2020-2020学年天津市南开区高一上期末数学试卷(含答案解析)

2020-2020学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（3分）设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁U（A ∪B）中元素个数为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（3分）与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）
A．345°B．375° C．﹣πD．π
3．（3分）sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）
A．﹣B．﹣ C．D．
4．（3分）下列函数中是奇函数的是（）
A．y=x+sinx B．y=|x|﹣cosx C．y=xsinx D．y=|x|cosx
5．（3分）已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（3分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
7．（3分）若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA 分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）
A．或B．或C．或D．或
9．（3分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]（k ∈Z），则下列说法错误的是（）
A．函数f（﹣x）的最小正周期为π
B．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）
C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（+，0）（k∈Z）
D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）
10．（3分）设函数f（x）=，则下列说法正确的是（）
①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；
②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；
③若a≥1，则f（f（a））=；
④若f（f（a））=，则a≥1．
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.
11．（4分）函数f（x）=的定义域为．
12．（4分）函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为；最大值为．
13．（4分）如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g （x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．
14．（4分）如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ=．
15．（4分）设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣，则a=．
三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
16．（8分）已知集合A={x|2x﹣6≤2﹣2x≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；
（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．
17．（10分）已知函数f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．18．（10分）设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．
19．（10分）设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．
20．（12分）函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1（ω＞0），其图象上有两点A （s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．
2020-2020学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（3分）设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁U（A ∪B）中元素个数为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：∵A={2，5}，B={1，2，4，5}，
∴A∪B={1，2，4，5}，
又∵集合U={n|n∈N*且n≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
∴∁U（A∪B）={3，6，7，8，9}，
故∁U（A∪B）共有5个元素，
故选：B．
2．（3分）与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）
A．345°B．375° C．﹣πD．π
【解答】解：由α=+2kπ（k∈Z），
得与角α终边相同的角是：，360°+15°=375°．
故选：B．
3．（3分）sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）
A．﹣B．﹣ C．D．
【解答】解：sin80°cos70°+sin10°sin70°=cos10°cos70°+sin10°sin70°
=．
故选：C．
4．（3分）下列函数中是奇函数的是（）
A．y=x+sinx B．y=|x|﹣cosx C．y=xsinx D．y=|x|cosx
【解答】解：A，y=x+sinx，有f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），为奇函数；
B，y=|x|﹣cosx，f（﹣x）=|﹣x|﹣cos（﹣x）=f（x），为偶函数；
C，y=xsinx，f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；
D，y=|x|cosx，f（﹣x）=|﹣x|cos（﹣x）=f（x），为偶函数．
故选：A．
5．（3分）已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：由题意得，tan（θ+）=，
所以=，即，
解得tanθ=＜0，则θ在第二或四象限，
由cosθ＞0得，θ在第一或四象限，
所以θ在第四象限，
故选：D．
6．（3分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【解答】解：f（x）=log2x+x﹣4，在（0，+∞）上单调递增．
∵f（2）=1+2﹣4=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0
∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（2，3）区间内
∴函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3），
故选：C．
7．（3分）若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），
c=f（log23﹣1），则（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，
∵log0.53=＜=﹣1，log23﹣1=log21.5∈（0，1），
a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），
∴b＜a＜c．
故选：B．
8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA 分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）
A．或B．或C．或D．或
【解答】解：如图所示，旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，
边长为cosα﹣sinα，
由题意可得：（cosα﹣sinα）2=，
可得：cosα﹣sinα=±①，2sinαcosα=
又0＜α＜，可得：cosα+sinα==，②
所以：由①②可得：cosα=．
故α=或．
故选：A．
9．（3分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]（k ∈Z），则下列说法错误的是（）
A．函数f（﹣x）的最小正周期为π
B．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）
C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（+，0）（k∈Z）
D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）
【解答】解：由题意，ω=2，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为π，
φ=，f（﹣x）=Asin（﹣2x+），
x=+，﹣2x+=kπ+，f（﹣x）=Asin（﹣2x+）≠0，
故选C．
10．（3分）设函数f（x）=，则下列说法正确的是（）
①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；
②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；
③若a≥1，则f（f（a））=；
④若f（f（a））=，则a≥1．
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
【解答】解：当a≤0时，则f（f（a））==﹣a，故①正确；
当a≥1时，f（f（a））==，故③正确；
当0＜a＜1，f（f（a））=log0.5（log0.5a）∈R，
故此时存在0＜a＜1，使得f（f（a））=﹣a也存在0＜a＜1，使得f（f（a））=，故②④错误；
故选：A
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.
11．（4分）函数f（x）=的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞）．【解答】解：由题意得：
，
解得：x＞﹣1且x≠0，
故函数的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞），
故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．
12．（4分）函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为π；最大值为．【解答】解：函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x
=sin（2x+）的最小正周期为=π，最大值为，
故答案为：π，
13．（4分）如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g （x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．
【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到：y=sin[2（x+φ）]=sin（2x+2φ）的图象，
将函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，可得函数y=cos[2（x﹣φ）﹣]=cos（2x﹣2φ﹣）=sin[﹣（2x﹣2φ﹣）]=sin（﹣2x+2φ）=sin（2x﹣2φ+）的图象，
二者能够完全重合，由题意可得，
即：2x+2φ=2x﹣2φ++2kπ，k∈Z，
解得：φ=kπ+，（k∈Z）
当k=0时，φmin=．
故答案为：．
14．（4分）如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ=．
【解答】解：由题意，∠OAC=β﹣α，
∵A，B是单位圆上两点且|AB|=，
∴sinαsinβ+cosαcosβ=cos（β﹣α）=cos∠OAC==，
故答案为．
15．（4分）设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣，则a=．
【解答】解：如图所示，画出函数f（x）的图象，
不妨设x1＜x2＜x3，则x1+x2=2×=﹣3，
又x1+x2+x3=﹣，
∴x3=．
∴a==．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
16．（8分）已知集合A={x|2x﹣6≤2﹣2x≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；
（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）对于集合A，因为2x﹣6≤2﹣2x≤1，则x﹣6≤﹣2x≤0，
解可得：0≤x≤2．
即A={x|0≤x≤2}，
又由B={x|x∈A∩N}，则B={0，1，2}；
故B的子集有∅、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}、{0，1，2}；（Ⅱ）若A∩C=C，则C是A的子集，
则必有：，
解可得：0≤a≤1，
即a的取值范围是：[0，1]．
17．（10分）已知函数f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．
【解答】解：（Ⅰ）结论：函数f（x）为定义在R上的偶函数．
证明：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，
f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）=
f（﹣x）=．
因此，函数f（x）为定义在R上的偶函数；
（Ⅱ）∵f（θ+）=，
∴．
由于θ为第一象限角，故，
∴cos（2θ+）=
==．
18．（10分）设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0，
若x＜0，则﹣x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．
∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣（﹣x+1）2=﹣（x﹣1）2．
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣（x﹣1）2=﹣f（x），
则f（x）=（x﹣1）2，x＜0，
则函数f（x）的解析式f（x）=；
（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，
则f（m2+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m），
当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2为减函数，且f（x）＜﹣1＜f（0），
当x＜0时，f（x）=（x﹣1）2为减函数，且f（x）＞1＞f（0），
则函数f（x）在R上是减函数，
则m2+2m＜﹣m，
即m2+3m＜0，
则﹣3＜m＜0，
即m的取值范围是（﹣3，0）．
19．（10分）设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，
∴cosβ==﹣cos2α=2sin2α﹣1
∵α∈（0，），∴sinα=；
（Ⅱ）由题意，函数f（x）=tanx在[﹣，α]上单调递增，
∵α∈（0，），sinα=，∴cosα=，∴tanα=2，
∴函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域为[﹣，2]，
∴函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域为[﹣，2]，
∴y=sinx在[﹣，2m﹣]上的取值范围是[﹣，1]，
∴≤2m﹣≤，
∴≤m≤．
20．（12分）函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1（ω＞0），其图象上有两点A （s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1=
===，
由于|AB|=2π，且线段AB与函数f（x）图象有五个交点，
因此，故ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，函数f（x）=，由题意知，因此x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2）=．即，．
∵函数f（x）在[x1，x2]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，
∴f（x）在x2处取得最大值，即=2．
，即．
∴=．
=．。