「精品」高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式知识

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
疱工巧解牛
知识•巧学 一、倍角公式
1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α=β，就可得出相应的倍角公式.
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β−−→−=βα令sin2α=2sin αcos α
；cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
−−→
−=β
α令cos2α=cos 2
α-sin 2
α.
由
于
sin 2
α+cos 2
α=1，显然，把sin 2
α=1-cos 2
α代入cos2α=cos 2
α -sin 2
α，得
cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-(1-cos 2α)=2cos 2
α-1.
同理，消去cos 2α，得cos2α=1-2sin 2
α. tan(α+β)=
α
ααβαβαβ
α2
tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=−−→−∙-+=令. 综上，我们把公式
叫做二倍角公式.
2.二倍角公式中角α的范围
由任意角的三角函数的定义可知S 2α、C 2α中的角α是任意的，但公式T 2α即
tan2α=
α
α
2
tan 1tan 2-中的角是有条件限制的. 要使tan2α有意义，需满足1-tan 2
α≠0且tan α有意义.当tan α有意义时，
α≠
2π+k π(k∈Z )；当1-tan 2
α≠0，即tan α≠±1时，α≠±4
π+k π(k∈Z ).综上,可知要使T 2α有意义，需α≠±4π+k π且α≠2π+k π(k∈Z ).特别地，当α=2
π
+k π(k∈Z )时，
虽然tan α的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(
2
π
+k π)=tan(π+2k π)=tan π=0. 学法一得 二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角α除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义. 3.倍角公式中的倍角是相对的
二倍角公式不仅仅可用于将2α作为α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是
23α的二倍角，2α是4
α的
二倍角，
3α是6
α
的二倍角等. 在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例6
cos
6
sin
23
sin
α
α
α
=，6
cos 26
sin 6
cos 3
cos
2
2
2
α
α
α
α
=-=-1=1-2sin
2
6
α
；sin3α·cos3α=
21 (2sin3αcos3α)=2
1sin6α；cos 22α-sin 2
2α=cos4α；
ααα3sin 4123cos 23sin 21=；
︒
-︒
35tan 135tan 22=tan70°等. 4.倍角公式的几种变形形式
(sin α±cos α)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2
α；
1-cos2α=2sin 2
α；cos 2
α=
22cos 1α+；sin 2
α=22cos 1α-. 学法一得 我们常把1+cos α=2cos 22α，1-cos α=2sin 22
α称为升幂换半角公式，利用该公式消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；把cos 2α=22cos 1α+，sin 2
α=
2
2cos 1α-称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式
给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.
5.倍角公式与和角公式的内在联系
只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式，才能及时捕捉到有价值的信息，完成问题的解答.
典题•热题
知识点一 直接应用倍角公式求值 例1 求下列各式的值：
(1)2sin15°sin105°；(2)︒-15sin 731432；(3)︒
-︒5.22tan 15.22tan 2；(4)12cos
24cos 24sin π
ππ. 解：(1)原式=2sin15°·sin(90°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°=2
1
.
(2)原式=
143(1-2sin 2
15°)=14
3cos30°=283323143=⨯. (3)原式=
.21
12145tan 215.22tan 15.22tan 2212=⨯=︒=︒-︒∙. (4)原式=8
1
21416sin 4112cos 12sin 21=⨯==πππ.
方法归纳 倍角公式中的角是相对的，对它应该有广义上的理解，即
1
1
2cos 2
sin
22++=n n n
α
α
α
(n∈N *
)，
1
2sin 2cos 2cos
2
1
2
+-=+n n n
α
α
α
(n∈N *
)，
1
2
1
2tan 12tan 22
tan
++-=
n n n
α
α
α
(n∈N *
).
知识点二 利用倍角公式给值求值
例2 已知x∈(2π
-
，0)，cosx=5
4，则tan2x 等于( ) A.247 B.247- C.724 D.7
24- 思路分析：运用三角函数值在各个象限的符号及倍角公式求解. 解法一：∵x∈(2π
-
，0)，cosx=5
4， ∴sinx=5
3)5
4
(1cos 12
2
-=--=--x . 由倍角公式sin2x=2sinxcosx=2524-，cos2x=2cos 2
x-1=2×(54)2-1=25
7. 得tan2x=
7
24
2cos 2sin -=x x .
解法二：∵x∈(2π
-
，0)，cosx=5
4， ∴sinx=53)5
4
(1cos 12
2
-
=--=--x .∴tanx=4
3cos sin -=x x . ∴tan2x=724)4
3(1)
43
(2tan 1tan 22
2-=---⨯=
-x
x . 答案：D
方法归纳 ①解好选择题的关键在于能否针对题目的特点，选择合理而适当的解法，最忌对任何题目都按部就班地演算求解，小题大做，应力求做到“小题小做”“小题巧做”. ②像这种从题目的条件出发，通过正确地运算推理，得出结论，再与选择肢对照确定选项的方法叫做定量计算法；像这样通过对题干和选择肢的关系进行观察、分析，再运用所学知识，通过逻辑推理作出正确选择的方法叫做定性分析法. 例3 已知sin(
4π+α)sin(4π-α)=161，α∈(2
π
，π)，求sin4α的值.
思路分析：要求sin4α的值，根据倍角公式可知只需求出sin2α、cos2α的值或sin α、cos α的值即可.由于(4π+α)+(4π-α)=2
π
，可运用二倍角公式求出cos2α的值. 解：由题设条件得
sin(
4π+α)sin(4π-α)=sin(4π+α)cos ［2π-(4
π
-α)］ =sin(4π+α)cos(4π+α)=21sin(2
π
+2α)=21cos2α=61，
∴cos2α=31
.
∵α∈(2
π
，π)，∴2α∈(π，2π).
又∵cos2α=31>0，∴2α∈(2
3π
，2π).
∴sin2α=3
2
2)3
1
(12cos 12
2
-
=--=--α. ∴sin4α=2sin2α·cos2α=2×9
2
431)322(-=⨯-
. 例4 已知cos(4
π
+x)=53，47127ππ<
<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 思路分析：由于结论中同时含有切、弦函数，所以可先对结论切化弦，化简后不难发现，只需求出sin2x 和tan(4π+x)的值即可，注意到2(4π+x)=2
π
+2x ，这样通过诱导公式就容易找到sin2x 同cos(
4
π
+x)的关系了. 解：∵47127ππ<<x ，∴πππ24
65<+<x .
又∵cos(4
π
+x)=53>0，
∴23π＜4
π+x ＜2π.
∴sin(
4
π+x)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--x π，
345
354
)
4cos()
4sin(
)4tan(-=-
=++=+x x x ππ
π.
∵sin2x=-cos2(4π+x)=1-2cos 2(4
π+x)=25725181=-， ∴原式=x x x x x x x x x x x x
x x x sin cos )
sin (cos 2sin sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-∙+∙=-
+
75
28
)34(257)4tan(2sin tan 1tan 12sin -=-⨯=+∙=-+∙
=x x x x x π.
例5 在△ABC 中，已知AB=AC=2BC(如图3-1-10)，求角A 的正弦值.
图3-1-10
思路分析：由于所给三角形是等腰三角形，所以可通过底角的三角函数值或顶角一半的三角函数值来求解.
解：作AD⊥BC 于点D ，设∠BAD=θ，那么A=2θ.
∵BD=
21BC=41AB ，∴sin θ=4
1=AB BD . ∵0＜2θ＜π，∴0＜θ＜2
π
.
于是cos θ=4
15)4
1(1sin 12
2
=
-=-θ. 故sinA=sin2θ=2sin θcos θ=8
15415412=⨯⨯
. 巧解提示:作AD⊥BC 于点D ，∵BD=21BC=4
1
AB,又∵AB=AC， ∴∠B=∠C.∴cosB=cosC=
4
1=AB BD . ∵0＜B ＜
2
π
，∴sinB=415.
又∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C)=π-2B. ∴sinA=sin(π-2B)=sin2B=2sinBcosB=8
15
414152=⨯⨯
. 方法归纳 在△ABC 中，由于A+B+C=π，所以A=π-(B+C)，2
22C
B A +-=π.由诱导公式可知：sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C)；
2
cot 2tan ;2sin 2cos ;2cos 2sin
C
B A
C B A C B A +=+=+=. 任意变换A 、B 、C 的位置，以上关系式仍然成立. 例6 已知sin 2
2α+sin2αcos α-cos2α=1，α∈(0，
2
π
)，求sin α、tan α的值. 思路分析：已知是二倍角，所求的结论是单角；已知复杂，结论简单，因此可从化简已知入
手，推出求证的结论.
解：把倍角公式sin2α=2sin αcos α，cos2α=2cos 2
α-1代入已知得
4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos 2
α=0，
即2cos 2α(2sin 2
α+sin α-1)=0，
即2cos 2
α(2sin α-1)(sin α+1)=0.
∵α∈(0，2
π)，∴sin α+1≠0，cos 2
α≠0. ∴2sin α-1=0，即sin α=2
1
.
又∵α∈(0,
2π),∴α=6
π
.∴tan α=33.
知识点三 利用倍角公式化简三角函数式
例7 利用三角公式化简sin50°(1+3tan10°).
思路分析：本题给我们的感觉是无从下手，很难看出有什么公式可直接利用.从角的角度去
分析，10°、50°除了它们的和60°是特殊角外，别无特点；从函数名称的角度去分析，由于该式子有弦，有切，我们可从化切为弦入手去尝试解决，转化成弦函数.通分后出现asin θ+bcos θ的形式，由于3是一特殊角的三角函数值，可把它拼凑成两角和(差)的正、余弦展开式的形式逆用公式求值.若把50°转化成(60°-10°)从同一角入手，也可以求值. 解：原式=sin(60°-10°)(1+3tan10°)
=(
23cos10°-2
1
sin10°)(1+3tan10°) =
23cos10°+23cos10°tan10°-21sin 10°-23sin10°tan10° =
23cos10°+sin10°-2
3sin10°·tan10°
=23(cos10°-︒
︒10cos 10sin 2)+sin10° =
︒
︒︒+
︒∙=︒+︒︒∙10cos 10cos 10sin 33
220cos 2
310sin 10cos 20cos 23 ︒
︒
+︒∙∙=︒︒+
︒∙=
10cos 20sin 2120cos 233322310cos 20sin 3320cos 2
3
180sin 80sin 10cos 80sin 10cos 20sin 60cos 20cos 60sin =︒
︒
=︒︒=︒︒︒+︒︒=
.
巧解提示:原式=︒
︒+︒∙︒=︒︒+︒10cos )
10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin ︒
︒
︒+︒︒︒
=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2
110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2=︒
︒
=︒︒=︒︒︒=.
方法归纳 对于三角整式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对二次根式，要设法使被开方数升次，通过开方进行化简.另外，还可用切割化弦、变量代换、角度归一等方法.
对于形如1±sin α、1±cos α的形式，我们可采取升幂换半角的形式，消去常数项1，通过提取公因式化简有理式或通过开方化简无理式. 例8 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值. 解：由于cos60°=
21，所以原式=2
1
cos20°cos40°cos80° ︒
︒
︒︒︒∙
=20sin 80cos 40cos 20cos 20sin 21 ︒︒
︒∙
=︒︒︒︒∙=20sin 80cos 80sin 8120sin 80cos 40cos 40sin 41 16
120sin 160sin 161=︒︒∙=. 方法归纳 对于可化为cos αcos2αcos4α…cos2n-1
α(n∈N 且n>1)的三角函数式，由于它们的角是以2为公比的等比数列，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简.
巧解提示:此外，本题也可构造一对偶式求解. 设M=cos20°·cos40°·cos60°·cos80°， N=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°， 则MN=16
1
sin40°·sin80°·sin120°·sin160° =
161
sin20°·sin40°·sin60°·sin80° =161N ，∴M=161,即cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=16
1. 知识点四 利用倍角公式证明三角恒等式
例9 求证：
θ
θ
θθθθ2
tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 证明：原式等价于1+sin4θ-cos4θ=α
θ
2
tan 1tan 2-(1+sin4θ+cos4θ)， 即1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+cos4θ). ① 而
①式右边=tan2θ(1+cos4θ+sin4θ)=
θ
θ
2cos 2sin
(2cos 2
2θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin 2
2θ =sin4θ+1-cos4θ=左边. 所以①式成立，原式得证.
例10 求证：
︒=︒
-︒10sin 3240cos 1
40sin 322.
思路分析：由于分母是三角函数值平方的形式，通分后转化成3cos 2
40°-sin 2
40°，按平方差公式展开得(3cos40°+sin40°)(3cos40°-sin40°)，恰好是两个辅助角公式的形式，可运用三角函数的和差公式求值；此外，也可对它的分母降幂换倍角进行化简. 证明：
左边=︒
∙︒︒-︒︒+︒=︒︒︒-︒40cos 40sin )
40sin 40cos 3)(40sin 40cos 3(40cos 40sin 40sin 40cos 32
22222 2
)
40cos 40sin 2()40sin 21
40cos 23(2)40sin 2140cos 23(24︒︒︒-︒⨯︒+︒⨯= ︒
︒︒-︒︒︒︒+︒︒=
80sin )
40sin 60cos 40cos 60)(sin 40sin 60cos 40cos 60(sin 162
︒
︒-︒︒+︒=80sin )
4060sin()4060sin(162
︒=︒︒︒⨯=︒︒=︒
︒︒=10sin 3210cos 10cos 10sin 21680sin 20sin 1680sin 20sin 100sin 162
=右边， 所以原式成立.
方法归纳 对于三角函数式的化简、求值和证明，可从角的角度、运算的角度或函数名称的角度去考虑，其中通过通分，提取公因式、约分、合并同类项等运算的手法去化简是非常必要的.
例11 已知3sin 2α+2sin 2
β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：cos(α+2β)=0.
思路分析：从求证的结论看，cos(α+2β)的展开式中含有cos α、cos2β、sin α、sin2β这样的函数值.由已知条件结合倍角公式的特点，恰好能转化出cos2β、sin2β这样的函数值.
证明：由3sin 2α+2sin 2β=1，得1-2sin 2β=3sin 2α，∴cos2β=3sin 2
α. 又∵sin2β=
2
3
sin2α， ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α·3sin 2
α-sin α·23sin2α=2
3
sin αsin 2α-
2
3
sin αsin2α=0. 方法归纳 首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手.确定从结论开始，通过变换将已知条件代入得出结论；或通过变换已知条件得出结论；或同时将条件与结论变形，直到找到它们间的联系.如果上述方法都难奏效的话，可采用分析法；如果已知条件含有参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法，等等. 问题•探究 材料信息探究
问题 倍角和半角公式：sin α=
2
tan
12tan
22α
α
+，cos α=2
tan
12tan 122α
α
+-，tan α=2
tan
12
tan 22α
α
-，这
组公式称为“万能公式”，那么“万能公式”是怎样来的？它真的是“万能”的吗？
探究过程:万能公式是一组用tan
2
α
来表示sin α、cos α和tan α的关系式. 这组公式可以利用二倍角公式推导，其中正切tan α=
2
tan 12tan
22
α
α-，可以由倍角公式直接获得；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos 22
α可得： 2
tan 12tan
22cos 2sin 2cos 2sin 22
cos 2sin 2sin 2
22ααααααααα+=+=
=， 2
tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 2
sin 2cos cos 2
2
222222ααααααααα+-=+-=
-=. 这组“万能公式”为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁，如要计算cos α或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan
2
α
或2tan βα+的值.由于公式中涉及角的正切，
所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.
探究结论:所谓的“万能”，是说不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan 2
α
的有理式，这样就可以把问题转化为以tan 2α为变量的“一元有理函数”，即如果令tan 2
α
=t ，
则sin α、cos α和tan α均可表达为关于t 的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题
的转化，为三角问题用代数方法求解提供了一条途径.如
ta n15°+cot15°=tan15°+
=︒+︒=︒15tan 115tan 15tan 12
430sin 2
1
15tan 15tan 222=︒=+︒︒，就较方便的解决了问题.再如求函数2sin cos +=
x x y 的值域.令t x
=2
tan ，则t∈R ，利用万能公式有
sinx=2
12t t +,cosx=2211t t +-，所以=+++-=212112
22
t t t t y 222221t t t ++-，由此可以建立关于t 的一次或二次函数(2y+1)t 2
+2yt+2y-1=0，进一步分类讨论可得函数的值域.。