2024届期河南省南阳市南召县中考冲刺卷数学试题含解析

2024届期河南省南阳市南召县中考冲刺卷数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．一次函数y=2x+1的图像不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=1
2
AC，连接CE、OE，连接AE，交OD
于点F，若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长为（）
A．3B．5C．7D．22
3．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点，AB=10，BC=8，DE=4.5，则△DEF的周长是（）
A．9.5 B．13.5 C．14.5 D．17
4．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）
B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C．小明在上述过程中所走的路程为6600米
D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度5．下列各组数中，互为相反数的是（）
A．﹣1与（﹣1）2B．（﹣1）2与1 C．2与1
2
D．2与|﹣2|
6．某厂进行技术创新，现在每天比原来多生产30台机器，并且现在生产500台机器所需时间与原来生产350台机器所需时间相同．设现在每天生产x台机器，根据题意可得方程为（）
A．500350
30
x x
=
-
B．
500350
30
x x
=
-
C．
500350
+30
x x
=D．
500350
+30
x x
=
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC=10，BD=6，则四边形EFGH的面积为（）
A．20 B．15 C．30 D．60
8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值是( )
A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1
9．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为250000m2，则250000用科学记数法表示为( )
A．25×104m2B．0.25×106m2C．2.5×105m2D．2.5×106m2
10．某校九年级（1）班全体学生实验考试的成绩统计如下表：
成绩（分）24 25 26 27 28 29 30
人数（人） 2 5 6 6 8 7 6
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）
A．该班一共有40名同学
B．该班考试成绩的众数是28分
C．该班考试成绩的中位数是28分
D．该班考试成绩的平均数是28分
11．因式分解：x 2y-4y 3=________. 12．因式分解：x 2﹣4= ． 13．计算：2sin 245°﹣tan45°＝______．
14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝
2
3
，则BC 的长为_____． 15．如图，BD 是⊙O 的直径，BA 是⊙O 的弦，过点A 的切线交BD 延长线于点C ，OE ⊥AB 于E ，且AB=AC ，若CD=22，则OE 的长为_____．
16．如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=6,点E 为BC 的中点,将△ABE 沿AE 折叠,使点B 落在矩形内点F 处,连接CF,则CF 的长度为_____
17．对于实数a ，b ，我们定义符号max {a ，b }的意义为：当a ≥b 时，max {a ，b }＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b ]＝b ；如：max {4，﹣2}＝4，max {3，3}＝3，若关于x 的函数为y ＝max {x +3，﹣x +1}，则该函数的最小值是_____． 三、解答题（共7小题，满分69分） 18．（10分）计算：
22b a b -÷（a
a b
-﹣1）
19．（5分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m 名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．
请结合以上信息解答下列问题：m= ；请补全上面的条形统计图；在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的
20．（8分）甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有1张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，1．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由．
21．（10分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率；转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．
22．（10分）如图，正方形ABCD的边长为2，BC边在x轴上，BC的中点与原点O重合，过定点M(－2，0)与动点P(0，t)的直线MP记作l.
(1)若l的解析式为y＝2x＋4，判断此时点A是否在直线l上，并说明理由；
(2)当直线l与AD边有公共点时，求t的取值范围．
23．（12分）某汽车制造公司计划生产A、B两种新型汽车共40辆投放到市场销售．已知A型汽车每辆成本34万元，售价39万元；B型汽车每辆成本42万元，售价50万元．若该公司对此项计划的投资不低于1536万元，不高于1552万元．请解答下列问题：
（1）该公司有哪几种生产方案？
（2）该公司按照哪种方案生产汽车，才能在这批汽车全部售出后，所获利润最大，最大利润是多少？
（3）在（2）的情况下，公司决定拿出利润的2.5％全部用于生产甲乙两种钢板（两种都生产），甲钢板每吨5000元，乙钢板每吨6000元，共有多少种生产方案？（直接写出答案）
24．（14分）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、D
【解题分析】
根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由k=2＞0，b=1＞0可知，一次函数y=2x+1的图象过一、二、三象限.另外此题还可以通过直接画函数图象来解答.
【题目详解】
∵k=2＞0，b=1＞0，
∴根据一次函数图象的性质即可判断该函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.
故选D.
【题目点拨】
本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负.
2、C
【解题分析】
在菱形ABCD中,OC=1
2
AC，AC⊥BD，∴DE=OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平
行四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AD=AB=AC=2,OA=1
2
AC=1，
在矩形OCED中,由勾股定理得：2222
213
AD AO
-=-
在Rt△ACE中,由勾股定理得：2222
2(3)7
AC CE
+=+= C.
点睛:本题考查了菱形的性质，先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明四边形OCED是矩形，再根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可.
【解题分析】
由三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【题目详解】
∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点，
∴DE=1
2
AC=4.1，DF=
1
2
BC=4，EF=
1
2
AB=1，
∴△DEF的周长=1
2
（AB+BC+AC）=
1
2
×（10+8+9）=13.1．
故选B．
【题目点拨】
考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．4、C
【解题分析】
根据图像，结合行程问题的数量关系逐项分析可得出答案.
【题目详解】
从图象来看，小明在第40分钟时开始休息，第60分钟时结束休息，故休息用了20分钟，A正确；
小明休息前爬山的平均速度为：2800
70
40
=（米/分），B正确；
小明在上述过程中所走的路程为3800米，C错误；
小明休息前爬山的平均速度为：70米/分，大于休息后爬山的平均速度：38002800
25
10060
-
=
-
米/分，D正确．
故选C．
考点：函数的图象、行程问题．
5、A
【解题分析】
根据相反数的定义，对每个选项进行判断即可. 【题目详解】
解：A、（﹣1）2＝1，1与﹣1 互为相反数，正确；
B、（﹣1）2＝1，故错误；
C、2与1
2
互为倒数，故错误；
D、2＝|﹣2|，故错误；故选：A．
本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义.
6、A
【解题分析】
根据现在生产500台机器所需时间与原计划生产350台机器所需时间相同，所以可得等量关系为：现在生产500台机器所需时间=原计划生产350台机器所需时间．
【题目详解】
现在每天生产x台机器，则原计划每天生产（x﹣30）台机器．
依题意得：500350
x x30
=
-
，
故选A．
【题目点拨】
本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
7、B
【解题分析】
有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形EFGH是矩形，根据矩形的面积公式解答即可．【题目详解】
∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴EF∥BD，且EF=1
2
BD=1．
同理求得EH∥AC∥GF，且EH=GF=1
2
AC=5，
又∵AC⊥BD，
∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．
四边形EFGH是矩形．
∴四边形EFGH的面积=EF•EH=1×5=2，即四边形EFGH的面积是2．
故选B．
【题目点拨】
本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（1）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
8、C
试题解析：关于x的一元二次方程2x2x m0
-+=没有实数根，
()2
24241440
∆=-=--⨯⨯=-<，
b a
c m m
m>
解得： 1.
故选C．
9、C
【解题分析】
科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【题目详解】
解：由科学记数法可知：250000 m2=2.5×105m2，
故选C．
【题目点拨】
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
10、D
【解题分析】
直接利用众数、中位数、平均数的求法分别分析得出答案．
【题目详解】
解：A、该班一共有2+5+6+6+8+7+6=40名同学，故此选项正确，不合题意；
B、该班考试成绩的众数是28分，此选项正确，不合题意；
C、该班考试成绩的中位数是：第20和21个数据的平均数，为28分，此选项正确，不合题意；
D、该班考试成绩的平均数是：（24×2+25×5+26×6+27×6+28×8+29×7+30×6）÷40=27.45（分），故选项D错误，符合题意．
故选D．
【题目点拨】
此题主要考查了众数、中位数、平均数的求法，正确把握相关定义是解题关键．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、y（x++2y）（x-2y）
【解题分析】
首先提公因式y，再利用平方差进行分解即可．
原式(
)22
4(2)(2)y x y
y x y x y =-=-+．
故答案是：y （x+2y ）（x-2y ）． 【题目点拨】
考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 12、（x+2）（x-2）.
【解题分析】试题分析：直接利用平方差公式分解因式得出x 2﹣4=（x+2）（x ﹣2）． 考点：因式分解-运用公式法 13、0 【解题分析】
原式=2
1
21=2122⎛⎫⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭
=0， 故答案为0. 14、4 【解题分析】
根据锐角的余弦值等于邻边比对边列式求解即可. 【题目详解】 ∵∠C=90°，AB=6， ∴2cos 3BC B AB
==， ∴BC =
2
3
AB =4. 【题目点拨】
本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt △ABC 中，
sin A A ∠=
的对边斜边， cos A A ∠=的邻边斜边， tan A A A ∠=
∠的对边
的邻边
.
15 【解题分析】
连接OA ，所以∠OAC ＝90°，因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ，根据圆周角定理可知∠AOD ＝2∠B ＝2∠C ，故可求出∠B 和∠C 的度数，在Rt △OAC 中，求出OA 的值，再在Rt △OAE 中，求出OE 的值，得到答案. 【题目详解】
由题意可知∠OAC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根据圆周角定理可知∠AOD＝2∠B＝2∠C，∵∠OAC＝90°
∴∠C＋∠AOD＝90°，
∴∠C＋2∠C＝90°，
故∠C＝30°＝∠B，
∴在Rt△OAC中，sin∠C＝OA
OC
＝
1
2
，
∴OC＝2OA，
∵OA＝OD，
∴OD＋CD＝2OA，
∴CD＝OA＝2，∵OB＝OA，
∴∠OAE＝∠B＝30°，
∴在Rt△OAE中，sin∠OAE＝OE
OA
＝
1
2
，
∴OA＝2OE，
∴OE＝1
2
OA2，
2.
【题目点拨】
本题主要考查了圆周角定理，角的转换，以及在直角三角形中的三角函数的运用，解本题的要点在于求出OA的值，从而利用直角三角形的三角函数的运用求出答案.
16、18 5
【解题分析】
AE；根据三角形的面积公式11
22
AB BE AE BH
⨯⨯=⨯⨯可求得BH,进而可得到BF的长度;结合题意可知FE=BE=EC,进
而可得∠BFC=90°,至此,在Rt△BFC中,利用勾股定理求出CF的长度即可【题目详解】
如图,连接BF.
∵△AEF是由△ABE沿AE折叠得到的,
∴BF⊥AE,BE=EF.
∵BC=6,点E为BC的中点,
∴BE=EC=EF=3
根据勾股定理有AE2=AB2+BE2
代入数据求得AE=5
根据三角形的面积公式11
22
AB BE AE BH ⨯⨯=⨯⨯
得BH=12 5
即可得BF=24 5
由FE=BE=EC,
可得∠BFC=90°
再由勾股定理有BC2-BF2=CF2
代入数据求得CF=18 5
故答案为18 5
【题目点拨】
此题考查矩形的性质和折叠问题，解题关键在于利用好折叠的性质17、2
【解题分析】
试题分析：当x+3≥﹣x+1，
即：x≥﹣1时，y=x+3，
∴当x=﹣1时，y min =2， 当x+3＜﹣x+1，
即：x ＜﹣1时，y=﹣x+1， ∵x ＜﹣1， ∴﹣x ＞1， ∴﹣x+1＞2， ∴y ＞2， ∴y min =2，
三、解答题（共7小题，满分69分） 18、
1a b
+ 【解题分析】
根据分式的混合运算法则把原式进行化简即可. 【题目详解】 原式=
()()b a b a b +-÷（a a b -﹣a b
a b
--）
=
()()b a b a b +-÷a a b
a b -+-
=
()()b a b a b +-•a b
b
-
=
1
a b
+． 【题目点拨】
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式的混合运算的法则是解答此题的关键. 19、（1）150，（2）36°，（3）1． 【解题分析】
（1）根据图中信息列式计算即可；
（2）求得“足球“的人数=150×
20%=30人，补全上面的条形统计图即可； （3）360°×乒乓球”所占的百分比即可得到结论； （4）根据题意计算即可． 【题目详解】
（1）m=21÷
14%=150，
（2）“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图如图所示；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×15
150
=36°；
（4）1200×20%=1人，
答：估计该校约有1名学生最喜爱足球活动．
故答案为150，36°，1．
【题目点拨】
本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键．
20、不公平
【解题分析】
【分析】列表得到所有情况，然后找出数字之和是3的倍数的情况，利用概率公式计算后进行判断即可得.
【题目详解】根据题意列表如下：
1 2 3 1
1 （1，1）（2，1）（3，1）（1，1）
2 （1，2）（2，2）（3，2）（1，2）
3 （1，3）（2，3）（3，3）（1，3）
1 （1，1）（2，1）（3，1）（1，1）
所有等可能的情况数有16种，其中两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数的情况有：（2，1），（1，2），（1，2），（3，3），（2，1），共5种，
∴P（甲获胜）=
5
16
，P（乙获胜）=1﹣
5
16
=
11
16
，
则该游戏不公平．
【题目点拨】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况
数之比．
21、（1）1
3
；（2）
5
9
.
【解题分析】
【分析】（1）根据题意可求得2个“－2”所占的扇形圆心角的度数，再利用概率公式进行计算即可得；
（2）由题意可得转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，然后列表得到所有可能的情况，再找出符合条件的可能性，根据概率公式进行计算即可得.
【题目详解】（1）由题意可知：“1”和“3”所占的扇形圆心角为120°，
所以2个“－2”所占的扇形圆心角为360°－2×120°＝120°，
∴转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率为120
360
︒
︒
＝
1
3
；
（2）由（1）可知，该转盘转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，均为1
，所有可能性如下表所示：
由上表可知：所有可能的结果共9种，其中数字之积为正数的的有5种，其概率为
9
.
【题目点拨】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22、(1)点A在直线l上，理由见解析；(2)4
3
≤t≤4.
【解题分析】
（1）由题意得点B、A坐标，把点A的横坐标x＝－1代入解析式y＝2x＋4得出y的值，即可得出点A在直线l上；（2）当直线l经过点D时，设l的解析式代入数值解出即可
【题目详解】
(1)此时点A在直线l上．
∵BC＝AB＝2，点O为BC中点，
∴点B(－1，0)，A(－1，2)．
把点A的横坐标x＝－1代入解析式y＝2x＋4，得
y＝2，等于点A的纵坐标2，
∴此时点A在直线l上．
(2)由题意可得，点D(1，2)，及点M(－2，0)，
当直线l 经过点D 时，设l 的解析式为y ＝kx ＋t(k≠0)，
∴解得
由(1)知，当直线l 经过点A 时，t ＝4.
∴当直线l 与AD 边有公共点时，t 的取值范围是≤t≤4.
【题目点拨】
本题考查的知识点是一次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握一次函数综合题.
23、（1）共有三种方案，分别为①A 型号16辆时， B 型号24辆；②A 型号17辆时，B 型号23辆；③A 型号18辆时，B 型号22辆；（2）当16x =时，272W =最大万元；（3）A 型号4辆，B 型号8辆; A 型号10辆，B 型号 3辆两种方案 【解题分析】
（1）设A 型号的轿车为x 辆，可根据题意列出不等式组，根据问题的实际意义推出整数值； （2）根据“利润=售价-成本”列出一次函数的解析式解答； （3）根据（2）中方案设计计算. 【题目详解】
（1）设生产A 型号x 辆,则B 型号（40-x ）辆 1536≤34x+42(40-x)≤1552
解得1618x ≤≤，x 可以取值16，17，18共有三种方案，分别为 A 型号16辆时， B 型号24辆 A 型号17辆时，B 型号23辆 A 型号18辆时，B 型号22辆 （2）设总利润W 万元 则W=()5840x x +-
=3320x -+
30k =-<
∴w 随x 的增大而减小
当16x =时，272W =最大万元
（3）A 型号4辆，B 型号8辆; A 型号10辆，B 型号 3辆两种方案 【题目点拨】
本题主要考查了一次函数的应用，以及一元一次不等式组的应用，此题是典型的数学建模问题，要先将实际问题转化为不等式组解应用题.
24、△A′DE 是等腰三角形；证明过程见解析. 【解题分析】
试题分析:当四边形EDD′F 为菱形时，△A′DE 是等腰三角形，△A′DE ≌△EFC′．先证明CD=DA=DB ，得到∠DAC=∠DCA ，由AC ∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E 的形状．由EF ∥AB 推出∠CEF=∠EA′D ，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE ，再根据A′D=DE=EF 即可证明． 试题解析：当四边形EDD′F 为菱形时，△A′DE 是等腰三角形，△A′DE ≌△EFC′． 理由：∵△BCA 是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB ， ∴CD=DA=DB ， ∴∠DAC=∠DCA ， ∵A′C ∥AC ，
∴∠DA′E=∠A ，∠DEA′=∠DCA ， ∴∠DA′E=∠DEA′， ∴DA′=DE ，
∴△A′DE 是等腰三角形． ∵四边形DEFD′是菱形， ∴EF=DE=DA′，EF ∥DD′，
∴∠CEF=∠DA′E ，∠EFC=∠CD′A′， ∵CD ∥C′D′，
∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC ， 在△A′DE 和△EFC′中，
，
∴△A′DE ≌△EFC′．
考点：1.菱形的性质；2.全等三角形的判定；3.平移的性质．。