高考数学压轴专题南阳备战高考《平面解析几何》难题汇编含答案解析

数学《平面解析几何》复习资料

一、选择题

1．已知曲线()22

22:100x y C a b a b

-=＞，＞的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，P

是双曲线在第一象限上的点，MO OP =u u u u v u u u v

，直线2PF 交双曲线C 于另一点N ，若

122PF PF =，且2120MF N ∠=︒则双曲线C 的离心率为（ ）

A ．

23

B ．7

C ．3

D ．2

【答案】B 【解析】 【分析】

由题意结合双曲线的定义可得124,2PF a PF a == ，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224208c a a =+，据此计算双曲线的离心率即可. 【详解】

由题意，122PF PF =，由双曲线的定义可得，122PF PF a -= ，可得

124,2PF a PF a == ，

由四边形12PF MF 为平行四边形，又2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒， 在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-⋅⋅⋅︒ ， 即有2224208c a a =+，即227c a =，可得7c a =，即7c

e a

=

=.

【点睛】

双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a

=

； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．

2．已知双曲线2

2x a

－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，

且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )

A ．

B ．

C ．

D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2

p

x =-，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）；

则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；

点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为1

2

y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1；

则c =

故选A ．

3．已知椭圆C ：2

212

x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于

点B ，若3FA FB =u u u v u u u v

，则AF u u u v ＝( )

A B ．2

C D ．3

【答案】A 【解析】 【分析】

设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v

，得043x =

，01

3

y n =，根据点

B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得AF =u u u v

【详解】 根据题意作图：

设点()2,A n ，()00,B x y ．

由椭圆C ：2

212

x y += ，知22a =，21b =，21c =，

即1c =，所以右焦点F (1,0)．

由3FA FB =u u u v u u u v

，得()()001,31,n x y =-．

所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =

，013

y n =. 将x 0，y 0代入2

212

x y +=，

得22

1411233n ⎛⎫⎛⎫

⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =， 所以()2

212112AF n u u u v =-+=+=

故选A 【点睛】

本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.

4．已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过

2:2(0)C y px p =>的焦点，M 为C 上的一个动点，若点N 的坐标为()4,0，则MN 的

最小值为（ ） A ．3B 3

C ．2

D ．22【答案】A 【解析】 【分析】

联立直线与抛物线方程利用弦长公式列方程，结合直线过抛物线的焦点，解方程可得

2p =，再利用两点的距离公式，结合二次函数配方法即可得结果.

【详解】

由222

24(42)02y x b

x b p x b y px

=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 12122

2,24

b p b x x x x +=-=-，

因为直线:2l y x b =+被抛物线2

:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，

125x =-，

所以()222

2

2512424b p b ⎡⎤

-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

（1） 又直线l 经过C 的焦点，

则,22

b p

b p -=∴=- （2）

由（1）（2）解得2p =，故抛物线方程为2

4y x =.

设()2

0000,,4M x y y x ∴=.

则()()()222

22

00000||444212MN x y x x x =-+=-+=-+，

故当02x =时，min ||MN = 故选：A. 【点睛】

本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了弦长公式以及配方法的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.

5．已知双曲线22

22:1x y C a b

-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的

圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为

（ ）

A ．2

B

C ．2D

【答案】D 【解析】 【分析】

设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出

,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】

设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，

由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x