高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战15867

【高频考点解读】

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．

2.了解数列是自变量为正整数的一类函数． 【热点题型】

题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1、写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；

(2)12，34，78，1516，31

32，…； (3)－1，32，－13，34，－15，3

6，…； (4)3,33,333,3333，….

解 (1)各项减去1后为正偶数，所以an ＝2n ＋1.

(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an ＝2n －1

2n .

(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an ＝(－1)n·2＋－1

n

n

.

也可写为an ＝⎩⎨⎧

－1

n ，n 为正奇数，

3

n ，n 为正偶数.

(4)将数列各项改写为93，993，9993，9999

3，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，

所以an ＝1

3(10n －1)． 【提分秘籍】

根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．

【举一反三】

(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是an ＝________.

(2)数列{an}的前4项是32，1，710，9

17，则这个数列的一个通项公式是an ＝________. 答案 (1)(－1)n·(6n －5) (2)2n ＋1

n2＋1

解析 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an ＝(－1)n(6n －5)．

(2)数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故an ＝2n ＋1

n2＋1.

题型二由数列的前n 项和Sn 求数列的通项

例2 已知下面数列{an}的前n 项和Sn ，求{an}的通项公式： (1)Sn ＝2n2－3n ； (2)Sn ＝3n ＋b.

【提分秘籍】

数列的通项an 与前n 项和Sn 的关系是an ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n≥2.

当n ＝1时，a1若适合Sn －Sn －1，则

n ＝1的情况可并入n≥2时的通项an ；当n ＝1时，a1若不适合Sn －Sn －1，则用分段函数的形式表示．

【举一反三】

已知数列{an}的前n 项和Sn ＝3n2－2n ＋1，则其通项公式为________________．

题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式

例3 (1)设数列{an}中，a1＝2，an ＋1＝an ＋n ＋1，则通项an ＝________. (2)数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝3an ＋2，则它的一个通项公式为an ＝________. (3)在数列{an}中，a1＝1，前n 项和Sn ＝n ＋2

3an ，则{an}的通项公式为________．

(2)方法一 (累乘法)

an ＋1＝3an ＋2，即an ＋1＋1＝3(an ＋1)， 即

an ＋1＋1

an ＋1

＝3，

所以a2＋1a1＋1＝3，a3＋1a2＋1＝3，a4＋1a3＋1＝3，…，an ＋1＋1an ＋1＝3.

将这些等式两边分别相乘得

an ＋1＋1

a1＋1

＝3n.

因为a1＝1，所以an ＋1＋1

1＋1＝3n ，

即an ＋1＝2×3n －1(n≥1)， 所以an ＝2×3n －1－1(n≥2)，

又a1＝1也满足上式，

故数列{an}的一个通项公式为an ＝2×3n －1－1.

(3)由题设知，a1＝1.

当n>1时，an ＝Sn －Sn －1＝n ＋23an －n ＋1

3an －1. ∴an an －1＝n ＋1n －1

. ∴

an an －1＝n ＋1n －1

，…，a4a3＝53， a3a2＝42，a2a1＝3.

以上n －1个式子的等号两端分别相乘， 得到an a1＝n n ＋12， 又∵a1＝1，∴an ＝n n ＋12. 【提分秘籍】

已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．

当出现an ＝an －1＋m 时，构造等差数列；当出现an ＝xan －1＋y 时，构造等比数列；当出现an ＝an －1＋f(n)时，用累加法求解；当出现an an －1

＝f(n)时，用累乘法求解．

【举一反三】

(1)已知数列{an}满足a1＝1，an ＝n －1

n ·an －1(n≥2)，则an ＝________. (2)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝2an －1(n ∈N*)，则a5等于( ) A ．－16B ．16C ．31D ．32 答案 (1)1n (2)B

【高考风向标】

【高考安徽，文13】已知数列}{n a 中，11=a ，2

1

1+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于.

【答案】27

【解析】∵2≥n 时，2

1,21121+=+=-a a a a n n 且 ∴{}1a a n 是以为首项，2

1

为公差的等差数列 ∴271892

1

289199=+=⨯⨯+

⨯=S 1．（·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n ∈N*)满足anbn ＋1－an ＋1bn ＋2bn ＋1bn ＝0.

(1)令cn ＝an

bn ，求数列{cn}的通项公式； (2)若bn ＝3n －1，求数列{an}的前n 项和Sn.

【解析】(1)因为anbn ＋1－an ＋1bn ＋2bn ＋1bn ＝0，bn≠0(n ∈N*)，所以an ＋1bn ＋1－an

bn ＝2，即cn ＋1

－cn ＝2，

所以数列{cn}是以c1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故cn ＝2n －1.