2020高考数学模拟试卷含答案

2020⾼考数学模拟试卷含答案
2020⾼考虽然延迟，但是练习⼀定要跟上，加油，少年！
第1卷（选择题共60分）
⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分 1.若全集U=R,集合M ＝{}24x x >，N ＝301x x
x ?-?
>??+??
，则
()U M N I e=( )
A.{2}x x <-
B. {23}x x x <-≥或
C. {3}x x ≥
D.
{23}x x -≤<
2.若2
1tan(),tan(),5
44π
αββ+=-=则tan()4
π
α+=（）
A.1318
B.318
C.322
D.1322
3.条件p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍” ；条件q ：“直线l 的斜率为－2” ，则p 是q 的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.⾮充分也⾮必要
4.如果212n
x x ??-
的展开式中只有第4项的⼆项式系数最⼤，那么展开式中的所有项的系数和是（）
A.0
B.256
C.64
D.
1
64
5.12,e e u r u u r 为基底向量，已知向量121212,2,3AB e ke CB e e CD e e =-=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r
，若
A,B,D 三点共线，则k 的值为（） A.2 B.－3 C.－2 D.3
6.⼀个单位有职⼯160⼈，其中有业务员120⼈，管理⼈员24⼈，
后勤服务⼈员16⼈.为了了解职⼯的⾝体健康状况，要从中抽取⼀定容量的样本.现⽤分层抽样的⽅法得到业务⼈员的⼈数为15⼈，那么这个样本容量为（） A.19 B.20 C.21 D.22
7.直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点A （1，3），则b 的值为（）
A.3
B.－3
C.5
D.－5
8.在⼀个45o 的⼆⾯⾓的⼀平⾯内有⼀条直线与⼆⾯⾓的棱成45o ⾓，则此直线与⼆⾯⾓的另⼀个⾯所成的⾓为（） A.30o
B.45o
C.60o
D.90o
9.只⽤1，2，3三个数字组成⼀个四位数，规定这三个数必须同时使⽤，且同⼀数字不能相邻出现，这样的四位数有（）t A.6个 B.9个 C.18个 D.36个
10.若椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，线段12F F 被
22y bx =的焦点分成53?的两段，则此椭圆的离⼼率为（）
A.
1617
B. 17
C. 45
D. 5
11.对任意两实数,a b ，定义运算“*”如下：()(),,a a b a b b a b ≤??*=?>??，则函数
122
()log (32)log f x x x =-*的值域为（）x
A.(,0]-∞
B.22log ,03
C.22
log ,3??
+∞
D.R 12.⼀种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟⾃⾝复制⼀次，复制后所占据内存是原来的2
倍，那么开机后，该病毒占据64MB （1MB ＝102KB ）内存需经过的时间为（） A.15分钟 B.30分钟 C.45分钟 D.60分钟第II 卷（⾮选择题共90分）
⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分. 13.若指数函数()()x f x a x R =∈的部分对应值如下表：
则不等式1()0f x -<的解集为 . 14.数列{}n a 满⾜11200613,,,1n
n n
a a a n N a a *++==∈-则＝ .
15.已知实数x,y 满⾜约束条件1020()1
x ay x y a
R x ì--
+澄í??￡，⽬标函数
3z x y =+只有当1
x y ì=??í
=时取得最⼤值，则a 的取值范围是 . 16．请阅读下列命题：
①直线1y kx =+与椭圆22
124
x y +=总有两个交点；
②函数3()2sin(3)4
f x x p
=-
的图象可由函数()2sin 3f x x =按向量(,0)4
a p
=-r 平移得到；
③函数2()2f x x ax b =-+⼀定是偶函数；
④抛物线2(0)x ay a =?的焦点坐标是1
(
,0)4a
．回答以上四个命题中，真命题是_______________(写出所有真命题
的编号).
三、解答题（共6⼩题，17—21题每题12分，第22题14分，共
74分）
17．已知向量,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x c ===v v v
（I ）若//a c v v
，求sin cos x x ×的值；
(II) 若0,3
x p
18．在⼀次历史与地理两门功课的联合考试中,备有6道历史题,4道
地理题,共10道题⽬可供选择,要求学⽣从中任意选取5道作答,答对4道或5道即为良好成绩．
（I ）设对每道题⽬的选取是随机的，求所选的5道题中⾄少选取
2道地理题的概率；
(II) 若学⽣甲随机选定了5道题⽬，且答对任意⼀道题的概率均为0.6，求甲没有取
得良好成绩的概率（精确到⼩数点后两位）．
19．已知：如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ^，D 为AB 的中点，
1AC BC BB ==
（I ）求证：11BC AB ^； (II) 求证：1//BC 平⾯1CA D ；（III ）求异⾯直线1DC 与1AB 所成⾓的余弦值．20．设12,x x 是函数32
2()(0)32
a b f x x x a x a =
+->的两个极值点，且122x x +=．
（I ）求证：01a
(II) 求证：9
b ￡
．
21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S ＝22(1,2,3)n a n L -=，数列{}n b 中，11b =，
点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上．（I ）求数列{}{},n n a b 的通项n a 和n b ；
(II) 记1122n n n S a b a b a b =+++…，求满⾜167n S <的最⼤正整数n ．
22．⼀条斜率为１的直线l 与离⼼率为的双曲线Ｅ：
22
221(0,0)x y a b a b -=>>交于 ,P Q 两点，直线l 与y 轴交于R ，且
3,4OP OQ
PQ RQ ?-=u u u r u u u r u u u r u u u r
，求直线l 与双曲线
Ｅ的⽅程．
⾼三联考数学（⽂科）参考答案
⼀、选择题：（每⼩题5分，共60分）
⼆、填空题：（每⼩题4分，共16分）
13.（0，1）; 14.-2; 15.a>0; 16.①④. 14.提⽰：归纳法得到{}n a 是周期为4的数列，200622a a ==- 15.提⽰：直线10x ay --=过定点（1，0），画出区域20
1
x y x +≥??
≤?后，让
直线10x ay --=绕（1，0）旋转得到不等式所表⽰的平⾯区域，平移直线30x y +=观察图象可知，必须满⾜直线10x ay --=的斜率1
0a
>才符号题意.故a 的范围是0.a > t
三、解答题:17.解：（I ）,,tan 23a c x x x ==r r
Q L L ∥分
222sin cos tan 2
sin cos 6sin cos 1tan 5
x x x x x x x x ∴=
==++L L 分
(II)
21
(cos cos 2(1cos 2)2
f x a b x x x x x ?=+=++r r ）＝
1
sin(2)92
6
x π
=++L L 分
50,2,3
6
6
6
x x π
π
π
π<≤
<+
≤
Q 则
x
13sin(2)1,1(262x f x π∴≤+≤≤≤于是：），故函数(f x ）的值域为31122??
L L ，分
18.解: （I ）法⼀：所选的5道题中⾄少有2道地理题的概率为
5041646455101011031
116424242
C C C C P C C -L L ＝－＝－－＝分
法⼆：所选的5道题中⾄少有2道地理题的概率为
3223146464645551010101020131
642424242
C C C C C C P C C C =++=++=L L 分
(II)甲答对4道题的概率为：44150.60.40.25928P C =??L L ＝；
分
甲答对5道题的概率为：550150.60.40.0777610P C =??L L ＝分
故甲没有获得良好成绩的概率为：121()1(0.25920.07776)P P P =-+=-+ 0.6612≈L 分
19.⽅法⼀：（I ）证明：111,,.AC BC AC CC AC CC B B ⊥⊥⊥则平⾯四边形11CC B B 为正⽅形，连1B C ,则11C B B C ⊥由三垂线定理，得114BC AB ⊥L L 分
（II ）证明：连11.AC CA E DE 交于，连在△1AC B 中，由中位线定理得1DE BC ∥. ⼜
11111,.8DE CA D BC CA D BC CA D ??∴L L 平⾯平⾯，∥平⾯分
（III ）解：取1111,.,BB F DF C F DF AB C DF ∠的中点连和则∥或它的补⾓为所求. 令1 2.,AC BC BB ===111在直⾓△FB C 中可求出C F=5
在直⾓△1AB B 中可求出221123, 3.2(2) 6.AB DF DC ==+=则＝在△1DFC 中，由余弦定理，得
12
cos 12236
C DF ∠=
=??L L 分
⽅法⼆：如图建⽴坐标系.设12,AC BC BB ===则
（I ）证：11(0,2,2),(2,2,2),BC AB =--=--u u u u r u u u r
11110440..4BC AB BC AB ?=-+=∴⊥u u u u r u u u r
L L 分
（II ）证：取1AC 的中点E ，连DE.E(1,0,1),则(0,1,1),ED =u u u r 1(0,2,2).BC =--u u u u r
有112..ED BC ED BC =-u u u r u u u u r
1⼜与不共线，则DF ∥AB
⼜11111,,.8DE CA D BC CA D BC CA D ??L L 平⾯平⾯则∥平⾯分
（III ）()11,(1,1,2)AB DC =---u u u r u u u u r
＝-2,2,-2 112242
cos ,12444114
DC AB -+∴=++?++u u u u r u u u r
L L 分<>=
20.（I ）证明：22(),1f x ax bx a '=+-L L 分
32212,((0)32
a b
x x f x x x a x a +->Q 是函数）＝的两个极值点，
221212120,2b
x x ax bx a x x x x a a
∴+-=?=-L L ，是的两个根，于是＋＝－分
2
1212122
0,0,424b a x x a x x x x a a
>∴=-<∴+=-=+=Q L L ⼜分 2
223244,440,016b a b a a a a
+=∴=-≥∴<≤L L 即：分 111(2,0,2),(0,2,2),(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,1,2),2A B C A B C D L L L L 分（II ）证明：设232()44,()8124(23)7g a a a g a a a a a '=-=-=-L L 则分
22
0()0,()0933
a g a g a '<<>∴L L 当时，在（，）上是增函数；分
21()0,(),1113a g a g a ??
'<≤<∴
L L 2当时，在上是减函数；分3
max 216()(),12327g a g b ∴==∴≤L L L 分
21.解（1）*11122,22,2,)n n n n n n n S a S a S S a n n N ---=-=-≥∈Q ⼜－＝，（
{}*11
22,0,2,(2,),n
n n n n n n a a a a a n n N a a --∴=-≠∴
=≥∈Q 即数列是等⽐数列. 11111,22,223n n a S a a a a =∴=-∴=Q L L 即＝，分
11,)20n n n n P b b b b ++∴-Q 点（在直线x-y+2=0上，＋＝
{}112,1216n n n n b b b b b n +∴-=∴=-L L 即数列是等差数列，⼜＝，分
（II ）231122123252(21)2,n n n n S a b a b a b n +++=?+?+?++-L L ＝
23121232(23)2(21)2n n n S n n +∴=?+?++-+-L
因此：23112222222)(21)2n n n S n +-=--L ＋(＋＋＋即：341112(222(21)2n n n S n ++-=?++++--L 1(23)2610n n S n +∴=-+L L 分
11151
6
167,23)26167,(23)21614(23)2(24321605(23)2
(2532448167412n n n n n n S n n n n n n S n ++++<-+<-<=-=?=-=?""
故满⾜条件的最⼤正整数为分
22.解:由22222
2231(),2,12b x y b a a a a
=+=-=L 2
＝e 得双曲线的⽅程设为①2L 分
设直线l 的⽅程为y x m =+，代⼊①，得：2222()2x x m a -+=，即：2222(2)0x mx m a --+=
221,1221212(),(,),2,25P x y Q x y x x m x x m a +=?=--L L 设则分
222222212121212()()()222()6y y x m x m x x m x x m m a m m m a =++=+++=--++=-L 分2222121234,430OP OQ x x y y m a a m ∴?=+=-∴--=u u u r u u u r
L －＝②7L 分
4,30PQ RQ R PQ R m =∴u u u r u u u r u u u r
Q 点分所成的⽐为，点的坐标为（，），则：
121212
33()391344
y y x m x m x x m m +++++=
==++L L 分 1212123,2,3,10x x x x m x m x m ∴=-+===-L L 代⼊得分
代⼊2222222122,32,,12x x m a m m a m a =--=--∴=L L 得－分代⼊②得21,1a m ==±从⽽
2
2
1,1142
y l y x x ∴=±-=L L 直线的⽅程为双曲线的⽅程为分。