2024年山东省东营市中考数学试题 (解析版)

二〇二四年东营市初中学业水平考试
数学试题
（总分120分 考试时间120分钟）
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共6页．
2．数学答题卡共8页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD 】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm 碳素笔答在答题卡的相应位置上．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1.3−的绝对值是（ ）
A.3
B.3−
C.3±
D. 【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值求法．绝对值是指一个数在数轴上对应的点与原点的距离，正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．【详解】33−=
， 故选：A ．
2.下列计算正确的是（ ）
A.236
x x x ⋅= B.()2211x x −=−C.()2224xy x y = D. 2142− −=−
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，负整数幂，根据相关运算法则逐个判断即可．
【详解】解：A 、235x x x ⋅=，故A 不正确，不符合题意；
B 、()22121x x x −=−+，故B 不正确，不符合题意；
C 、()2224xy x y =，故C 正确，符合题意；
D 、2
142− −=
，故D 不正确，不符合题意； 故选：C ．
3. 已知，直线a b ∥，把一块含有30°角的直角三角板如图放置，130∠=°，三角板的斜边所在直线交b 于点A ，则2∠=（ ）
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
【答案】B
【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出90CAD ACB ∠=∠=°，即可解答．
【详解】解：∵a b ∥，
∴90CAD ACB ∠=∠=°，
∴2180160CAD ∠=°−∠−∠=°，
故选：B ．
4. 某几何体的俯视图如图所示，下列几何体（箭头所示为正面）的俯视图与其相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的判断，根据图形特点，正确的确定出俯视图是关键．首先由俯视图可知该几何体共两列，左边一列最底层共三个正方体，右边一列最底层共一个正方体，找出正确的答案即可．
【详解】解：由俯视图可知该几何体共两列，左边一列最底层共三个正方体，右边一列最底层共一个正方体，由此可得只有C 符合题意，
故选：C ．
5. 用配方法解一元二次方程2220230x x −−=时，将它转化为2()x a b +=
的形式，则b a 的值为（ ） A. 2024−
B. 2024
C. 1−
D. 1
【答案】D
【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．
用配方法把2220230x x −−=移项，配方，化为()2
12024x −=，即可． 详解】解：∵2220230x x −−=，
移项得，222023x x −=，
配方得，22120231x x −+=+，
即()212024x −=，
∴1a =−，2024b =，
∴()
202411b a =−=．
故选：D ．
6. 如图，四边形ABCD 是矩形，直线EF 分别交AD ，BC ，BD 于点E ，F ，O
，下列条件中，不能证
【
明BOF DOE △△≌的是（ ）
A. O 为矩形ABCD 两条对角线的交点
B. EO FO =
C. AE CF =
D. EEEE ⊥BBBB
【答案】D
【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
由矩形的性质得出AD BC = AD BC ∥，再由平行线的性质得出OBF ODE ∠=∠，OFB OED ∠=∠，然后由全等三角形的判定逐一判定即可．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD BC = AD BC ∥，
∴OBF ODE ∠=∠，OFB OED ∠=∠，
A 、∵O 为矩形ABCD 两条对角线的交点，
∴OB OD =，
在BOF 和DOE 中，
OFB OED OBF ODE OB OD ∠=∠ ∠=
∠ =
， ∴()AAS BOF DOE ≌，
故此选项不符合题意；
B 、在BOF 和DOE 中，
OFB OED OBF ODE FO EO ∠=∠ ∠=
∠ =
， ∴()AAS BOF DOE ≌，
故此选项不符合题意；
C 、∵AE CF =，
∴BC CF AD AE −=−，
即BF DE =，
在BOF 和DOE 中，
OFB OED BF DE
OBF ODE ∠=∠ = ∠=∠
， ∴()ASA BOF DOE ≌，
故此选项不符合题意；
D 、∵EEE
E ⊥BBBB ，
∴90BOF DOE ∠=∠=°，
两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定BOF DOE △△≌，
故此选项符合题意；
故选：D ．
7. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，从①AC BD =，②AC BD ⊥，③AB BC =，这三个条件中任意选取两个，能使ABCD 是正方形的概率为（ ）
A. 23
B. 12
C. 13
D. 56
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键． 根据从①AC BD =，②AC BD ⊥，③AB BC =，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．再根据概率公式求解即可．
【详解】解：从①AC BD =，②AC BD ⊥，③AB BC =，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形． ∴ABCD ，从①AC BD =，②AC BD ⊥，③AB BC =
，这三个条件中任意选取两个，能使
ABCD 是正方形的概率为23
． 故选：A ．
8. 习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，20cm OA =，5cm OB =，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角120AOC ∠=°．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）2cm ．
A. 25π3
B. 75π
C. 125π
D. 150π
【答案】C
【解析】
【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键．
【详解】解：由题知，
()
2212020400cm 3603OAC S ππ⋅⋅==扇形， ()
22120525cm 3603OBD S ππ⋅⋅==扇形， 所以山水画所在纸面的面积为：
240025125(cm )33
πππ−=． 故选：C ． 9. 已知抛物线2(0)y ax bx c a ++≠的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 0abc <
B. 0a b −=
C. 30a c −=
D. 2am bm a b +≤−(m 为任意实数)
【答案】D
【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键；
由图象可知：0a <，0c >，根据抛物线的与x 轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a 与b 的符号关系可得20b a =<，则可判断选项A 、B 、C ，由当=1x −时，函数有最大值，可判断选项D ．
【详解】解：A 、 抛物线开口往下，
∴0a <，
抛物线与y 轴交于正半轴，
∴0c >
抛物线的与x 轴的交点是：()3,0−和(1,0)
∴对称轴为=1x −， ∴12b a
−=−， 20b a ∴=<，
0abc ∴>，故选项A 错误．
∵2b a =，
∴20a b −=，故选项B 错误（否则可得0a =，不合题意）
． 0a <，0c >，
∴30a c −<，故选项C 错误．
抛物线的对称轴为直线=1x −，且开口向下，
∴当=1x −时，函数值最大为y a b c =−+，
∴当x m =时，2y am bm c ++，
∴2am bm c a b c ++≤−+，
∴2am bm a b +≤−，故选项D 正确．
故选：D ．
10. 如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，H 为AB 延长线上的一点，且BH BD =，连接
DH ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，连接BE ，则下列结论：①
CF BF =；②tan 1H ∠−；③BE
平分CBD ∠；④22AB DE DH =⋅．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，AB BD CD AD a ====，BD =，
AB CD ∥，AC 与BD 互相垂直且平分，进而可求得)
1AH a =，根据正切值定义即可判断②；由AB CD ∥，可知DCF HBF △∽△，由相似三角形的性质即可判断①；由BH BD =，可求得
22.5H BDH ∠=∠=°，再结合AC 与BD 互相垂直且平分，得DE BE =，可知22.5DBE BDE ∠=
∠=°，进而可判断③；再证BDE HDB △∽△，即可判断④．
【详解】解：在正方形ABCD AB CD ∥，AB BD CD AD a ====，90BAD ∠=°，
45ABD CBD DAC BAC ∠=∠=∠=∠=°，AC 与BD 互相垂直且平分，
则
BD ===，
∵BH BD ==，则)1AH a =+，
∴tan 1AD H AH ==，故②不正确； ∵AB CD ∥，则H CDF ∠=
∠，DCF HBF ∠=∠， ∴DCF HBF △∽△，
∴CF
CD BF BH == ∵BH BD =，
∴H BDH ∠=∠，
∵45H BDH ABD ∠+∠=∠=°，
∴22.5H BDH ∠=
∠=°， 又∵AC 与BD 互相垂直且平分，
∴DE BE =，
∴22.5DBE BDE ∠=
∠=°，则22.5CBE CBD DBE ∠=∠−∠=°， ∴DBE CBE ∠=∠，
∴BE 平分CBD ∠，故③正确；
由上可知，22.5DBE H ∠=∠=°，
∴BDE HDB △∽△， ∴BD DE DH BD
=，则2BD DE DH =⋅，
又∵BD =，
∴22AB DE DH =⋅，故④正确；
综上，正确的有③④，共2个，
故选：B ．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共811-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．
11. 从2024年一季度GDP 增速看，东营市增速位居山东16市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到957.2亿元，同比增长7.1%，957.2亿用科学记数法表示为_______．
【答案】109.57210×
【解析】
【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n 与a 的值．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此即可完成作答．
【详解】解：957.2亿10957200000009.57210=×，
故答案为：109.57210×．
12. 因式分解：2aa 3−8aa =______． 【答案】2aa (aa +2)(aa −2)
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．先提公因式2a ，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：2aa 3−8aa
=2aa (aa 2−4)
=2aa (aa +2)(aa −2)， 故答案为：2aa (aa +2)(aa −2)．
13. 4月23日是世界读书日，东营市组织开展“书香东营，全民阅读”活动，某学校为了解学生的阅读时间，随机调查了七年级50名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示．在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是_______小时． 时间
（小
时）
0.5 1 1.5 2 2.5
人数
（人）
10
18 12 6 4
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．直接根据众数的定义求解．
【详解】解：由统计表可知，每天阅读1小时的人数最多，为18人，
所以学生每天的平均阅读时间的众数是1小时．
故答案为：1．
14. 在弹性限度内，弹簧的长度(cm)y 是所挂物体质量(kg)x 的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm ，当所挂物体的质量为2kg 时，弹簧长13.5cm ．当所挂物体的质量为5kg 时，弹簧的长度为_______cm ，
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =
+≠，由待定系数法求出解析式，并把5x =代入解析
式求出对应的y 值即可．
【详解】解：设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =
+≠， 由题意，得12.513.52b k b = =+
， 解得：0.512.5k b = =
， 故y 与x 之间的关系式为：
0.512.5y x =+， 当5x =时，0.5512.515y =
×= ． 故答案为：15．
15. 如图，将DEF 沿FE 方向平移3cm 得到ABC ，若DEF 的周长为24cm ，则四边形ABFD 的周长为_______cm ．
【答案】30
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形周长等知识点，掌握平移的性质及等量代换成为解题的关键． 由平移的性质可得3cm AD BE ==,DE AB =,再根据DEF 的周长为24cm 可得24AB EF DF ++=，然后根据四边形的周长公式及等量代换即可解答．
【详解】解：∵将DEF 沿FE 方向平移3cm 得到ABC ，
∴3cm AD BE ==,DE AB =,
∵DEF 的周长为24cm ，
∴24DE EF DF ++=,即24AB EF DF ++=，
∴四边形ABFD 的周长为()243330cm AB BF DF AD AB BE EF DF AD AB EF DF BE AD +++=++++=++++=++=． 故答案为：30．
16. 水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的14
．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是
24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少33m ．设该市去年居民用水价格为3/m x 元，则可列分式方程为_______． 【答案】2824.5354
x x −= 【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为3/m x 元，则今年居民用水价格为35/m 4
x 元，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少33m ，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为3/m x 元，则今年居民用水价格为311/m 4x +
元，根据题意得： 2824.5354
x x −=． 故答案为：2824.5354
x x −=． 17. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，O 的半
径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计O 的面积，可得π内接正八边形近似估计O 的面积，可得π的估计值为_________．
【答案】【解析】
【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是
解题的关键．过点A 作AM OB ⊥，求得360845AOB ∠=°÷=°，根据勾股定理可得222AM OM OA +=，
即可求解．
【详解】
如图，AB 是正八边形的一条边，点O 是正八边形的中心，过点A 作AM OB ⊥，
在正八边形中，360845AOB ∠=°÷=°
∴AM OM =
∵1OA =，222AM OM OA +=，解得：AM =
∴1
2OAB S OB AM =××
∴正八边形为8
∴21π×
∴π=
∴π的估计值为
故答案为：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线l 的表达式为y x =，点1A 的坐标为，以O 为圆心，1OA 为半径画弧，交直线l 于点1B ，过点1B 作直线l 的垂线交x 轴于点2A ；以O 为圆心，2OA 为半径画弧，交直线l 于点2B ，过点2B 作直线l 的垂线交x 轴于点3A ；以O 为圆心，3OA 为半径画弧，交直线l 于点3B ，过点3B 作直线l 的垂线交x 轴于点4A ；……按照这样的规律进行下去，点2024A 的横坐标是_______．
【答案】10122
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作1B H x ⊥轴于点H ，依次求出234OA OA OA ，，，找出规律即可解决．
【详解】解：作1B H x ⊥轴于点H ，
12345,,,,B B B B B 均直线y x =上，
1OH B H ∴=，
145B OH ∴∠=︒，
)
1A ，11OA OB =，
11OB OA ∴==，
121,45B A l B OH ⊥∠=︒ ，
112OB B A ∴==
2112OA ∴===，
()22,0A ∴，
同理，22232OA OB B A ===，
在
3
32OA ∴===，
同理，4
4OA = 5
5OA = 2024
101220242OA ∴==，
即点2024A 的横坐标是10122，
故答案为：10122．
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19. （10(π 3.14)|22sin 60−−°+−；
（2）计算：2443111a a a a a −+ ÷+− −−
． 【答案】（1）1；（2）
22
a a −+． 【解析】
【分析】（1）先化简，然后计算乘法，最后算加减法即可；
（2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可．
【详解】解：（10(π 3.14)|2|2sin 60−−°+−
122=−+−−
12=−+−1=；
（2）2443111a a a a a −+ ÷+− −−
()2221311
a a a a −−−÷−− ()()()2211
22a a a a a −−×−+− 22
a a −=+．
【点睛】本题考查分式的混合运算、特殊三角形函数值、零次幂、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间x 分成五档：A 档：01x ≤<；B 档：12x ≤<；C 档：
23x ≤<；D 档：34x ≤<；E 档：4x ≤）
．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图；
（2）调查的男生劳动时间在C 档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时．
（3）学校为了提高学生的劳动意识，现从E 档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率．
【答案】（1）50，见详解
（2）2.5 （3）
16
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，中位数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）运用D 档人数除以D 百分比，得出调查的学生总数，再运用总数乘上E 档的百分比，即可作答． （2）根据中位数的定义，排序后位于中间位置的数为中位数，据此即可作答．
（3）依题意，得出E 档有2名男学生，有2名女学生，运用列表法得共有12种等可能的结果，再运用概率公式列式计算，即可作答．
【小问1详解】 解：依题意，()6726%50+÷=
（名） ∴本次调查中，共调查了50名学生；
的
则508%4×=（名）
∴422−=（名）
则E 档有2名男学生，有2名女学生,
补全条形统计图如图所示：
【小问2详解】
解：依题意，
5376223++++=（名）
本次调查的男学生的总人数是23名
∴则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第12名，
∵53853715+=++=，
∴第12名位于C 档
∵调查的男生劳动时间在C 2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．
则调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时，
故答案为2.5；
【小问3详解】
解：用A ，B 表示2名男生，用C ，D 表示两名女生，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种， ∴21126
P ==．
21. 如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，点E 在O 上，点C 是 BE
的中点，AE CD ⊥，垂足为点D ，DC 的延长线交AB 的延长线于点F ．
（1）求证：CD 是O 的切线；
（2）若CD =60ABC ∠=
°，求线段AF 的长． 【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含30°的直角三角形性质，是解决问题的关键．
（1）连接OC ，由OA OC =，
BC CE =，推出OCA DAC ∠=∠，得到OC AD ∥，由AE CD ⊥，得到CD OC ⊥，即得；
（2）由直径性质可得90ACB ∠=°，推出30DAC BAC ∠=∠=°，根据含30°的直角三角形性质得到3AD =，根据30F ∠=°，得到6AF =．
【小问1详解】
证明：∵连接OC ，则OA OC =，
∴OAC OCA ∠=∠，
∵点C 是 BE
的中点， ∴
BC CE =，
∴OAC DAC ∠=∠，
∴OCA DAC ∠=∠，
∴OC AD ∥，
∵AE CD ⊥，
∴CD OC ⊥，
∴CD 是O 的切线；
【小问2详解】
解：∵AB 是O 的直径，
∴90ACB ∠=°，
∵60ABC ∠=°，
∴9030BAC ABC ∠=°−∠=°，
∴30DAC ∠=
°，
∵CD =
∴3AD =，
∵()9030F
BAC DAC ∠=°−∠+∠=°， ∴26AF AD ==．
22. 如图，一次函数y mx n =
+（0m ≠）的图象与反比例函数k y x
=（0k ≠）的图象交于点(3,)A a −，()1,3B ，且一次函数与轴，y 轴分别交于点C ，D ．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式k mx n x
+>的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P ，使得4=△△OCP OBD S S ，求点P 的坐标．
【答案】（1）3y x
=，yy =xx +2 （2）30x −<<或1x >
（3）点P 坐标为3,44 −−
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点B 坐标代入反比例函数解析式，求出k ，再将点A 坐标代入反比例函数解析式，求出点A 坐标，最后将A ，B 两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
（2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题；
（3）根据OCP △与OBD 的面积关系，可求出点P 的纵坐标，据此可解决问题．
【小问1详解】
解：将()1,3B 代入k y x =得，31
k = ∴3k =， ∴反比例函数的解析式为3
y x =，
将(3,)A a −代入3y x
=得，313a ==−−， ∴点A 的坐标为(3,1)−−．
将点A 和点B 的坐标代入y mx n =
+得， 313m n m n −+=− +=
， 解得12m n = =
， ∴一次函数的解析式为yy =xx +2；
【小问2详解】
解：根据所给函数图象可知，
当30x −<<或1x >时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即k mx n x
+>， ∴不等式k mx n x
+>
的解集为：30x −<<或1x >． 【小问3详解】 解：将0x =代入yy =xx +2得，2y =，
∴点D 的坐标为(0,2)， ∴12112
=××=△OBD S ， ∴44OCP OBD S S ==△△．
将0y =代入yy =xx +2得，2x =−，
∴点C 的坐标为(2,0)−， ∴1242
OCP P S y =××= ， 解得4P y =．
∵点P 在第三象限，
∴4P y =−，
将4P y =−代入3y x =得，34
P x =−， ∴点P 坐标为3,44 −−
． 23. 随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有A 型和B 型两种车型，若购买A 型公交车3辆，B 型公交车1辆，共需260万元；若购买A 型公交车2辆，B 型公交车3辆，共需360万元．
（1）求购买A 型和B 型新能源公交车每辆各需多少万元？
（2）经调研，某条线路上的A 型和B 型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆A 型、B 型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
【答案】（1）购买A 60万元，购买B 型新能源公交车每辆需80万元；
（2）方案为购买A 型公交车8辆， B 型公交车2辆时．
线路的年均载客总量最大，最大在客量为760万人． 【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键．
（1）设购买A 型公交车每辆需x 万元，购买B 型公交车每辆需y 万元，根据“购买A 型公交车3辆，B 型公交车1辆，共需260万元；若购买A 型公交车2辆，B 型公交车3辆，共需360万元”列出方程组解决问题即可；
（2）设购买A 型公交车a 辆，则B 型公交车()10a −辆，由“公司准备购买10辆A 型、B 型两种新能源公交车，总费用不超过650万元”列出不等式求得a 的取值，再求出线路的年均载客总量为w 与a 的关系式，根据一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设购买A 型新能源公交车每辆需x 万元，购买B 型新能源公交车每辆需y 万元，
由题意得：326023360x y x y += +=
， 解得6080x y = =
， 答：购买A 型新能源公交车每辆需60万元，购买B 型新能源公交车每辆需80万元；
【小问2详解】
解：设购买A 型公交车a 辆，则B 型公交车()10a −辆，该线路年均载客总量为w 万人，
由题意得()608010650a a +−≤，
解得：7.5a ≥，
∵10a ≤，
∴7.510a ≤≤，
∵a 是整数，
∴8a =，9，10；
∴线路的年均载客总量为w 与a 的关系式为()7010010301000w a a a =
+−=−+， ∵300−<，
∴w 随a 的增大而减小，
∴当8a =时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为3081000760w =−×+=（万人次） ∴1082−=（辆）
∴购买方案为购买A 型公交车8辆，则B 型公交车2辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，
24. 在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，1AC =，3BC =．
（1）问题发现
如图1，将CAB △绕点C 按逆时针方向旋转90°得到CDE ，连接AD ，BE ，线段AD 与BE 的数量关系是______，AD 与BE 的位置关系是______；
的
（2）类比探究
将CAB △绕点C 按逆时针方向旋转任意角度得到CDE ，连接AD ，BE ，线段AD 与BE 的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若AD 交CE 于点N ，请结合图2说明理由；
（3）迁移应用
如图3，将CAB △绕点C 旋转一定角度得到CDE ，当点D 落到AB 边上时，连接BE ，求线段BE 的长．
【答案】（1）3BE AD =；AD BE ⊥
（2）一致；理由见解析
（3
）BE =
【解析】
【分析】（1）延长DA 交BE 于点H ，根据旋转得出1CD AC ==，3CE BC ==，
90ACD ACB ∠=∠=°，根据勾股定理得
出AD
，BE ，根据等腰三角形的性质得出
190452ADC DAC ∠=∠=×°=°，190452
CBE CEB ∠=∠=×°=°，根据三角形内角和定理求出180454590BHD ∠=°−°−°=°，即可得出结论；
（2）延长DA 交BE 于点H ACD BCE ∽△△，得出13
AD AC BE BC =
=，ADC BEC ∠∠=，根据三角形内角和定理得出90EHN DCN ∠=∠=°，即可证明结论； （3）过点C 作CN AB ⊥于点N ，根据等腰三角形性质得出12
AN ND AD ==
，根据勾股定理得出AB ==，证明ACN ABC ∽，得出AN AC AC AB =
，求出AN =，根据解析（2
）得出3BE AD == 【小问1详解】
解：延长DA 交BE 于点H ，如图所示：
的
∵将CAB △绕点C 按逆时针方向旋转90°得到CDE ，
∴1CD AC ==，3CE BC ==，90ACD ACB ∠=
∠=°，
∴根据勾股定理得：AD
，BE
∴3BE AD =，
∵CD AC =，CE BC =，90ACD ACB ∠=∠=°， ∴1
90452ADC DAC ∠=∠=×°=°，190452
CBE CEB ∠=∠=×°=°， ∴180180454590BHD ADC CBE ∠=°−∠−∠=°−°−°=°，
∴AD BE ⊥．
【小问2详解】
解：线段AD 与BE 的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下：
延长DA 交BE 于点H ，如图所示：
∵将CAB △绕点C 旋转得到CDE ，
∴1CD AC ==，3CE BC ==ACD BCE =∠，90DCE ACB ∠=∠=°， ∴13
AC
CD BC CE ==， ∴ACD BCE ∽△△， ∴13
AD
AC BE BC ==，ADC BEC ∠∠=， ∴3BE AD =；
又∵ENH CND ∠=∠，180HEN ENH EHN ∠+∠+∠=°，180CND CDN DCN
∠+∠+∠=°， ∴90EHN DCN ∠=∠=°，
∴AD BE ⊥；
【小问3详解】
解：过点C 作CN AB ⊥于点N ，如图所示：
根据旋转可知：AC CD =， ∴12
AN ND AD ==， ∵在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，1AC =，3BC =，
∴根据勾股定理得：AB ==
∵90ANC ACB ∠=∠=°，∠AA =∠AA ，
∴ACN ABC ∽， ∴AN AC AC AB
=，
即
1AN =，
解得：AN =，
∴2AD AN ==
根据解析（2）可知：3BE AD
==． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A −，(2,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点D 在直线BC 下方的抛物线上时，过点D 作y 轴的平行线交BC 于点E ，设点D 的横坐标为t ，DE 的长为l ，请写出l 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）连接AD ，交BC 于点F ，求
DEF AEF
S S △△的最大值． 【答案】（1）2y x x 2−− （2）()2
202l t t t =−+<< （3）1()3
DEF AEF S S = 最大 【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出(0,2)C −，再用待定系数法求出直线BC 的解析式为：2y x =−，可得出()
2,2D t t t −−，(),2E t t −，从而可得()22222l DE t t t t t ==
−−−−=−+，再求出自变量取值范围即可； （3）分四种情形：当02t <<时，作AG DE ∥，交BC 于G ，可得出DEF AGF ∽，从而DF DE AF AG
=，进而得出22211(1)333
DF t t t AF −+==−−+，进一步得出结果；当1t <−，10t −<<和2t >时，可得出DEF AEF S S △△没有最大值．
【小问1详解】
解： 抛物线2y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A −，(2,0)B 两点，
∴10420b c b c −+= ++=
， 解得12b c =− =−
， ∴该抛物线的解析式为：2y x x 2−−；
【小问2详解】
解：二次函数2y x x 2−−中，令0x =，则2y =−，
(0,2)C ∴−，
设直线BC 的解析式为：y kx m =
+．将(2,0)B ，(0,2)C −代入得到：
202k m m += =− ，解得12k m = =−
， ∴直线BC 的解析式为：2y x =−，
过点D 作y 轴的平行线交BC 于点E ，设点D 的横坐标为t ，
()2,2D t t t ∴−−，(),2E t t −，
()22222l DE t t t t t ∴==−−−−=−+，
点D 在直线BC 下方的抛物线上，
02t ∴<<；
【小问3详解】
解：如图1，
当02t <<时，
作AG DE ∥，交BC 于G ，
DEF AGF ∴ ∽， ∴DF
DE
AF AG =，
把1x =−代入2y x =−得，
=3y −，
3AG ∴=， ∴2221
1
(1)333DF
t t
t AF −+==−−+，
当1x =时，1
()3DF AF =最大， DEF
AEF
S DF AF S =
， ∴1
()3
DEF
AEF S S = 最大，
当2t >时，
此时222(2)2DE t t t t t =−−−−=−， ∴222(1)133
DF t t t AF −−−==， 1t > 时，22t t −随着t 的增大而增大， ∴DF AF
没有最大值， ∴(
)DEF AEF S S 没有最大值， 如图3，
当10t −<<时，
222(1)133
DF t t t AF −−−==， 当10t −<<时，22t t −随着t 的增大而减小， ∴DF AF
没有最大值， ∴(
)DEF AEF S S 没有最大值u ，
当1t <−时，
由上可知，
()DEF AEF
S S 没有最大值， 综上所述：当02t <<时，1(
)3DEF AEF S S = 最大． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．。