结构动力学解题思路及习题解答

4
2
由 d T U 0 得系统运动微分方程
dt
得系统的固有频率
3 Mx Kx 0 ； 2
n
2K 3M
；
1.7 求图 1-36 所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮 A 的质量为 mA，半径为 rA，齿轮 B 的质
量为 mB，半径为 rB,杆 AC 的扭转刚度为 KA, ,杆 BD 的扭转刚度为 KB,
的稳态解。
解：（1）建立汽车上下振动的数学模型；由题意可以列出其运动方程：
y
my k( y y1) c( y y1)
m
其中： y 表示路面波动情况； y 1 表示汽车上下波动位移。
k/2
c k/2
将其整理为：
my cy ky ky1 cy1
(1)
y y(t)
将 y hsin(at) 代入得
（2） 利用牛顿第二定律 m x F ,得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；
（2） 利用动量距定理 J M ,得到系统的运动微分方程；
；
(2)求 f (t) (t) 的解；
（3） （4）
将 f (t) (t) 代入方程（1）得
3c 6k 6 (t) m m ml
令
2n
3c m
;
n2
6k m
;h
6 ml
;
得
2n n 2 h ( t)
（5） （6）
方程（6）成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励 h ( t) 的响应。由方程（6）可以得到
图 1-39
-8-
.
my cy ky achcos(at) khsin(at)
(2)汽车振动的稳态解:
设稳态响应为：
y Asin( t a)
代入系统运动微分方程（1）可解得：
A
k 2 c 2 2
h；
(k m 2 )2 c2 2
a
acr
tan(
k
(k
mc 3 m 2 )
c
2
2
)
；
则
k1 。
2m
m
k1
l 2
k1
l 2
图 1-33
（d）
1.5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮 A 半径 R,重物 B 的重量为 P/2,弹簧刚度为 k.
解：以 为广义坐标，则
系统的动能为
T
T重物
T轮子
1（m）x 2
2
1 2
I 0 2
1（
P
）x 2
1
(1
P
R 2 )
x
2
P
x 2
P
x 2
方法二：功率法：
（1） 单自由度系统在 F0 sin t 作用下的振动过程中，在一个周期内，
-2-
.
弹性力作功为
Wc 0 、
阻尼力做功为
Wd c A2 、
激振力做作功为
W f F0 sin ；
（2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零，
即：
Wc +Wd +W f 0 ；
方法一：幅频（相频）曲线法
当单自由度系统在正弦激励 F0 sin t 作用下其稳态响应为：
x Asin( t ) ,
其中：
A
F0
x st
；
m
2 n
2 0
4n 2 2
1 2 4 2 2
(1)
arctan2 /1 2
(2)
从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（2）式求得阻尼比 。
单自由度系统的幅频曲线 （2）分析以上幅频曲线图，得到：
于是
1,2 max / 2 2 / 4 ；
进一步
12
(1
2
)
2 n
；
最后
2 2
(1
2
)
2 n
；
2 1 / 2n / 2n ；
1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。
初始加速度
然后积分求初始速度
0 h ( t) ；
再积分求初位移
0
0
0
0 0d t h ( t)d t h ( t)d t h ；
0
0
0
0
0
0 0d t h )d t 0 ；
0
0
这样方程（6）的解就是系统对于初始条件0 、0 和 0 的瞬态响应
将其代入方程（6）可以求得：
k2
48EI l3
；
等效刚度为 k;
l
则有
1 1 1 ；
2
k k1 k2
则固有频率为： k
48EIl3
；
m
48EI k1l 3 m
（b）此系统相当于两个弹簧并联, 等效刚度为:
k
k1
48EI l3
;
l 2
k1 则固有频率为:
k k1l 3 48EI
m
ml 3
m
k1 l 2
图 1-33（a）
解：由齿轮转速之间的关系 ArA B rB 得
角速度 转角 系统的动能为：
B
rA rB
A
；
B
rA rB
A；
T
TA
TB
1 2
J A A 2
1 2
J B B 2
C
T
1 2
mArA2 2
2 A
1 2
mB rB 2 2
B 2
1 4
mA
mB
rA2
2 A
；
系统的势能为：
A B
U
1 2
K A A2
幅频相频曲线法当单自由度系统在正弦激励从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数由上述12式求得阻尼比作用下的振动过程中在一个周期内弹性力作功为第一章单自由度系统激振力做作功为sin于是sinmaxst135中标出参数的系统的固有频率
.
第一章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守 恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；
x Aent sind t ；
.-
结构动力学作业
最后得
A h ; 0 ; m d
x Aent
sin d
t
h m d
e n t
sin d
t
1.9 图１－３８所示盒内有一弹簧振子，其质量为 m，阻尼为 C，刚度为 K，处于静止状态， 方盒距地面高度为 H，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。 解：来自百度文库为在自由落体过程中弹簧无变形，所以振子与盒子之间无相对位移。在粘地瞬间，
1.11.若电磁激振力可写为 F(t) H sin 2 0 t ，求将其作用在参数为 m、 k、 c 的弹簧振子上
的稳态响应。 解：首先将此激振力按照傅里叶级数展开：
F (t )
a0 2
i 1
(ai
cos(it) bi
sin(it))
其中： ai
2 T
T F (t) cos(it)dt ；
为K 。
解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
k
R
M
T平动
1 2
Mx 2 ;
T转动
1 2
I
x R
2
1 2
MR2 2
x R
2
;
图 1-35
而势能
T 1 Mx 2 1 Mx 2 3 Mx 2 ；
2
4
4
系统机械能
U 1 Kx 2 ； 2
T U 3 Mx 2 1 Kx 2 C ;
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法： 适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1）设系统的广义坐标为 ，写出系统对于坐标 的动能 T 和势能 U 的表达式；
进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ；
（2）由格朗日方程
dt
(
L
)
L
系数为 C，求当初始条件 0 0 0 时
（１） f (t) F sin t 的稳态解；
c
l
l
f (t)
2
2
（２） f (t) (t)t 的解；
解：利用动量矩定理建立系统运动微分方程
k
k
J
c
l 2
2
k
l 2
2
f
(t)
l 2
k
l 2
2
；
l
l
而
J 2 r2dm 2 r2 m dr ml2 ；
（2）将能量守恒定理 T+U=Const 对时间求导得零,即 d(T U) 0 ，进一步得到系统 dt
的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。
2 2g
2 2 g R 4g 4g
P x 2 2g
系统的势能为：
拉格朗日函数为
U
U重物
U弹簧
－Px
1 2
kx2
；
L=T-U ;
由拉格朗日方程
dt
L ( x )
L x
0
得 P x kx P g
A
图 1-34
B
0
x
则， 0 =
kg P
所以：系统的固有频率为 kg P
-4-
.
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度
n
c 2m
,
n
2
k m
1.12.若流体的阻尼力可写为 Fd bx 3 ,求其等效粘性阻尼。
.-
l
m
2
k1
图 1-33（b）
(c)系统的等效刚度
k
k1
3EI l3
k1
3EI l3
则系统的固有频率为
m
k1
k1
图 1-3（3 c）
.-
k m
k1l3 3EI ml 3
结构动力学作业
（d）由动量距定理 m0 F I0得：
（
1 2
l
k1
1 2
l
1 2
l
k1
1 2
l
）=
1 2
ml
2
得：
k1 0 ， 2m
于是
F0 sin - c A2 0
进一步得：
A F0 sin c ；
（3） 当 n 时， sin 1，
则
Amax xst 2 ，
得
max 1 2 , 2 max 。
1.4 求图 1-35 中标出参数的系统的固有频率。
（a）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为 k1、
简支梁刚度为
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷
的幅值 Ai 、 Ai1 。
（2）由对数衰减率定义 ln( Ai ) ， Ai 1
进一步推导有
2 ， 1 2
.-
结构动力学作业
因为 较小， 所以有 。 2
方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。 （1）通过实验，绘出系统的幅频曲线， 如下图：
1 2
K B B 2
1 2
K A A2 K B B 2
1 2
K
A
KB
rA 2 rB 2
A2 ;
图 1-36
.-
x
D
（ c ）
结构动力学作业
系统的机械能为
T
U
1 4
m
A
mB rA2 A2
1 2
K
A
KB
rA 2 rB 2
A2
C；
由 d T U 0 得系统运动微分方程
dt
1 2
m A
l
l
l
12
2
2
得
ml2 3cl2 6kl2 6lf (t) ；
化简得
3c 6k 6 f (t)
(1)
m m ml
(1)求 f (t) F sin t 的稳态解；
将 f (t) F sin t 代入方程（1）得
3c 6k 6 F sin t m m ml
（2）
-6-
=0，得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法
适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能 T 和势能 U
的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const
图 1-38
x Aent sind t ；
A
x02
x 0
n x0 d
2
x0 d
2gH d
；
arctg
d x0 x0 n x0
0
；
x
2gH d
sin d
t;
1.10 汽车以速度 V 在水平路面行使。其单自由度模型如图。设 m、k、c 已知。路面波动情
况可以用正弦函数 y=hsin(at)表示。求：（1）建立汽车上下振动的数学模型；（2）汽车振动
mB rA2A
K
A
KB
rA 2 rB 2
A
0；
因此系统的固有频率为：
n
2 K A K B
rA 2 rB 2
1
m A mB rA2
rA
2 K A
KB
rA 2 rB 2
；
mA mB
1.8 已知图１－３７所示振动系统中，匀质杆长为 l ， 质量为 m，两弹簧刚度皆为 K，阻尼
.
令 2n
3c m
;
n2
6k m
;h
6F ml
;
得
设方程（3）的稳态解为
2n n 2 h sin t
x Asin( t )
将（4）式代入方程（3）可以求得：
A
h
6F
；
n2 2 2 4n22 l 6k m2 2 9c22
arctg
2n n2
2
arctg
3c 6k m2
0
bi
2 T
T
F (t ) sin(it )dt
0
因为 F (t) H sin 2 (0t) 是偶函数，所以 bi 0 。
于是
F (t )
H 2
H 2
c os (2 0 t )
而
x(t)
H 2k
A s in(2 0 t
a
/
2)
；
式中
H
A
2m
；
( n 2 402 ) 16n202
a arctan 2n ； n 2 4 0 2
由机械能守恒定理
mgH
1 2
mV0 2
的振子的初速度 V0
2gH
；
底版与地面粘住后，弹簧振子的振动是对于初速度
m
V0 2gH 的主动隔振
系统的运动微分方程为： mxCx Kx 0 ；
或 x C x K x 0 ; mm
k/2
c
k/2
H
或 x 2nx n 2 x 0 ; 系统的运动方程是对于初始条件的响应：