝3时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有3×3×3＝27种，当s ＝2时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2×2×2＝8种，当s ＝1时，p ，q ，r 都取0，有1种，故card(E ) ＝64＋27＋8＋1＝100，当t ＝0时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当t ＝1时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当t ＝2时，u 取3，4中的一个，有2种，当t ＝3时，u 取4，有1种，故t 、u 的取值有1＋2＋3＋4＝10种，同理，v 、w 的取值也有10种，故card(F )＝10×10＝100，故card(E )＋card(F )＝100＋100＝200，故选D ．二、填空题11．不等式－x 2－3x ＋4＞0的解集为________．(用区间表示)【解析】由－x 2－3x ＋4＜0得：－4＜x ＜1，故不等式－x 2－3x ＋4＞0的解集为(－4，1)．12．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．13．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________． 【解析】因三个正数a ，b ，c 成等比数列，故b 2＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1，因b ＞0，故b ＝1．(二)选做题14．(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．【解析】曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：x ＝2，y ＝－4，故C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)．15．(几何证明选讲选做题)如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D ．若AB ＝4，CE ＝23，则AD ＝________．三、解答题16．(本小题满分12分)已知tan α＝2．(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．【解析】⑴．ta n(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2×1＝－3；⑵．sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1．17．(本小题满分12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？【解析】⑴．由(0．002＋0．0095＋0．011＋0．0125＋x ＋0．005＋0．0025)×20＝1得：x ＝0．0075，所以直方图中x 的值是0．0075；⑵．月平均用电量的众数是12(220＋240)＝230，因(0．002＋0．0095＋0．011)×20＝0．45＜0．5，故月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a ，由(0．002＋0．0095＋0．011)×20＋0．0125×(a －220)＝0．5得：a ＝224，故月平均用电量的中位数是224；⑶．月平均用电量为[220，240)的用户有0．0125×20×100＝25户，月平均用电量为[240，260)的用户有0．0075×20×100＝15户，月平均用电量为[260，280)的用户有0．005×20×100＝10户，月平均用电量为[280，300]的用户有0．0025×20×100＝5户，抽取比例为11÷(25＋15＋10＋5)＝15，故月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×15＝5户．18．(本小题满分14分)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3．(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．【解析】⑴．因四边形ABCD 是长方形，故BC ∥AD ，因BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，故BC ∥平面PDA ；⑵．因四边形ABCD 是长方形，故BC ⊥CD ，因平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，故BC ⊥平面PDC ，因PD ⊂平面PDC ，故BC ⊥PD ；⑶．取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因PD ＝PC ，故PE ⊥CD ，在RtΔPED 中，PE ＝7，因平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ，故PE ⊥平面ABCD ，由⑵知：BC ⊥平面PDC ，由⑴知：BC ∥AD ，故AD ⊥平面PDC ，因PD ⊂平面PDC ，故AD ⊥PD ，设点C 到平面PDA 的距离为h ，因V C －PDA ＝V P －ACD ，故13S ΔPDA ·h ＝13S ΔACD ·PE ，即h ＝(S ΔACD ·PE )/ S ΔPDA＝327，故点C 到平面PDA 的距离是327． 19．(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1．(1)求a 4的值；(2)证明：{a n ＋1－12a n }为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式． 【解析】⑴．当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4(1＋32＋54＋a 4)＋5(1＋32)＝8(1＋32＋54)＋1，解得：a 4＝78；⑵．因4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，故4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即 4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)，因4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，故4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，因a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，故数列{a n ＋1－12a n }是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列；⑶．由⑵知：数列{a n ＋1－12a n }是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列，故a n ＋1－12a n ＝(12)n －1，即a n ＋1⎝⎛⎭⎫12n ＋1－a n ⎝⎛⎭⎫12n ＝4，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ⎝⎛⎭⎫12n 是以a 112＝2为首项，公差为4的等差数列，故a n⎝⎛⎭⎫12n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，即a n ＝(4n －2)×(12)n ＝(2n －1)×(12)n －1，故数列{a n }的通项公式是a n ＝(2n －1)(12)n －1．20．(本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ．(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】⑴．由x 2＋y 2－6x ＋5＝0，得(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3，0)； ⑵．设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，①当线段AB 不在x 轴上时，有C 1M ⊥AB ，则k C 1M ·k AB ＝－1，即y x －3·y x ＝－1，整理得，(x －32)2＋y 2＝94，又当直线l 与圆C 1相切时，易求得切点的横坐标为53．所以此时M 的轨迹C 的方程为(x －32)2＋y 2＝94(53＜x ＜3)．②当线段AB 在x 轴上时，点M 的坐标为(3，0)，也满足式子(x －32)2＋y 2＝94．综上，线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为(x －32)2＋y 2＝94(53＜x ≤3)；⑶．由⑵知，点M 的轨迹是以C (32，0)为圆心，r ＝32为半径的部分圆弧EF (如图所示，不包括两端点)，且E ⎝⎛⎭⎫53，253，F ⎝⎛⎭⎫53，－253．又直线L ：y ＝k (x －4)过定点D (4，0)，当直线L 与圆C 相切时，由⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫32－4－0k 2＋（－1）2＝32，得k ＝±34，又k DE ＝－k DF ＝－0－⎝⎛⎭⎫－2534－53＝－257，结合如图可知当k ∈{－34，34}∪[－257，257]时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点． 21．(本小题满分14分)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2－a (a －1)＋|x －a |． (1)若f (0)≤1，求a 的取值范围； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数．【解析】⑴．f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因f (0)≤1，故|a |＋a ≤1，当a ≤0时，0≤1，显然成立；当a ＞0，则有2a ≤1，故a ≤12．故0＜a ≤12．综上所述，a 的取值范围是a ≤12．⑵．()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x ax x a x x f ,2)12(,12)(22，对于u 1＝x 2－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝a －12＜a ，开口向上，故f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；对于u 1＝x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝a ＋12＞a ，开口向上，故f (x )在(－∞，a )上单调递减．综上，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减．⑶．由⑵得，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，故f (x )min ＝f (a )＝a －a 2．(i)当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f ，令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4x (x ＞0)．因f (x )在(0，2)上单调递减，故f (x )＞f (2)＝－2，而y ＝－4x 在(0，2)上单调递增，y ＜f (2)＝－2，故y ＝f (x )与y ＝－4x 在(0，2)无交点．当x ≥2时，f (x )＝x 2－3x ＝－4x ，即x 3－3x 2＋4＝0，故x 3－2x 2－x 2＋4＝0，故(x －2)2(x ＋1)＝0，因x ≥2，故x ＝2，即当a ＝2时，f (x )＋4x有一个零点x ＝2．(ii)当a ＞2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2，当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a ＞4，f (a )＝a －a 2，而y ＝－4x 在x ∈(0，a )上单调递增，当x ＝a 时，y ＝－4a ．下面比较f (a )＝a －a 2与－4a 的大小，因a －a 2－(－4a )＝－1a (a－2)(a 2＋a ＋2)＜0，故f (a )＝a －a 2＜－4a．结合图像不难得当a ＞2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个交点．综上，当a ＝2时，f (x )＋4x 有一个零点x ＝2；当a ＞2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个零点．2015普通高等学校招生全国统一考试(广东理)一．选择题1．若集合M ＝{x |(x ＋4)(x ＋1)＝0}，集合N ＝{x |(x －4)(x －1)＝0}，则M ∩N ＝A ．∅B ．{－1，－4}C ．{0}D ． {1，4} 【解析】M ＝{－1，－4}，N ＝{1，4}，故M ∩N ＝∅．2．若复数z ＝i(3 – 2i) (i 是虚数单位)，则z －＝A ．3－2iB ．3＋2iC ．2＋3iD ． 2－3i【解析】z ＝2＋3i ，z －＝2－3i ．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．y ＝x ＋e xB ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x 2＋1【解析】设f (x )＝x ＋e x ，其定义域为R ，f (－x )＝－x ＋e －x ，而－f (x )＝－x －e x ，故f (－x )不恒等于－f (x )，也不恒等于－f (x )，故f (x )既不是奇函数也不是偶函数，而B ，C ，D 三个选项中的函数依次为奇函数，偶函数，偶函数．4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A ．1B ．1121C ．1021D ．521【解析】所求概率为1110521550210.151421C C C ⨯==⨯ 5．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是A ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0【解析】设所求直线的方程为2x ＋y ＋a ＝0，依题意得，|c |5＝5，故|c |＝5，即c ＝±5．6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则z ＝3x ＋2y 的最小值为A ．531 B ．6 C ．235 D ．4【解析】可行域为一五边形及其内部(含边界)，该五边形的五个顶点分别为A (1，2)，B (3，2)，C (3，0)，D (2，0)，E (1，45)，易知当目标函数过点E (1，45)时取到最小值，此时z ＝3×1＋2×45＝235．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C的方程为( )A ．x 24－y 23＝1B ．x 29－y 216＝1C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1【解析】∵e ＝c a ＝54，F 2(5，0)，∴c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1．8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A ．大于5B ． 等于5C ． 至多等于4D ． 至多等于3 提示：显然当以A ，B ，C ，D 四点为顶点构成正四面体时，这四点两两的距离都相等，以下用反证法证明5个或5个以上的点两两距离不可能都相等：假设A ，B ，C ，D ，E 五个点两两距离都相等，三棱锥A －BCD 和三棱锥E －BCD 是两个全等的正四面体，从而AE ＝263AB ＞AB ，这与这五点的距离两两相等矛盾．(注：AE 的长度为三棱锥A －BCD 的高的二倍) ，故最多四个点两两距离相等．二．填空题(一)必做题(9～13题)9．在(x －1)4的展开式中，x 的系数为 ．【解析】T r ＋1＝C r 4(x )4－r(－1)r ＝(－1)r C r 4x 2－12r ，令2－12r ＝1得，r ＝2，故展开式中的x 的系数为(－1)2 C 24＝6．10．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝ ． 【解析】a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5 a 5＝25，故a 5＝5，从而a 2＋a 8＝2 a 5＝10．11．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ ．【解析】因sin B ＝12，且B ∈(0，π)，故B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，故B ≠5π6，从而B ＝π6，故a ＝2b cosπ6，即3＝3b ，故b ＝1． 12．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．(用数字做答)【解析】由题意，全班同学共写了A 240＝40×39＝1 560条毕业留言． 13．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，V (X )＝20，则p ＝ ． 【解析】因X ～B (n ，p )，故E (X )＝np ＝30，V (X )＝np (1－p )＝20，故1－p ＝23，故p ＝13．(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ－π4)＝2，点A 的极坐标为A (22，7π4)，则点A 到直线l 的距离为 ．【解析】2ρsin(θ－π4)＝2，即2ρ(sin θcos π4－cos θsin π4)＝2，即ρsin θ－ρcos θ＝1，即l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，22cos 7π4＝2，22sin 7π4＝－2，故点A 的直角坐标为(2，－2)，从而点A 到直线l 的距离为522．三．解答题16．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝(22，－22)，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π2)． ⑴．若m ⊥n ，求tan x 的值； ⑵．若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．【解析】⑴．若m ⊥n ，则m ·n ＝0．由向量数量积的坐标公式得，22sin x －22cos x ＝0，故tan x ＝1．(2)因m 与n 的夹角为π3，故m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12，故sin(x －π4)＝12．又x ∈(0，π2)，故x －π4∈(－π4，π4)，故x －π4＝π6，即x ＝5π12． 17．(本小题满分12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表：⑴．用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；⑵．计算⑴中样本的平均值x －和方差s 2；⑶．36名工人中年龄在x －－s 与x －＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0．01％)？ 【解析】⑴．各分段工人的编号依次为1~4，5~8，…，33~36，依题意，第一分段里抽到的年龄为44，即抽到的是编号为2的工人，从而所得样本的编号依次为2，6，10，14，18，22，26，30，34，即样本的年龄数据依次为44，40，36，43，36，37，44，43，37．⑵．x －＝19(44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37)＝40＋19(4＋0－4＋3－4－3＋4＋3－3) ＝40，故s 2＝19[42＋02＋(－4)2＋32＋(－4)2＋(－3)2＋42＋32＋(－3)2]＝19(4×42＋4×32)＝1009．⑶．s ＝103，故x －－s ＝40－103＝3623，x －＋s ＝40＋103＝4313，易得36人中，年龄位于3623与4313之间的有23人，23/36≈0．6389%，即36名工人中年龄在x －－s 与x －＋s 之间有23人，所占的百分比是63．89%．18．如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3．点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2GB ．(1)证明：PE ⊥FG ；(2) 求二面角P – AD – C 的正切值； (3) 求直线P A 与直线FG 所成角的余弦值．【解析】⑴．因PD ＝PC 且点E 为CD 的中点，故PE ⊥CD ，又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ，故PE ⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD ，故PE ⊥FG ；⑵．因ABCD 是矩形，故AD ⊥DC ，又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，AD ⊂平面ABCD ，故AD ⊥平面PDC ，又CD 、PD ⊂平面PDC ，故AD ⊥CD ，AD ⊥PD ，故∠PDC 即为二面角P – AD – C 的平面角，在Rt ΔPDE 中，PD ＝4，DE ＝12AB ＝3，PE ＝7，故tan ∠PDC ＝PE /DE ＝73，即二面角P – AD – C 的正切值为73；⑶．如下图所示，连接AC ，因AF ＝2FB ，CG ＝2GB ，即AF /FB ＝CG /GB ＝2，故AC ∥FG ，故∠P AC 为直线P A 与直线FG 所成角或其补角，在ΔP AC 中，P A ＝5，AC ＝35，由余弦定理可得cos ∠P AC ＝9255，故直线P A 与直线FG 所成角的余弦值为9255． PC DEFGPCDEFG19．设1a >，函数2()(1)xf x x e a =+-． ⑴．求f (x )的单调区间；⑵．证明：()y f x =在(,)-∞+∞上仅有一个零点；⑶．若曲线()y f x =在点P 处的切线与轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点)，证明：1m ≤． 【解】⑴．'2()(1)0xf x e x =+≥，故()f x 在(,)-∞+∞上是单调增函数；⑵．因1a >，故(0)10f a =-<，且22()(1)10af a a e a a a =+->+->，故f (x )在(0,)a 上有零点，又由⑴知，f (x )在(,)-∞+∞上是单调递增，故()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点； ⑶．由⑴知，令'()0f x =得，1x =-，又2(1)f a e -=-，即2(1,)P a e --，故2OP k a e=-，又'2()(1)m f m e m =+，故22(1)m e m a e+=-，令()1m g m e m =--，则'()1m g m e =-，由'()0g m >得，0m >，由'()0g m <得，0m <，故函数()g m 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，故min ()(0)0g m g ==，即()0g m ≥在R 上恒成立，故1m e m ≥+，故232(1)(1)m a e m m e-=+≥+1m +，故1m ≤．20．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ．⑴．求圆C 1的圆心坐标；⑵．求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；⑶．是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】⑴．由x 2＋y 2－6x ＋5＝0，得(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3，0)； ⑵．设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，①当线段AB 不在x 轴上时，有C 1M ⊥AB ，则k C 1M ·k AB ＝－1，即y x －3·y x ＝－1，整理得，(x －32)2＋y 2＝94，又当直线l 与圆C 1相切时，易求得切点的横坐标为53．所以此时M 的轨迹C 的方程为(x －32)2＋y 2＝94(53＜x ＜3)．②当线段AB 在x 轴上时，点M 的坐标为(3，0)，也满足式子(x －32)2＋y 2＝94．综上，线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为(x －32)2＋y 2＝94(53＜x ≤3)；x⑶．由⑵知由(2)知点M 的轨迹是以C (32，0)为圆心，r ＝32为半径的部分圆弧EF (如图所示，不包括两端点)，且E ⎝⎛⎭⎫53，253，F ⎝⎛⎭⎫53，－253．又直线L ：y ＝k (x －4)过定点D (4，0)，当直线L 与圆C 相切时，由⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫32－4－0k 2＋（－1）2＝32，得k ＝±34，又k DE ＝－k DF＝－0－⎝⎛⎭⎫－2534－53＝－257，结合如图可知当k ∈{－34，34}∪[－257，257]时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点． 21．数列{a n }满足a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *．⑴．求a 3的值；⑵．求数列{a n }前n 项和T n ；⑶．令b 1＝a 1，b n ＝1n T n －1＋(1＋12＋13＋…＋1n )a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n＜2＋2ln n ．【解】⑴．a 1＝1，1＋2a 2＝4－2＝2，故a 2＝12，1＋1＋3a 3＝4－54，故a 3＝14；⑵．当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝4－(n ＋1)(12)n －2，从而na n ＝n 2n －1，故a n ＝12n －1(n ≥2)，又a 1＝1＝(12)0，故a n ＝12n －1(n ∈N *)，故数列{a n }是1为首项，12为公比的等比数列，从而T n ＝1－12n1－12＝2－12n －1；⑶．b 1＝a 1，b 2＝12a 1＋(1＋12)a 2，b 3＝13(a 1＋a 2)＋(1＋12＋13)a 3，b n ＝1n T n －1＋(1＋12＋13＋…＋1n )a n ，故S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1＋12＋13＋…＋1n )(a 1＋a 2＋…＋a n )＝(1＋12＋13＋…＋1n )T n ＝(1＋12＋13＋…＋1n )(2－12n －1)＜2(1＋12＋13＋…＋1n )，记函数f (x )＝1x －1＋ln x (x ＞1)，则f ′(x )＝x －1x 2＞0，故当x ＞1时，f (x )为增函数，从而当x ＞1时，f (x )＞f (1)＝0，因当k ∈N *，且k ≥2时，k k －1＞1，故f (k k －1)＞0，即ln k k －1＞1k ，故12＜ln 2，13＜ln 32，…，1n ＜ln [n /(n －1)]，故1＋12＋13＋…＋1n ＜ln 2＋ln 32＋…＋ln。
湖北省荆门市2015届高三数学元月调研考试试题 理
荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试数 学（理）本试卷共4页，21题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答卷前，先将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{}{}26,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则AB =A ．{}3,4,5B ．{}4,5,6C ．{}36x x <≤D ．{}36x x <≤ 2．下列命题中，真命题是 A ．0x R ∃∈，使得00xe ≤ B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x+≠∈≥ C ．2,2xx R x ∀∈>D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件3．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πsin(2)3y x =-的图象A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度4．对于函数2(),f x x mx n =++若()0,()0f a f b >>，则函数()f x 在区间(,)a b 内 A ．一定有零点 B ．一定没有零点C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点5．设x R ∈, 对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+ 的上确界. 若,a b R +∈，且1a b +=，则122ab--的上确界为A ．5-B ．4-C ．92 D ．92-6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为A ．3π32+ B ．π3+ C ．3π2D ．5π32+7．点(,)x y 是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数 z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则yx a -的最大值是 A ．23B ．25C ．16D ．148. 在直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-, 且OA 与OB 在直线l 的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为A ．14-B ．25C ．25或43-D ．529．对于一个有限数列12(,,,)n p p p p =⋅⋅⋅，p 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为121()n S S S n++⋅⋅⋅+，其中12(1,)k k S p p p k n k N =++⋅⋅⋅+∈≤≤．若一个99项的数列（1299,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为1000，那么100项数列1299(9,,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为A ．991B ．992C ．993D ．99910．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，316λμ⋅=，则双曲线的离心率为A ．233 B ．355 C ．322 D ．98二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分) 11．已知函数|1|(1)()3(1)x x x f x x -⎧=⎨>⎩≤，若()2f x =，则x = ▲ ．12．由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为 ▲ ．13．若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围 ▲ ．14．在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．如果20N 的力能使弹簧伸长4cm ，则把弹簧从平衡位置拉长8cm （在弹性限度内）时所做的功为 ▲ （单位：焦耳）.第6题图C (4,2)B (5,1)A (2,0)Oyx第7题图15．已知：对于给定的*q N ∈及映射:,*f A B B N →⊆，若集合C A ⊆，且C 中所有元素在B 中对应的元素之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集．①对于{}3,,,,q A a b c d ==，映射:1,f x x A →∈，那么集合A 的所有好子集的个数为 ▲ ；②对于给定的q ，{}1,2,3,4,5,6,πA =，映射:f A B →的对应关系如下表：x1 2 3 4 5 6πf (x)11111yz若当且仅当C 中含有π和至少A 中3个整数或者C 中至少含有A 中5个整数时，C 为集合A 的好子集，则所有满足条件的数组(,,)q y z 为 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知向量2(cos,1),(3sin ,cos )222x x xm n =-=，设函数()f x m n =． （Ⅰ）求()f x 在区间[]0,π上的零点；（Ⅱ）在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别是,,a b c ，且满足2b ac =，求()f B 的取值范围． 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }是单调递增的，令n n n a a b 21log =，12n S b b =++…n b +，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ． （Ⅰ）求证://SB 平面ACM ；（Ⅱ）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （Ⅲ）求二面角D AC M --的余弦值． 19．（本小题满分12分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10,100]（单位:万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位:万元）随投资收益x （单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（Ⅰ）若建立函数模型()y f x =制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；第18题图（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：1(1)120y x =+；2(2)log 2y x =-．试分析这两个函数模型是否符合公司要求．20．（本小题满分13分）如图，已知圆E :22(3)16x y ++=，点(3,0)F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设直线l 与(Ⅰ)中轨迹Γ相交于B A ,两点, 直线OBl OA ,,的斜率分别为12,,k k k (其中0k >)．△OAB 的面积为S , 以,OA OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ．若21,,k k k 恰好构成等比数列, 求12S S S+的取值范围．21．(本小题满分14分) 设函数2()ln a f x x x=+，32()3g x x x =--． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若存在121,[,3]3x x ∈-，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足条件的最大整数M ；（Ⅲ）如果对任意的1,[,2]3s t ∈，都有()()sf s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．第20题图荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试数学(理)参考答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）1. B2. D3. B4. C5. D6. A7.B8. C9. D 10. A 二、填空题（每小题5分，5小题共25分）11．1-； 1213．3[1,)2； 14．1.6； 15．①5，②(5,1,2). 三、解答题:(本大题共6小题，共75分) 16．因为2(cos,1),(3sin ,cos )222x x xm n =-=，函数()f x mn =． 所以21cos ()cos cos 22222x xx xf x x +=-=- ………………………2分 11π1cos sin()2262x x x =--=--………………………4分 （Ⅰ）由()0f x =，得π1sin()62x -=．ππ=+2π66x k -∴，或π5π=+2π66x k k Z -∈，π=+2π3x k ∴，或=+2πx k k Z π∈， ………………………6分又[]0,πx ∈，π3x ∴=或π．所以()f x 在区间[]0,π上的零点是π3和π． ………………………8分（Ⅱ）在△ABC 中，2b ac =，所以222221cos 2222a cb ac ac ac B ac ac ac +-+-===≥． 由1cos 2B ≥且(0,π)B ∈，得π(0,],3B ∈从而πππ(]666B -∈-， ……………10分π11sin()(,]622B -∈-∴， π1()sin()(1,0]62f B B =-+∈-∴． ………………12分17. （Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为.q依题意，有3242(2)a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =，………2分2420a a ∴+=，∴213118,20,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解之得12,2q a =⎧⎨=⎩ 或11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩…………4分 当12,2q a =⎧⎨=⎩时， 2nn a =； 当11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩时， 612n n a -=．∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =或612n n a -=． …………………6分(Ⅱ)∵等比数列{a n }是单调递增的，∴2nn a =，∴122log 22n n n n b n ==-⋅，∴ 2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅③ ………………………8分2312[1222(1)22]n n n S n n +=-⨯+⨯++-⋅+⋅ ④ 由③－④，得2311122222222.n n n n n S n n +++=++++-⋅=--⋅………………………10分1250n n S n +∴+⋅>即12250n +->，即1252.n +>易知：当4n ≤时，15223252n +=<≤，当5n ≥时，16226452n +=>≥故使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为5. ……………………12分18.(选修2一1第109页例4改编) 方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME ．ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点．M 是SD 的中点，∴ME 是△DSB 的中位线． ∴//ME SB ． (2)分又ME ⊂平面ACM ，SB ⊄平面ACM ， ∴SB //平面ACM ． (4)分 （Ⅱ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，且AM ⊂平面,SAD ∴.AM DC ⊥又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥ ∴AM ⊥平面.SDC SC ⊂平面,SDC ∴.SC AM ⊥ ……………6分 由已知SC AN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN又SC ⊂平面,SAC ∴平面SAC ⊥平面.AMN ……………………8分 （Ⅲ）取AD 中点F ，则MF //SA ．作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ ． ∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD ． ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影．∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC ． ∴FQM ∠为二面角D AC M --的平面角． ………………………10分 设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，112,2224a MF SA FQ DE a ====，∴2tan 224aFQM a∠==． ∴ 二面角D AC M --的余弦的大小为33． ………………………12分 方法二：（II ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，由SA AB =,可设1AB AD AS ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M ．11(,0,)22AM =， ()1,1,1CS =--，11022AM CS ∴⋅=-+= AM CS ∴⊥,即有SC AM ⊥…6分又SC AN ⊥且AN AM A =．SC ∴⊥平面AMN ． 又SC ⊂平面,SAC∴平面SAC ⊥平面AMN ． ………………………8分 （Ⅲ）SA ⊥底面ABCD ，∴AS 是平面ABCD 的一个法向量，(0,0,1)AS =．设平面ACM 的法向量为(,,)n x y z =,11(1,1,0),(,0,)22AC AM ==, 则0,0.AC AM n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00,1100.22x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩, ∴,.y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =-,则(1,1,1)n =-． ……………………10分13cos ,13||||AS AS AS nn n <>===⨯⋅由作图可知二面角D AC M --为锐二面角 ∴二面角D AC M --的余弦值为33． ………………………12分 19．（本小题满分12分）(必修一第127页例2改编)（Ⅰ）设奖励函数模型为()y f x =，则该函数模型满足的条件是：①当[]10,100x ∈时，()f x 是增函数； ②当[]10,100x ∈时，()5f x ≤恒成立；③当[]10,100x ∈时，()5xf x ≤恒成立． ………………………5分（Ⅱ）（1）对于函数模型1(1)120y x =+，它在[]10,100上是增函数，满足条件①； 但当80x =时，5y =，因此，当80x >时，5y >，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求． ………………………7分（2）对于函数模型2(2)log 2y x =-，它在[]10,100上是增函数．满足条件①∴100x =时max 22log 10022log 55y =-=<，即()5f x ≤恒成立．满足条件②…9分设21()log 25h x x x =--，则2log 1()5e h x x '=-，又[]10,100x ∈ 11110010x ∴≤≤∴2log 121()0105105e h x '<-<-=，所以()h x 在[]10,100上是递减的，因此 2()(10)log 1040h x h <=-<，即()5xf x ≤恒成立．满足条件③故该函数模型符合公司要求综上所述，函数模型2log 2y x =-符合公司要求． ………………………12分20．(选修2一1第49页习题第7题改编)（Ⅰ）连结QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4||23EF >=， 故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． ………………………2分设其方程为22221(0)x x a b a b+=>>，可知2a =，223c a b =-=，则1b =，……3分所以点Q 的轨迹Γ的方程为2214x y +=． ………………………4分(Ⅱ)设直线l 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ， 由韦达定理有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=∆m k ………………………6分 ∵21,,k k k 构成等比数列，∴212k k k ==2121))((x x m kx m kx ++，即：0)(221=++m x x km由韦达定理代入化简得：412=k ．∵ 0>k ，∴21=k ．………………………8分此时0)2(162>-=∆m ，即)2,2(-∈m ．又由A O B 、、三点不共线得0m ≠从而(2,0)(0,2)m ∈-．故d AB S ⋅=||2122121||||121km x x k +⋅-+=||4)(2121221m x x x x ⋅-+=||22m m ⋅-= ……………………………………10分 ∵22221212144x x y y +=+=则 =+21S S )(422222121y x y x +++⋅π)24343(42221++⋅=x x π2]2)[(16321221ππ+-+⋅=x x x x 45π=为定值． ……………………12分 ∴S S S 21+⋅=45π||212m m ⋅-5π4≥当且仅当1m =±时等号成立．综上：12S S S +的取值范围是5π[)4+∞，．……………………13分 21. (Ⅰ)233212()a x af x x x x-'=-+=, 定义域（0，+∞） ……………………1分 ①当0a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增, …………………2分②当0a >时，()0f x x '⇒≥()f x 的单调递增区间为)+∞.()00f x x '⇒<≤()f x 的单调递减区间为. …………4分 (Ⅱ)存在121,[,3]3x x ∈-，使得12()()g x g x M -≥成立,等价于12max [()()]g x g x M -≥. ……………………5分 考察3222()3,()323()3g x x x g x x x x x '=--=-=-x13- 1(,0)3- 0 2(0,)3232(,3)33 ()g x '+-+()g x8527-递增 3- 递减 8527- 递增 15 ……………7分由上表可知min 1285()()()3327g x g g =-==-，max ()(3)15g x g ==12max max min 490[()()]()()27g x g x g x g x --==， 所以满足条件的最大整数18M =． ……………………9分（Ⅲ）当1[,2]3x ∈时，由（Ⅱ）可知，()g x 在12[,]33上是减函数，在2[,2]3上增函数，而183()(2)1327g g =-<=()g x ∴的最大值是1. ……………………………………10分要满足条件，则只需当1[,2]3x ∈时，()ln 1a xf x x x x =+≥恒成立, 等价于2ln a x x x -≥恒成立,记2()ln h x x x x =-，()12ln h x x x x '=--，(1)0h '=.…………11分当1[,1)3x ∈时,10,ln 0,()0x x x h x '-><>即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)3上递增，当12]x ∈（，时,10,ln 0,()0x x x h x '-<><即函数2()ln h x x x x =-在区间(12]，上递减， ∴1,()x h x =取到极大值也是最大值(1)1h =． ………………………13分所以1a ≥. ……………………14分 另解:设()12ln ,()32ln m x x x x m x x '=--=--， 由于1[,2],()32ln 03x m x x '∈=--<，所以()()12ln m x h x x x x '==--在1[,2]3上递减，又(1)0h '=∴当1[,1)3x ∈时，()0,(1,2]h x x '>∈时()0h x '<，即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)3上递增，在区间(1,2]上递减， ……………13分所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥. ………………………14分。
湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学2015届高三数学下学期期中四校联考试题 理
2014～2015学年度下学期期中联考高 二 数 学〔理〕本试题卷共4页，三大题22小题。
全卷总分为150分。
考试用时120分钟。
★ 祝考试顺利 ★ 须知事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、某某号填写在答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每一小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试完毕后，请将答题卡上交。
一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项满足题目要求的．1．命题“0200(0,),2x x x ∃∈+∞<〞的否认为A ．2(0,),2x x x ∀∈+∞<B ．2(0,),2x x x ∀∈+∞>C ．2(0,),2x x x ∀∈+∞≥D ．2(0,),2x x x ∃∈+∞≥2．随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，假设，如此(22)P ξ-<≤= A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.9773．平面α的法向量为(2,2,4),(3,1,2)n AB =-=-，点A 不在α内，如此直线AB 与平面的位置关系为A ．AB α⊥B ． AB α⊂C ．AB 与α相交不垂直D ．//AB α4．为防止某种疾病，今研制一种新的预防药．任选取100只小白鼠作试验，得到如下的列联表：经计算得2 3.2079K 的观测值为,如此在犯错误的概率不超过( )的前提下认为“药物对防止某种疾病有效〞。
A ．0.025 B ．0.10C ． 0.01D ． 0.05参考数据：5．某咖啡厂为了了解热饮的销售量y 〔个〕与气温x 〔℃〕之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程为y ^＝2-x a +，，当气温为－4℃时，预测销售量约为 A ．68 B ．66 C ．72 D ．706．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说试验成功，如此在30次独立重复试验中成功的次数X 的数学期望是A ．403B ．503C ．10D ．207．如下选项中，说法正确的答案是A ．假设命题“p q ∨〞为真命题，如此命题p 和命题q 均为真命题B ．22am bm <是a b <的必要不充分条件C ．2()4x k k Z ππ=+∈是(sin )(cos )x x ''-=的充要条件D ．命题“假设{,,}a b b c c a +++构成空间的一个基底，如此{,,}a b c 构成空间的一个基底〞的否命题为真命题8．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与圆2217x y +=有公共点(1,4)A -，且圆在A 点的切线与双曲线的渐近线平行，如此双曲线的离心率为A ．4BC．4D ．以上都不对9．某校在高二年级开设选修课，选课完毕后，有四名同学要求改选物理，现物理选修课开有三个班，假设每个班至多可再接收2名同学，那么不同的接收方案共有 A ．72种B ．54种C ．36种D ．18种10．函数3axy e x =+有平行于x 轴的切线且切点在y 轴右侧，如此a 的范围为 A ．(),3-∞-B ．(),3-∞C ．()3,+∞D ．()3,-+∞11．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足32π=∠AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，如此||||MN AB 的最大值是A ．3B ．23C ．33D ．4312．在棱长为1的正方体1111CD C D AB -A B 中，M 是11D A 的中点，点P 在侧面11CC B B 上运动．现有如下命题： ①假设点P 总保持1D PA ⊥B ，如此动点P 的轨迹所在的曲线是直线；②假设点P 到点A 的距离为233，如此动点P 的轨迹所在的曲线是圆；③假设P 满足1C ∠MAP =∠MA ，如此动点P 的轨迹所在的曲线是椭圆；④假设P 到直线C B 与直线11C D 的距离比为2:1，如此动点P 的轨迹所在的曲线是双曲线；⑤假设P 到直线D A 与直线1CC 的距离相等，如此动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线．其中真命题的个数为〔 〕A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每一小题5分，共20分。
15年高考真题——理科数学(湖北卷)-推荐下载
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8．将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b a b同时增加 m m 0个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ，则（ ） （A）对任意的 a, b ，
e1 e2
（B）当 a b 时， e1 e2 ；当 a b 时， e1 e2
2015 年高考真题理科数学（解析版） 卷
2015 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（湖北卷）
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1
1． i 为虚数单位， i607 （ ） （A） i
2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
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2015届湖北省荆门龙泉中学高考模拟试题理科数学一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填在答题卡上．） 1．若复数z 满足3(1)i z i -=+，则复数z 的共轭复数z 的虚部．．为 A ．3 B ．3i C ．3- D ．3i - 2．已知()(){}3,3,,202y M x y N x y ax y a x ⎧-⎫===++=⎨⎬-⎩⎭且∅=⋂N M ，则a = A ．6-或2- B ．6- C ．2或6- D ．23．下列说法中不．正确的是A ．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于演绎推理B ．已知数据12,,...,n x x x 的方差是4，则数据1232015,32015,...,32015n x x x -+-+-+的标准差是6C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数0.9362r =-，则变量y 和x 之间具有很强的线性相关关系4．小吴同学计划大学毕业后出国留学，其父母于2014年7月1日在银行存入a 元钱，此后每年7月1日存入a 元钱，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新一年的定期，在小吴同学2019年7月1日大学毕业时取出这五笔存款，则可以取出的钱（单位：元）的总数为A ．5(1)a p +B ．6(1)a p +C ．5[(1)(1)]a p p p +-+D ．6[(1)(1)]ap p p+-+ 5．运行如下图所示的程序框图，则输出的结果S 为A ．1008B ．2015C ．1007D ．-10076．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示．已知正视图为正方形，则俯视图．．．中椭圆的离心率为A B ．12 C D直观图俯视图侧视图正视图7．将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象关于直线4x π=对称，则φ的最小值为A ．1πB ．3πC ．1πD ．3π 8．已知(1,0),(1OA OC ==-u u r u u u r ,(cos ,sin ),CB αα=u u r则OA uur 与OB uu u r 的夹角的取值范围为 A ．5[,]26ππB ．2[,]23ππC ．25[,]36ππD ．2[,]63ππ9．已知点()(0)F c c ，0->是双曲线22221x y a b-=的左焦点，离心率为e ，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点P ，且P 在抛物线24y cx =上，则2e =ABCD10．设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若对任意给定的),1(+∞∈t ，都存在唯一的R x ∈，满足at t a x f f +=222))((，则正实数．．．a 的最小值是A ． 2B ．21 C ．41 D ．81二、填空题：(本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．） （一）必考题（11—14题）11．校团委组织“中国梦，我的梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有 种． 12．已知321,,a a a 不全为零，设正数y x ,满足222=+y x ，令1223222123xa a ya a a a a +++≤M ，则M 的最小值为 ． 13．定义：{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，在区域0206x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(),p x y ，则,x y 满足22min{2,4}2x x y x y x x y ++++=++的概率为 ．14．定义[]x 表示不超过x 的最大整数()x R ∈，如：[ 1.3]2,[0.8]0-=-=，定义{}[]x x x =-．（1）2349999999999991000100010001000⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭__________；（2）当n 为奇数时，23999999999999...1000100010001000n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫++++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭_________．(二)选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.. AE D C BOB20．（本小题满分12分）甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答 对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432，乙队每人答对的概率都是23．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分． （Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望()E ξ；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．21．(本小题满分13分)已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，A 是E 的右顶点，P 、Q 是E 上关于原点对称的两点，且直线P A 的斜率与直线QA 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过E 的右焦点作直线与E 交于M 、N 两点，直线MA 、NA 与直线3x =分别交于C 、D 两点，设△ACD 与△AMN 的面积分别记为1S 、2S ，求122S S -的最小值．22．(本小题满分14分) 已知函数21()()2=--∈x f x e x ax a R ． （Ⅰ）若函数()f x 的图象在0=x 处的切线方程为2=+y x b ，求,a b 的值； （Ⅱ）若函数()1f x ≥在1[,)2+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）如果函数21()()()2=--g x f x a x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，证明：12ln(2)2x x a +<．2015届湖北省荆门龙泉中学高考模拟试题理科数学参考答案一、选择题： 1-5 AACDD 6-10 CBADB 二、填空题：11．144 12．22 13．49 14．（1）2； （2）199921000n -+ 15． 1614.0111111999(10001)10001000(1)1000(1)(1)k k k k k k k k k k k k C C C C ---=-=+-++-+-∴ 0112111(1)99910001000(1)(1)10001000k k k k k k k k k k k C C C C -----=+-++-+， 所以999999999999{}[]1000100010001000=-=，2229999999991{}[]1000100010001000=-=， 333999999999999{}[]1000100010001000=-=4449999999991{}[]1000100010001000=-=，所以和为2； （2）当n 为奇数时，和为199921000n -+．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：(Ⅰ)由()()()b b a c a c =+-得222b ac =-，得222b c a +-= 于是222cos 2b c a A bc +-==又(0,)A ∈π，∴6A π= ………………………………6分 （Ⅱ）∵B 为钝角 于是2A C π+<，又6A π=，∴03C π<<由正弦定理可知，1221sin 2aR A ===所以bsin B C =5sin()6C C π=--1cos 2C C =cos()3C π=+又03C π<<， 2333C πππ<+<∴b cos()3C π=+11,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭………………………………12分18．解：（Ⅰ）当2n ≥，时11222n n nn n n a S S +-=-=-=，又111112222a S +==-==，也满足上式，所以数列{n a }的通项公式为2n n a =．112b a ==，设公差为d ，则由1311,,b b b 成等比数列，得2(22)2(210)d d +=⨯+， 解得0d =（舍去）或3d =，所以数列}{n b 的通项公式为31n b n =-． ………………………………6分n a +2n+CE ∴m 为面PAC ，则(=a n B…10分∴1()118()()63P AB P B A P A === (1)2分21．（Ⅰ）设0000(,),(,)P x y Q x y --，则22222()b y a x a =- 22000222000PA QA y y y b k k x a x a x a a⋅=⋅==--+-，依题意有2234b a = 又1c =，所以解得224,3a b == 故E 的方程为22143x y +=………………5分 （Ⅱ）设直线MN 的方程为1x my =+，代入E 的方程得22(34)690m y my ++-=设1122(,),(,)M x y M x y ，则12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ 直线MA 的方程为11(2)2y y x x =--，把3x =代入得111121C y y y x my ==-- 同理221D y y my =-所以1221212||||||()1C D y y CD y y m y y m y y -=-==-++ ………………………8分所以11||2S CD =2121||||2S AF y y =⋅- ……………………9分122S S -=(1)t t =≥，则221m t =-， 所以12262331t S S t t -=-+ 记26()331tf t t t =-+，则2226(31)()30(31)t f t t -'=+>+…………11分所以()f t 在[1,)+∞单调递增地，所以()f t 的最小值为3(1)2f = 故122S S -的最小值为32…………………………………………………13分 22．解：（Ⅰ）∵a x e x f x --=')(，∴ a f -='1)0(．于是由题知12a -=，解得1a =-．∴ x x e x f x+-=221)(．∴ (0)1f =，于是1=2×0+b ，解1b =．……………………4分(Ⅱ) 由题意知 2112x e x a x --≤对12x ≥恒成立，令2112()x e x h x x --=，则221(1)12()x x e x h x x--+'=， 令21()(1)12x m x x e x =--+，()(1)x m x x e '=-，当12x ≥时，()0m x '>，则()m x 在1(,)2+∞单增，17()()028m x m ≥=+>，所以()h x 在1(,)2+∞单增，则19()()24h x h ≥=故94a ≤． ……………………8分（Ⅲ）由已知ax ax e x ax ax x e x g x x--=+---=22222121)(， ∴a ax e x g x --='2)(． 12,x x 是函数()g x 的两个不同极值点（不妨设12x x <）， ∴0a >（若0a ≤时，0)(>'x g ，即()g x 是R 上的增函数，与已知矛盾），且0)(1='x g ，0)(2='x g ．∴ 0211=--a ax e x ，0222=--a ax e x ． 两式相减得：21212x x ee a x x --=，于是要证明a x x 2ln 221<+，即证明2122121x x e e e x x x x --<+， 两边同除以2x e ，即证21212121x x e e x x x x --<--，即证1212212()1x x x x x x e e --->- (11)分即证1212212()10x x x x x x ee ----+>，令12x x t-=(0)t <．即证不等式210t tte e -+>当0t <时恒成立．设2()1tt φt te e =-+，∴ t tt e e t e t -⋅⋅+='21)(22ϕt t e e t -+=2)12()]12([22+--=te e tt ． 而122+>t et ，即0)12(2>+-te t，∴()0t ϕ'<， ∴()t ϕ在(,0)-∞上是减函数．∴ ()t ϕ在t=0处取得极小值(0)0ϕ=．∴()0t ϕ>，得证．∴ a xx 2ln 221<+． ………………………14分。