自动控制原理第八章线性系统的状态空间分析与综合习题及解答

第八章 线性系统的状态空间分析与综合
习题及解答
8-1 已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数 b a
a
a a a E dt
di L i R U ++=+ dt
d K E m
b
b θ= a m m i C M =
dt d f dt
d J M m
m m m m θθ+=2
2 )
()([)()(2
m b m a a m m a m a m
a m C K f R s R J f L s J L s C s U s ++++=Θ ⑴设状态变量m m x θ=1，m x θ =2，θ =3x 及输出量m y θ=，试建立其动态方程; ⑵设状态变量m m a x x i x θθ ===321,,及 m
y θ=,试建立其动态方程。

解：
（1）由题意可知： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=======123121x
y x
x x x x m m m
m
θθθθ ，
由已知 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+===++=m m m m m a m m
m
b b
a a a a a f J M i C M K E E i L i R U θθθ
可推导出 ⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=++-+-===1
233
3221x y U J L C x J L C K f R x J L R J L f x x x x x a m
a m
m a m b m a m a a m a m 由上式，可列动态方程如下
=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+-
+-m a a m m a m a m b m a J L R J f L J L C K f R 01
00010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x +⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡m a m J L C 00
a U y =[]001⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x
（2）由题意可知：,1a i x =m
m m y x x θθθ===,,32 可推导出 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨⎧==-=-====+--=+--==2
3133
231111x y x J f x J C J f i J C x x x U L x L K x L R U L L K i L R i x m m m m m m m m a m m m m a a
a b a a a a m a b a a a a
θθθθθ
可列动态方程如下
[]⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321010x x x y
由 ⎪⎩⎪⎨⎧===m
m m
x x x θθθ 321和 ⎪⎩⎪
⎨⎧===m
m a x x i x θθ 321
得 ⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
-=-======3
133221x J f x J C J f i J C x x x x x m m m m m m m a m m m m m θθθθ
由上式可得变换矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
-=m m m
m J f J C T 010
01
8-2 设系统微分方程为 u y y y y 66116=+++。

式中，u 和y 分别为系统输入和输出量。

试列写可控标准型（即矩阵A 为友矩阵）及可观测标准型(即矩阵A 为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。

解： 由题意可得：
10110010220330R K a b x L L L x a a a x x U a
C f x x m
m J J m m ⎡⎤
⎡⎤--⎢⎥⎢⎥
⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
3266116
=+++y u s s s 可控标准型
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3213213210061006116100010x x x y u x x x x x x
状态变量图如下：
由方程得可观测标准型
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321
3211000066101101600x x x y u x x x x x x
状态变量图如下：
8-3 已知系统结构图如图8-29所示，其状态变量为321,,x x x 。

试求动态方程，并画出状态变量图。

由结构图可得
⎪
⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧+--=+--=⇒+=-==⇒=-=+-=+⇒+=-u x x x u x x sx s x u x x x
x sx s x x x x x x x x sx x s s s x x x 2322323
2
2222)1(2
2122121231311
3
321132112321 即即即
由上述三式，可列动态方程如下：
[]1122331123001023020230100x x x x u x x x y x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
状态变量图如下：
8-4 已知系统传递函数为
2268
()43
s s G s s s ++=++，试求可控标准型，可观测标准型，对角型动态方程，并画出状态变量图。

解：
(1) 可控标准型
[]u
x x y u x x x x +⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212125104310
（2）可观测标准型
[]u
x x y u x x x x
+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212110254130
（3）123321
13
48
6)(22++++=++++=s s s s s s s G
由上式可得对角型 []u
x x y u x x x x
+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121211123211003 8-5 已知系统传递函数 )
2()1(5
)(2
++=
s s s G ，试求约当型动态方程，并画出状态变量图。

解：2
5
15)1(5)2()1(5)(22+++-+=++=
s s s s s s G
由上式，可得约当型动态方程
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321555110200010011x x x y u x x x x x x
8-6 已知双输入—双输出系统状态方程和输出方程分别为
3
2122
112321321321212261162x x x y x x y u x x x x
u u x x
u x x
-+=-=+---=-+=+= 写出矩阵形式的动态方程，并画出状态变量图
解： 由题中给定方程可列写出动态方程
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-⎢
⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321212132132110121
12100216116100010x x x y y u u x x x x x x
状态变量图如下
8-7 已知系统动态方程为 []010********* 0 0 1x x u
y ⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=--+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎪
⎪=⎩
，试求传递函数G(s)
解：
[]⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-=-=-21031103201
100])[()(1
s s s B A sI C s G =[]
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡++-----21023156
712
3s s s s s s =6737232--++s s s s
8-8 已知系统矩阵A=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-1001，至少用两种方法求状态转移矩阵。

解：
（1）级数法：
++
+=2
22
1t A At I e At + =⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++-+- 4324324131211004131211t t t t t t t t =⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-t t
e e 0
0 (2) 拉氏变换法
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=---110011
1001)
(1
1
s s s s A sI ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+=--t t
At
e e s s L e 0011001
11 8-9 已知系统t 2t
t 2t 1t 2t
t 2t 6e 5e 4e 4e (t)3e 3e 2e 3e --------⎡⎤
--Φ=⎢⎥-+-+⎣⎦， 和 t 2t
t 2t 2t 2t
t 2t 2e e e e (t)2e 2e e 2e --------⎡⎤--Φ=⎢⎥-+-+⎣
⎦
判断12ΦΦ，是否是状态转移矩阵。

若是，则确定系统的状态阵A ；如果不是，请说明理由。

解：转移矩阵应满足：I A =ΦΦ=Φ
)0(, ()1100I 01⎛⎫Φ== ⎪⎝⎭ 210(0)01⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
Φ
假设1()t Φ，2()t Φ为转移矩阵则 A 1=221220
4461048()
343626t t
t t t
t
t t t t e e e e t e e e e Φ--------==⎡⎤
-+-+⎡⎤==⎢⎥
⎢⎥----⎣⎦
⎣⎦ A 2=222220
01222()23244--------==⎡⎤
-+-+⎡⎤==⎢⎥
⎢⎥----⎣⎦
⎣⎦
t t t t t
t
t t t t e e e e t e e
e e Φ 则
A 1()1t Φ=t 2t
t 2t t 2t
t 2t 12e 8e 8e 4e 9e 8e 6e 4e --------⎡⎤
--⎢⎥-+-+⎣⎦
1()≠t Φ A 2()2t Φ=t 2t
t 2t t 2t
t 2t 2e 2e e 2e 2e 4e
e 4e --------⎡⎤
-+-+⎢⎥--⎣⎦
=2()t Φ＝()2t ΦA 2 所以1()t Φ不是转移矩阵，()2t Φ是转移矩阵，其状态阵为0
123⎡⎤⎢⎥
--⎣⎦。

8-10 试求下列状态方程的解 x x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=30002000
1 的解 解：由题意可得：
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧-=-==-=---01101
0)()()()(x
A sI L t x x A sI x x
x A sI Ax x
3201
1
1000000310002100011300020001
)(x e e e x s s s L x s s s L t x t t t ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=------
8-11 已知系统状态方程为u x x
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111101 ，初始条件为0)0(,1)0(21==x x 。

试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。

解：
此题为求非奇次状态方程的解，对于非奇次状态方程。

τ
ττd Bu t x t t x t
)()()0()()(0⎰-Φ+Φ=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡---=-=Φ-----t t
t
e te e s s s L s s s L A sI L t 011)1(1
0111101)()(21
1
1
1
1
⎰⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---t t t t t t t t
t
te e d e e t e e te e t x 22111)(0010)(0τττττ 8-12 已知差分方程)(3)1(2)(2)1(3)2(k u k u k y k y k y ++=++++，并且y(0)=0,y(1)=1,
试列写可控标准型离散动态方程，并求出(0)1()(1)1u u k u ⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦
时的系统响应。

解： 由差分方程可得离散动态方程如下：
⎩
⎨
⎧⋅=⋅+⋅=+)()()
()()1(k x C k y k u H k x G k x []23103210=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--=C H G
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅+⋅=101100)0()0()1(u H x G x
[]21023)1()1(=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⋅=x C y
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋅+⋅=21110103210)1()1()2(u H x G x []12123)2()2(-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⋅=x C y
8-13 已知连续系统的动态方程为[]x y u x x
01,102010=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 设采样周期s T 1=，试求离散化动态方程。

解：
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--=-=Φ-----t
t e e s s s s L s s L A sI L t 2211
1110)1(2
11210)2(11201][)( ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡≈⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
-==Φ39.7019.310)1(211
)1(22e e T ⎰
⎰
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡-=Φ=
=u e e Bd T G T
100)1(211)()1(2210
ττττ =1
2221)21(21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-τττe e =⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡195.3347.1 8-14 试用李雅普诺夫第二法判断21221132,x x x
x x x
-=+-= 平衡状态的稳定性。

解：平衡点：⎩⎨⎧==00
2
1x x
构造 2
22
1)(x x x V +=
则 )32(2)(222)(2122112211x x x x x x x x x x x V -++-=+=
=2
2212
1662x x x x -+- =[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2121
6332x x x x
判定)(x V 性质： ⎪⎩⎪⎨⎧>=-=--<-039126
33
20
2 )(x V
负定，因此平衡状态是大范围一致渐近稳定的 8-15 已知系统状态方程为 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=2102010112100103212u u x x
，当Q = I 时，矩阵P 的值；若选Q 为正半定矩阵，求对应的P 矩阵的值，并判断系统稳定性。

解：
I Q PA P A T -=-=+
令：
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1210
0103212103211210023323
13
232212
1312
11
3323
13
232212
1312
11
P P P P P P P P P P P P P P P P P P =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 解得： ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=44131213681284
1613323
13
232212131211P P P P P P P P P P
古氏行列式：
04<-
08864246
8
84<-=--=-
0156444
13
12136
8
12
84
<-=----- 因此不定。

选 ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000010000Q 则 22
)(X QX X X V T -=-= ， 为负半定。

由等式 Q PA P A T
-=+ 解得：
如有帮助欢迎下载支持
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000021
00003323
13
232212
1312
11P P P P P P P P P P 正半定。

判定系统稳定性：
2)1)(2(1210
01032
1
2
++=+-+-
-=-s s s s s A sI 三个特征值分别为：1,1,2---。

因此系统不稳定。

8-16 设线性定常离散系统状态方程为，010(1)0
01()0002
x k x k k k ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥
+=>⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
，，试求使系统渐近稳定的k 值范围。

解： 令 I Q P P T
-=-=-ΦΦ
即
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001000102
100010
0102010003323
13232212
1312113323
13
232212131211P P P P P P P P P k P P P P P P P P P k
解得： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡
--+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2223323
13
2322121312
11
412000480
001k k k P P P P P P P P P P
若要满足题意，需令 20
4
>⎧⎨<⎩k k 。

因此，渐近稳定的条件为：20<<k 。

8-17 试判断下列系统的状态可控性。

(1) 221002001401x x u --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ (2) 110001010110x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
如有帮助欢迎下载支持
(3) 12110000100101110u x x u
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (4) 400104020011x x u -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
(5) 11
1
11
001101x x u λλλλ⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
(6) 11
1
11
01
0010
1x x u λλλλ⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
解：
（1）[]
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--==1010002102
B A AB B P c 32=<=n rankP c 该系统不可控
（2） []
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==2101112102
B A AB B P c
32=<=n rankP c 该系统不可控。

（3） ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=211111101010201010c P n rankP c ==3 该系统可控。

（4） ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=11132821641c P 32=<=n rankP c 该系统不可控。

（5） u x x
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11100
00000
0001
11
1
1
λλλλ
解：
[]
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡==31211
3121131211
11321113210λλλλλλλλλ
λλB A B A AB B P c 矩阵不满秩，该系统不可控。

（6） u x x
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11000
00001
0001
11
1
1λλλλ 解：[]
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡==312
11
31211211
13
211321
03100λλλλλλλλλB A B A AB B P c 矩阵不满秩，该系统不可控。

8-18 设系统状态方程为0111x x u a b ⎡⎤⎡⎤
=+⎢
⎥
⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，并设系统状态可控，试求,a b 。

解：
[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-==11
ab b b AB B P c
令b
b a b ab P
c 1
12
+≠⇒≠--=时，即可满足可控性条件。

8-19 设系统状态方程为 8
147)(2
3++++=s s s a
s s G ，并设系统状态可控、可观测， 试求a 值。

解： )
4)(2)(1(8147)(2
3++++=++++=
s s s a
s s s s a s s G ○
1 采用可控标准型，不论为a 何值，系统总可控。

○
2 在任意三阶实现情况下可控，则4,2,1≠a 。

8-20 试判断下列系统的可观测性：
(1)
[]1
22201101011110x x u y x
---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
= (2)
[]2000200311
11x x y x
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=
(3) 11121210000010x x y x -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥
-⎢⎥-⎣⎦
⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
(4)
[]210020
0030
11x x y x
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦= 解：
（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=050
1310112CA CA C P c
n P rank c ==3 该系统可观。

（2） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=113`
41521112CA CA C P c
n P rank c ==3 该系统可观。

（3） 该形式为约当标准型，直接判定，该系统可观。

（4） 该形式为约当标准型， 直接判定，该系统不可观。

8-21 试确定使系统[]1,110a x x y x b ⎡⎤
==-⎢
⎥⎣⎦
可观测的.,b a 。

解：
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=b a CA C P c 111 101+≠⇒≠+-=a b a b P c 时，于是系统可观。

8-22 已知系统动态方程各矩阵为
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010010,100240231B A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100001C
试用传递矩阵判断系统的可控性和可观测性。

解：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡----------=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡------=---）（4)1(00)1(2)1(0)1(2)
1(3)4)(1()4()1(1100240231)
(2
21
1
s s s s s s s s s s s s s A sI 判断可控性：
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=--040242
)4)(1(1010010400210234)(1s s s s s s s B A sI
令 [][][]0040242
321=-++-s a a s a 0321===a a a
所以 B A sI 1
)(--中三行向量线性无关，因此该系统可控。

判断可观性： )4)(1(1400210234
100001)
(1
--⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--s s s s s A sI C =
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡----420304)4)(1(1
s s s s 令 0420304321=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-s a a s a 解得 0321===a a a 。

所以，1
)(--A sI C 中三行向量线性无关，因此该系统可观测。

8-23 已知矩阵 ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=0001
10000100
0010
A ，试求A 的特征方程,特征值和特征向量,并求出变换矩阵，将A 约当化。

解：
（1） 10
110
010001)(4-=---=
-=s s
s s s
A sI s D
（2） j ±=-==4,321
1
1λλλ
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡--=Λj j
1
1
（3） ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=j j P j j P P P 1111111111114321
对角化变换矩阵
[]⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡------==j j
j j P P P P P 11111111111
143
21
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡------==Λ111111111111j j j j AP P 所以 P 可使A 对角化
8-24 将状态方程u x x
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=114321 化为可控标准型。

解： []⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-==7111AB B P c
所以，,2=c P rank 可控，可化为可控标准型。

⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=111781c P 取 []118
1
1-=
P 则 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-12166211811
1
11P A P P P
验证： ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=
-51010121643216211811PAP ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011621181PB
验证完毕。

故可控标准型实现对应的B A ,阵为：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10,51010B A
8-25 已知系统传递函数为
2
31
)()(2+++=s s s s U s Y ，试写出系统可控、不可观测，可观测，不可控，不可控、不可观测的动态
如有帮助欢迎下载支持
方程。

解：
）
2)(1(1
231)()(2+++=+++=s s s s s s s U s Y 传递函数有零极点对消，因此不可控或不可观。

可控、不可观方程：
U X X ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--=103210
[]X Y 11= 可观测、不可控方程：
[]X
Y U X X 10113120=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
2
1
10)2)(1(1)()+++=+++=s s s s s s U s Y （ 不可控、不可观测方程：
[]X
Y U X X 10102001=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
8-26 已知系统动态方程各矩阵为：
[]1134,
2301,40230326002
00001--=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---=C B A
试求可控子系统与不可控子系统的动态方程。

解：
[]
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡==191471123333000011
1132B A B A AB B P c 2=c P rank
1111300113000300231330027090272110002700---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
-⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
T T
如有帮助欢迎下载支持
1
0011310001110002302000001127090623033002702700320
4211
0010875162713521210
0811********--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
TAT
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=0002727123010027009027320031100271TB
[][]341010011
20033100
0011
111341
--=⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--=-CT 所以，可控子系统为：
[]⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=c c
c c c X
y u X X X 101012211675271135271080271 不可控子系统为：
[]⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=c c c c c X Y X X X 3460293120323
8-27 系统各矩阵同题8-26，试求可观测子系统与不可观测子系统的动态方程。

解：利用9-27的对偶关系实现：
[]
000134101541822808121750013510800270
271==⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=T T
B C C B A
可观子系统：
[]⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a a
a a X
Y u X X 01101135108270271 不可观子系统：
⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=0346209312282175271a
a a a Y U X X X
8-28 设系统状态方程为 u x x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=10001010110010 。

说明可否用状态反馈任意配置闭环极点，若可以，求状态反馈矩阵，
使闭环极点位于,31,10j ±--，并画出状态变量图。

解：
[]
[]⎪⎩⎪
⎨⎧===+++=+-++-++++=⎪⎭
⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++++=--==⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡==1.22.14
40
241210)91010()910(40241210001010110010000000)31)(31)(10()(,
399010010901001000
3
21231232332332
1
2k k k s s s k s k k s k s s s s k k k s s s j s j s s Bk A sI n P rank B A AB B P c c
8-29 设系统动态方程为 []x y u x x
01,100010=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡= ，试设计全维状态观测器，使其极点位于)0(2,>--r r r ，并
画出状态变量图。

解：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001CA C P c
,2n
P rank c ==可观，可设计全维状态观测器。

观测器系统阵： []⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥
⎦⎤⎢
⎣⎡=-010*******
10h h h h HC A 令 221021
023)2)((1)(r rs s r s r s h s h s s
h h s HC A sI ++=++=++=-+=
--
解得：02
132h r
h r
=⎧⎪⎨=⎪⎩
8-30 设系统传递函数为
()(1)(2)()(1)(2)(3)Y s s s U s s s s -+=+-+，判断能否利用状态反馈矩阵将传递函数变成)
3)(2(1
++-s s s ，若有可能，求出一个满足的状态反馈阵K ，并画出状态变量图。

提示：状态反馈不改变传递函数的零点。

解： 能。

6
522
)3)(2)(1()2)(1()()(232--+-+=+-++-=s s s s s s s s s s s u s y 上式无零极点对消，因此可控，可任意配置极点。

用可控标准型实现： Cx
y Bu Ax x =+=;
其中： []112,100,256100010-=⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C B A
为使传递函数变为
)
3)(2(1
++-s s s ，需配置极点，使得
12167)3()2()(2
3
2
+++=++=s s s s s s D
令： ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-71612100010
2561000
1032
1
k k k Bk A
解得： ⎪⎩⎪
⎨⎧===52118
3
21k k k
配置极点后出现零极点对消，系统不可观。

但传递函数只描述外部特性，故可达到目的。

8-31 设系统状态方程为：
[]122000510112,00101301-⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
u x x y x u
试判别系统可控性和可观测性；求输出至输入的反馈矩阵，使闭环极点位于-0.57，3.122.0j ±-，并画出状态变量图。

解： []B A AB B P c 2
==2005510121113
0115711--⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
3c rankP n ==， 系统可控
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=103031010020CA CA C P
n P rank ==30， 系统可观测。

[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-210210310101500100310101500h h h h h h HC A 令：)3.122.0)(3.122.0)(57.0()(j s j s s HC A sI -++++=--
即：12)5()1()3(310
1
1
5023012232
10+++=-+-+++=++----s s s h s h s h s h s h s
h s
解得： ⎪⎩⎪
⎨⎧-===2362
10h h h
8-32 已知系统动态方程各矩阵为
[]111100*********-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C B A
试判别系统的可观测性；设计)(p n -维观测器，并使所有极点配置在4-。

解：检查可观测性： ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=17111211120CA CA C P
n P rank ==30，可观测。

设计 213=-=-q n 维降维观测器：
构造Q 阵，求1
-Q 。

⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-1110100011110100011
Q C D Q
经1
-Q 变换后系统方程为：
X C y y u B X A X
==+=;
其中： ⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--==-12
3124021
1
QAQ A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡==100 QB B []1001 ==-CQ C
即
u x x x x
x x ⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10012
312402
1321221
[]3321100x x x x y =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=
降维观测器方程为：
+-+-=u B H B w A H A w
)()(212111 []
22122111)(A H A H A H A -+-y []=-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=-232421102111h h A H A ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+--+-1100
22342231h h
h h ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⨯⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-101021100h h h h B H B
[]
22
122111
)(A H A H A H A
-+-=2001121010132223431h h h h h h h h h ⎡⎤
-++⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦
00011113224322h h h w w u h h h -+⎡⎤⎡⎤
=++⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦2001121010132223431h h h h h h h h h ⎡⎤
-++⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦
y 由观测器特征方程，令： 21121()(4)sI A HA s --=+
即：
0021
1
132********s h h s s h s h -+--=++-++-
解得： 01
5.4
4.6h h =⎧⎨=⎩
所以： 15.212.8 5.428.69.87.2 4.623.4w w u y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=++⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
11223ˆˆˆˆ
ˆˆx x
x x x
y x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
将x
ˆ变换回原状态空间：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-y w w y w y w x x x x Q x 8.16.44.5ˆˆˆ111010001ˆˆ21
2132113
131132232ˆ 5.45.4ˆ 4.6 4.6y x w x x
w w Hy x w w x x =⎧⎪⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎨=+=+=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎪+⎣⎦⎣⎦⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎩12 5.4ˆ 4.6w y x w y y +⎡⎤
⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦。