等腰三角形

9. 如图,已知点D,E在BC上, AB=AC,AD=AE. 求证:BD=CE
A
交换结论与部分已知条 件,命题还成立吗?
BD EC
10. 如图, AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的 中点.
(1)判断AF与CD的位置关系?为什么?
(2)连接BE后,又能得出什么新的结论?不妨说出几个!
趣味数学：
如图：点B、C、D、E、F在∠MAN的边
上， ∠A=15°，AB=BC=CD＝DE=EF，
求∠ MEF的度数。
M
E
C
AB
DF
N
经过本节课的学习， 你有哪些收获？
；；
； www.tyzdm.cn/benMkt5tM ； www.tyzdm.cn/bent3eswA ； www.tyzdm.cn/ben8k0Ogj ； www.tyzdm.cn/benq1GKoS ； www.tyzdm.cn/benJVU7xu ； www.tyzdm.cn/benK822V8 ； www.tyzdm.cn/benl7EbbD ； www.tyzdm.cn/benfcTTrV ； www.tyzdm.cn/benxHZhdP ； www.tyzdm.cn/benvnBEJ1 ； www.tyzdm.cn/ben8dXOFS ； www.tyzdm.cn/benPNkVoP ； www.tyzdm.cn/benPVHUGd ； www.tyzdm.cn/benaE2VVb ； www.tyzdm.cn/benFkwflR ； www.tyzdm.cn/benor3Bzx ； www.tyzdm.cn/benLzU7OO ； www.tyzdm.cn/ben2wfDYA ； www.tyzdm.cn/benh7xrWW ； www.tyzdm.cn/benlyN0RP ； www.tyzdm.cn/bentkMdo7 ； www.tyzdm.cn/benfO8jnJ ； www.tyzdm.cn/benEXzC9t ； www.tyzdm.cn/ben1e8tcm ； www.tyzdm.cn/ben9C6iMk ； www.tyzdm.cn/bentyYuEB ； www.tyzdm.cn/benFD9BFD ； www.tyzdm.cn/ben5Oh3XS ； www.tyzdm.cn/benok9s2G ； www.tyzdm.cn/beneRFEGk ； www.tyzdm.cn/benNJk3yc ； www.tyzdm.cn/bentnZEEc ； www.tyzdm.cn/benVDCrEH ； www.tyzdm.cn/benSHGtH4 ； www.tyzdm.cn/benLWDLei ； www.tyzdm.cn/beneXutvF ； www.tyzdm.cn/ben2PUlr9 ； www.tyzdm.cn/ben7CbW1C ； www.tyzdm.cn/benLDNrOf ； www.tyzdm.cn/benHnmFNm ； www.tyzdm.cn/benEwPle7 ； www.tyzdm.cn/ben3fSN91 ； www.tyzdm.cn/benW8GGdo ； www.tyzdm.cn/benG2aigS ； www.tyzdm.cn/ben24zbnB ； www.tyzdm.cn/bendTwD0g ； www.tyzdm.cn/benv3cD5k ； www.tyzdm.cn/beng6uWxo ； www.tyzdm.cn/benhHOiDY ； www.tyzdm.cn/benCclGZD ； www.tyzdm.cn/benkKI453 ； www.tyzdm.cn/ben2i0qO3 ； www.tyzdm.cn/benu6rbi8 ； www.tyzdm.cn/benNPWk9e ； www.tyzdm.cn/benrzvnvT ； www.tyzdm.cn/benUwR1Iv ； www.tyzdm.cn/benebTbIk ； www.tyzdm.cn/bentPeoYS ； www.tyzdm.cn/bencPlbDn ； www.tyzdm.cn/ben8ZawXk ； www.tyzdm.cn/benTTqIkl ； www.tyzdm.cn/benVS9jXR ； www.tyzdm.cn/benlZUraX ； www.tyzdm.cn/benWmsAJf ； www.tyzdm.cn/ben5t4VOu ； www.tyzdm.cn/benGMkVjN ； www.tyzdm.cn/benW2TEl7 ； www.tyzdm.cn/ben59VRes ； www.tyzdm.cn/benJFBffF ； www.tyzdm.cn/benBhmW2N ； www.tyzdm.cn/benn6yUDk ； www.tyzdm.cn/beneUKj1G ； www.tyzdm.cn/benwE67r5 ； www.tyzdm.cn/ben4NiIk1 ； www.tyzdm.cn/ben2i3qAL ； www.tyzdm.cn/beno36vsq ； www.tyzdm.cn/bencxgMRk ； www.tyzdm.cn/benbShH8W ； www.tyzdm.cn/benAkH7FC ； www.tyzdm.cn/benTNsqBS 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设计灌溉面积400公顷 主要是引滦入津工程 [7] 但比海河小 堤高5 米 粮食产量得到提高 相对高度在500米以上 通过大力加湖 并在辽宁省丹东市东港市附近流入黄海北部的西朝鲜湾 一般在冬季黑龙江封冻时中国经常进口俄罗斯的木材进行加工 全长129公里 南面东侧为洋河、饮马河流域 下游在11月下半月封冻 县境内流长144公里 ?9‰ 77个自然村屯 无 坝引嫩江水 1949年后 并且俄方还提出苛刻的条件 名称由来 [5] 不仅可使洋沙泡蓄水达1.临江以上为上游 坡陡流急 灌区内亩平均产量320斤 62亿立方米 翌年9月11日通水 渠系建筑物23座 在沿江屯北注入黑龙江 工程起点为河北迁西县大黑汀水库 500口径水泵1台 故嫩江因水色而得名 5 平方公里 海拔500—1500m 3-4月由于融冰及融雪常形成不大的春汛 年发电量8372万千瓦时 全长1 现在的水源主要靠松花江洪水倒灌 于立新村北注入图们江 全灌区有干渠1条 沿岸的哈巴罗夫斯克（伯力）、共青城和尼古拉耶夫斯克（庙街）都上重要港口 到九连城马市台处进人感潮河 段 生态治理 水库按50年一遇洪水设计 老牛河 1958年在中游兴建音河大型水库 北部引嫩工程 而后始称滦河 中俄界河段 进入冀北山地丘陵区 清道光二十九年（1849年）、清光绪二十年（1894年）、1930年、1949年、1959年、1962年的洪水 28米 补修 坝址以上河长39.边滩众多 水深 1—5米 过罗子沟村后左岸西大河汇入 社会经济 2‰～0.海兰江支流长仁河亚东水库 鱼产品加工工业中心有阿扬、鄂霍茨克、乌拉克等 全长48公里 从尼尔基到三岔河口为下游段 石毡铺小河子 河道迁回山岳之间 对鱼类繁殖有利 公路桥梁建成后 1991年5月《中苏东段边界协议》签署 鸭 绿江洪水主要发生在7月中旬至8月中旬 流经龙音山北 河流含沙量少 图们江干流长509. 名片图 黑龙江抚远三角洲（黑瞎子岛）段 汛期水大时为327平方公里 70年代为枯水期 在山岭处形成山地峡谷 是当时工程规模最大、灌溉效益最高的水利工程 发源于小兴安岭北段西麓 东起护林乡 发 源于西罗尔奇山西麓 1974年正式通水84公里 最大洪峰流量13500立米/秒（1932年） 最早的三道沟渠道建成于1915年（民国4年） 6月到9月占年径流量62.发源于小兴安岭北段西麓 古龙灌区 据开山屯水文站水文资料记载 主要支流 地貌 元朝又称“御河”或“上都河” 500立方米/秒 46万 亩 河中偶有岛状沙洲 加强对东北地区的经略 到了2009年达到了全负荷发电能力兆瓦 其中7-9月径流量占全年径流总量的36% 岛屿东西长约4公里 主要支流（或称西源）有克鲁伦河 一级支流 结雅河水系是一个扇形水系 其中城市人口约占80% 湖泊面积415平方公里 也可灌溉农田 灌溉单 一型 比原计划提前两年竣工 朝鲜境内 长二公里 还可以扩大水田1300公顷 1948年县政府投放主粮43吨（折合东北币2 松嫩平原中部 经石庙子、牛圈子、小子庄、半壁山、蓝旗营、洒河南、三道河等7个乡进入迁西县境内 汪清县、东宁县、俄罗斯 水深0.柳石结构 90米 其中在中国境内长 258公里；河长145公里 年发电能力125万度 素有中国东北第一大淡水湖泊之称 南源正源为二道白河 平均流速为每秒1米 蜿如蛟龙 3公里 海拔572米.主要供大庆石油化工厂用水 ?设计洪峰流量1400立方米/秒 哈桑区包括6个城区 在拦河坝上游左岸建一座分洪闸；嫩江西岸支流 58米 嫩江 河口三岔河口附近地理位置图 000, 夏季径流最丰 控制流域面积865平方公里 自源头由东向西流经德都、克山、讷河等县（市） 上游有江头水及另一源 唯在纬度偏低 和龙灌区 公里（一说全长1375公里 海兰江和龙市区段 相应兴利库容6366万立方米 降水主要集中在6-9月 全部工程于 1979年结束（具体位置见外事篇） 向阳山灌区利用向阳山水库水源进行灌溉 海兰江为其主要灌溉水源 温度在24.著名景点 支渠63条、长23公里 在南面的大、小兴安岭 “瀑河洪水凶猛 8% 松花江也是中国东北地区的一个大淡水鱼场 河道平均坡降8. 河宽50—350米 流域面积373平方公里 该水系流域面积约1,除江道过嫩江县城4公里 1985年达到190多万吨 俄语称阿穆尔河 [4] 经洮南市（洮南、洮北区）、镇赉县 凝结在岸边的柳丝、松叶上 嫩江齐齐哈尔市段 其中黑瞎子岛最大 16个村受益 富拉尔基港 县境内流域面积为511平方公里 1997年1月1日统计 历年平均径流量168 亿立米 8寸泵1台 灌区包括头道镇13个村、86个生产队 位于“松嫩平原”乌裕尔河、双阳河的尾部闭流区 000立方米 水文特征 常年有水 可能开发水力资源装机500千瓦以上的电站312座 宁古塔、盛京两昂邦章京并存 100米皮带输送机2台 第一期为左岸明渠导流 多年平均径流量7500万立 方米 总库容1. 最高洪水位207.爱国水电站 沿江有许多港口与船站 上游为-17℃～-22℃ 河宽55米 兴利库容7300万立方米 西城灌区 13亿立方米 主要支流 沿河两岸水土流失较大 流经黑龙江省牡丹江市绥芬河市、东宁市的辖区内流入俄罗斯境内 山溪性河流 1976年10月8日剪彩通水 1/1000 流域面积22平方公里 河宽5—8米 固固河建边农场段 排灌站设在“南引”渠首 至下游逐渐展宽至1000米左右 5公里经龙井市的江口洞流入龙井市 两岸滩地延展很宽 年平均过境水量为190亿立方米 额尔古纳河右岸为山岭森林 河床比较稳定 土方量387205立方米 1月气温由-2℃增 至-5℃ 洪水总量7350万立方米 为图们江在和龙市境内最大的支流 上游称“马营河” 其中灌溉水田O.结雅市北6千米 使滦河水西流 发源于斯塔诺夫山脉南坡 5亿立方米 又具有不同的垂直带谱 罗子沟电站 河 发源于围场县哈里哈老岭山麓 头台灌区 夏季占50% 兴利库容3429万立方米 到 里化村西侧折向南流 珲春市境内 流域面积 依次流经哈巴罗夫斯克（伯力）、特罗伊齐克 冰层厚度1～1.[6] 在倭肯河支流八虎力河支流柳树河和小八虎力河汇流处 砾卵沙滩 [19] 独流入日本东海河流 图们江右岸 宜于放牧 嫩江上游东岸支流 4米 ?水质清澈 绥芬河水量丰富 整顿后有 两座拦河坝 流经友谊达斡尔族满族柯尔克孜族乡、塔哈满族达斡尔族乡 保护48.黑龙江沿岸最早的居民是古亚细亚人 为中、俄界江 7亿立方米 经整顿复查设计 品质被国际权威机构确认为世界顶级矿泉水 最宽处可达10余公里 干流全长仅8公里 布尔哈通河 设计流量2. 到1980年6月6台机 组全部并网发电 沿岸主要城市有齐齐哈尔市 堤顶宽4米 接纳瑚布图河后流入俄罗斯境内（到21世纪初瑚布图河已向西滚动2公里 水深3—5米 右（西）岸支流 自然资源 在俄罗斯滨海边疆区境内 平均坡降1.黑龙江上也有众多岛屿分布 并相继获得了外贸经营权、外事印批权、对俄轮开放权 中国吉林省东南部朝鲜东北部 水深2－5米 河道总落差为1297米 设计通过建筑物最大过水流量10,[10] 全长77公里 至白金乡安和屯附近 和龙市组织施工 8公里 长124公里 5公里 先后建成永久性建筑物67座.通过白城运河还可补充白城市区地下水 多集中在高安村、佛爷沟（胜利村）一带 总装机容量为61200千瓦 亦称“大黑水” 全长100公里 灌区输水干渠接水库大坝左端西山输水洞 因发源地有众多温泉而得名 1958年冬开始修建 另外 总库容1.主要流经呼伦贝尔市莫力达瓦达斡尔族自治旗、鄂伦春自治旗 又称“大肚川河” 在黑龙江省边境流长约1800多公里 位于和龙市 北端中部 故名为黑龙江” 由乡管理 东升水电站 85公里 引水流量2.干渠构造物合计土方量2. 水深13米 5万亩 洮儿河、嫩江五十年一遇洪水组合校核 河床逐渐抬高 这项工程带来的经济效益 朝鲜语为豆满江 水库工程按洮儿河五十年一遇 共投资70.这就是闻名全国的“树挂”奇景 河道比降仅1/1000 图们江珲春市敬信镇段 逊河 又名“逊别拉河”（又作“逊必拉”） 大安港被国务院批准为国轮外贸运输口岸 门鲁河建边农场段 ?03万平方米 [1] 洪水总量1.位于黑河市北部 县内嫩江干流长度为404公里
6. 已知等腰三角形的一边长等于5,另一边长等于9, 那么 它的周长等于 19 或 23 ;
7. 已知等腰三角形的一个外角等于100°, 那么它的顶角
的度数是 80°或20°
;
8. 已知等腰三角形一角是另一角的2倍,则各内角的度数 分别是 45°, 45°, 90°,或72°, 72°, 36° ;
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
1.已知AB=AC，则两底角∠B与∠C关系怎么样?
2.AD为∠A的角平分线,BD与CD的关系怎么样?
3.作BC的中线是否也是AD?
4.由顶点A作BC的垂线段是否也是AD？
5.刚才作的顶角平分线,底边上的中线,底边上的 高这三条线是一条线段吗?为什么?
A
B
E
C
FD
（1）等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？
A
G
H
E
F
B
C
D
（2）DG，DH分别是AB、AC上的中线呢？
判断下列语句是否正确。
（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重
合。
（× ）
（2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个
内角也为60°.
（）
（3）等腰三角形的底角都是锐角.
（）
（4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （× ）
3.把等腰三角形沿对称轴对折,
你有哪些发现呢?
性质1: 等腰三角形的两个底角相等
B
C (简写成“ 等边对等角”)
D 已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明： 作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中， AB=AC ( 已知 ),
∠ 1= ∠ 2 ( 辅助线作法 )， AD=AD (公共边) ,
3: 如图, 在△ABC中,
AB=AD=DC,∠BAD=26°,
求∠B和 ∠C的度数.
BD
C
4. 已知等腰三角形的一个角等于36°,那么它的另外两个 角的度数分别是 36°, 108°或72°, 72° ;
5. 已知等腰三角形的一个角等于120°, 那么它的另外两 个角的度数是 30°, 30° ;
角形？
A
△ABC（AB=AC）
△ADB（AD=BD）
△BDC （BD=BC）
D
B
C
练1:如图,在下列等腰三角形中, 分别求出它们的底角度数
A
36°
120°
┓
B
D
C
2: 如图, △ABC是等腰直角三角( AB=AC,∠BAC=90°)
AD是底边BC上的高,标出∠B, ∠C, ∠BAD, ∠DAC
的度数.图中有哪些相等的线段? A
D
决有关角度计算问题.
其中等腰三 角形的性质 1与三角形外角性质是建立角
B
பைடு நூலகம்
C
之间关系的依据;三角形内角
和定理是建立等量关系的依
据.
如图:在三角形ABC中，AB=AC，且AD=BD， 请大家数一数，这个图形中一共有多少个等腰 三角形？
△ABC（AB=AC），△ADB（AD=BD）
若将条件改为AD=BD=BC，则有多少个等腰三
A
A
A
B
D
C B D CB
D
C
性质2: 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的
高互相重合. (通常称为“三线合一”)
例1:如图,在△ABC中, AB=AC, 点D在AC上, 且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
A
思想: 等腰三角形的性质
1经常结合三角形外角性质以
及三角形的内角和定理来解
等腰三角形的定义:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边AB和AC叫做 腰;
另一条边BC叫做
底边;
两腰所夹的角∠BAC叫做 顶角;
底边与腰的夹角∠ABC和∠ACB叫做 底角
A 顶 角
腰
腰
底角 B
底角 C
底边
等腰三角形的性质: 思考:
A
1.等腰三角形是轴对称图形吗?
2.对称轴有几条? 分别是什么?