平面向量的坐标表示,模,夹角

二、探究解疑
Office组件之word2007
1、平面向量数量积的坐标表示
问题1、如图，i 是x轴上的单位向量，j
是y轴上的单位向量，
i i 1 . j j 1 .
y A(x1,y1)
i j j i 0 .
B(x2,y2) a
bj
oi x
问题2
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AB AC 1313 0
是的判两断条B相线(2应段,3)
AB AC
∴ △ABC是直角三角形
或垂A(直直1,2的线) 是重否要 x 0方法之一
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uuuv
uuuv
uuuv
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2
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2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
一、复习引入
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1、数量积的定义：a b | a || b | cos
2、投影：| b | cos 叫做 b在 a方 向 上 的 投 影
B
r
b
r
Oθ
a
B1
A
| b | cos
2 2
=45o
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例3:已知a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数 时，向量k a－ b与 a+3b(1)平行；(2)垂直
解：k a－ b =(k－2, －1) a +3 b=(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)+7=0
所以k= 1 3
3.数量积的性质
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证明向量
r r rr
垂直的依据
(1)a b a b ___0____ .
(2)若
r a
与
r b
r 同向,a
r b

__| _a_||_b_| _；
rr
rr
若 a 与 b 反向,a b __|_a_||_b _| _；
r a
33
2
小结标表示.
2.判断两个向量垂直的方法.
3.平面向量的模公式.
4.平面向量的夹角公式.
(2)由向量垂直条件得7(k－2)－3=0
所以k=
17 7
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例4:已知 a =(4,3) ,求与 a 垂直的单位向量b .
解:设所求向量为(x, y), 则
4x 3y 0

x2

y2
1


yx534或xy453
5 5
a⊥b
a·b=0
x1x2+y1y2=0
a b x1x2 y1y2 0
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4、两向量夹角余弦的坐标运算
两非零向量a （x1，y1），b （x2，y2）,夹角为
cos a b
| a || b | x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
v a
若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|= _x_2 __x1_2___y2__y_12
平面内两点间的距离公式
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3、向量平行和垂直的坐标表示式
设两个非零向量a ( x1, y1), b ( x2 , y2 ),则
a //b x1y2 x2 y1 0
x1x2 y1 y2
a b x1 x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
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例1 设a = (5， 7)，b = (6， 4)，

求a ·b及|a|的值
vv
agb=5-6+-7-4 =-2
v2 v v
a =aga =5,-7g5,-7=55+-7-7
v
=74
a = 74
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v 思考：在求 a 问题中，能否推广到一般情况？
2.向量的长度(模)
设a =(x，y),则 |a|2= x2 y 2 或|a |= __x_2__y_2_
思考：知道向量的起点和终点坐标，如何表示
r a

_|_a_|2__ .
|
a
|
aa
(3)
|
r a

r b
|
_≤___
|
r a
||
r b
|
.(填

或
)
ab
(4)cos _________
ab
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我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的 坐 标 表 示 a b呢 ？
b (3 , 4)或b ( 3 , 4)
55
55
三、典例分析
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例5已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
证方明法u：1uAurB

2
1,3
2

1,1
C(-2,5)向y 量的数量 积是否为零,
AC 2 1,5 2 3,3
已r知r 两非零向量a
（x ，y），b （x ，y）
1
1
2
2
设i，j分别为与x轴和y轴方向相同的单位向量，则
av、bv如a 何x用1 i vi与y1vjj表示b？
x 2
i

y 2
j
a b （x1 i y1 j）（ x2 i y2 j）
2
2
x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 j i y1 y2 j
uuuv
uuuv
uuuv
| AB | 2，|AC | 3 3，|BC | 2 5
uuuv uuuv uuuv
| AB |2 |AC |2 |BC |2 ，ABC是直角三角形
变式练习：已知ABC是直角三角形，uAuCuv 3,2，
uuuv
BC= k,1，求k的值。
k = 11,k =- 2 ,k = 3 13
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例题2、已知av= 1,
3
v ,b=
3+1, 3-1 ,求av与bv的夹角
设av与bv的夹角为，
vv
cos = vagbv = a b
1 3+1 + 3 3-1
2
2
2
12 + 3
3+1 + 3-1
=