2020高考理数总复习课件：用样本估计总体

士，周一摩拜单车免费骑”活动．为了解单车使用情况，记者随机抽取了五个投放
区域，统计了半小时内被骑走的单车数量，绘制了如图所示的茎叶图，则该组数据
的方差为( ) A．9 B．4 C．3 D．2 (1)解析 由茎叶图得该组数据的平均数
x ＝51(87＋89＋90＋91＋93)＝90.
∴
方
差为
1 5
[(87－
考点一 茎叶图及其应用
[训练 1] (1)(2018·广东广雅中学联考)某市重点中学奥数培训班共有 14 人，分为两 个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩
的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 m＋n 的值是( ) A．10 B．11 C．12 D．13
解析
(2)由频率分布直方图可知，众数是最高的小矩 形底边中点的横坐标，即为105＋2 110＝107.5. 设中位数为 a， ∵0.01×5＋0.04×5＋0.05×5＝0.50，∴a＝110.
∴众数和中位数分别是 107.5，110.
考点三 样本的数字特征
[例 3] (1)(2018·济南一中质检)2017 年 2 月 20 日，摩拜单车在济南推出“做文明骑
解析 (1)分数在 110～120 内的学生的频率为
P1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35， 所以该班总人数 N＝01.345＝40. 分数在 120～125 内的学生的频率为 P2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.10， 分数在 120～125 内的人数 n＝40×0.10＝4.
考点一 茎叶图及其应用
[例 1] (1)(2019·长沙质检)为比较甲乙两地某月 11 时的气温情况，随机选取该月 5 天 11
时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，已知甲地该月 11 时的平均气温比乙 地该月 11 时的平均气温高 1 ℃，则甲地该月 11 时的平均气温的标准差为( )
A.2
解析 (2)该样本中 AQI 大于 100 的频数是 4，频率为25， 由此估计该地全年 AQI 大于 100 的频率为25， 估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为 365×52＝146.
答案 (1)C (2)146
考点二 频率分布直方图(易错警示)
[例 2] (2017·北京卷)某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，
考点二 频率分布直方图(易错警示)
[训练 2] 某校 2018 届高三文(1)班在一次数学测验中，全班 N 名学生的数学成绩的
频率分布直方图如下，已知分数在 110～120 的学生有 14 人．
(1)求总人数 N 和分数在 120～125 的人数 n；
(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？
诊断自测
解析 (1)正确．平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势． (2)错误．方差越大，这组数据越离散．
频率 (3)正确．小矩形的面积＝组距×组距＝频率． (4)错误．茎相同的数据，叶可不用按从小到大的顺序写，相同的数据叶要重复记 录，故(4)错误． 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次 “一带一路”知识竞赛，满分为 100 分(90 分及以上为认知程度高).现从参赛者中抽取了 x 人， 按年龄分成 5 组，第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)， 第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有 6 人. (1)求 x；(2)求抽取的 x 人的年龄的中位数(结果保留整数)； (3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取 6 人，42 人，36 人，24 人，12 人，分别记为 1～5 组，从这 5 个按年龄分的组和 5 个按职业分的组中每 组各选派 1 人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中 1～5 组的成绩分别为 93，96， 97，94，90，职业组中 1～5 组的成绩分别为 93，98，94，95，90. (ⅰ)分别求 5 个年龄组和 5 个职业组成绩的平均数和方差； (ⅱ)以上述数据为依据，评价 5 个年龄组和 5 个职业组对“ 一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想.
解
(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小
于 70 的频率为 (0.02＋0.04)×10＝0.6， 所以样本中分数小于 70 的频率为 1－0.6＝0.4. 所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人，其
分数小于 70 的概率估计为 0.4.
考点二 频率分布直方图(易错警示)
[例 2] (2019·石家庄模拟)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的
考点二 频率分布直方图(易错警示)
1.频率、频数、样本容量的计算方法
(1)频 组率 距×组距＝频率．
频数
频数
(2)样本容量＝频率，频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
2．例题中抓住频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1，这是解题的关键，
并利用频率分布直方图可以估计总体分布．
1.频率分布直方图的纵坐标是频 组率 距，而不是频率，切莫与条形图混淆． 2．制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为 1 来检验该表是否正确．
考点二 频率分布直方图(易错警示)
[训练 2] 某校 2018 届高三文(1)班在一次数学测验中，全班 N 名学生的数学成绩的 频率分布直方图如下，已知分数在 110～120 的学生有 14 人． (1)求总人数 N 和分数在 120～125 的人数 n； (2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？
使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组： [20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； (2)已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相 等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
考点二 频率分布直方图(易错警示)
解(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为 0.01×5＝0.05， ∴6x＝0.05，∴x＝120.
(2)设中位数为 a，则 0.01×5＋0.07×5＋(a－30)×0.06 ＝0.5， ∴a＝935≈32，则中位数为 32. (3)(ⅰ)5 个年龄组成绩的平均数为
第2节 用样本估计总体
01
诊断自测
02 考点一
茎叶图及其应用
例1 训练1
03 考点二
频率分布直方图(易错 警示)
例2 训练2
04 考点三
来自百度文库
样本的数字特征
例3 训练3
诊断自测
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( ) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中．( ) (3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越 大．( ) (4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相 同的数据可以只记一次．( )
B. 2 C.10 D. 10
解析(2)甲地该月 5 天 11 时的气温数据(单位：℃)为 28，29，30，30＋m，32；
乙地该月 5 天 11 时的气温数据(单位：℃)为 26，28，29，31，31， 则乙地该月 11 时的平均气温为 (26＋28＋29＋31＋31)÷5＝29(℃)，
所以甲地该月 11 时的平均气温为 30 ℃，
90)2＋
(89
－
90)2＋
(90－
90)2＋
(91－
90)2
＋(93－90)2]＝4.
答案 B
考点三 样本的数字特征
[例 3] (2)(2016·四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方 案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用 水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，……，[4，4.5]分成 9 组，制成了 如图所示的频率分布直方图． ①求直方图中 a 的值； ②设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由； ③估计居民月均用水量的中位数． （2）解 ①由频率分布直方图可知： 月均用水量在[0，0.5)内的频率为 0.08×0.5＝0.04. 同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，
故(28＋29＋30＋30＋m＋32)÷5＝30，解得 m＝1. 则甲地该月 11 时的平均气温的标准差为
51×[（28－30）2＋（29－30）2＋（30－30）2＋（31－30）2＋（32－30）2]＝ 2
考点一 茎叶图及其应用
[例 1] (2)(2018·济南模拟)中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文 老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里 40 名学生得分数据的茎叶图如图所 示．若规定得分不小于 85 分的学生得到“诗词达人”的称号，小于 85 分且不小 于 70 分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号， 根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选 10 名学生，则抽选的学生 中获得“诗词达人”称号的人数为( ) A．2 B．4 C．5 D．6
[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]等组的频率分别为
0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02. 由 1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02) ＝0.5×a＋0.5×a，解得 a＝0.30.
考点三 样本的数字特征
[例 3] (2)(2016·四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方 案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用 水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，……，[4，4.5]分成 9 组，制成了 如图所示的频率分布直方图． ①求直方图中 a 的值； ②设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由； ③估计居民月均用水量的中位数． ②由①知，该市 100 位居民中月均用水量
解析
(2)由茎叶图可得，获“诗词达人”称号的有 8 人， 91 2 5 6 8
据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样
抽选 10 名学生， 则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为 8×1400＝2(人)． 答案 (1)B (2)A
80 0 1 2 4 5 7 8 70 2 2 3 3 3 4 5 5 6 9 60 2 2 3 4 4 4 5 7 7 8 9 56 6 8 9
x－ 方1＝差15为×(9s213＝＋159×6[＋(－917)＋2＋942＋2＋9302)＋＝0924＋，(－4)2]＝6. 5 个职业组成绩的平均数为x－2＝15×(93＋98＋94＋ 95＋90)＝94，
方差为 s22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12 ＋(－4)2]＝6.8. (ⅱ)从平均数来看两组的认知程 度相同，从方差来看年龄组的认知 程度更稳定(感想合理即可).
解析
(1)∵甲组学生成绩的平均数是 88， ∴由茎叶图可知 78＋86＋84＋88＋95＋90＋m＋92 ＝88×7， ∴m＝3， ∵乙组学生成绩的中位数是 89，∴n＝9， ∴m＋n＝12.
考点一 茎叶图及其应用
[训练 1] (2)(2018·长沙模拟)空气质量指数(Air Quality Index，简称 AQI)是定量 描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级，0～50 为优；51～ 100 为良；101～150 为轻度污染；151～200 为中度污染；201～300 为重度污染； 大于 300 为严重污染．从某地一环保人士某年的 AQI 记录数据中，随机抽取 10 个，用茎叶图记录如下．根据该统计数据，估计此地该年 AQI 大于 100 的天数 约为________(该年为 365 天)．
考点一 茎叶图及其应用
1.茎叶图的三个关注点 (1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一． (2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏． (3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一 般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小． 2．利用茎叶图解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确从中提炼信息．