小学奥数教程之-概率 教师版 (163) 全国通用(含答案)

“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容． 1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题． 2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．
3.理解和运用概率性质进行概率的运算．
一、概率的古典定义
如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；
⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．
这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()m
P A n
=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．
二、对立事件
对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件 如果事件A 和B 为对立事件（互斥事件），那么A 或B 中之一发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1P A P B +=．
三、相互独立事件
事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．
如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即：()()()P A B P A P B ⋅=⋅
．
模块一、概率的意义
【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．
①本市明天将有80%的地区降水． ②本市明天将有80%的时间降水． ③明天肯定下雨． ④明天降水的可能性比较大． 【考点】概率的意义 【难度】1星 【题型】填空
教学目标
例题精讲
知识要点
7-9-1.概率
【关键词】希望杯，决赛
【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．
【答案】④
【例 2】约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币
的正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢．赢的可能性较大（请填
汤姆或约翰）．
【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题
【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。

约翰扔的话，两种情况记1分，两种情况记0分；汤姆扔的话三种情况记1分，一种情况记0分。

所以汤姆赢得的可能性大。

【答案】汤姆
【例 3】在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞200尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么
请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？
【考点】概率的意义【难度】2星【题型】解答
【解析】200尾鱼中有25条鱼被标记过，没所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为252000.125
÷=，所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是0.125，池塘中鱼的数量约为1000.125800
÷=尾．
【答案】800
【例 4】一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的
一面写的是奇数，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比较大．
【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空
【解析】因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大．
【答案】小亮得分高的可能性较大
【例 5】一个骰子六个面上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.
【考点】概率的意义【难度】4星【题型】填空
【解析】掷的总点数在8至12之间时，再掷一次，总点数才有可能超过12（至多是17）．当总点数是8时，再掷一次，总点数是13的可能性比总点数超过13的可能性大．当总点数在9至12之间时，再掷一次，总点数是13的可能性不比总点数是14，15，16，17的可能性小．
例如，总点数是11时，再掷一次，出现05的可能性相同，所以总点数是1116的可能性相同，即总数是13的可能性不比总数点数分别是14，15，16的可能性小，综上所述，总点数是13的可能性最大．
【答案】总点数是13的可能性最大．
【例 6】 从小红家门口的车站到学校，有1路、9路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10分中开来一辆．小
红到车站后，只要看见1路或9路，马上就上车，据有人观察发现：总有1路车过去以后3分钟就来9路车，而9路车过去以后7分钟才来1路车．小红乘坐______路车的可能性较大． 【考点】概率的意义 【难度】4星 【题型】填空
【解析
显然由上表可知每10分钟乘坐1路车的几率均为10，乘坐9路车的几率均为10
，因此小红乘坐1 路车的可能性较大．
【答案】1 路车的可能性较大
模块二、计数求概率
【例 7】 如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是_______．
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 每到一个岔口，球落入两边的机会是均等的，因此，故从左至右落到底部的概率依次为
116、14、3
8
、14、116
． 【答案】左至右落到底部的概率依次为
116、14、38
、14、116．
【例 8】 一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由2、3、5、7、9
五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是______． 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是2、3、5、7、9中的任何一个，有5种可能，第二位数字有4种可能，……，第五位数字有1种可能，所以一共有54321120⨯⨯⨯⨯=种可能，则
输入正确车牌号的可能性是1
120
．
【答案】1
120
【例 9】 分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少?点数之积为6的概率为多少? 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有6636⨯=．
将点数为6的情况全部枚举出来有：
()1,5()2,4()3,3()4,2()5,1
点数之积为6的情况为：
()()()()1,62,33,26,1
两个数相加和为6的有5组，一共是36组，所以点数之和为6的概率是
5
36
；
点数之积为6的概率为
41
369
=． 【答案】（1）
536
，（2）19
【例 10】 甲、乙两个学生各从09这10个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的
差不超过2的概率，⑵两个数字的差不超过6的概率． 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ⑴两个数相同（差为0）的情况有10种，
两个数差为1有2918⨯=种，
两个数的差为2的情况有2816⨯=种，
所以两个数的差不超过2的概率有10181611
101025
++=
⨯． ⑵两个数的差为7的情况有23⨯种． 两个数的差为8的情况有224⨯=种． 两个数的差为9的情况有2种．
所以两个数字的差超过6的概率有
6423
101025++=
⨯. 两个数字的差不超过6的概率有322
12525
-=
. 【答案】（1）1125，（2）22
25
【例 11】 工厂质量检测部门对某一批次的10件产品进行抽样检测，如果这10件产品中有两件产品是次品，
那么质检人员随机抽取2件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 从10件产品中选择2件一共有2
1045C =种情况.
所以这两件产品恰好都是次品的概率为1
45
．
两件产品中有一件次品的情况有11
2816C C ⨯=种情况，所以两件产品中有一件次品的概率为16
45
. 两件产品中都不是次品的概率有2828C =种情况，所以两件产品都不是次品的概率为
2845
. 【答案】（1）
145，（2）1645，（3）28
45
【例 12】 一个班有女生25人,男生27人,任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几? 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 从25名女生中任意抽出两个人有2524
3002⨯=种不同的方法．
从全体学生中任意抽出两个人有525113262⨯=种不同的方法．计算概率：30050
1326221
=
． 【答案】50
221
【例 13】 从6名学生中选4人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？ 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 法一：从6名学生中选4人的不同组合有
6543
154321
⨯⨯⨯=⨯⨯⨯种．
其中，4人中包括甲的不同组合相当于在5名学生中选3人所以一共有543
10321
⨯⨯=⨯⨯种．
所以甲被选择上的概率为
102153
=． 法二：显然这6个人入选的概率是均等的．
即每个人作为一号选手入选的概率为16，作为二号入选的概率为16，作为三号入选的概率为1
6
，
作为四号入选的概率为1
6
，对于单个人“甲”来说，他以头号、二号、三号、四号入选的情况是
互斥事件，所以他被入选的概率为11112
66663
+++=．
【答案】2
3
【例 14】 一块电子手表，显示时与分，使用12小时计时制，例如中午12点和半夜12点都显示为12:00．如
果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是______． 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6年级，1试，第8题
【解析】 一天当中，手表上显示的时刻一共有1260720⨯=种．
其中冒号之前不出现1的情况有2、3、4、5、6、7、8、9八种， 冒号之后不出现1的情况有()()6110145-⨯-=种，
所以不出现1的情况有458360⨯=种．
所以至少看到一个数字“1”的情况有720360360-=种，
所以至少看到一个数字“1”的概率为3601
7202
=种．
【答案】1
2
【例 15】 从立方体的八个顶点中选3个顶点，你能算出：
⑴它们能构成多少个三角形？
⑵这些三角形中有多少个直角三角形？
⑶随机取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有多少？ 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 从8个顶点中任取3个顶点都能构成三角形，所以应该有()87632156⨯⨯÷⨯⨯=个．
如果三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上，则该三角形不是直角三角形，共有8个不是直角三角形．
所以直角三角形共有56848-=个．
构成直角三角形的可能性有486
567=．
【答案】（1）56，（2）48，（3）6
7
【例 16】 一个标准的五角星（如图）由10个点连接而成，从这10个点随机选取3个点，则这三个点在同一
条直线上的概率为多少，这三个点能构成三角形的概率为多少？如果选取4个点，则这四个点恰好构成平行四边形的概率为多少？
【考点】计数求概率 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 10个点中任意取3个的情况为1098
120321
⨯⨯=⨯⨯种，
其中涉及到5条直线，每条直线上各有4个点，其中任意3点都共线，所以取这3点不能够成三
角形，这样的概率是
3
4511206C ⨯=,所以3点构成三角形的概率为15
166
-=． 10个点中取4个点的情形为4
10109872104321
C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种，10个点中平行四边形有10个，所以构
成平行四边形的概率为101
21021
=
． 【答案】（1）16，（2）56，（3）1
21
【例 17】 如图9个点分布成边长为2厘米的方阵（相邻点与点之间的距离为1厘米），在这9个点中任取
3个点，则这三个点构成三角形的概率为多少？这三个点构成面积为1
2
平方厘米的三角形的概
率为多少？构成面积为1平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为3
2
平方厘米的概率为
多少？构成面积为2平方厘米的三角形的概率为多少？
【考点】计数求概率 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 从9个点中任取3个点一共有3
998784321
C ⨯⨯==⨯⨯种情况．
三个点共线一共有3328++=种情况．
所以三个点能够成三角形的概率为819
18421
-=．
9个点中能构成面积为1
2的三角形一共有444432⨯+⨯=种情况．
所以三个点能够成面积为12平方厘米的三角形的概率为328
8421
=．
9个点中能够成面积为1平方厘米的三角形的情况有46832⨯+=种情况．
所以三个点能够成面积为1平方厘米的三角形的概率为328
8421
=．
9个点中能够成面积为3
2平方厘米的三角形的情况有4种情况．
所以三个点能够成面积为32平方厘米的三角形的概率为41
8421
=
． 9个点中能够成面积为2平方厘米的三角形的情况有8种情况．
所以三个点能够成面积为2平方厘米的三角形的概率为82
8421
=
． 【答案】（1）
1921，（2）821，（3）821，（4）121，（6）221
【例 18】 甲、乙、丙、丁四人互相传球，由甲开始第一次传球，每个人接到球后，都随机从其他人中
选择一个人将球传出，那么第四次传球恰好传回甲手里的概率是多少？ 【考点】计数求概率 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 对每一个接到球的人来说，下一次传球的方向有3种可能，
所以四次传球的总路线有4381=种可能，每一种之间都是互斥的等概率事件. 而恰好传回到甲的情况，以第一步为→甲乙为例有如下7种情况： ⎧→→⎧⎪⎪
→→→⎨⎪⎪⎪
→→⎩⎪⎪⎪
→⎨→→⎧⎪→⎨⎪→→⎩⎪⎪→→⎧→⎪⎨→→⎪⎩⎩
乙甲
甲丙甲
丁甲甲乙乙甲丙丁甲乙甲丁丙甲
所以第4次传回甲的概率为
377
8127
⨯=
． 【答案】7
27
模块三、对立事件与相互独立事件
【例 19】 一张圆桌旁有四个座位，A 、B 、C 、D 四人随机坐到四个座位上，求A 与B 不相邻而坐的概率． 【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 四人入座的不同情况有432124⨯⨯⨯=种．
A 、
B 相邻的不同情况，首先固定A 的座位，有4种，安排B 的座位有2种，安排
C 、
D 的座位有2
种，一共有42216⨯⨯=种，所以A 、B 相邻而座的概率为2
16243
÷=，那么A 、B 不相邻而座的概
率为21
133
-=．
【答案】1
3
【例 20】 某小学六年级有6个班，每个班各有40名学生，现要在六年级的6个班中随机抽取2个班，参加电
视台的现场娱乐活动，活动中有1次抽奖活动，将抽取4名幸运观众，那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为多少？
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 小宝所在班级被抽中参加娱乐活动的概率为
1
526
51
153
C C =
=，如果小宝参加了娱乐活动，那么小宝成为幸运观众的概率为
4140220=⨯，所以小宝成为幸运观众的概率为111
32060
⨯=
. 【答案】1
60
【例 21】 从装有3个白球，2个黑球的口袋中任意摸出两球，全是白球的概率．
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 法一：5个球任意取出两个有2
5541021
C ⨯==⨯种情况，互相之间都是互斥事件，且出现概率均等，而
两个球都是白球有2
332321C ⨯==⨯种情况，全是白球的概率为310
．
法二：将摸出两个球视作两次行为，摸出第一个球是白球的概率为3
5
，再摸出一个白球的概率为
311512-=-，所以两次摸出两个白球的概率为313
5210⨯=
．（建议讲完独立事件再讲这一方法） 【答案】3
10
【例 22】 A 、B 、C 、D 、E 、F 六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只
有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？ 【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 A 抽中的概率为16，没抽到的概率为56，如果A 没抽中，那么B 有1
5
的概率抽中，如果A 抽中，那
么B 抽中的概率为0，所以B 抽中的概率为511
656
⨯=.
同理，C 抽中的概率为54116546⨯⨯=，D 抽中的概率为54311
65436⨯⨯⨯=，
E 抽中的概率为543211654326⨯⨯⨯⨯=，
F 抽中的概率为543211
1654326
⨯⨯⨯⨯⨯=.
由此可见六人抽中的概率相等，与抽签的先后顺序无关.
【答案】六个人抽中的概率相同为1
6
【巩固】如果例题中每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概
率为多少？ 【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 抽中的概率依次为：16、5166⨯、511666⨯⨯、51116666⨯⨯⨯、5111166666⨯⨯⨯⨯、511111
666666
⨯⨯⨯⨯⨯，
在这种情况下先抽者，抽中的概率大．
【答案】抽中的概率依次为：16、5166⨯、511666⨯⨯、51116666⨯⨯⨯、5111166666⨯⨯⨯⨯、511111
666666
⨯⨯⨯⨯⨯，
在这种情况下先抽者，抽中的概率大．
【例 23】 在某次的考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影响）的概率为0.5，0.4，0.2，考试结束后，最容易
出现几个人优秀？ 【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 注意他们的优秀率是互不影响的． 三人都优秀的概率是0.50.40.20.04⨯⨯=，
只有甲乙两人优秀的概率为()0.50.410.20.16⨯⨯-=，（或0.50.40.040.16⨯-=）． 只有甲丙二人优秀的概率()0.510.40.20.06⨯-⨯=， 只有乙丙二人优秀的概率()10.50.40.20.04-⨯⨯=， 所以有两人优秀的概率为0.160.060.040.26++=，
甲一人优秀的概率()()
0.510.410.20.24
⨯-⨯-=，
乙一人优秀的概率()()
10.50.410.20.16
-⨯⨯-=，
丙一人优秀的概率()()
10.510.40.20.06
-⨯-⨯=，
所以只有一人优秀的概率为0.240.160.060.46
++=
全都不优秀的概率为()()()
10.510.410.20.24
---=，
最容易出现只有一人优秀的情况．
【答案】1个人优秀
【巩固】在某次的考试中，甲、乙两人优秀（互不影响）的概率为0.5，0.4，考试结束后，只有乙优秀的概率为多少？
【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答
【解析】只有乙优秀的概率为()
0.410.50.2
⨯-=．
【答案】0.2
【例 24】某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为40%，如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少?
【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答
【解析】⑴全部射中靶心的概率为0.40.40.40.064
⨯⨯=．
⑵第一箭射中，其他两箭射空的概率为()()
0.410.410.40.144
⨯-⨯-=．
第二箭射中，其他两箭射空的概率为()()
0.410.410.40.144
⨯-⨯-=．
第三箭射中，其他两箭射空的概率为()()
0.410.410.40.144
⨯-⨯-=．
有一箭射中的概率为0.1440.1440.1440.432
++=.
⑶第一箭射空，其他两箭射中的概率为()
10.40.40.40.096
-⨯⨯=．
第二箭射空，其他两箭射中的概率为()
10.40.40.40.096
-⨯⨯=．
第三箭射空，其他两箭射中的概率为()
10.40.40.40.096
-⨯⨯=．
有两箭射空的概率为0.960.960.960.288
++=.
【答案】（1）0.064，（2）0.432，（3）0.288
【例 25】设每门高射炮击中敌机的概率为0.6,今欲以99%的把握击中敌机,则至少应配备几门高射炮同时射击？
【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答
【解析】如果只配一门高射炮，那么未击中的概率为0.4，
配备两门高射炮那么未击中的概率为0.40.40.16
⨯=，
如果配备三门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.064
⨯⨯=，
如果配备四门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.40.0256
⨯⨯⨯=，
如果配备五门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.40.40.01024
⨯⨯⨯⨯=，
如果配备六门高射炮，那么未击中的概率为6
0.40.004096
=．
所以至少配备6门高射炮，同时射击．
【答案】6
【例 26】某地天气变化的概率是：如果今天晴天，那么明天晴天的概率是3
4
．如果今天下雨，那么明天晴
天的概率是1
3
．今天是星期三，天气温暖晴好．小明一家想在星期六去泡温泉，那么星期六晴天的
概率是多少？
【考点】对立事件与相互独立事件【难度】4星【题型】解答
【解析】根据题意，每天的天气应该只有晴、雨两种可能，不需要考虑阴天等情况，否则是把问题复杂化，而且这道题也没法做了．
如果今天晴天，那么明天晴天的概率是3/4．如果今天下雨，那么明天晴天的概率是1/3．
也就是说：
晴——晴概率为3
4
；
晴——雨概率为1
4
；
雨——晴概率为1
3
；
雨——雨概率为2
3
；
可以画一个树状图把星期六是晴天的各种情况都列出来：
星期六
晴
晴
晴
晴
星期五
晴
雨
雨
晴
星期四
雨
晴
晴
星期三
然后再分别计算四种情况的概率：
33327
44464
⨯⨯=；
3111
44316
⨯⨯=；
1131
43416
⨯⨯=；
1211
43318
⨯⨯=；
所以星期六晴天的概率是27111347
64161618576
+++=
【答案】347
576。