10期权回报与价格分布

若到期价格 ST 高于 X ，多头执行
期权，空头损失差价；否则多头放 弃期权，空头回报为零。
max(ST X , 0) c 或 min( X ST , 0) c
看跌期权多头
max( X ST , 0)
若到期价格 ST 低于 X ，多头执行
期权获得差价；否则放弃期权回报 为零。
max( X ST , 0) p
第十章 期权的回报与价格分析
2020/3/23
第一节 期权的回报与盈亏 一、看涨期权多头的回报与盈亏
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1．回报与盈亏的数学表达式：买方收益无限，损失有
限；卖方相反。概率：实际交易中，买方行权概率很小：三 个条件同时满足：方向，涨穿执行价，在规定期限。相反， 卖方概率大。
2．回报与盈亏的分布图
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美式看涨期权的内在价值:因为提前执行美式看涨 期权是不明智的，因此美式看涨期权的内在价值与 欧式看涨期权一样。
2、欧式看跌期权的内在价值：X-ST的现值 （1）无收益资产欧式看跌期权的内在价值是
X e-r(T-t)-S与0的最大者 （2）有现金收益D的资产欧式看跌期权的内在价值是
X e-r(T-t)+D-S与0的最大者。 美式看跌期权的内在价值:由于提前执行有可能是合理的，
。 可见，在三种情况下期权1都优于期权2，由此：
期权1的时间价值>期权2时间价值。
二、期权价格的影响因素
记欧式看涨、看跌期权的价格分别是c，p；美式看涨、看跌期权的 价格分别是C、P。 （一）标的资产的市场价格与期权的协议价格X
如果ST↑，则C↑，而P↓；如果X↑，则C↓，而P↑ 即: （1）对看涨期权，标的资产的价格越高、协议价格越低，看涨期权的价
期权回报
max(ST X ,0) max(ST X ,0)
max(ST X , 0) max(S X , 0)
内在价值
max(S XerT t,0) max(S D XerT t,0)
max(S XerT t,0) max(S D Xer t,0)
无收益
max( X ST , 0)
格就越高。
（2）对看跌期权，标的资产的价格越低、协议价格越高，看跌期权的价 格就越高。
其中资产价格是最重要的因素。因为这一因素影响大，而且通过买卖 资产就可以掌控这一因素，可以与期权一起构造资产组合，达到期权与 资产之间互相对冲的目的。
这些因素敏感性作用问题用一个例讨论：ST↑，则C↑，而P↓ 1、这一结论只是定性的结论，方向性的结论，具体影响有多
4、举例说明当S=Xe-r(T-t)时,时间价值大； 当|S-Xe-r(T-t)|大时,时间价值小。
无收益的标的当前价S=9.05， T-t=1年，r=10%，考察
X1=10元和X2 =8元的两个欧式看涨期权。
两期权内在价值：S-X1e-r(T-t) =0，S-X2e-r(T-t) =1.81元. 因为期权1标的资产当前价格处于内在价值的临界点
S XerT t D S XerT t D
S XerT t S Xer t D S Xer t D
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（三）期权的时间价值（外在价值）
1、期权时间价值：在期权有效期内标的资产 价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含 的价值。
2、时间价值对双方的影响 对期权卖方：反映了期权交易的时间风险，期权 有效期越长，风险也就越大，因而期权售价也就 越高。
1、欧式看涨期权的内在价值：ST-X的现值 （1）无收益资产欧式看涨期权的内在价值
S-Xe-r(T-t)
因为期权多头只有权利而无义务，所以内在价值不可 能是负的，至少为0，所以涨期权的内在价值：
max [S Xer(T t) ,0] （2）有现金收益D的资产欧式看涨期权的内在价值是
S-D-Xe-r(T-t)与0的最大者
上，所以期权1的时间价值应大于期权2的时间价值。下面 分ST在涨、跌、平三种情况说明这一事实。
设期权1时间和期权2时间价值都是2元，则两期权价格 分别是C1=2元，C2=3.81元。
观察在T时刻标的价各种不同情况的时间价值 （1期）权S1T：=1144-元10，-2两e0个.1=期1.权79的元多；头期都权会2：行1权4-，8-获利分别为，
3.81e0.1=1.79元。 （2，）期S权T 1=：101元0-，10两-2个e0期.1=权-2的.2多1元头；可期以权行2权：，10但-8获- 利分别为
3.81e0.1=-2.21元。 （3期）权S1T：=-82元e0，.1=两-2个.2期1元权；的期多权头2不：会8-行8-权3.，81获e0利.1=分-4别.1为2元，
欧式看涨 ＋ － ? ＋ ＋ －
欧式看跌 － ＋ ? ＋ － ＋
美式看涨 ＋ － ＋ ＋ ＋ －
美式看跌 － ＋ ＋ ＋ － ＋
注：“＋”表示正向的影响，“－”表示反向的影响，？则表示影响方向不一定。
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第三节 期权价格特征
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一、欧式期权价格特征
（一）欧式看涨期权
1、资产无收益
欧式看涨期权价格取值范围
max( XerT t S , 0)
欧式
有收益
max( X ST , 0)
max(XerTt S D,0)
看跌期权
无收益
max( X S , 0)
max( Xer t S , 0)
美式
有收益
max( X S , 0)
max(Xer t S D ,0) 2020/3/23
注：无收益是指期权存续期内标的资产无现金收益，有收益指期权存续期内标的资产有已知的现金收益，下同。
（三）标的资产价格的波动率
标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来 价格变动不确定性的指标。
由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而 最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价 格与协议价格的差额，因此波动率σ越大，对期权 多头越有利，期权价格也应越高。
（四）无风险利率
1、无风险利率r：r是购买期权的机会成本，即期权 费的折现率。
以有效期越长，多头获利机会就越大，而且有效期 长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会， 因此有效期越长，期权价格越高。 2、欧式期权有效期与期权价格之间的关系复杂 由于欧式期权只能在期末执行，有效期长的期权就 不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。所以 欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显得较为 复杂。
看跌期权空头
max( X ST , 0) 或 min(ST X , 0)
若到期价格 ST 低于 X ，多头执行
期权，空头损失差价；否则多头放 弃期权，空头回报为零。
max( X ST , 0) p 或 min(ST X , 0) p
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第二节 期权价格结构与影响价格因 素
2、r的增加会产生两种效应 （1）r增加，标的预期收益增加，看涨的倾向增
加； （2）r增加，折现率增加，预期收益的现值会降
低。
3、r对看跌期权价格的影响
如果r增加，则两种效应都使看跌期权的价格将 减少。
4、r对看涨期权价格的影响
r增加时，由于效应（1）的作用比效应（2）的 作用大得多。所以当r增加时，看涨期权的价格增 加。
对期权买方：反映期权内在价值在未来增值的可 能性，到期之前时间越长，越能找到一个好的价 格履约买卖标的物，所以期权剩余有效期越长， 其时间价值也就越大。
3、时间价值分析
（1）当S=临界点，这时内在价值=0，期权费低， 将来标的价在实值与虚值之间波动大，给期权多头 行权带来收益机会大，所以时间价值大。
证明：考虑三个组合：
组合A：一份标的资产；
（五）标的资产的收益
由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格， 而协议价格并未进行相应调整，因此：
在期权有效期内标的资产产生收益将使看涨期权价 格下降，而使看跌期权价格上升。
期权价值的影响因素汇总
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影响期权价格的主要因素
变量 标的资产市场价格
期权协议价格 有效期
标的资产价格波动率 无风险利率 红利
二、看涨期权空头的回报与盈亏
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1．回报与盈亏的数学表达式 2．回报与盈亏的分布图
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三、看跌期权多头的回报与盈亏
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1．回报与盈亏的数学表达式 2．回报与盈亏的分布图
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四、看跌期权空头的回报与盈亏
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1．回报与盈亏的数学表达式 2．回报与盈亏的分布图
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欧式期权回报与盈亏公式汇总
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头寸
表 10-1 欧式期权多空到期时的回报与盈亏
公式
到期回报公式 分析
到期盈亏公式
看涨期权多头
max(ST X , 0)
若到期价格 ST 高于 X ，多头执行
期权获得差价；否则放弃期权回报 为零。
max(ST X ,0) c
看涨期权空头
max(ST X , 0) 或 min( X ST , 0)
（1）对冲原理
要实现期权与标的资产完全对冲，必须满足以下 风险中性原理
NC*Δc +NS*ΔS=0
NP*Δp + NS*ΔS=0
由以上式子，构造期权与标的资产的Delta中 性组合，从而确定期权和标的资产的数量的交 易方向。
（2）数量
NS/NC=-Δc/ΔS≈-δC<0；
NS/NP=-Δp/ΔS≈-δP>0。
时间价值
Xe-r(T-t)
S 图10.3 无收益资产看涨期权时间价值与(S-X e-r(T-t))的关系
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3、影响时间价值的因素 （1）期权剩余有效期； （2）标的资产价格波动率； （3）期权的时间价值受内在价值的影响，在期
权平价点时间价值达到最大，并随期权实值量 和虚值量增加而递减
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(二)实值期权、平价期权与虚值期权
平价点：使期权内在价值由正值变化到零的标的 资产价格临界点。
根据临界点和内在价值可把实值期权、平价期权 和虚值期权定义如下：
实值期权、平价期权与虚值期权
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实值期权、平价期权与虚值期权
分类
欧式看涨期权
实值期权
S XerT t D
平价期权
S XerT t D
（2）期权处于实值越大，内在价值越高，期权费 越高，虽然多头可行权，但行权收益减去期权费后 获利很小，所以时间价值小。
（3）期权处于虚值越大，虽然内在价值为0，期 权费低，但多头行权获利机会小，所以时间价值小 。
结论：对无收益资产，在期权的平价点，即S=Xe-r(T-t)， 内在价值为0,时间价值最大；当S-Xe-r(T-t)的绝对值越大，时 间价值就越小，用图形表示为：
欧式看跌期权
S XerT t D
S XerT t D
美式看 涨期权
无收益 有收益
S XerT t S Xer t D
S XerT t S Xer t D
美式看跌期权
S Xer t D
S Xer t D
注：如果标的资产在期权存续期内无收益，则 D=0 或 D 0 。
虚值期权
以上两式式子表明，每单位看涨期权需要δC单 位标的资产对冲其风险；每单位标的资产需要 1/ δC单位看涨期权对冲其风险。
每部位看跌期权需要δP单位标的资产对冲其 风险；每单位标的资产需要1/ δP单位看跌期权 对冲其风险。
（3）交易方向
以上两式式子表明，c与S交易方向相反；p与S 交易方向相同。
（二）期权的有效期 1、美式期权有效期越长期权价格越高 由于美式期权，可以在有效期内任何时间执行，所
因此其内在价值与欧式看跌期权不同。设在τ时刻执行期权,
无收益资产美式期权的内在价值为：
Xexp[-r(τ-t)]-S 有收益资产美式期权的内在价值为： Xexp[-r(τ-t)]+从t到τ期间收益现值-S
期权内在价值汇总
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期权的内在价值
头寸 欧式 看涨期权 美式
无收益 有收益 无收益 有收益
一、期权的价格构成 期权的价格即期权费，主要由内在价值和时间
价值两部分组成。 期权价格（当前价值）＝内在价值＋时间价值
（一）期权的内在价值（内涵价值） 期权的内在价值（Intrinsic Value）是指多方行
使期权时可以获得的收益的现值。 或者，期权的内在价值，是0与多方行使期权
时所获收益贴现值的较大值。 下面以欧式期权为重点讨论期权内在价值。
大?
用Delta(δ)表示期权价格关于标的资产价格的变化率， 它衡量标的资产价格的单位变动导致的期权价格变动的程 度。
δc=limΔc/Δs=dc/ds
δp=limΔp/Δs=dp/ds
2、用B-S公式计算无收益资产欧式期权价delta值
3、应用
用于期权与标资产风险的对冲原理，确定交易 方向和数量：