内积空间中正交和投影
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x x0 d x, M
则有 x x0 M
定理 2.3.8 设 M 是希尔伯特空间 X 的线性闭子空间， 则 X 中的元素 x 在 M 中存在唯一的正交投影 x0 ，即有
x x0 y ， x0 M ， y M
定义232正交补中所有与m正交的矢量组成之集合定理233勾股定理若为内积空间232正交投影定义234正交投影设上的正交投影上式也称作x的正交分解
⑶ 若对 x M 和 y N 都有 x, y 0 ，则称 M 与 N 正交，记作 M N ；
⑷ 设 X 为线性空间， M , N 是 X 的两个子空间， 且 M N 。若对于某个 x X 可唯一地表示成
x yz， yM ， zN
则称 X 为 M , N 的正交和，并表示成 X M N 。
定 义 2.3.2 （ 正 交 补 ） 设 X 为 内 积 空 间 ， M X ，称 X 中所有与 M 正交的矢量组成之集合 为 M 的正交补，记作 M ，即
M x x X, x M
定理 2.3.3（勾股定理）若 x1, x2 ,L , xn 为内积
空间 X 中彼此正交的矢量组，则有
n
2
n
xk
xk 2
k 1
k 1
2.3.2 正交投影 定义 2.3.4（正交投影）设 M 为内积空间 X 的线
性子空间， x X ，如果 x0 M ， y M ，使得
x x0 y
则称 x0 是 x 在 M 上的正交投影，上式也称作 x 的正交
分解。
定理 2.3.5（正交投影的唯一性）设 M 为内积空间 X 的线性 子空间， x X ，若 x 在 M 上有正交投影，则该投影是唯一的。
引理 2.3.6 若 M 是希尔伯特空间 X 的一个线性闭子空间， x X ，定义 x 到 M 的距离为
d x, M inf x y yM
则必存在 x0 M ，使得
d x, M x x0
引理 2.3.7 若 M 是希尔伯特空间 X 的一个线性闭子 空间， x M ， x0 M ，使得
则有 x x0 M
定理 2.3.8 设 M 是希尔伯特空间 X 的线性闭子空间， 则 X 中的元素 x 在 M 中存在唯一的正交投影 x0 ，即有
x x0 y ， x0 M ， y M
定义232正交补中所有与m正交的矢量组成之集合定理233勾股定理若为内积空间232正交投影定义234正交投影设上的正交投影上式也称作x的正交分解
⑶ 若对 x M 和 y N 都有 x, y 0 ，则称 M 与 N 正交，记作 M N ；
⑷ 设 X 为线性空间， M , N 是 X 的两个子空间， 且 M N 。若对于某个 x X 可唯一地表示成
x yz， yM ， zN
则称 X 为 M , N 的正交和，并表示成 X M N 。
定 义 2.3.2 （ 正 交 补 ） 设 X 为 内 积 空 间 ， M X ，称 X 中所有与 M 正交的矢量组成之集合 为 M 的正交补，记作 M ，即
M x x X, x M
定理 2.3.3（勾股定理）若 x1, x2 ,L , xn 为内积
空间 X 中彼此正交的矢量组，则有
n
2
n
xk
xk 2
k 1
k 1
2.3.2 正交投影 定义 2.3.4（正交投影）设 M 为内积空间 X 的线
性子空间， x X ，如果 x0 M ， y M ，使得
x x0 y
则称 x0 是 x 在 M 上的正交投影，上式也称作 x 的正交
分解。
定理 2.3.5（正交投影的唯一性）设 M 为内积空间 X 的线性 子空间， x X ，若 x 在 M 上有正交投影，则该投影是唯一的。
引理 2.3.6 若 M 是希尔伯特空间 X 的一个线性闭子空间， x X ，定义 x 到 M 的距离为
d x, M inf x y yM
则必存在 x0 M ，使得
d x, M x x0
引理 2.3.7 若 M 是希尔伯特空间 X 的一个线性闭子 空间， x M ， x0 M ，使得