高考数学一轮复习 12.3 变量的相关性与统计案例精品教学案(学生版)新人教版

【考纲解读】 1．变量的相关性：
（1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． （2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 2．统计案例：
（1）了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．
（2）独立性检验：①了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用．
理科② 假设检验：了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用． ③ 回归分析：了解回归的基本思想、方法及其简单应用．
【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.统计与统计案例是历年来高考重点内容之一,选择题、填空题与解答题三种题型都会考查,难度一般不大，在考查统计与统计案例的同时，又考查转化与化归思想和分类讨论等数学思想，以及分析问题与解决问题的能力.
2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查统计与统计案例,命题形式会更加灵活，特别要注意新课标中新增的内容. 【要点梳理】
1.相关关系的分类
从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关． 2．线性相关
从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． 3．回归方程
(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法． (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据： (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^
，则
⎩⎪⎨⎪⎧
b ^＝
∑i ＝1n x i
－x y i
－y
∑i ＝1n
x i
－x 2
＝
∑i ＝1n
x i y i －n x
y
∑i ＝1
n
x 2
i －n x 2
，
a ^＝y －
b ^ x .
其中，b 是回归方程的斜率，a 是在y 轴上的截距． 4．样本相关系数r ＝
∑i ＝1n
x i －x y i －y ∑i ＝1
n
x i －x
2
∑i ＝1
n
y i －y
2
，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．
(1)当r ＞0时，表明两个变量正相关； (2)当r ＜0时，表明两个变量负相关；
(3)r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r |＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系． 5．线性回归模型
(1)y ＝bx ＋a ＋e 中，a 、b 称为模型的未知参数；e 称为随机误差． (2)相关指数
用相关指数R 2
来刻画回归的效果，其计算公式是：R 2
＝ ，R 2
的值越大，说明残差
平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R 2
表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R 2
越接近于1，表示回归效果越好． 6．独立性检验
(1)用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量．例如：是否吸烟，宗教信仰，国籍等．
(2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．
(3)一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： 2×2列联表
y 1 y 2 总计
x 1 a b a ＋b x 2
c d c ＋d 总计
a ＋c
b ＋d
a ＋
b ＋
c ＋d
K 2
＝
n ad －bc 2a ＋b
a ＋c c ＋d
b ＋d
(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)，可利用独立性
检验判断表来判断“x 与y 的关系”．
这种利用随机变量K 2
来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验． 【例题精析】
考点一 变量的相关性
例1.(2012年高考湖南卷文科5)设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）
C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg
D.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 【变式训练】
1.（2011年高考湖南卷文科5)通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计
60
50
110
由2
222
()110(40302030)7.8()()()()60506050
n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯=
=≈++++⨯⨯⨯算得, 附表：
2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001
k 3．841 6．635 10．828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
考点二 回归分析
例2.（2011年高考山东卷文科8)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C )67.7万元 (D)72.0万元 【变式训练】
2. (2011年高考安徽卷文科20)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2002
2004 2006 2008 2010 需求量（万吨） 236
246
257
276
286
（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y bx a =+; （Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。

温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明. 【易错专区】 问题：综合应用
例.（2012年高考辽宁卷文科19）(本小题满分12分)
电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。

下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10
名女性。

(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关？
非体育迷
体育迷 合计 男 女 合计
(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。

附22
112212211212
(),
n n n n n n n n n χ++++-=
【课时作业】
1.（2012年高考新课标全国卷文科3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直
线y =1
2x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为 ( )
（A ）－1 （B ）0 （C ）1
2
（D ）1
2.(2012年高考北京卷文科8)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )
（A）5（B）7（C）9（D）11
3．(2011年高考广东卷文科13)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关
系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x 1 2 3 4 5
命中率y0．4 0．5 0．6 0．6 0．4
小李这 5天的平均投篮命中率为，用线性回归分析的方法，预测小李该月6
号打6小时篮球的投篮命中率为．
4．（2010年高考辽宁卷文科18）（本小题满分12分）
为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组。

每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。

下表
mm）1和表2分别是注射药物A和药物B后的实验结果。

（疱疹面积单位：2
（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
（Ⅱ）完成下面22⨯列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”。

【考题回放】
1.（2011年高考江西卷文科8)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ） 175
175
176
177
177
A.y = x-1
B.y = x+1
C.y = 88+
1
2
x D.y = 176 2.（2011年高考辽宁卷文科14)调查了某地若干户家庭的年收x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系,井由调查数据得到y
对x 的回归直线方程ˆ0.2540.321y
x =+.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1万元，年饮食支出平均增加_____________万元.
3. (2012年高考福建卷文科18) (本题满分12分)
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
f a 0.2 0.45 b c
（I）求回归直线方程y=bx+a，其中b=-20，a=y-b x；
（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）
4. (2010年高考宁夏卷文科19)（本小题满分12分）
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。

附：。