3.1.1 两角差的余弦公式

2 5 ,sin 5 5 5
5 5
10 ,求 10
α-β 的值.
10 , 10
β=
3 10 , 10 2 5 10 5 3 10 × + × 5 10 5 10
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= 又∵0<α< ,0<β< ,- <α-β< , 而 sin α<sin β,∴α<β,即 α-β<0, ∴- <α-β<0,∴α-β=- .
4 5 π 4
4 5
的值,再根据 α= ������ +
π 4
− 构
π 4
造两角差的余弦,求出 cos α 的值.
π 4 π 3π = ,且 <α< , 4 5 4 4 π π ∴ <α+ <π. 2 4
∴cos ∴cos =- ×
3 5
4 2 3 ������ =- 1=- . 5 5 π π α=cos ������ + - =cos 4 4 2 4 2 2 + × = . 2 5 2 10 π + 4
π 2 π 4 π 2 π π 2 2 π 2
=
2 . 2
-17-
-4-
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两角差的余弦公式 (1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. (2)此公式简记作 C(α-β). 对两角差的余弦公式的理解: (1)公式中的 α,β 都是任意角. (2)差角的余弦公式不能按分配律展开,即一般情况下,cos(α-β)≠cos α-cos β. (3)使用公式时不仅要会正用,还要能够活用、逆用.在很多时候,逆用更能简 捷地处理问题.如由 cos 50° cos 20° +sin 50° sin 20° 能迅速地想到 cos 50° cos 20° +sin 50° sin 20° =cos(50° -20° )=cos 30° = ;又如 cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos [(α+β)-β]=cos α. (4)记忆:公式右端的两个部分为同名三角函数的积,连接符号与左边角的连 接符号相反.
第三章
三角恒等变换
-1-
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
-2-
3.1.1 两角差的余弦公式
-3-
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1.理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路 . 诸暨海亮学校 www.hailiangzs.com 2. 2.掌握两角差的余弦公式及其应用.
π 4 π 4 1 2 1 2
而出现两个值的错误.
-12-
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1
2
3
4
5
1.cos cos +cos sin 的值是( A.0
5π 12 π 6
5π 12
π 6
π 12
π 6
) C.
2 2 5π 12 π 6
B.
π 12
1 2 π 6 5π 12
D.
3 2 5π π 12 6
-15-
3 5
5 13
16 65 56 16 D. 或 65 65
5 13
3 5
)
B.
12 13
4
4
5 4 12 3 × - × 13 5 13 5 4 cos B=- 时, 5 5 × 13
=
16 ; 65
-
4 5
-
12 3 × 13 5
=
56 . 65
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1
-7-
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题型一
化简求值问题
【例 1】 求值: (1)sin 285° ; (2)sin 460° sin(-160° )+cos 560° cos(-280° ). 分析:解答本题可利用诱导公式转化为两角差的余弦的形式求解. 解:(1)sin 285° =sin(270° +15° )=-cos 15° =-cos(60° -45° ) =-(cos 60° cos 45° +sin 60° sin 45° )=6+ 2 . 4
)
解析:cos(20° -3° )=cos 20° cos 3° +sin 20° sin 3° . 答案:B
-6-
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利用 C(α-β)求特殊角的余弦值 剖析:常见的特殊角有 0° ,30° ,45° ,60° ,90° ,120° ,135° ,150° ,180° ,其中任意 两个角的差的余弦值均能用 C(α-β)求出.这些角是: 30° -45° =45° -60° =120° -135° =135° -150° =-15° , 45° -30° =60° -45° =135° -120° =150° -135° =15° , 135° -60° =75° , 60° -135° =-75° , 135° -30° =150° -45° =105° , 30° -135° =45° -150° =-105° . 由此看来,± 15° ,± 75° ,± 105° 等角的余弦值也均能用 C(α-β)求出.
-5-
3 2
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【做一做】 cos(20° -3° )等于( A.cos 20° cos 3° -sin 20° sin 3° B.cos 20° cos 3° +sin 20° sin 3° C.sin 20° sin 3° -cos 20° cos 3° D.cos 20° sin 20° +sin 3° cos 3°
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已知 sin α(或 cos α),cos β(或 sin β),求 cos(α-β)的步骤:(1)利用同角三 角函数的基本关系式,求得 cos α(或 sin α),sin β(或 cos β)的值;(2)代入两角差 的余弦公式得 cos(α-β)的值.
1 3 π 2
,
2 3
∴cos α= 1-sin2 α =
2 7
2.
∵cos β= ,β 是第四象限角, ∴sin β=- 1-cos 2 β=3 7
5.
2 3
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=
2× + × -
2 7
1 3
3 7
5 =
4 2-3 5 . 21
-9-
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-10-
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题型三
题型三
应用角的变换求值
π 4 3π 4
【例 3】 已知 sin ������ + 分析:先根据 sin ������ + 解:∵sin ������ +
π 4
π 4
= ,且 <α< ,求 cos α 的值. = 求出 cos ������ +
2
3
4
5
4.cos 105° =
.
2- 6 . 4
解析:cos 105° =cos(135° -30° )=cos 135° cos 30° +sin 135° sin 30° = 答案:
2- 6 4
-16-
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1
2
3
4
5
5.已知 α,β 均为锐角,且 sin α= ,cos β= 解:∵α,β 均为锐角,且 sin α= ,cos β= ∴cos α=
-8-
1 2
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题型三
题型二
给值(式)求值问题
【例 2】 已知 sin α= ,α∈ 0,
1 3
π 2
,cos β= ,β 是第四象限角,求 cos(α-β)的值.
2 7
分析:分别求得 cos α,sin β 的值,利用 C(α-β)求得. 解:∵sin α= ,α∈ 0,
解析:cos cos +cos sin =cos cos +sin · sin =cos 答案:C
π 6
=cos =
π 4
2 . 2
-13-
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1
2
3
4
5
2.已知 sin A. C.
3-4 3 10
π +α 6
= , <α< ,则 cos α 的值是( B.
4-3 3 10 3-2 3 5
������ +
π 4
cos +sin ������ +
π 4
π 4
sin
π 4
-11-
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题型二
题型三
(1)利用差角的余弦公式求值时,不能机械地从表面去套公式,而要变 通地从本质上使用公式.即把所求的角分解成某两个角的差,并且这两个角 的正弦函数值、余弦函数值是已知的或可求的,再代入公式即可求解. (2)在将所求角分解成某两个角的差时,应注意如下变 换:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β),α= [(α+β)+(α-β)],α= [(β+α)-(β-α)] 等. (3)本例容易出现不求 α+ 的范围,直接求 cos ������ +
(2)原式=-sin 100° sin 160° +cos 200° cos 280° =-sin 100° sin 20° -cos 20° cos 80° =-(cos 80° cos 20° +sin 80° sin 20° )=-cos 60° =- . 解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是:①把非特殊 角转化为特殊角的和或差;②用公式求值.
3 π 5 3
5π 6
)
2 3-3 5
D.
答案:A
-14-
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1
2
3
4
5
3.在△ABC 中,已知 cos A= ,sin B= ,则 cos C 等于(
16 65 16 16 C.- 或 65 65
A.-
解析:∵cos A= 且 0<A<180° ,由 sin2A+cos2A=1 得 sin A= . ∵sin B= 且 0<B<180° , 由 sin2B+cos2B=1 得 cos B=± .则当 cos B= 时, 5 5 cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-(cos Acos B-sin Asin B) =当 cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-(cos Acos B-sin Asin B) =答案:D