椭圆定义及其标准方程

高中数学教案
一、教学目标
1．使学生理解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用。

2、掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中a、b、c的代数意义、标准方程。

3、掌握直接法求曲线方程，培养学生数形结合数学思想，提升分析问题的水平。

4．营造亲切、和谐的气氛，以“趣”激学。

引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美。

培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦。

发展数学的应用意识，理解数学的应用价值。

二、教学重点和难点
教学重点:椭圆的定义及其标准方程的推导（通过学生自主建立直角坐标系和对方程的讨论选择突出重点）。

教学难点：椭圆概念的形成。

通过椭圆的画法设计，标准方程与圆的比较突破难点。

三、教学过程设计
（一）设置情景，导入新课
人造地球卫星太阳系行星运行轨道
玻璃餐桌 椭圆是由圆压扁得到的吗?
让学生观察上面的图片，说说这些图片有什么共同点，得出本节课的主题——椭圆。

（二）引导探究，获得新知
问题1：我们看到第四张图片,椭圆是不是由圆压扁得到的呢?它和圆相关系吗？（让学生讨论这个问题，并抽一些同学说说讨论的结果。

）
为理解决这两个问题,先给出一种画椭圆的方法: 取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F 1和F 2两点(如以下图)，当绳长大于F 1和F 2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就能够画出一个椭圆．我们来看一看椭圆和圆的画法。

(找2个学生上讲台按这个方法画出一个椭圆,之后用几何画板演示画圆的过程和画椭圆的过程)
问题2：这椭圆是怎么画出来的啊？（让学生讨论回答）
问题3：从画法中找出要满足什么样的条件才能够画出一个椭圆呢?(能够提问，也能够集体回答.)
（1）F 1、F 2点固定，是定点。

（2）MF 1+MF 2就是细绳的长度。

我们来看,因为 F 1、F 2、M 三个点是构成的是一个三角形所以MF 1+MF 2大于F 1F 2
的长度.
让学生根据这些应满足的条件归纳出椭圆的定义来.( 引导学生概括椭圆的定义)
y
o
F 1
F 2
M
x
椭圆的定义: 平面内到两定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.
下面我们来看看, MF 1+MF 2小于等于F 1F 2的长度时,M 点的轨迹是什么情况呢?(学生思考)
结论：若常数等于|F 1F 2|，则是线段F 1F 2；若常数小于|F 1F 2|，则轨迹不存有；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F 1F 2|”．(强调MF 1+MF 2是定长但是大于|F 1F 2|)
（三）深入探索，推导方程
接下来你们试试推导椭圆的方程？（简单回顾求圆方程的方法和步骤: (1) 建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y ）表示曲线上任意一点M 的坐标; （2）写出适合条件 P （M ） ;
（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程 ; （4）化方程为最简形式;
第一步，该如何建立坐标系呢？(学生会说出不同的方案，选择以下方案) 以两定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。

(老师在黑板上画出适当的图，如以下图)
（方案一） （方案二）
这样建系很合理。

建立坐标系后F 1、F 2的坐标分别是12(,0),(,0)F c F c , 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)
为了后面化简方便，我们这里把定长定为2a.下面列出方程.
2a =
让学生将方程化为最简形式;(一段时间后，投影仪展示化简的过程)
① 原方程要移项平方、整理得 2
a
cx -=a
② 上式两边平方、整理得，22222222
()()a c x a y a c a -+=-.，因为a c >，所以
可化为：22
222
1x y a a c
+=- ②为使方程对称和谐而引入b ，同时b 还有几何意义，下节课还要讲。

因为
a c >，所以令2
2
2
b a
c =-，其中b>0,代入上式，得22
221x y a b
+= （0a b >>）
所以，我们将方程22
221x y a b +=（0a b >>）叫作椭圆的标准方程，焦点坐标
12(,0),(,0)F c F c -，其中222c a b =-.
那么用方案二建立坐标系的话,椭圆的方程该怎样写呢?（让学生思考）
结论：只需要将,x y 互换就能够了,应写成22
221(0)y x a b a b
+=>>同样有
222c a b =-.
（四）指导应用，鼓励创新
例1:已知B,C 是2个定点, 10BC =,且ABC ∆的周长等于22,求顶点A 满足的一个轨迹方程.
例2:以下各组两个椭圆中，其焦点相同的是( )
A. 22142x y +
=与22142y x += B. 22142x y +=与22
184
x y += C. 22142x y +
=与2222142x y += D. 22142x y +=与22
142x y m m
+=++ 例3 求椭圆16x 2＋25y 2＝400的长轴和短轴长、焦点和顶点坐标，并用描点法画出它的图形。

分析：将方程化为标准方程即可求解，列表只要在0≤x ≤5的范围内算出几个点的坐标，画出椭圆在第一象限内的图形然后利用对称性作出整个图形。

解：把已知方程化为标准方程x 2/52＋y 2/42＝1，这里a ＝5，b ＝4，所以c ＝3。

所以长轴长2a ＝10,短轴长2b ＝8, ,焦点F 1(－3,0)和F 2(3,0),椭圆的四个顶点是A 1(－5,0)、A 2(5,0)、B 1(0,－4)、B 2(0,4)
将已知方程变形为22554x y -±=，根据2255
4
x y -=在0≤x ≤5的范围内
算出几个点的坐标(x,y)：
先描点画出椭圆的一局部，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆。

例4 求适合以下条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。

分析一：设方程为mx 2＋ny 2＝1，将点的坐标代入方程，求出m ＝1/9,n ＝1/4。

二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x 轴上，且点P 、Q 分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a ＝3，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 2/,9＋y 2/4＝1。

⑵由已知2a ＝20，e ＝3/5，∴a ＝10，c ＝6，b ＝8，因为焦点可能在x 轴上，
也可能在y 轴上，所以椭圆的标准方程为x 2/100＋y 2/64＝1或x 2/64＋y 2/100＝1
随堂练习
1 、在以下方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是（ ）D A 、x 2＝y B 、x 2＋2xy ＋y ＝0 C 、x 2－4y 2＝5x D 、9x 2＋y 2
＝4
2 、 求以下椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标 ①x 2＋4y 2＝16； 2a=8,2b=4,)0,32(),0,32(,2
3
21F F e -=,A 1(－4,0),A 2(4,0),B 1(0,－2),B 2(0,2)
②9x 2＋y 2＝81 2a=18,2b=6,)26,0(),26,0(,3
2
221F F e -=,A 1(0,－9),A 2(0，9),B 1(－3,0),B 2(3,0)
3 、在以下每组椭圆中，哪一个更接近于圆？ ①9x 2＋y 2＝36与x 2/16＋y 2/12＝1； ②x 2＋9y 2＝36与x 2/6＋y 2/10＝1 ①x 2/16＋y 2/12＝1；②x 2/6＋y 2/10＝1
4 、已知椭圆mx 2＋5y 2＝5m 的离心率5
10
=
e ，求m 的值。

分析：椭圆的标准方程是x 2/5＋y 2/m ＝1(m ＞0，m ≠5) 当焦点在x 轴上，即0＜m ＜5时，5
10
5
5,5,,5=
-∴-=∴==m m c m b a ，解得
m ＝3
当焦点在
x
轴上，即
m ＞5时，
5
10
5,5,5,=
-∴-=∴==m
m m c b m a ，解得m ＝25/3
探索－嫦娥奔月
1、2010年10月8日中国“嫦娥”二号卫星成功实现第二次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度约210公里，远月点高度约8600公里，且以月球的球心为一个焦点的椭圆形轨道。

已知月球半径约3475公里，试求“嫦娥”二号卫星运行的轨迹方程。

2、我们假设地球是个球体,半径是6371千米,而且知道“东方红一号”的近地点：430千米; 远地点：2075千米,你们能建个坐标系,求出“东方红一号”运行轨道的标准方程吗?.
（五）小结本堂内容
用表格形式学生结合图形更容易理解
定义
椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点
的轨迹．
（六）板书设计
（七）作业布置
1.课本68页,习题3-1:第1、4题
2.如何用几何图形解释2
22c a b =-,,,a b C 在椭圆中分别表示哪些线段
的长?。