新人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试卷(有答案解析)(2)

一、选择题
1．下列命题中，其逆命题是真命题的有（ ）个
①全等三角形的对应角相等，② 两直线平行，同位角相等，③等腰三角形的两个底角相等，④正方形的四个角相等．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．如图，在ABC 中，D ，E 分别是,AB AC 的中点，12BC =，F 是DE 的上任意一点，连接,AF CF ，3DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度为（ ）
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
3．下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（ ）
A ．一组对角相等，一组邻角互补
B ．一组对边平行，另一组对边相等
C ．两组对边相等
D ．一组对边平行，且另一组对边也平行
4．四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ．给出下列四组条件：
①AB ∥CD ，AD ∥BC ；
②AB CD =，AD BC =；
③AO CO =，BO DO =；
④AB ∥CD ，AD BC =．
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）
A ．1组；
B ．2组；
C ．3组；
D ．4组． 5．如图，AB
E 、BC
F 、CD
G 、DA
H 是四个全等的直角三角形，其中，AE ＝5，AB ＝13，则EG 的长是（ ）
A ．2
B ．2
C ．7
D ．36．如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别为BC 、CD 上的点，
E 、
F 分别为AP 、RP 的中点．当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A ．线段EF 的长逐渐增大
B ．线段EF 的长不变
C ．线段EF 的长逐渐减小
D ．线段EF 的长与点P 的位置有关 7．如图，在Rt ABC 中，90C =∠，30A ∠=，D 是 AC 边的中点，D
E AC ⊥于点D ，交AB 于点E ，若83AC =，则DE 的长是（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
8．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME ⊥AC 于点E ，MF ⊥BC 于点F ，若点P 是EF 的中点，则CP 的最小值是（ ）
A ．1.2
B ．1.5
C ．2.4
D ．2.5
9．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ．点F ，G 分别是BC ，BE 的中点，则FG 的长为（ ）
A ．2
B ．52
C 10
D ．322
10．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8， ( )
A ．若∠ACP=45°， 则CP=5
B ．若∠ACP=∠B ，则CP=5
C ．若∠ACP=45°，则CP=245
D ．若∠ACP=∠B ，则CP=245
11．如图在ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，AOD △与AOB 的周长相差3，8AB =，那么AD 为（ ）
A ．5
B ．8
C ．11或5
D ．11或14 12．如图，在矩形纸片ABCD 中，BC a =，将矩形纸片翻折，使点C 恰好落在对角线交点O 处，折痕为B
E ，点E 在边CD 上，则CE 的长为（ ）
A ．12a
B ．25a
C ．3a
D ．3a 二、填空题
13．如图，在平行四边形ABCD 中，10,AB BAD =∠的平分线与BC 的延长线交于点E ､与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，ADC ∠的平分线交AB 于点M ，交AE 于点N ，连接DE ．若6DM =，则DE 的长为_______．
14．如图所示，在平行四边形ABCD 中2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 边于点E ，且4AE =，则AB 的长为______．
15．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成个正方形
和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的图形就用了这种分割方法若5AE =，正方形ODCE 的边长为1，则BD 等于___________．
16．在平面直角坐标系xOy 中，OABC 的三个顶点的坐标分别为
()()()0,0,3,0,4,3O A B ，则其第四个顶点C 的坐标为______．
17．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．
18．如图，矩形ABCD 中，10AD =，14AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE 沿AE 折叠，点D 的对应点为D ，若D 落在ABC ∠的平分线上时，DE 的长为_____．
19．在长方形ABCD 中，52
AB =，4BC =，CE CF =，CF 平分ECD ∠，则BE =_________．
20．如图，矩形ABCD 全等于矩形BEFG ，点C 在BG 上，连接DF ，点H 为DF 的中点，若20AB =，12BC =，则CH 的长为__________．
三、解答题
21．综合与实践：
问题情境：
数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形的旋转”开展数学活动．具体操作如下：
第一步：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD 和EFGH 叠放在一起，这时对角线AC 和EG 互相重合．
第二步：固定矩形ABCD ，将矩形EFGH 绕AC 的中点O 逆时针方向旋转，直到点E 与点B 重合时停止．
问题解决：
（1）奋进小组发现：在旋转过程中，当边AB 与EF 交于点M ，边CD 与GH 交于点N ，如图2、图3所示，请写出线段AM 与CN 始终存在的数量关系，并利用图2说明理由．
（2）奋进小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形MRNQ 时，如图3所示，请你猜测四边形MRNQ 的形状，并试着证明你的猜想．
探索发现：
（3）奋进小组还发现在问题（2）中的四边形MRNQ 中MQN ∠与旋转角AOE ∠存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，无需说明理由．
22．如图，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在BC 和CD 上，BE CF =，求证：AE AF =．
23．已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若CAD DBC ∠=∠． （1）求证：四边形ABCD 是正方形．
（2）E 是OB 上一点，DH CE ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OE OF =．
24．如图，菱形ABCD 的边长为2．2BD =，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足2AE CF +=．
（1）求证：BDE BCF △≌△；
（2）判断BEF 的形状，并说明理由．
25．在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以AC 为一边向外作等边三角形ACD ，点E 为AB 的中点，连接DE ．
（1）证明：//DE CB ；
（2）探索AC 与AB 满足怎样的数量关系时，四边形DCBE 是平行四边形，并说明理由．
26．如图，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆的中线．
（1）15ABE ∠=︒，40BAD ∠=︒，求 BED ∠的度数；
（2）若ABC ∆的面积为40，5BD =，则E 到BC 边的距离为多少．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
先把每一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．
【详解】
解：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三组角分别对应相等的两个三角形全等”，逆命题是假命题，故①不符合题意；
“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，逆命题是真命题，故
②符合题意；
“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“在一个三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，故③符合题意；
“正方形的四个角相等”的逆命题是“四个角相等的四边形是正方形”，逆命题是假命题，故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③．
故选：.B
【点睛】
本题考查的是命题与逆命题，命题真假的判断，正方形的判定方法，掌握由原命题得到逆命题，以及判断命题的真假是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据三角形中位线定理求出DE，根据题意求出EF，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=1
BC=6，
2
∵DE=3DF，
∴EF=4，
∵∠AFC=90°，E是AC的中点，
∴AC=2EF=8，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．
【详解】
A、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；
B、不能判定平行四边形，如等腰梯形；
C、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；
D、能用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形；
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
4．C
解析：C
【分析】
根据平行四边形的判定方法对①②③④分别作出判断即可求解．
【详解】
解：①AB ∥CD ，AD ∥BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；
②AB CD =，AD BC =，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；；
③AO CO =，BO DO =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；
④AB ∥CD ，AD BC =，无法判定四边形是平行四边形．
故选：C
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题关键． 5．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理求出BE ，证明四边形EFGH 为正方形，根据正方形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：在Rt △ABE 中，AE ＝5，AB ＝13，
由勾股定理得，BE 12，
∵△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 是四个全等的直角三角形，
∴∠AEB ＝∠BFC ＝∠CGD ＝90°，BF ＝CG ＝DH ＝AE ＝5，
∴∠FEB ＝∠EFC ＝∠FGD ＝90°，EF ＝EH ＝12﹣5＝7，
∴四边形EFGH 为正方形，
∴EG
，
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF的长不变．
【详解】
解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．
所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．
故选：B．
【点睛】
主要考查中位线定理．在解决与中位线定理有关的动点问题时，只要中位线所对应的底边不变，则中位线的长度也不变．
7．C
解析：C
【分析】
根据直角三角形的性质得到AB=2BC，利用勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求出DE．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
设BC=x，则AB=2x，
∴(2
22
=+，
x x
43
解得：x=8或-8（舍），
∴BC=8，
⊥，
∵D是AC边的中点，DE AC
∴DE=1
BC=4，
2
故选C．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
先由勾股定理求出AB=5，再证四边形CEMF是矩形，得EF=CM，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM=2.4，即可得出答案．
【详解】
解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=2222
345
AC BC
+=+=，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB=90°，∴四边形CEMF是矩形，
∴EF=CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP=1
2
EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积=1
2AB×CM=
1
2
AC×BC，
∴CM=
•
AC BC
AB
=
34
2.4
5
⨯
=，
∴CP=1
2EF=
1
2
CM=1.2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
连接CE，由矩形的性质和角平分线的性质可得AB=AE=3，可得ED=1，由勾股定理可求CE 的长，由三角形中位线定理可求FG的长；
【详解】
连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，AD∥BC，
∴∠CBE=∠AEB，
∵BE平分∠ABC.
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=3，
∴ED=AD-AE=4-3=1，
在Rt△CDE中
EC=2222
1310
DE CD
+=+=
∵点F、G分别为BC、BE的中点,
∴FG是△CBE的中位线，FG=1
2CE=
10
故选：C
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出EC的长度是解题的关键. 10．D
解析：D
【分析】
四个选项，A、C选项CP为顶角的平分线， B、D选项CP为底边上的高线，
根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线
等于24
5
，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不
是同一条，可得正确的为D选项．
【详解】
解：∵∠C=90°，点P在边AB上．BC=6，AC=8，
∴2222
8610
AB AC BC
+=+=，
当CP为AB的中线时，
1
5
2
CP AB
==，
若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线，∵BC≠AC，
∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；若∠ACP=∠B，如图2
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠ACP =90°，
∴∠APC=90°，即CP为AB的高线，
∵BC≠AC，
∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；
当CP为AB的高线时，
11
22
ABC
S AC BC AB PC =⋅=⋅
△
,
即11
8610
22
PC
⨯⨯=⨯⋅，解得
24
5
PC=,
故D选项正确，C选项错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．
11．C
解析：C
【分析】
根据平行四边形的性质可得BO=DO，再根据AOD
△与AOB的周长相差3，可分情况得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=AO，
∵AOD
△与AOB的周长相差3，
∴AB-AD=3，或AD-AB=3，
∵AB=8，
∴AD的长为5或11，
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
12．D
解析：D
【分析】
首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△EBC中求出CE即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，∠BCD=90°，
由翻折不变性可知：BC=BO，
∴BC=OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∴∠EBC=∠EBO=30°，
∴BE=2CE
根据勾股定理得：
3
a，
故选：D．
【点睛】
本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OBC是等边三角形．
二、填空题
13．【分析】先判定△ADF≌△ECF即可得到AF=EF依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得出AF⊥DM；再根据等腰三角形的性质即可得到DN=MN=3最后依据勾股定理即可得到AN与NE的长进而得出DE
解析：
【分析】
先判定△ADF≌△ECF，即可得到AF=EF，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出AF⊥DM；再根据等腰三角形的性质，即可得到DN=MN=3，最后依据勾股定理即可得到AN与NE的长，进而得出DE的长．
【详解】
解：∵点F为边DC的中点，
∴DF=CF=1
2CD=
1
2
AB=5，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠ECF，
∵∠AFD=∠EFC，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AF=EF，
∵CD∥AB，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
又∵AF平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴∠ADN+∠DAN=90°，
∴AF⊥DM，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
又∵DC∥AB，
∴∠BAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF=5，
同理可得，AM=AD=5，
又∵AN平分∠BAD，
∴DN=MN=3，
∴Rt△ADN中，AN=224
-=，
AD DN
∴AF=2AN=8，EF=8，
∴NE=AE-AN=12，
∴Rt△DEN中，DE=22317
+=，
DN EN
故答案为：317．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，判定AF⊥DM，利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
14．4【分析】根据平行四边形性质得出AB=DCAD∥BC推出∠DEC=∠BCE求出∠DEC=∠DCE推出DE=DC=AB得出AD=2DE即可求出AB的长【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=D
解析：4
【分析】
根据平行四边形性质得出AB=DC，AD∥BC，推出∠DEC=∠BCE，求出∠DEC=∠DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE，即可求出AB的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB，
∵AD=2AB=2CD，CD=DE，
∴AD=2DE，
∴AE=DE=4，
∴DC=AB=DE=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用；熟练掌握平行四边形的性质，证出DE=AE=DC是解决问题的关键．
15．【分析】设BD=x正方形ODCE的边长为1则CD=CE=1根据全等三角形的性质得到AF=AEBF=BD根据勾股定理即可得到结论【详解】解：设正方形ODCE 的边长为1则CD=CE=1设BD=x∵△AF
解析：3 2
【分析】
设BD=x，正方形ODCE的边长为1，则CD=CE=1，根据全等三角形的性质得到AF=AE，BF=BD，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：设正方形ODCE的边长为1，
则CD=CE=1，
设BD=x，
∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO，
∴AF=AE=5，BF=BD=x，
∴AB=x+5，AC=5+1=6，BC=x+1，
∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴（x+1）2+62=（x+5）2，
∴x=3
2
，
故答案为：3
2
．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．【分析】由题意得出OA=3由平行四边形的性质得出BC∥OABC=OA=3即可得出结果【详解】解：∵O（00）A（30）∴OA=3∵四边形OABC是平行四边形∴BC∥OABC=OA=3∵B（43）∴点
解析：()
1,3
【分析】
由题意得出OA=3，由平行四边形的性质得出BC∥OA，BC=OA=3，即可得出结果．
【详解】
解：∵O（0，0）、A（3，0），
∴OA=3，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=OA=3，
∵B（4，3），
∴点C的坐标为（4-3，3），
即C（1，3）；
故答案为：（1，3）．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17．18-【分析】过A作AE⊥y轴于EAD⊥x轴于D构造正方形AEOD再证
△AEB≌△ADC（SAS）得BE=CD由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出
OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】
解析：18-a．
【分析】
过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，构造正方形AEOD，再证△AEB≌△ADC（SAS），得BE=CD，由EB=EO-BO=9-a，可求CD=9-a，求出OC=OD+CD=9+9-a=18-a即可．
【详解】
过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，
A，
∵点()9,9
AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，
四边形AEOD为正方形，
⊥，∠EAD=90°，
∵AB AC
∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
=，AE=AD，
∵AB AC
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE=CD，
∵EB=EO-BO=9-a，
∴CD=9-a，
OC=OD+CD=9+9-a=18-a，
故答案为：18-a．
【点睛】
本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．
18．5或【分析】连接BD′过D′作MN⊥AB交AB于点MCD于点N作D′P⊥BC 交BC于点P先利用勾股定理求出MD′再分两种情况利用勾股定理求出DE【详解】解：如图连接BD′过D′作MN⊥AB交AB于点
解析：5或10 3
【分析】
连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．
【详解】
解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′=PD′，
设MD′=x，则PD′=BM=x，
∴AM=AB-BM=14-x，
又折叠图形可得AD=AD′=10，
∴x2+（14-x）2=100，解得x=6或8，
即MD′=6或8．
在Rt△E ND′中，设ED′=a，
①当MD′=6时，AM=14-6=8，D′N=10-6=4，EN=8-a，
∴a2=42+（8-a）2，
解得a=5，即DE=5，
②当MD′=8时，AM=14-8=6，D′N=10-8=2，EN=6-a ，
∴a 2=22+（6-a ）2， 解得103a =，即103
DE =. 故答案为：5或
103. 【点睛】
本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的． 19．【分析】延长CF 交EA 的延长线于点G 连接EF 过点F 作FH ⊥CE 于点H 过点E 作EM ⊥CF 于点M 由题意易得FH=FDFH=EMEC=EG 进而可得△CDF ≌△CME 然后可得CM=CD=由勾股定理可得BG=
解析：76
【分析】
延长CF ，交EA 的延长线于点G ，连接EF ，过点F 作FH ⊥CE 于点H ，过点E 作EM ⊥CF 于点M ，由题意易得FH=FD ，FH=EM ，EC=EG ，进而可得△CDF ≌△CME ，然后可得CM=CD=
52
，由勾股定理可得BG=3，设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，最后利用勾股定理可求解．
【详解】
解：延长CF ，交EA 的延长线于点G ，连接EF ，过点F 作FH ⊥CE 于点H ，过点E 作EM ⊥CF 于点M ，如图所示：
∵四边形ABCD 是矩形，4BC =，52AB =
∴BC=AD ，52
AB DC ==
，AB ∥DC ，∠D=∠ABC=∠CBE=90° ∴∠DCF=∠G ，
∵CF 平分∠ECD ，
∴∠DCF=∠ECF ，DF=FH ，
∴∠G=∠ECF ，
∴EC=EG ，
∴△ECG 是等腰三角形，
∴CM=MG ，
∵CE=CF ，
∴△ECF 是等腰三角形，
∵EM 、FH 分别是等腰三角形ECF 腰上的高线，
∴FH=EM=DF ，
∴Rt △CDF ≌Rt △CME （HL ）， ∴52
CM DC ==
， ∴CG=5，
∴在Rt △CBG 中，3BG =，
设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，
在Rt △CBE 中，222BC BE CE +=，
∴()22243x x +=+， 解得：76x =
， ∴76
BE =； 故答案为
76． 【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．
20．【分析】连接并延长交于Q 由矩形的性质得出由平行线的性质得出由证得得出则是等腰直角三角形得出由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果
【详解】如图所示：连接并延长交于Q ∵矩形全等于矩形∴∴∵点H 为的中点
解析：
【分析】
连接GH 并延长GH 交CD 于Q ，由矩形的性质得出20AB CD BG ===，
12BC FG ==，////,90FG AE CD GCQ ∠=，由平行线的性质得出
HFG HDQ ∠=∠，由ASA 证得HFG HDQ ≌，得出12DQ FG ==，HG HQ =，8CG BG BC =-=，8CQ CD DQ =-=，则GCQ 是等腰直角三角形，得出
GQ ==，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【详解】
如图所示：连接GH 并延长GH 交CD 于Q ，
∵矩形ABCD 全等于矩形BEFG ，
∴20AB CD BG ===，12BC FG ==，////FG AE CD ，90GCQ ∠=， ∴HFG HDQ ∠=∠，
∵点H 为DF 的中点，
∴HF HD =，
在HFG 和HDQ 中，HFG HDQ HF HD GHF QHD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴()HFG HDQ ASA ≌，
∴12DQ FG ==，HG HQ =，
20128CG BG BC =-=-=，20128CQ CD DQ =-=-=，
∴GCQ 是等腰直角三角形， ∴282GQ CQ =
= 在Rt GCQ 中，HG HQ =， ∴11824222
CH GQ ==⨯= 故答案为：2
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，通过作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
三、解答题
21．（1）AM CN =，理由见解析；（2）四边形MRNQ 为菱形，证明见解析；（3）MQN ∠=AOE ∠
【分析】
（1）结论：AM=CN ．先证明(AAS)AOS COT ≌
△△，推出AS CT =，OS OT =，34∠=∠，再证明(ASA)ESM GTN ≌△△即可解决问题．
（2）过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．首先证明四边形QMRN 是平行四边形，再证明QM=QN 即可．
（3）结论：∠MQN=∠AOE ．理由三角形的外角的性质以及平行线的性质即可解决问题．
【详解】
（1）关系：AM CN =
理由：如图：设EG 分别与AB 、CD 相交于点S 、T ；
∵四边形ABCD 与EFGH 都是矩形，且点O 为对角线的中点；
∴//AB CD ，//EF GH ，OA OC =，OE OG =；
∴12∠=∠；
又AOS COT ∠=∠
∴(AAS)AOS COT ≌
△△ ∴AS CT =，OS OT =；
∴ES GT =；
又//EF GH ，
∴56∠=∠；
又12∠=∠；
∴34∠=∠
∴(ASA)ESM GTN ≌
△△ ∴SM TN =，
则AS SM CT TN +=+
即AM CN =
（2）四边形MRNQ 为菱形．
证明：过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．
由题可知：矩形ABCD≌矩形EFGH
∴AD=EH，AB∥CD，EF∥HG
∴四边形QMRN为平行四边形，
∵QK⊥EF，QL⊥CD，
∴QK=EH，QL=AD，∠QKM=∠QLN=90°∴QK=QL，
又∵AB∥CD，EF∥HG，
∴∠KMQ=∠MQN，∠MQN=∠LNQ，∴∠KMQ=∠LNQ，
∴△QKM≌△QLN（AAS）
∴MQ=NQ
∴四边形MRNQ为菱形．
（3）结论：∠MQN=∠AOE．
理由：如图中，
∵∠QND=∠1+∠2，
∠AOE=∠1+∠3，
又由题意可知旋转前∠2与∠3重合，∴∠2=∠3，
∴∠QND═∠AOE，
∵AB ∥CD ，
∴∠MQN=∠QND ，
∴∠MQN=∠AOE ．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找确定的三角形解决问题，属于中考压轴题． 22．证明见解析．
【分析】
连接AC ，证ABE ACF ≌即可
【详解】
证明：连接AC ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB BC CD AD ===，AC 平分BCD ∠．
∵60B ∠=︒，
∴ABC 是等边三角形，
∴AB AC =，60∠=∠=∠︒=B BCA ACF ． ∴在ABE △与ACF 中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
．
∴
ABE ACF ≌．
∴AE AF =．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解此题的关键． 23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由菱形的性质得出//AD BC ，2,2BAD DAC ABC DBC ∠∠∠∠==，得出180BAD ABC ∠+∠=︒，证出BAD ABC ∠=∠，求出90BAD ∠=︒，即可得出结论；
（2）由正方形的性质得出11,,,22
AC BD AC BD CO AC DO BO ⊥===，得出90COB DOC ∠∠==︒，CO DO =，证出ECO EDH ∠∠=，证明
ΔΔ()ECO FDO ASA ≅，即可得出结论．
【详解】
证明：（1）四边形ABCD 是菱形，
//,2,2AD BC BAD DAC ABC DBC ∠∠∠∠∴==，
180BAD ABC ∴∠+∠=︒
CAD DBC ∠=∠
BAD ABC ∴∠=∠
2180BAD ∠∴=︒
90BAD ∴∠=︒，
∴四边形ABCD 是正方形；
（2）证明：四边形ABCD 是正方形，
11,,,22
AC BD AC BD CO AC DO BO ∴⊥===， 90,COB DOC CO DO ∠∠∴==︒=
DH CE ⊥，垂足为H ，
,9090DHE EDH DEH ∠∠∠︒︒∴=+=，
90ECO DEH ∠∠+=︒
ECO EDH ∠∠∴=，
在ΔECO 和ΔFDO 中，90ECO EDH CO DO COE DHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
，
ΔΔ()ECO FDO ASA ∴≅
OE OF ∴=．
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
24．（1）见解析；（2）等边三角形，理由见解析
【分析】
（1）由菱形ABCD 边长与对角线都是2，知ABD △和BCD △都是等边三角形．可得60BDE BCF ∠=∠=︒，BD BC =，可证BDE BCF △≌△；
（2）由BDE BCF △≌△，得DBE CBF ∠=∠，BE BF =，利用
=60DBF DBE DBF CBF ∠+∠=∠+∠︒．可证BEF 为等边三角形．
【详解】
（1）证明：
∵菱形ABCD 的边长为2，2BD =，
∴ABD △和BCD △都是等边三角形．
∴60BDE BCF ∠=∠=︒，BD BC =，
∵2AE DE AD +==，而2AE CF +=，
∴DE CF =，
∴BDE BCF △≌△；
（2）解：BEF 为等边三角形．理由如下：
∵BDE BCF △≌△，
∴DBE CBF ∠=∠，BE BF =，
∵60DBC DBF CBF ∠=∠+∠=︒°，
∴60DBF DBE ∠+∠=︒．
即60EBF ∠=︒．
∴BEF 为等边三角形．
【点睛】 本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质是解题解题关键．
25．（1）见解析；（2）AC ＝
12AB 【分析】
（1）首先连接CE ，根据直角三角形的性质可得CE ＝12
AB ＝AE ，再根据等边三角形的性质可得AD ＝CD ，然后证明△ADE ≌△CDE ，进而得到∠ADE ＝∠CDE ＝30°，再有∠DCB ＝150°可证明DE ∥CB ；
（2）当AC ＝12
AB 或AB ＝2AC 时，四边形DCBE 是平行四边形．根据（1）中所求得出DC ∥BE ，进而得到四边形DCBE 是平行四边形．
【详解】
解：（1）证明：连结CE ．
∵点E 为Rt △ACB 的斜边AB 的中点，
∴CE ＝12
AB ＝AE ． ∵△ACD 是等边三角形，
∴AD ＝CD ．
在△ADE 与△CDE 中，
AD DC DE DE AE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△CDE （SSS ），
∴∠ADE ＝∠CDE ＝30°．
∵∠DCB ＝150°，
∴∠EDC +∠DCB ＝180°．
∴DE ∥CB ．
（2）当AC ＝
12AB 或AB ＝2AC 时，四边形DCBE 是平行四边形， 理由：∵AC ＝12
AB ，∠ACB ＝90°，
∴∠B ＝30°，
∵∠DCB ＝150°，
∴∠DCB +∠B ＝180°，
∴DC ∥BE ，
又∵DE ∥BC ，
∴四边形DCBE 是平行四边形．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．
26．（1）55︒；（2）4．
【分析】
（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；
（2）过E 作BC 边的垂线即可得：E 到BC 边的距离为EF 的长，然后过A 作BC 边的垂线AG ，再根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】
解：（1）
BED ∠是ABE ∆的外角， 154055BED ABE BAD ；
（2）过E 作BC 边的垂线，F 为垂足，则EF 为所求的E 到BC 边的距离，
过A 作BC 边的垂线AG ，
AD ∴为ABC ∆的中线，5BD =，
22510BC BD ∴==⨯=，
ABC ∆的面积为40， ∴1
402BC AG ，即110402AG ，解得8AG =，
∵AD 为ABC ∆的中线， ∴11402022ABD ABC S S ，
又∵BE 为ABD ∆的中线，
∴1120102
2EBD ABD S S ， 则有：1151022BD EF
EF 4EF ∴=．
即E 到BC 边的距离为4．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．。