概率论与数理统计_单因素试验方差分析ppt课件

r i1
Ti2 ni
T2 n
r
SSE
i1
ni
T 2 X ij n j1
r2 i
i1 i
ni
其中 T i X ij , j1 同一程度 下观测值 之和
r
T Ti i1
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重〔单位：500g〕于下表，试作方差分析。
1 1 4 9 7 1 1 4 0 6 .8 3
S S T S S A S S E 1 1 4 9 7 1 0 4 7 2 . 1 1 1 0 2 4 . 8 9
MSA934.732467.36 MSE 90.17615.03
* * FMSA467.3631.10 MSE 15.03
F 0 .0 1 2 ,6 1 0 .9 2F 0 .0 5 2 ,6 5 .1 4
列方差分析表
方差来源 平方和 自在度 均方和 F 值
F 值临介值
组间
934.73 2
467.36
F0.052,65.14
31.10**
F0.012,610.92
组内 90.17 6
15.03
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
1、输入原始数据列，并存到A，B，C列；
n
i
2 i
0
i1
所以，
ErSSA1
EnSSEr
即H0不成立时，S S A r 1 有大于1的趋势。 SSE n r
所以H0为真时的小概率事件应取在F值较大的一侧。
实验目的——实验结果。
可控要素——在影响实验结果的众多要素中，可人为 控制的要素。
程度——可控要素所处的各种各种不同的形状。每个 程度又称为实验的一个处置。
单要素实验——假设在一项实验中只需一个要素改动， 其它的可控要素不变，那么该类实验称为 单要素实验。
引例
例1 〔灯丝的配料方案优选〕某灯泡厂用四种配料方案制成的灯 丝消费了四批灯泡，在每批灯泡中作随机抽样，丈量其运用寿 命〔单位：小时〕，数据如下：
〔4〕假设F F0.10 ，那么称要素A无显著影响〔差
别无统计意义〕。
单要素实验方差分析表
方差来源 平方和 自在度 均方和
组间
SS A
d fA
MSA
SS A dfA
组内
SSE
d fE
MSE
SSE dfE
总和 S S T d f T
F值 F MSA
M SEБайду номын сангаас
F 值临介值
Fr1,nr
简便计算公式：
SSA
得H0 的回绝域为：FFr1,nr F 单侧检验
思索：为什么此处只做单侧检验？
结论：方差分析本质上是假设检验，从分析离差 平方和入手，找到F统计量，对同方差的多个正态总体 的均值能否相等进展假设检验。单要素实验中两个程 度的均值检验可用第七章的T检验法。
约定
留意：在方差分析表中，习惯于作如下规定：
假设假设H 0:a 1a 2...a r0 成立，那么
Xij ~N,2 〔各子样同分布〕
由P106定理5.1可推得：
S S 2 T~2 n 1 ,S S 2 A ~2 r 1 ,S S 2 E ~2 n r
将
SST
2
,
SSA
2
,
SSE
2
的自在度分别记作 dfT,dfA,dfE
那么FSSA dfA~Fr1,nr
引例
灯泡的运用寿命——实验目的
灯丝的配料方案——实验要素〔独一的一个〕 四种配料方案〔甲乙丙丁〕——四个程度
因此，本例是一个四程度的单要素实验。
用X1，X2，X3，X4分别表示四种灯泡的运用寿命，即为 四个总体。假设X1，X2，X3，X4相互独立，且服从方差 一样的正态分布，即Xi~N〔 i， 2〕〔i=1，2，3，4〕
SSE dfE
〔记 S S Ad fA M S A ,S S Ed fE M S E ，称作均方和〕
那么FSSA dfA~Fr1,nr M S A
SSE dfE
M SE
〔记 S S Ad fA M S A ,S S Ed fE M S E ，称作均方和〕
对给定的检验程度 ，由 P F F r 1 ,n r
r
r
r
显然有： nii nii niin0
i 1
i 1
i 1
那么线性统计模型变成
X ij i ij,j 1 ,2 ,...n i,i 1 ,2 ,...r
于是检验假设： H 0:12...r
等价于检验假设： H 0: 12 ...r0
假设H0成立，那X 么ij ij,j 1 ,2 ,...n i,i 1 ,2 ,...r
引言
在工农业消费和科研活动中，我们经常遇到这样 的问题：影响产品产量、质量的要素很多，例如影 响农作物的单位面积产量有种类、施肥种类、施肥 量等许多要素。我们要了解这些要素中哪些要素对 产量有显著影响，就要先做实验，然后对测试结果 进展分析，作出判别。方差分析就是分析测试结果 的一种方法。
基本概念
种类 反复
A 1 A 2 A 3 A 4 A 5
1 2 3
3
x ij
j1
xi
41 33 38 37 31
39 37 35 39 34
40 35 35 38 34
53
1 2 01 0 51 0 81 1 49 9 xij 546 i 1 j 1
53
4 0 3 5 3 6 3 8 3 3 xij 15 36.4 i1 j1
ni
ni
列和Ti Xij j 1
X1n1 X2n2 ...
T 1 T 2 ...
列平均Xi Ti ni
〔程度组内平均值〕
X 1
X 2 ...
Xrnr
r
T r 总 和 T i i1
1 r
Xr X n i1 ni X i
〔总平均值〕
r
其中诸 n i 可以不一样，n n i i1
例：五个水稻种类单位产量的观测值——P165
由于同一程度下反复实验的个体差别是随机误差， 所以设：
X iji ij,j 1 ,2 ,...n i,i 1 ,2 ,...r线性统计模型
其中 i j 为实验误差，相互独立且服从正态分布
即
ij ~N0,2
整个实验的均值
令
1 ni r1nii ,〔其中
r
n ni 〕称为普通平均值。
i1
i i , 称为要素A的第 i个程度 Ai的效应。
〔1〕假设F F0.01 ，那么称要素的差别极显著〔极有
* * 统计意义〕，或称要素A的影响高度显著，这时作标
志〔2〕假设；F0.05FF0.01 ，那么称要素的差别显著〔差别
* 有统计意义〕，或称要素A的影响显著，作标志 ；
〔3〕假设F0.1FF0.05 ，那么称要素A有一定影响，
* 作标志〔 〕；
本例问题归结为检验假设 H0： 1= 2= 3= 4 能否 成立
单要素实验的方差分析
设 A 表示欲调查的要素，它的 r 个不同程度，对 应的目的视作 r 个总体 X1, X2,...Xr. 每个程度下,我
们作假设干次反复实验n：1, n2 ,...nr . 〔可等反复也可 不等反复〕，同一程度的n i 个结果，就是这个总体X i
S S Ai r1T n ii2T n 21 8 4 2 27 3 4 25 2 1 23 0 9 72
1 1 4 0 6 . 8 3 1 0 4 7 2 . 1 1 9 3 4 . 7 2
r
SSE
i1
ni
T 2 X ij n j1
r2 i
i1 i
5 1 2 4 0 2 ... 2 8 2 1 1 4 0 6 .8 3
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
25
26
C
23
28
解：T1 51404348 182,
T2 232526 74,
T 1 8 2 7 4 5 1 3 0 7
T3 2328 51
dfAr12, dfEnr936,
dfTn18
解：T 1 1 8 2 ,T 2 7 4 ,T 3 5 1 ,T 3 0 7 d fA 2 , d fE 6 , d fT 8
2、选择Stat>ANOVA>one-way(unstacked)
各程度数据放同一列 各程度数据放在不同列
0 .0 1 0 .0 5
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
定理 在单要素方差分析模型中，有
r
E(SSA)(r1)2
ni
2 i
E(SSE)(nrr)2 i1
假设H0不成立，那么
其中
1 r ni ni1 j1
ij,
ni
i ij
j1
r ni
2 r ni
2
SSE
XijXi
iji
i 1j 1
i 1j 1
组内平方和
反映的是反复实验种随机误差的大小。误差平方和
这里
1 r ni
ni1 j1
ij,
ni
i ij
j1
i 表示程度Ai的随机误差； 表示整个实验的随机误差
灯泡
寿命
1 2 3 4 5 678
灯丝
甲 1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800
乙 1580 1640 1640 1700 1750
丙 1460 1550 1600 1620 1640 1740 1660 1820
丁 1510 1520 1530 1570 1680 1600
r ni
调查统计量 SST
2
Xij X
总离差平方和
i1 j1
经恒等变形，可分解为： SSTSSASSE 见书P168
其中
r ni
S S A
2r
2
XiX ni ii
i 1j 1
i 1
组间平方和〔系
假设H0 成立，那么SSA 较小。统离差平方和〕
反映的是各程度平均值偏离总平均值的偏离程度。
纵向个体间的差别称为随机误差〔组内差别〕，由实验呵 斥；横向个体间的差别称为系统误差〔组间差别〕，由要素的 不同程度呵斥。
单要素实验的方差分析的数学模型
首先，我们作如下假设：
1 .X i~ Ni, 2,i 1 ,2 ,...r具有方差齐性。
2.X1,X2,...Xr相互独立，从而各子样也相互独立。
的一个样本：Xi1, Xi2,...Xini .
因此， Xi1,Xi2,...Xini 相互独立，且与 X i 同分布。
我们的目的是经过实验数据来判别要素 A 的不 同程度对实验目的能否有影响。
单要素实验资料表
反复
程度
实验结果 A 1 A 2 ... A r
1
X11 X21 ... Xr1
...
... ... ... ...