第十七章 勾股定理 小结与复习 课件
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人 教 版 数学八年级下
状元备课
第十七章 勾股定理
小结与复习
要点梳理
一、勾股定理
状元备课
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
那么
A
c
a2 + b2 = c2
b
Ca B 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.勾股定理的应用条件
在直角三角形中才可以运用
3.勾股定理表达式的常见42 (8 x)2 x2 ，解得 x = 5 .
∴BE的长为5.
状元备课
状元备课
方法总结 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边
的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定 理求出未知边，这时往往要列出方程求解．
针对训练
7.如图，有一张直角三角形纸片，两直角 边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的 长为 1.75cm ．
状元备课
解：①在 Rt△ABC1 中， AC21＝AB2＋ BC21＝42＋ 32＝52， ∴AC1＝ 25. ②在 Rt△ACC1 中， AC21＝ AC2＋ CC21＝62＋12＝37， ∴AC1＝ 37. ③在 Rt△AB1C1 中， AC21＝ AB21＋ B1C21＝52＋22＝29， ∴AC1＝ 29. ∵25＜29＜37， ∴沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长是 5.
A. 29 B. 37 C. 21 D.5
例3 已如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上， 梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那 么梯子的底部在水平方向上滑动了（ C ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 【解析】由题意知AB=DE=25米，BC=7米，AD=4米， ∵在直角△ABC中，AC为直角边，
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
状元备课
例4 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b， c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为 直角三角形．
【解析】要证∠C＝90°，只要证△ABC是直角三角形，并且 c边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明a2＋b2＝c2即可．
∴AC= AB2 BC2 =24米，
已知AD=4米，则CD=24-4=20（米）， ∵在直角△CDE中，CE为直角边，
∴CE= DE2 CD2 =15（米），
BE=15-7=8（米）．故选C．
状元备课
针对训练
状元备课
3.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个 半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家
A D4
c b2 a2 42 32 7,
又∵S△ABC＝12 b•BD＝12 ac，
BD ac 6 7 3 7 .
b8
4
B3 C
方法总结
状元备课
在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先 用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简 便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边， 如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．
课堂小结
状元备课
勾股定理
互逆定理
勾股定理 的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角 形的判定
具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通 过这个通道？
状元备课
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边 于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直 径于B点，交半圆于A点. 在Rt△ABO中，由题意知OA＝2米，DC＝OB＝1.4米， 所以AB2＝22－1.42＝2.04. 因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96， 2.04＞1.96， 所以卡车可以通过． 答：卡车可以通过，但要小心．
考点讲练
考点一 勾股定理及其应用
状元备课
例1 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、
∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长．
【解析】这是在三角形中已知两边长求高的问题，可用勾
股定理先求出第三边再求解． 解：∵∠B＝90°，∴b是斜边， 则在Rt△ABC中，由勾股定理，得
问题：1.由AB=8，BC=10，你可以知道哪些线段长？ 2.在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？ 3.由DF的长，你还可以求出哪条线段长？ 4.设BE = x，你可以用含有x的式子表示出哪些线段长？
解:由折叠可知FC=BC=10，BE=FE. 在长方形ABCD中，DC=AB=8 ， AD=BC=10，∠D=90°. ∴DF=6， AF=4. 设BE=FE=x，则AE=8-x . 在Rt△AFE中，由勾股定理得
针对训练
状元备课
4.下列各组数中，是勾股数的为（ C ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，9
5.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点 上，可以判定三角形是直角三角形的有__(2_)_(_4_) __．
例5 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60° 方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东 某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲 船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知 道乙船是沿哪个方向航行的吗？
方法总结
状元备课
用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、
圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平” ——把立体图形
转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，
再运用“平面上的两点之间线段最短”求解．
要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，有时容易忽视
多种展开情况．
针对训练
2.如图，已知长方体的长宽高分别为4、2、1，一只蚂蚁沿长 方体的表面，从点A爬到点B，最短路程为（ D ）
针对训练
1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三
边长的平方是（ D ）
A.25
B.14
C.7
D.7或25
状元备课
例2 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长 方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短 路线长为多少？
【解析】蚂蚁由A点沿长方体的表 面爬行到C1点，有三种方式：①沿 ABB1A1和A1 B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿 AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下：
解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1，从而a2＋b2＝c2，故可以判定△ABC是 直角三角形．
状元备课
方法总结
运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角 形的一般步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数方法计 算出a2＋b2和c2的值(c边最大)；③判断a2＋b2和c2是否相等， 若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．
状元备课
解：甲船航行的距离为BM= 16（n mile）,
乙船航行的距离为BP= 30（n mile）．
∵162+302=1156，342=1156,
∴BM2+BP2=MP2,
∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90° ,
∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的．
针对训练
6.如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m， ∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.则这块地 的面积为 24cm2 .
解析：连接AC.由AD=4m，
12
CD=3m，∠ADC=90°，可
得AC=5m.再由AB=13m， C 3 D 13 BC=12m，可知△ABC是直
4 角三角形.于是这块地的面积
为(12×5-3×4)÷2=24(cm2) A
状元备课
B
考点三 勾股定理与折叠问题
状元备课
例6 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
c a2 b2 , a c2 b2 ,b c2 a2
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
A
如果三角形的三边长a，b，c满足 b
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. C
状元备课
c aB
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
状元备课
第十七章 勾股定理
小结与复习
要点梳理
一、勾股定理
状元备课
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
那么
A
c
a2 + b2 = c2
b
Ca B 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.勾股定理的应用条件
在直角三角形中才可以运用
3.勾股定理表达式的常见42 (8 x)2 x2 ，解得 x = 5 .
∴BE的长为5.
状元备课
状元备课
方法总结 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边
的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定 理求出未知边，这时往往要列出方程求解．
针对训练
7.如图，有一张直角三角形纸片，两直角 边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的 长为 1.75cm ．
状元备课
解：①在 Rt△ABC1 中， AC21＝AB2＋ BC21＝42＋ 32＝52， ∴AC1＝ 25. ②在 Rt△ACC1 中， AC21＝ AC2＋ CC21＝62＋12＝37， ∴AC1＝ 37. ③在 Rt△AB1C1 中， AC21＝ AB21＋ B1C21＝52＋22＝29， ∴AC1＝ 29. ∵25＜29＜37， ∴沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长是 5.
A. 29 B. 37 C. 21 D.5
例3 已如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上， 梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那 么梯子的底部在水平方向上滑动了（ C ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 【解析】由题意知AB=DE=25米，BC=7米，AD=4米， ∵在直角△ABC中，AC为直角边，
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
状元备课
例4 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b， c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为 直角三角形．
【解析】要证∠C＝90°，只要证△ABC是直角三角形，并且 c边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明a2＋b2＝c2即可．
∴AC= AB2 BC2 =24米，
已知AD=4米，则CD=24-4=20（米）， ∵在直角△CDE中，CE为直角边，
∴CE= DE2 CD2 =15（米），
BE=15-7=8（米）．故选C．
状元备课
针对训练
状元备课
3.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个 半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家
A D4
c b2 a2 42 32 7,
又∵S△ABC＝12 b•BD＝12 ac，
BD ac 6 7 3 7 .
b8
4
B3 C
方法总结
状元备课
在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先 用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简 便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边， 如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．
课堂小结
状元备课
勾股定理
互逆定理
勾股定理 的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角 形的判定
具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通 过这个通道？
状元备课
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边 于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直 径于B点，交半圆于A点. 在Rt△ABO中，由题意知OA＝2米，DC＝OB＝1.4米， 所以AB2＝22－1.42＝2.04. 因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96， 2.04＞1.96， 所以卡车可以通过． 答：卡车可以通过，但要小心．
考点讲练
考点一 勾股定理及其应用
状元备课
例1 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、
∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长．
【解析】这是在三角形中已知两边长求高的问题，可用勾
股定理先求出第三边再求解． 解：∵∠B＝90°，∴b是斜边， 则在Rt△ABC中，由勾股定理，得
问题：1.由AB=8，BC=10，你可以知道哪些线段长？ 2.在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？ 3.由DF的长，你还可以求出哪条线段长？ 4.设BE = x，你可以用含有x的式子表示出哪些线段长？
解:由折叠可知FC=BC=10，BE=FE. 在长方形ABCD中，DC=AB=8 ， AD=BC=10，∠D=90°. ∴DF=6， AF=4. 设BE=FE=x，则AE=8-x . 在Rt△AFE中，由勾股定理得
针对训练
状元备课
4.下列各组数中，是勾股数的为（ C ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，9
5.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点 上，可以判定三角形是直角三角形的有__(2_)_(_4_) __．
例5 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60° 方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东 某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲 船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知 道乙船是沿哪个方向航行的吗？
方法总结
状元备课
用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、
圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平” ——把立体图形
转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，
再运用“平面上的两点之间线段最短”求解．
要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，有时容易忽视
多种展开情况．
针对训练
2.如图，已知长方体的长宽高分别为4、2、1，一只蚂蚁沿长 方体的表面，从点A爬到点B，最短路程为（ D ）
针对训练
1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三
边长的平方是（ D ）
A.25
B.14
C.7
D.7或25
状元备课
例2 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长 方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短 路线长为多少？
【解析】蚂蚁由A点沿长方体的表 面爬行到C1点，有三种方式：①沿 ABB1A1和A1 B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿 AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下：
解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1，从而a2＋b2＝c2，故可以判定△ABC是 直角三角形．
状元备课
方法总结
运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角 形的一般步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数方法计 算出a2＋b2和c2的值(c边最大)；③判断a2＋b2和c2是否相等， 若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．
状元备课
解：甲船航行的距离为BM= 16（n mile）,
乙船航行的距离为BP= 30（n mile）．
∵162+302=1156，342=1156,
∴BM2+BP2=MP2,
∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90° ,
∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的．
针对训练
6.如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m， ∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.则这块地 的面积为 24cm2 .
解析：连接AC.由AD=4m，
12
CD=3m，∠ADC=90°，可
得AC=5m.再由AB=13m， C 3 D 13 BC=12m，可知△ABC是直
4 角三角形.于是这块地的面积
为(12×5-3×4)÷2=24(cm2) A
状元备课
B
考点三 勾股定理与折叠问题
状元备课
例6 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
c a2 b2 , a c2 b2 ,b c2 a2
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
A
如果三角形的三边长a，b，c满足 b
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. C
状元备课
c aB
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.