5第五章 曲线和曲面

• 修正弦长参数化法 ，在四种方法中效果最好：
t0 0 t j t j 1 K j Pj 1 j 1,2, , n
Pj 2 j 1 Pj j 3 K j 1 2 Pj 2 Pj 1 Pj 1 Pj j min Pj 1 Pj Pj 1 , , P1 Pn 0 2
T(单位切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架；N、B构成的平 面称为法平面；N、T构成的平面称为密切平面（它与曲线最贴近）；B、T构成的平 面称为从切平面。 对于一般参数t，有：
T
2）曲线的曲率和挠率
曲率：
B N
由于T’(s)与N平行，令T’(s)= κN, κ(kappa)称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。κ恒为 正，又称为绝对曲率。κ曲率的倒数ρ=1/κ ，称为曲率半径。 挠率： 由B(s)·Ｔ(s)=0，两边求导，可得： B‘(s)·Ｔ(s)=0； 又由|B(s)|2=1，两边求导，可得： B‘(s)·B(s)=0； 所以，B’(s)∥N(s)，再令B’(s)=-τN(s)， τ(tau)称为挠率，其几何意义是副法矢方向对于弧长的转动率。挠率大于0、 等于0和小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。 对于一般参数t，可以推导出曲率和挠率的计算公式如下：
t0 0 t j t j 1 Pj 1 Pj 1 Pj Pj 1 ; j 1,2, , n
③ 向心参数化法，又称平方根法：
t0 0 1/ 2 t t P j 1 j 1 j Pj 1 Pj Pj 1 ; j 1,2, , n
5.4 曲线的插值、逼近与拟合
插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造 一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数 据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的 数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造 的曲线称为逼近曲线。 拟合：插值与逼近统称为拟合。
5.6 几何连续性
设计一条复杂形状曲线时，一般是通过多段简单曲线的拼接完 成的。这就涉及曲线在拼接处的连续性问题。 拼接曲线的连续性（或称光滑性）有两类度量方式： 一类称为参数连续性：如果曲线函数对表达它的特定参数（并非 所有参数）具有直达n阶的连续导矢，则称该曲线具有n阶参数连续 性，简称Cn连续。 另一类称为几何连续性：如果曲线函数对弧长参数具有直达n阶 的连续导矢，则称该曲线具有n阶几何连续性，简称Gn连续。 曲线光滑度的两类度量并无因果关系，都能描述曲线的光滑性。 由于弧长是几何量，所以几何连续性更能够代表曲线的光滑性。
1）曲面的表示
P=P(u,v)，u1≤u≤u2，v1≤v≤v2 固定其中一个参数例如v=v0，则曲面变成单参数u的矢函数P=P(u,v0)， 表示曲面上的一条以u为参数的参数曲线，简称u线。类似地，P=P(u0,v)表 示曲面上的一条v线。所以，参数曲面上存在两组等参数线，即一组u线和一 组v线。 在曲面上一点P(u0,v0)处，总存在一条u线和一条v线。u线在该点有一个 切矢Pu(u0,v0)，称为u向切矢。v线在该点也有一个切矢Pv(u0,v0)，称为v向 切矢。这两个切矢的矢量积，决定了该点处的曲面法矢n(u0,v0)。 将曲面上的每一点P(u,v)，沿法矢方向n移动一个固定距离d，就得到该 曲面的一个等距面 P’(u,v)=P(u,v)+dn(u,v)。
第五章 曲线和曲面
5.1 曲线的数学表示
1）显示表示：y=f(x) 2）隐式表示：f(x,y)=0 3）参数表示：P(t)=[x(t), y(t)]
在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性，主 要表现在： （1）容易满足几何不变性（控制点产生的图形与其所在的坐标系无关）的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 （3）可对参数方程直接进行几何变换，而不需要逐点变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间中去。 （6）规格化的参数变量t∈[0,1]，使得界定曲线、曲面的范围十分简单。 （7）易于用矢量和矩阵运算，从而大大简化了计算。
5.2 曲线分析
1）曲线上的活动坐标架
设曲线为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]，则：

切矢量：P’(t)（当t为弧长时是单位矢），单位切矢记为T。 法矢量：
过曲线上任意一点，以切矢为法线的平面称为法平面。 主法矢：当以弧长为参数时，切矢的导矢是一个与切矢垂直的矢量，其单位矢 称为主法矢，记为N。 副法矢（记为B）B=T×N
5.7 参数三次样条曲线（续）
将上式中的下标i换成i-1，得：
Pi 1 P 1 i ' ' ( ) ' ' ( ) ' ' ( ) ' ' ( ) P' 'i 1 (u ) F t F t G t G t 1 i 0 i 1 P'i 1 i 1 2 0 ' P i t u ui 1 ui 1 u ui ui ui 1
多项式插值：
通过n＋1个数据点Pi（i＝0，1，···n）和对应的参数ti （i＝0，1，···n） 可以构造n次插值多项式
p (u ) a i t i
i 0
n
其中ai是与Pi维数一致的向量，例如三维。
多项式逼近：
随着控制点增多，多项式的次数不断增高，摆动剧烈，稳定性降低。而且 常常数据点是带有误差的，没有必要严格通过，这时可以用低阶多项式进行逼 近，逼近时采用的方法通常是最小二乘法：
2 a0 a1 t0 a2 t0 p0
a0 a1 t1 源自文库a2 t12 p1
2 a0 a1 t 2 a2 t 2 p2 2 a0 a1 t3 a2 t3 p3
1 1 1 1
t0 t1 t2 t3
2 t0 p0 a0 2 t1 p1 a 2 1 p2 t 2 a 2 2 p t3 3
由二阶导数连续得三切矢方程：
i P'i 1 2( i 1 i ) P 'i i 1 P 'i 1 3( i Pi 1 P i 1 i ) , i 1,2,...n 1 i 1 i
i ui 1 ui ; Pi Pi 1 Pi ;
Pi P Pi (u ) F0 (t ) F1 (t ) i G0 (t ) i G1 (t ) i 1 P'i ' P i 1 u ui u ui 其中：t ui u ui 1 ui 1 ui i F0 (t ) 1 3t 2 2t 3 F1 (t ) 3t 2 2t 3 G0 (t ) t (1 t ) 2 G1 (t ) t 2 (1 t )
注意：曲率和挠率是几何量，其值与参数的选择无关。
示例：左旋右旋螺旋线
当圆柱轴线平放时，用手握住圆柱并伸直拇指，拇指代表动点移动的 方向，其余四个手指代表动点的转动方向，符合右手为右旋螺旋线，如图 (ɑ)所示；符合左手为左旋螺旋线，如图 (b)所示。
(ɑ)右旋螺旋线
(b)左旋螺旋线
5.3 曲面与曲面分析
5.7 参数三次样条曲线（续）
为了求出P’i ，对参数u两次求导得：
Pi P u ui 1 ui u ui 1 P'i (u ) F '0 (t ) F '1 (t ) i G '0 (t ) i G '1 (t ) i 1 t P'i ui 1 ui i ' P i 1 Pi P u ui 1 i 1 ' ' ( ) ' ' ( ) ' ' ( ) ' ' ( ) ui u ui 1 P' 'i (u ) F t F t G t G t t i i 0 1 0 1 2 ' P u u i i i 1 i P'i 1
5.6 几何连续性（续）
对于一般参数表达的多项式曲线的拼接，要想达到G2连续， 在连接点处必须满足： ① G0连续：即两段曲线首尾相接。 ② G1连续：要求两条曲线在首尾相接处的切矢方向相同。 因为两条曲线对弧长参数的导数都是单位矢，再加上方 向相同，就意味着两条曲线在首尾相接处的弧长参数一阶导 矢连续。 ③ G2连续：要求曲率相同，并且副法矢方向相同。 曲率相同保证了在首尾相接处弧长参数的二阶导矢大小 相同，副法矢方向相同又保证了弧长参数的二阶导矢方向 （主法矢）相同，即在首尾相接处弧长参数的二阶导矢连续。 对一般参数来说，主法矢是副法矢与切矢的矢量积。
x2 y2 z2 1 a 2 b2 c 2
x2 y2 z a2 b2
单叶双曲面和双曲抛物面都不是可展曲面
3）曲面的曲率性质
研究曲面的弯曲程度，通常是通过研究法截线的曲率来实现的。通过曲 面上一点法线的平面与曲面的交线称为法截线，法截线的曲率κn称为法曲率， 围绕法线旋转的每一个平面会产生一个法截线，因此曲面上一点的法曲率有 无穷多个，这些法曲率的最大值和最小值称为主曲率，而且两个主曲率所在 的方向是相互垂直的，称为主方向，其它方向的法曲率可以由主曲率计算： Κn＝ κ1cos2θ＋ κ2sin2θ 其中θ为该方向与主曲率的κ1所在主方向的夹角。 两个主曲率的乘积称为高斯曲率（Gaussian）或全曲率、总曲率。 两个主曲率的均值称为平均曲率或中曲率。 如果曲面上的一条曲线，其切线方向总是在一个主方向，这样的曲线称 为曲率线。
5.7 参数三次样条曲线（插值）
通过n+1数据点Pi（i＝0，1，···n）的一条分段连续的3次多项式曲线， 如果在两个数据点之间表示为一个三次多项式，各段多项式在数据点处 （连接处）保持C2连续性，这种曲线称为参数三次样条曲线，这种样条曲 线使用非常普遍。 具体实现时，设其参数分割为u0<u1<…<un，并假设在端点处的切矢 为P’0,P’1,…P’n。则每段曲线的方程可表示为：
5.5 参数化
为一组有序的数据点(P0,P1,…Pn) 赋予相应的一组参数值(t0<t1<…<tn， 每个参数点称为节点) 称之对这组数据点实行参数化。 对一组数据点(P0,P1,…Pn)实行参数化的常用方法有以下几种： ① 均匀参数化(等距参数化) ，在型值点不均匀时不理想。 ② 累加弦长参数化，考虑到弧长因素：
2）直纹面与可展曲面
如果曲面的两族等参数线：u线与v线中，有一组是直线，则称该曲面为直 纹面。它可以看成直线在空间连续运动扫出的轨迹。直纹面上的直线族称为母 线。在直纹面上取一条曲线与所有母线相交，称之为准线。 在准线ρ=ρ(u)每一点的母线方向上给定一个非零矢量τ(u)。则直纹面方程可 以写为P(u,v)= ρ(u)+v τ(u)。当τ(u)为固定时，直纹面为柱面。当τ(u)为变矢量， 且准线缩为一点时，直纹面为锥面。机翼表面通常为直纹面。 如果直纹面沿它的每一条母线只有唯一的切平面（或者说沿直母线, 法向量 平行），则称该直纹面为可展曲面。可展曲面可以通过简单的弯曲来展平。圆 柱面和圆锥面都是可展的，曲线的切线曲面（曲线上所有点的切线的集合）也 是可展的，但机翼的直纹面就不一定。