2010考研数学三真题及答案

2021考研数学三真题及答案
一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)假设0
11lim[()]1x
x a e x x
→--=，那么a 等于
〔Ａ〕０ 〔Ｂ〕１ 〔Ｃ〕２ 〔Ｄ〕３ (2) 设1y ,2 y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解. 假设常数λ,
μ使12y y λμ+是该方程的解,12 y y λμ-是对应的齐次方程的解, 那么
〔A 〕11,22λμ=
= (B)11,22λμ=-=- (C) 21,33λμ== (D) 22
,33
λμ== 〔3〕设函数(),()f x g x 具有二阶导数，且()0g x ''<。

假设0()g x a =是()g x 的极值，那么()()
f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是
(A)() 0f a '< (B)()0f a '> (C) ()0f a "< (D) ()0f a "< 〔4〕设()()()10
10ln ,
,x
f x x
g x x
h x e
===，那么当
x 充分大时有
(A)()()() g x h x f x << . (B) ()()()h x g x f x <<. (C)()()()f x g x h x <<. (D)()()() g x f x h x <<. (5) 设向量组12 :, ,, r I ααα⋅⋅⋅可由向量组12II : , ,, s βββ⋅⋅⋅线性表示, 那么列命题正确的选项是
(A) 假设向量组I 线性无关, 那么r s ≤ (B) 假设向量组I 线性相关, 那么r s >
(C) 假设向量组II 线性无关, 那么r s ≤ (D) 假设向量组II 线性相关, 那么r s >
(6)设A 为4阶对称矩阵,且2
0A A +=假设A 的秩为3,那么A 相似于
(A)1110⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦
(B)1110⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥
⎣
⎦
(C) 1110⎡⎤⎢⎥
-⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥
⎣⎦
(D) 1110-⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
⎣⎦
(7) 设随机变量X 的分布函数0,0
1(),0121,1
x
x F x x e x -<⎧⎪⎪
=≤<⎨⎪
⎪-≥⎩，那么{}1P X ==
(A) 0
(B) 1
(C)
1
12
e --
(D) 1
1e --
(8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度2()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,
12(),0()(0,0)(),0
af x x f x a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩为概率密度,那么,a b 应满足
(A)234a b += (B) 324a b += (C) 1a b += (D) 2a b += 二、填空题(9-14小题,每题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) 〔9〕设可导函数()y y x =由方程2
20
sin x y
x
t e dt x t dt +-=⎰
⎰确定，那么
______x dy dx
==
〔10
〕设位于曲线)y e x =
≤<+∞下方, x 轴上方的无界区域为G , 那么
G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为_________。

〔11〕设某商品的收益函数为()R p ，收益弹性为31p +, 其中p 为价格, 且()11R =, 那么()_______R p =
〔12〕假设曲线32 1y x a x bx =+++有拐点()1, 0-, 那么 ________ b =。

(13) 设
,A B 为
3阶矩阵, 且
, , ||,A B A B -==+=1322那么
|| _______ .A B -+=1
〔14〕设12,,
,n X X X 是来自总体2(,)(0)N μδδ>的简单随机样本。

记统计量
2
1
1n i i T X n ==∑，那么()_______E T =。

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写出文字说明、
证明过程或演算步骤.) 〔15〕(此题总分值10分)
求极限11ln lim (1)
x
x
x x →+∞
-
〔16〕(此题总分值10分) 计算二重积分
3
()D
x y dxdy +⎰⎰
,其中D
由曲线x =
与直线0x =
及0x =围成.
〔17〕(此题总分值10分)
求函数2u xy yz =+在约束条件22210x y z ++=下的最大值和最小值 . (18) (此题总分值10分)
(1)比拟
1
ln [ln(1)]n t t dt +⎰
与1
ln (1,2,)n t t dt n =⎰的大小,说明理由。

(2)记1
ln [ln(1)],(1,2,)n n u t t dt n =
+=⎰
求极限lim n n u →∞。

〔19〕(此题总分值10分)
设函数()f x 在闭区间[]0, 3上连续, 在开区间()0, 3内存在二阶导数, 且 2
2(0)()(2)(3)f f x dx f f =
=+⎰
(I) 证明存在() 0, 2η∈, 使得()()0f f η=； (II) 证明存在() 0, 3ξ∈, 使得()0f ξ''=。

(20) (此题总分值11分)
设1101011A λλλ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11a b ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
线性方程组AX b =存在两个不同的解. (1) 求,a λ；
(2) 求方程组AX b =的通解.
(21) (此题总分值11分)
设0141340A a a -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,正交矩阵Q 使得T
Q AQ 为对角矩阵.假设Q
T ,
求,a Q .
(22)(此题总分值11分)
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2
2
22(,)x
xy y f x y Ae -+-=，x -∞<<+∞，
y -∞<<+∞求常数A 以及条件概率密度()||Y X f y x 。

(23) (此题总分值11分) 箱中装有6个球, 其中红、白、黑球个数分别为1, 2, 3个, 现从箱中随机地取出2个球, 记X 为取出红球的个数, Y 为取出白球的个数 .
(I) 求随机变量(),X Y 的概率分布； (II) 求(),Cov X Y .
参考答案
一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)【分析】通分直接计算等式左边的极限，进而解出a .
【详解】由于0001111lim[()]lim
lim()x x x x
x x x x e axe e a e ae x x x x →→→-+---==+ 001lim
lim 1x
x x x e ae a x
→→-=+=- 从而由题设可得11a -=，即2a =，故应选〔C 〕
(2) 【分析】此题主要考察线性微分方程解的性质和构造
【详解】因为1y ,2 y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，所以 ()()()1122y p x y y p x y q x '+='+=---------------------------〔1〕 由于12y y λμ+是该方程的解,那么
()()1
212()()y y p x y y q x λμλμ''+++=即()()()1122()()y p x y y p x y q x λμ''+++= 将〔1〕代入上式可得：1λμ+=——————————————〔2〕 由于 12 y y λμ-是对应的齐次方程的解
那么()1
212()()0y y p x y y λμλμ''-+-=，即()()1122()()0y p x y y p x y λμ''+-+= 将〔1〕代入上式可得：0λμ-=——————————————〔3〕 由〔2〕、〔3〕可得1
2
λμ==。

故应选〔A 〕 ,
,s y 是一阶线性非齐次微分方程,,s k ，有以下结论：
1s k ++=，那么s s k y ++是方程0s k +
+=s s k y +
+是方程〔3〕【分析】此题主要考察导数的应用.求()()
f g x 的一、二阶导数，利用取得极值的必要条件及充分条件。

【详解】令()()
()F x f g x =，那么
()()()()()() F x f g x f g x g x ⎡⎤⎡⎤'='='⋅'⎣⎦⎣⎦,
()()()()()()()()()()()2
() { [] }[]F x f g x f g x g x f g x g x f g x g x ⎡⎤''="='⋅''="'+'⋅"⎣⎦
由()0g x a =是()g x 的极值知()00 g x '=。

于是有
0()0F x '=， 00()()()F x f a g x '''''=
由于()0g x ''<, 要使()()
00()0F x f g x ''⎡⎤''=<⎣⎦
, 只要()0f a '>.
因此应选(B)
〔4〕.【分析】计算两两比的极限便可得到答案
【详解】因为 1098()ln ln ln lim lim 10lim 109lim
()x x x x f x x x x
g x x x x
→+∞→+∞→+∞→+∞===⋅ ln 10!lim
x x x →+∞==1
10!lim 0x x
→+∞==,
1010
()1
lim
lim lim 0()1
10
x x x x x g x x h x e e →+∞→+∞→+∞===, 由此可知当x 充分大时,()()()f x g x h x <<，故应选〔C 〕。

(5) 【分析】此题考察向量组的线性相关性。

【详解】因向量组I 能由向量组II 线性表示，所以I II r r ≤（）（），即
1212(,,,(,,,
),r s r r s αααβββ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤）
假设向量组I 线性无关，那么12(,,,)r r r ααα⋅⋅⋅=，所以r s ≤. 故应选(A).
(6) 【分析】考察矩阵特征值、特征值的性质及实对称矩阵的性质。

【详解】由于2
0A A +=，所以()0A A E +=，由于A 的秩为3，所以A E +不可逆，
从而0,0A A E =+=，所以120,1λλ==-是矩阵A 的特征值。

假设λ是矩阵A 的特征值，那么2
0λλ+=，那么λ只能是0或1-。

由于A 是实对称矩阵，且A 的秩为3，所以其全部特征值为1,1,1,0---，因此应选〔D 〕 (7) 【分析】考察如何利用分布函数计算随机变量取值的概率。

【详解】由分布函数的性质可知：
{}{}{}1
1
1111(1)lim ()2
x P X P X P X F F x e -
-→==≤-<=-=- 故应选〔C 〕
(8) 【分析】考察概率密度的性质①()0f x ≥，②
()1f x dx +∞
-∞
=⎰
【详解】
由可得：212
1()x f x -=
，21
,13
()40,x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他
由概率密度的性质可知：()1f x dx +∞
-∞
=⎰
所以0
31210
01113
1()()()2424
a
f x dx b f x dx a f x dx b dx a b +∞
+∞-∞
-∞=+=+=+⎰
⎰
⎰⎰
因此应选〔Ａ〕
二、填空题(9-14小题,每题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) 〔9〕【分析】先由方程求出0x =时0y =，再两边对x 求导或两边微分。

【详解】法一：由
2
20
sin x y
x
t e dt x t dt +-=⎰
⎰，令0x =得0y =
等式两端对x 求导得 2
()220(1)(sin )sin x x y dy
e
t dt x x dx
-++=+⎰ 将0x =，0y =代入上式得：01x dy
dx
==-
法二：由
2
20
sin x y
x
t e dt x t dt +-=⎰
⎰，令0x =得0y =
等式两端对x 微分得 2
()220
()(sin )sin x
x y e
dx dy t dt dx x x dx -++=+⎰
将0x =，0y =代入上式得：0()0x dx dy
=+=，从而
1x dy dx
==-
〔10〕【分析】利用旋转体的体积公式即得。

计算时须注意这是一个反常积分。

【详解】2
2
21()lim[tan(ln )](1ln )44
e
e
x V y x dx dx arc x x x πππππ+∞
+∞
→+∞=
==-=
+⎰
⎰
〔11〕【分析】此题考察弹性的定义及可别离变量微分方程的解法，利用弹性的定义列方程，
然后解此微分方程
【详解】由弹性的定义知，收益弹性为
p dR
R dp
，由题设可得
31p dR
p R dp
=+，且()11R = 别离变量可得
21
()dR p dp R p
=+，两端积分得 31ln ln ln 3R p p C =++
从而方程通解为：3
3p R Cpe
=
由()11R =可得13
C e
-
=。

从而方程的特解为313p R pe
-=
由此可得收益函数为 31
3()p R p pe
-=。

〔12〕【分析】利用()1, 0-是曲线拐点的条件列方程解出b .
【详解】32 1y x a x bx =+++在整个实数区间上可导, 且 2 32 y x a x b '=++ ， 62y x a ''=+
因()1, 0-是曲线的拐点，有620a -+=即3a =. 又点()1, 0- 在曲线上, 于是 3
2
0 (1) 3 (1)(1)1b =-+-+-+，得3b =. (13) 【分析】此题考察矩阵的运算、行列式的性质. 【详解】由于() |()()|A B
AB E B AB AA B A B A B ------+=+=+=+1
11111
1||||3223A A B B ---=⋅+⋅=⋅⋅=11。

因此应填 3。

〔14〕【分析】此题考察重要统计量的数字特征，是一道非常根本的题. 【详解】根据简单随机变量样本的性质，12,,
,n X X X 相互独立且与总体同分布，即
2(,)i
X N μδ，于是2(),()i i E X D X μδ==，2222()()(())i i i E X D X E X δμ=+=+，
因此2222
11
11()()()n n i i i i E T E X E X n n δμ=====+∑∑。

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写出文字说明、
证明过程或演算步骤.) 〔15〕【分析】化为指数形式，用洛必达法那么及等价无穷小替换求极限。

【详解】1ln 11ln(1)ln(1)
lim
ln ln ln lim (1)
lim x x
x
x x e x x
x
x
x x x e
e
→+∞
--→+∞
→+∞
-==
ln ln ln 2ln 2
1()1ln 11ln lim
lim
lim
1ln 1
x x
x x
x
x x x x
x x
e x x e x
x
e x
x x
x
e x
e e
e
→+∞
→+∞→+∞'
---⋅⋅⋅-===
1ln lim
1ln x x x
e
e →+∞
--==
〔16〕【分析】被积函数展开，利用二重积分的对称性。

【详解】显然D 关于x 轴对称 , 且12D D D =⋃其中
{
1(,)0D x y y x =≤≤≤≤，
{2
(,)10,D x y y x =-≤≤≤≤
33223
()(33)D
D
x y dxdy x x y xy y dxdy +=+++⎰⎰⎰⎰ 233
2(3)(3)D
D
x y y dxdy x
xy dxdy =
+++⎰⎰⎰⎰
由于被积函数233x y y +是关于y 的奇函数，323x xy +是关于y 的偶函数，所以
1
1
33
2
320
()2(3)23)D
D x y dxdy x
xy dxdy dy x xy dx +=+=+⎰⎰⎰⎰⎰
1
4
2201
32(4
2
x x y dy =+
⎰
2241
2
220(1))32[(12)]42
y y y y dy +-=++-⎰
1
242201[(123)3(1)]2y y y y dy =
+-+-⎰ 123118614
(1)3()
=+-+-=
+= 〔17〕 【分析】此题为条件极值问题, 用拉格朗日乘数法。

【详解】令()()
222
,,, 2 10F x y z xy yz x y z λλ=++++-，
解方程组
22220220220
100x y
z F y x F x z y F y z F x y z λ
λλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨
'=+=⎪⎪'=++-=⎩-------------------------------------------------〔1〕
当0y ≠时，从方程组〔1〕可得22
22225100z x y x x y z =⎧⎪=⎨⎪++-=⎩
此时解得
12x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩和
12x y z =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
；
当0y =时，从方程组〔1〕可得2220
2100y x z x y z ⎧=⎪
=-⎨⎪++-=⎩
此时解得
0x y z ⎧=-⎪
=⎨⎪
=⎩
和
0x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩；
综上，可得(,,,)F x y z λ的如下六个驻点
1(1,P 、
2(1
P 、
3(1,2)P --、
4(12)P --、
5P 、
6(P -
代入2u xy yz =+可得：
1()u P =-
2()u P =
3()u P =
4()u P
=- 5()0u P =、 6()0u P =
从而所求最大值为
最小值为-
(18) 【分析】考察定积分性质、分部积分法和夹逼定理。

对(I)比拟被积函数的大小；对(II)用分部积分法计算积分
1
ln n t t dt ⎰
再用夹逼定理求极限。

【详解】(1)，由于0t >时，0ln(1)t t <+<，所以0[ln(1)]n n
t t <+<，从而
0ln [ln(1)]ln n n
t t t t ≤+≤ 从而由积分的保号性定理可得1
1
ln [ln(1)]ln n n t t dt t t dt +≤⎰
⎰(1,2,)n =
(2) 由(1)可知：1
0ln n n u t t dt ≤≤
⎰
，而
1
1
11
1ln ln ln 1n n
n t t dt t tdt tdt n +-=-=
+⎰⎰⎰
11102011[(ln )]1(1)
n n
t t t dt n n +-=
-=++⎰ 又因为2
1
lim
0(1)n n →∞=+，从而由夹逼定理可得：lim 0n n u →∞=。

〔19〕【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理
【详解】(I) 令0
()()x
F x f t dt =
⎰
，因()f x 在闭区间[]0, 2上连续, 所以()F x 在闭
区间[]0, 2上连续，在开区间(0,2)内可导，由拉格朗日中值定理得，至少存在一点
() 0, 2η∈, 使得 (2)(0)()(20)F F F η'-=⋅- ，即 2
0()2() f x dx f η=⎰
又2
2(0)()f f x dx =
⎰
，所以()()0f f η=。

命题〔I 〕得证。

(Ⅱ) 因()()() 20 23f f f =+， 即 (2)3)
(0)2
f f f +=
又函数()f x 在闭区间[]0, 3上连续, 从而(2)3)
(0)2
f f f +=介于()f x 在[]2, 3上
的最大值与最小值之间, 由介值定理知，至少存在一点[] 2, 3γ∈, 使得()() 0f f γ=
因此()f x 在区间[]0, η,[] , ηγ上都满足罗尔中值定理条件，于是至少存在点 10, ξη∈（）, 2, ξηγ∈（）,使得 12 ()()0f f ξξ'='=。

由()f x 在闭区间[]0, 3上连续, 在开区间()0, 3内存在二阶导数, 知()f x '在
[]12,ξξ上连续, 在()12, ξξ可导，用罗尔中值定理, 至少存在一点()()12 , 0, 3ξξξ∈⊂,
使得()0f ξ''=.
n x b <
<<()
n f x +
+(20)【分析】此题考察方程组解的判定与通解的求法. 由非齐次线性方程组存在2个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解.
【详解】(1) 由于线性方程组AX b =存在两个不同的解，所以该方程组有无穷多解，从而()()3r A r A =<。

又2
1111111101010101010111111011a A a a λλ
λ
λλλλλ
λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2
1
11
01010011a λλλλ⎡⎤
⎢⎥→-⎢
⎥⎢⎥-+-⎣
⎦
从而210
1010a λλλ⎧-=⎪
+-=⎨⎪-≠⎩
，解得：1,2a λ=-=-。

(2)当1,
2a λ=-=-时
31012111110201010200000000A ⎡
⎤-⎢⎥-⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥→-→-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
所以方程组的同解方程组为13232
12
x x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，从而原方程通解为：
31
(1,0,1)(,,0),(22
T T X k k =+-为任意常数〕。

(21) 【分析】此题考察实对称矩阵正交化问题.由Q 的列向量都是特征向量可得a 的值以及对应的特征值,然后由A 可求出另外两个特征向量,于是最终求出Q .
【详解】
(1,2,1)T T A λ=,于是 101413(1,2,1)(1,2,1)40T T
a a λ-⎡⎤
⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,即1(2,5,42)(1,2,1)T T a a λ++=从而
11,2a λ=-= 由于A 的特征多项式
132()
145551111
3
1
131(5)13141
4141r r r E A λ
λλλλλλλλλ
λλ
+-------=-=
-=----- (2)(5)(4)λλλ=--+ 所以A 的特征值为2,5,4-
由于方程组(5)0E A X -=的根底解系为(1,1,1)T η=-，所以属于特征值5的一个单位
1,1)T -； 又方程组(4)0E A X --=的根底解系为(1,0,1)T β=-，所以属于特征值4-的一个单位
特征向量为T
.
令0Q ⎤⎥⎥
⎥=⎥⎥,那么有200050004T Q AQ ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦,故Q 为所求矩阵.
(22)【分析】此题考察二维联合密度的性质与条件密度的计算，而求条件密度的本质还是
求边缘密度。

【详解】由概率密度的性质得
2
2
2
2
2
2
22()1x
xy y x y x x t dx Ae dy A e dx e dy A e dx e dt +∞
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
-+-------∞
-∞
-∞
-∞
-∞
-∞
===⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
A A π==
所以1
A π
=
，即2
2
221
(,)x xy y f x y e π
-+-=。

因为X 的边缘概率密度为
2
2
2
2
22()1
1
()(,)x
xy y x
y x X f x f x
y dy e dy e e dy π
π
+∞
+∞
+∞
-+-----∞
-∞
-∞
==
=
⎰
⎰
⎰
2
2
2
1
x
t x e e dt π
+∞
----∞
=
=
⎰
因此条件概率密度(
)22
2|(,)|()x xy y Y X X f x y f y x f x -+-=
=，x -∞<<+∞，y -∞<<+∞
(23) 【分析】此题是计算二维离散型随机变量的联合分布律与数字特征,第一问实际上为古
典概率问题.
【详解】(I) 易知X 的所有可能取值为0,1，
Y 的所有可能取值为0，1,2各值，由于 {},X i Y j ==表示取到i 个红球，j 个白球. 由古典概型得
{}{}23263
0,015
C P X Y P C =====取到两个黑球
{}{}11232
66
0,115C C P X Y P C =====取到一个白球与一个黑球 {}{}2
2261
0,215
C P X Y P C =====取到两个白球
{}{}11132
63
1,015C C P X Y P C =====取到一个红球与一个黑球 {}{}11212
62
1,115
C C P X Y P C =====取到一个白球与一个红球 {}{}1,20P X Y P ===∅=
于是故二维随机变量(),X Y 的概率分布为(表中最后一列与最后一行分别是关于X 和关于
(II) 由(Ⅰ)知：()3E X =， ()3E Y = ，()15
E XY = 于是2124(,) ()()()153345
Cov X Y E XY E X E Y =-=
-⋅=-。