P高中物理专题解析专题5-动量守恒定律

k mE P 2=m P E k 22
=5. 动量守恒定律
I 合=ΔP 或 F 合t = mv t —mv 0 （冲量方向与物体动量变化量方向一致）
公式一般用于冲击、碰撞中的单个物体，解题时要先确定正方向。

三、动量守恒定律：一个系统不受外力或受外力矢量和为零，这个系统的总动量保持不变。

P 总 = P 总’ 或
m 1v 1+m 2v 2 = m 1v 1'+m 2v 2'
公式一般用于冲击、碰撞、爆炸中的多个物体组成的系统，解题时要先确定正方向。

系统在某方向上外力矢量和为零时，某方向上动量守恒。

四、完全弹性碰撞：在弹性力作用下，动量守恒，动能守恒。

非弹性碰撞：在非弹性力作用下，动量守恒，动能不守恒。

完全非弹性碰撞：在完全非弹性力作用下，碰撞后物体结合在一起运动，动量守恒，动 能不守恒。

系统机械能损失最大。

五、动量与动能的关系：
【典型例题】
例1. 如图1所示的装置中，木块B 与水平面间接触是光滑的，子弹A 沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短，现将子弹、木块和弹簧合在一起做为研究对象（系统），则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中 （ ）
A ．动量守恒，机械能守恒
B ．动量不守恒，机械能不守恒
C ．动量守恒，机械能不守恒
D ．动量不守恒，机械能守恒
分析：合理选取研究对象和运动过程，利用机械能守恒和动量守恒的条件分析。

如果只研究子弹A 射入木块B 的短暂过程，并且只选A 、B 为研究对象，则由于时间极短，则只需考虑在A 、B 之间的相互作用，A 、B 组成的系统动量守恒，但此过程中存在着动能和内能之间的转化，所以A 、B 系统机械能不守恒。

本题研究的是从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程，而且将子弹、木块和弹簧合在一起为研究对象，在这个过程中有竖直墙壁对系统的弹力作用，（此力对系统来讲是外力）故动量不守恒。

解答：由上面的分析可知，正确选项为B
例2. 质量为m 1=10g 的小球在光滑的水平面上以v 1=30cm/s 的速率向右运动，恰遇上质量m 2=50g 的小球以v 2=10cm/s 的速率向左运动，碰撞后，小球m 2恰好停止，那么碰撞后小球m 1的速度是多大？方向如何？
分析：由于两小球在光滑水平面上，以两小球组成的系统为研究对象，该系统沿水平方向不受外力，因此系统动量守恒。

解答：碰撞过程两小球组成的系统动量守恒。

设v 1的方向，即向右为正方向，则各速度的正负及大小为：
v 1=30cm/s ，v 2=－10cm/s ，2
v '=0 据：m 1v 1+m 2v 2=221
1v m v m '+' 代入数值得：1
v '=－20cm/s 则小球m 1的速度大小为20cm/s ，方向与v 1方向相反，即向左。

说明：注意在应用动量守恒定律时要明确以下几个问题：
（1）明确研究对象，即所研究的相互作用的物体系统。

（2）明确所研究的物理过程，分析该过程中研究对象是否满足动量守恒条件。

（3）明确系统中每一物体在所研究的过程中初、末状态的动量及整个过程中动量的变化。

（4）明确参考系，规定正方向，根据动量守恒定律列方程，求解。

例3. 如图2所示，甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车的质量共为M =30kg ，乙和他的冰车的质量也是30kg ，游戏时，甲推着一个质量为m =15kg 的箱子，和他一起以大小为v 0=2.0m/s 的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。

为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。

若不计冰面的摩擦力，求：甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出，才能避免与乙相撞？
分析：甲、乙不相碰的条件是相互作用后三者反。

而要使甲与乙及箱子的运动方向相反，则需要甲以更大的速度推出箱子。

因本题所求为“甲至少要以多大速度”推出木箱，所以要求相互作用后，三者的速度相同。

以甲、乙和箱子组成的系统为研究对象，因不计冰面的摩擦，所以甲、乙和箱子相互作用过程中动量守恒。

解答：设甲推出箱子后的速度为v 甲，乙抓住箱子后的速度为v 乙，则由动量守恒定律，得：
甲推箱子过程：
(M+m)v 0=Mv 甲+mv ①
乙抓住箱子的过程：
mv-Mv 0=(M+m)v 乙②
甲、乙恰不相碰的条件：
v 甲= v 乙 ③
代入数据可解得：v =5.2m/s
说明：仔细分析物理过程，恰当选取研究对象，是解决问题的关键。

对于同一个问题，
选择不同的物体对象和过程对象，往往可以有相应的方法，同样可以解决问题。

本例中的解答过程，先是以甲与箱子为研究对象，以甲和箱子共同前进到甲推出箱子为过程；再以乙和箱子为研究对象，以抓住箱子的前后为过程来处理的。

本题也可以先以甲、乙、箱子三者为研究对象，先求出最后的共同速度v =0.4m/s ，再单独研究甲推箱子过程或乙抓住箱子的过程求得结果，而且更为简捷。

例4. 一只质量为M 的平板小车静止在水平光滑面上， 小车上站着一个质量为m 的人，M ＞m ，在此人从小车的一端走到另一端的过程中，以下说法正确的是(不计空气的阻力)（ ）
A. 人受的冲量与平板车受的冲量相同
B. 人向前走的速度大于平板车后退的速度
C. 当人停止走动时，平板车也停止后退
D. 人向前走时，人与平板车的总动量守恒
分析：由于平板车放在光滑水平面上，又不计空气阻力，以人、车组成的系统为研究对象，该系统沿水平方向不受外力，因此系统动量守恒，可判断选项D 正确。

在相互作用的过程中，人与车之间的相互作用的内力对它们的冲量大小相等、方向相反，冲量是矢量，选项A 错误。

开始时二者均静止，系统的初动量为0，根据动量守恒，整个过程满足0=mv 人+Mv 车，即人向一端走动时，车必向反方向移动，人停车也停，又因M ＞m ，v 人的大小一定大于v 车，选项B 、C 正确。

解答：根据上面的分析可知正确选项为B 、C 、D 。

说明：分析反冲类问题，例如爆竹爆炸，发射火箭、炮车发射炮弹等，应首先判断是否满足动量守恒，其次要分析清楚系统的初动量情况、参与作用的物体的动量变化情况及能量转化情况。

例5. 在光滑的水平面上，动能为E 0、动量大小为p 0的小球1与静止小钢球2发生碰撞，碰撞前后球1的运动方向相反，将碰撞后球1的动能和动量的大小分别记为E 1、p 1，球2的动能和动量的大小分别记为E 2、p 2，则必有 （ ）
A. E 1＜E 0
B. p 1＜p 0
C. E 2＞E 0
D. p 2＞p 0
分析：理解碰撞的可能性的分析方法，从动量守恒、能量守恒、及可行性几个角度进行分析。

设碰撞前球1的运动方向为正方向，根据动量守恒定律有：p 0=－p 1+p 2，可得到碰撞后球2的动量等于p 2=p 0+p 1。

速度相同，或甲与乙、箱子的运动方向相由于碰撞前球2静止，所以碰撞后球2一定沿正方向运动，所以p 2＞p 0，选项D 正确．
由于碰撞后系统的机械能总量不可能大于碰撞前系统机械能总量，即E 0≥E 1＋E 2，故有E 0＞E 1和E 0＞E 2，选项A 正确，选项C 错误。

由动能和动量的关系E k =m
p 22
，结合选项A 的结果，可判断选项B 正确。

解答：根据上面的分析可知正确选项为A 、B 、D ．
说明：1. 分析处理碰撞类问题，除注意动量守恒及其动量的矢量性外，对同一状态的
动能和动量的关系也要熟练掌握，即E k =m
p 22，或k 2mE p 。

2. 在定量分析碰撞后的可能性问题中，应注意以下三点：
（1）动量守恒原则：碰撞前后系统动量相等。

（2）动能不增加原则：碰后系统总动能不可能大于碰前系统的总动能．（注意区别爆炸过程）。

（3）可行性原则：即情景要符合实际。

如本例中若1球碰后速度方向不变，则1球的速度一定小于2球的速度，而不可能出现1球速度大于2球速度的现象。

这就是实际情景对物理过程的约束。

3．质量为50㎏的人站在质量为150㎏（不包括人的质量）的船头上，船和人以0.20m/s 的速度向左在水面上匀速运动，若人用t =10s 的时间匀加速从船头走到船尾，船长L ＝5m ，则船在这段时间内的位移是多少？（船所受水的阻力不计）
分析：（该题利用动量守恒重点考查了人、船模型中速度关系、位移关系）
解析：设人走到船尾时，人的速度为x v ，船的速度为y v
对系统分析：动量守恒()y x Mv mv v M m +=+
对船分析：（匀加速运动） S =t v v y
⋅+20
对人分析：（匀加速运动） t v v L S x ⋅+=-2
0 得：S = 3.25 m.
4．如图所示，一块足够长的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右并非放有序号是1，2，3，…，n 的物体，所有物块的质量均为m ，与木板间的动摩擦因数都相同，开始时，木板静止不动，第1，2，3，…n 号物块的初速度分别是v 0，2 v 0，3 v 0，…nv 0，方向都向右，木板的质量与所有物块的总质量相等 ,最终所有物块与木板以共同速度匀速运动。

设物块之间均无相互碰撞，木板足够长。

试求：
（1）所有物块与木板一起匀速运动的速度v n ；
（2）第1号物块与木板刚好相对静止时的速度v 1；
（3）通过分析与计算说明第k 号（k ＜n ＝物块的最小速度v K
分析：（多个物体组成的系统，应恰当选择小系统利用动量守恒定律求解）在木板上各个物块相对木板运动，都给木板一个向右的磨擦力，因各个物块质量相同，滑动磨擦力都一样，木板在磨擦力的作用下向右加速。

由于每个物块的初始速度不同，因而
相对木板静止的物块顺序依次是1，2，…，n号，当第一号物块由v
到相对木板静止时，
其动量变化设为△p
1，则其他各个所有物块在这段时间内的动量变化也都为△p
1
（f相同，
T相同），因木板与所有物块总动量守恒，故可用动量守恒关系求出第1号物块相对木板静止时的速度。

解析：（1）设所有物块都相对木板静止时的速度为 v
n
，因木板与所有物块系统水平方向不受外力，动量守恒，应有：
m v
0+m·2 v
+m·3 v
+…+m·n v
=（M + nm）v
n
○1 M = nm，○2
解得: v
n =
4
1
（n+1）v
，
（2）设第1号物块相对木板静止时的速度为v
1
，取木板与物块1为系统一部分，第2 号物块到第n号物块为系统另一部分，则
木板和物块1 △p =（M + m）v
1-m v
，
2至n号物块△p'=（n-1）m·（v
0- v
1
）
由动量守恒定律：△p=△p'，
解得 v
1=
2
1
v
，○3
（3）设第k号物块相对木板静止时的速度由v
k ，则第k号物块速度由k v
减为v
k
的
过程中，序数在第k号物块后面的所有物块动量都减小m（k v
0- v
k
），取木板与序号为1
至K号以前的各物块为一部分，则
△p=（M+km）v
k -（m v
+m·2 v
+…+mk v
）=（n+k）m v
k
-
2
k
（k+1）m v
序号在第k以后的所有物块动量减少的总量为
△p'=（n-k）m（k v
0- v
k
）
由动量守恒得△p=△p'，即
（n+k）m v
k -
2
k
（k+1）m v
= （n-k）m（k v
- v
k
），
解得 v
k =
n
kv
k
n
4
)
1
2(
-
+
练习
1．质量为m的人随平板车以速度V在平直跑道上匀速前进，不考虑摩擦阻力，当此人相对于车竖直跳起至落回原起跳位置的过程中，平板车的速度 ( )
A．保持不变 B．变大 C．变小
D．先变大后变小 E．先变小后变大
2．两名质量相等的滑冰人甲和乙都静止在光滑的水平冰面上．现在其中一人向另一人抛出一个篮球，另一人接球后再抛回．如此反复进行几次后，甲和乙最后的速率关系是 ( )．
A．若甲先抛球，则一定是V甲>V乙
B．若乙最后接球，则一定是V甲>V乙
C．只有甲先抛球，乙最后接球，才有V甲>V乙
D．无论怎样抛球和接球，都是V甲>V乙
3．一小型宇宙飞船在高空绕地球做匀速圆周运动如果飞船沿其速度相反的方向弹射出一个质量较大的物体，则下列说法中正确的是( )．
A．物体与飞船都可按原轨道运行
B．物体与飞船都不可能按原轨道运行
C．物体运行的轨道半径无论怎样变化，飞船运行的轨道半径一定增加
D．物体可能沿地球半径方向竖直下落
4．在质量为M 的小车中挂有一单摆，摆球的质量为m。

，小车(和单摆)以恒定的速度V沿光滑水平地面运动，与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞，碰撞时间极短，在此碰撞过程中，下列哪些说法是可能发生的( )．
A.小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为V1、V2、V3，满足(m。

十M)V=MV l 十mV2十m。

V3
B．摆球的速度不变，小车和木块的速度变为V1、V2，满足MV=MV l十mV2
C．摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为V’，满足MV=(M 十m)V’
D.小车和摆球的速度都变为V1，木块的速度变为V2，满足(M+m o)V=(M+m o)V l+mV2
5．如图所示，质量为M的平板车在光滑水平面上以速度v匀速运动，车身足够长，其上表面粗糙，质量为m的小球自高h处由静止下落，与平板车碰撞后，每次上升高度仍为h，每次碰撞过程中，由于摩擦力的冲量不能忽略，小球水平速度逐渐增大，撞击若干次后，小球水平速度不再增大，则平板车的最终速度V是多大？
6．两块厚度相同的木块A和B，紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为m A=2.0kg，m B=0.90kg，它们的下底面光滑，上表面粗糙，另有一质量m C=0．10kg的滑块C(可视为质点)，以V C=10m／s的速度恰好水平地滑A的上表面，如图所示，由于摩擦，滑块最后停在木块B上，B和C的共同速度为0.50m／s．
(1)木块A的最终速度V A；
(2)滑块C离开A时的速度V C’
7．甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量共为M =30 kg，乙和他的冰车总质量也是30 kg，游戏时，甲推着一个质量m =15 kg的箱子，和他一起以大小为V0=2m／s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，如图，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住，若不计冰面的摩擦，问甲至少要以多大的速度(相对地面)将箱子推出，才能避免与乙相撞．（注意两人避免相撞的条件）
8．如图，—玩具车携带若干质量为m1的弹丸，车和弹丸的总质量为m2,在半径为R的水平光滑轨道上以速率V0做匀速圆周运动，若小车每一周便沿运动方向相对地面以恒定速度u 发射—枚弹丸．求：
(1)至少发射多少颗弹丸后小车开始反向运动?
(2)写出小车反向运动前发射相邻两枚弹丸的时间间隔的表达式．
9．某人在一只静止的小船上练习射击．已知船、人连同枪(不包括子弹)及靶的总质量为M，枪内装有n颗子弹，每颗子弹的质量为m，枪口到靶的距离为L，子弹飞出枪口时相对于地面的速度为v．若在发射后一颗子弹时，前一颗子弹已陷入固定在船上的靶中，不计水对船的阻力．问
(1)射出第一颗子弹时，船的速度多大，
(2)发射第n颗子弹时，船的速度多大?
(3)发射完颗n子弹后，船一共能向后移动多少距离?
10．如图所示，光滑水平面上停放一个木箱和小车，木箱的质量为m，小车和人总的质量为M，M∶m=4∶1, 人以速率v沿水平方向将木箱推出，木箱被挡板以原速反弹回来以后，人接住木箱再以同样大小的速度v第二次推出木箱，木箱又被原速反弹……，问人最多能推几次木箱？
练习答案
1．A 、 2.B 、 3.CD 4.BC 5. 00()/()Mv M m v
v Mv M m =+=+
6．'()C C A B A C C m v m m v m v =++ 7. 00()(2)M m v Mv M m v +-=+由 ()''0.25/, 2.75/B A C C B C A C m v m v m m V
v m s v m s +=+== '0'()5.2/M m v Mv mv v m s +=+=得
8. （1）由动量守恒得20121()n m v nm u m nm v -=-小车开始反向0n v =得201/n m v m u =
（2）发射相邻两 枚弹丸的时间间隔就是发射第K （K 〈1〉颗弹丸后小车的周期，即212012()k R m km t T m v km u π-∆==-且201m v k m u
< 9．(1)射出第一颗子弹时，设船的速度为V 1，由动量守恒定律得10()M nm m v mv =+--，1(1)mv v M n m
=+- (2)每射出一颗子弹的过程，系统的动量均守恒，而每一颗子弹进入靶中后，船的速度将为零，故每一颗子弹射出时，船后退的速度是相同的， 即1(1)n mv v v M n m
==+- (3)每发射一颗子弹的过程实际上经历了三个阶段：第一阶段是击发到子弹射出枪瞠为止；第二个阶段是子弹在空中飞行的阶段；第三个阶段是子弹从击中靶子到静止为止．三个阶段都遵从动量守恒定律，第一、第三阶段历时很短，故这两个阶段船的移动可忽略．因此每发射一颗子弹的过程，只在第二阶段船向后移动．每发射完一颗子弹后船向移动的距离
10．选木箱、人和小车组成的系统为研究对象，取向右为正方向.设第n 次推出木箱后人与小车的速度为v n ,第n 次接住后速度为v n ′,则由动量守恒定律可知：
第一次推出后有：0=Mv 1-mv ,则v 1=mv/M
第一次接住后有：Mv 1+mv =（M +m ）v 1′
第二次推出后有：（M +m ）v 1′=Mv 2-mv ,则v 2=3mv/M
第二次接住后有：Mv 2+mv =（M +m ）v 2′……
第n -1次接住：Mv n -1+mv =（M +m ）v n -1
第n 次推出：（M +m ）v n -1′=Mv n -mv 即v n =(2n-1)m v/M
设最多能推N 次，推出后有v n ≥v v n-1≤v 即M mv N )12(-≥v ,且][M
mv N 1)1(2--＜v 所以)1(21+M m
≤ N ＜)1(21+M
m + 1 将M/m=4代入，可得： 2.5≤N ＜3.5
因N 取整数，故N =3。