欧拉法(euler)求解常微分方程的matlab程序及案例

欧拉法(euler)求解常微分方程的matlab程序及
案例
欧拉方法是最初用于求解常微分方程的数值方法之一，它是一种显式的一步法，具有易于实施的优点，特别适合初学者使用。

本文将介绍欧拉法的原理和使用MATLAB求解常微分方程的具体方法，同时给出一个简单的实例进行说明。

一、欧拉法原理
考虑一个一阶常微分方程y'=f(t,y)，欧拉法的基本思想是将时间步长Δt均分成n个小步长，从y(t0)开始依次计算每个时刻的值，得到一列估计值y1, y2, …, yn。

欧拉法的计算公式为：
（1）y1=y(t0+Δt)=y(t0)+Δtf(t0, y0)
（2）y2=y(t0+2Δt)=y(t0+Δt)+Δtf(t0+Δt, y1)
（3）yn=y(t0+nΔt)=y(t0+(n-1)Δt)+Δtf(t0+(n-1)Δt, yn-1)可以看出，欧拉法的核心在于利用已知的t和y计算f(t,y)，从而获得y的逼近值。

但是需要注意的是，步长Δt越小，计算所需的时间和内存就越多，而精度却并不一定提高。

因此在实际应用中需要结合具体问题选择合适的步长。

二、MATLAB求解常微分方程的具体方法
（1）定义常微分方程
我们以一个简单的例子开始，考虑求解y'=1-y，y(0)=0.5在[0,1]区间内的积分。

首先定义匿名函数dydt，将其传到ode45中求解：dydt=@(t,y)1-y;
[t,y]=ode45(dydt,[0 1],0.5);
plot(t,y,'-o')
运行以上代码可以得到结果，其中plot函数用于绘制图像。

但是，由于求解过程中计算机执行到ode45函数时可能需要很长时间，因此
需要更快捷的方法。

（2）利用欧拉法求解方程
欧拉法求解方程首先需要定义步长Δt，这里设Δt为0.1。

定义
起始值y=[0.5]、时间向量t=0:Δt:1，然后计算列向量y的估计值：t=0:0.1:1;
y=zeros(size(t));
y(1)=0.5;
for n=1:length(t)-1
y(n+1)=y(n)+0.1*(1-y(n));
end
plot(t,y,'-o')
以上代码的执行结果与前面的ode45方法相同，但是速度更快。

（3）绘制函数图像
为了验证求得的解是否准确，以及了解步长对解的影响，可以通过改变Δt的值多次求解方程，绘制不同步长所得的函数图像，以及与正解的误差图像。

（4）程序框架
最后，我们给出程序的框架，如下所示：
dydt=@(t,y)1-y; % 定义匿名函数
t=0:0.1:1; % 定义时间向量，步长为0.1
y=zeros(size(t)); % 定义估计值
y(1)=0.5; % 定义初始值
for n=1:length(t)-1
y(n+1)=y(n)+0.1*dydt(t(n),y(n)); % 欧拉法核心公式end
plot(t,y,'-o') % 绘制函数图像
三、总结
欧拉法是一种非常简单、直观的求解常微分方程的方法，但是精度不一定能满足实际需要。

在实际应用中，需要针对具体问题选择合
适的步长和方法。

MATLAB提供了ode45等多种求解方程的方法，对于初学者来说，可以通过使用欧拉法了解其原理和应用。