初高中衔接2013版初高中衔接数学及参考答案

数学
代数部分
第一讲乘法公式
一、知识重点
1．平方差公式：(a b)(a b)a2b2﹒
2．完整平方公式：(a b)2a22ab b2；
(a b c) 2a2b2c22ab2bc 2ac ﹒
3．立方和公式：(a
2
a b
2
b)
3
a
3 b) (a﹒b
4．立方差公式：(a
2
a b
2
b)
3
a
3 b) (a﹒b
5．完整立方公式：(a b)3a33a2 b3ab 2b3；
(a b)3a33a2b3ab 2b3﹒
二、例题选讲
例 1、填空（ 1）(x3)( x3)(x 29)_______________ ﹒解：原式 = ( x29)( x29)x481 ﹒
（ 2）(2x1) 2( x2) 2______________﹒
解：原式 = 4
x 24
x
1 (
x
24
x
4)328
x
3
﹒
x
例 2、已知x 1
3 ，求以下各式的值：x
（ 1）x21；（ 2）x31﹒
x 2x3
解：（ 1）( x 1 )2x22x11x 21 2 ，
x x x 2x2
x 21( x 1 )2 2 9 2 7 ﹒x2x
(2)x 31( x 1
)( x 21 1 )3(7 1)18 ﹒
x3x x2
例 3、已知x y 2 ，求代数式 x3y36xy 的值．
解： x3y36xy( x y)( x2xy y2 )6xy
2( x2xy y23xy)2( x y) 28﹒
例 4、已知x y8, y z9, 试求代数式 x2y2z2xy yz xz 的值．解：x y8, y z9,x z 17 ，
x2y2z2xy yz xz 1
(2 x2 2 y22z22xy 2 yz2xz) 2
1
[( x y)2( y z) 2( x z) 2 ] 1 (8292172 )217
22
三、自我小结：
__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________四、稳固练习
1．计算(a b)(a b)(b c)(b c)( c a)( c a) _________．
2．计算(x y)22( x y)( x y)(x y)2=．3．2006220082004 =．
4．已知x 2
5x 1 0
21
，则 x x2
=
．
5．计算(31)(321)(341)(381) 1 316=．
2
6．计算1222324252622009220102+201122012 2﹒1234562009201020112012 7．已知a c 2 b ，则a2b2c22ab 2bc 2ac =．
8．已知x y 2 ，求代数式x3y36xy 的值．
9．已知x y 1, xy 3 ，试求以下各式的值：
（1）x2y2;
（ 2）x3y3 .
第二讲因式分解
一、知识重点
1．因式分解：把一个整式化为几个整式的乘积形式．
2．因式分解的基本方法：
（ 1）提公因式法ma mb mc m(a b c)
（ 2）运用公式法常有公式有：
① a 2b2(a b)( a b) ，
② a 22ab b2(a b)2，
③ a3b3(a b)(a2ab b2 ) ，
④ a33a2b3ab2b3(a b)3，
⑤ a 2b2c22ab2ac2bc(a b c) 2，
（ 3）十字相乘法：x2(a b)x ab( x a)( x b)
（4）配方法、添项拆项法，分组分解法
二、例题选讲
例 1、因式分解：
（ 1）x24x4；（ 2）x38 ；（3） x(a 2) 3y( 2 a) 3﹒解：（ 1）x24x4( x2)2
（ 2）x38 x323( x 2)( x22x 4)
（ 3）x(a 2)3y(2 a)3
= x(a2)3y( a 2) 3(a2) 3 (x y)
例 2 、因式分解
（ 1）x25x 6 ；（2） 2 x2x15 ；（3） 6x213x 6 ﹒解：（ 1）x25x6( x 2)( x3) ；
（ 2）2x2x 15 (2 x 5)( x3) ；
（ 3）6x213x6(2 x3)(3x2) ﹒
例 3、因式分解 x25xy 6y23x 6 y
解： x25xy 6y23x 6 y
( x 2y)( x3y)3(x2y)( x 2 y)( x3y 3)
例 4、因式分解a5a2b3a3b2b5
解： a5a2 b3a3b2b5
a2 (a3b3 ) b2 ( a3b3 ) (a3b3 )( a2b2 )
( a b) 2 (a b)(a2ab b2 )
三、自我小结：
__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________四、稳固练习
1．将以下各式分解因式：
（1）x3x2 y
__________________________________________________________________（2）x44
__________________________________________________________________（3）125x3y3
__________________________________________________________________（4）2x23x1
__________________________________________________________________（5）x2(a1)x a
__________________________________________________________________
（6）a33a23a 1
__________________________________________________________________（7）a2b22ab 2a 2b 1
__________________________________________________________________（8）12 x225xy12 y2
__________________________________________________________________（9）x22xy y2x y 6
__________________________________________________________________ 2．已知a2b 5 ， 3a 4b 6 ，求多项式3a22ab8b2的值．
第三讲因式定理
一、知识重点
定理1（因式定理）：若a是一元多项式a n x n a n 1x n 1a1 x a0 (n是非负整
数
) 的根，即 a n a n a n 1a n 1a1a a00 ，则多项式a n x n a n 1x n 1a1 x a0有一个因式 x a .
依据因式定理，找出一元多项式的一次因式的重点是求出该多项式的一个根，对于随意的
多项式，求出它的根是没有一般方法的，但是对于整系数多项式常用下边的定理来判断它
能否有有理根。

定理 2：若既约分数q
是整系数多项式a n x n a n 1x n 1a1 x a0的根，则必有p是 a n p
的约数， q 是a0的约数，特别地，当a n 1 时，该多项式的整数根均为a0的约数。

定理 3：若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。

二、例题选讲：
例 1、因式分解：x35x29x6﹒
剖析：将 x1,2,3, 6 (常数6的约数)分别代入原式，适当x 2 时，代数式的值为0，故原式有一次因式x 2 ﹒
法一：（分组分解法）x35x29x 6(x32x2 )(3x29x6)
x2 (x2)3(x2)( x1)
( x2)( x23x3) ﹒
法二：（待定系数法）
设 x35x29x 6(x 2)( ax2bx c) ，
x35x29 x6ax3(b2a) x2(c2b) x2c ，
a1,
a1,
b2a5,
故得b3,
c2b9,
c 3.
2c6,
所以x35x29x6( x2)( x23x3) ﹒
例 2、因式分解：2x313x2 3 ﹒
剖析： 2 的约数是1, 2 ，3的约数是1, 3 ，所以将x1, 3,3 ,1代入原式，适当
22
1
时，代数式的值为0，故原式有因式x 1
2x1﹒
x，也即原式有因式
22
解：法一： 2x313x 232x3x212 x23
x2 (2x1)3(2x1)( 2x1)
(2 x1)( x26x3) ﹒
法二：设 2x313 x23(2x1)( x2ax3)2x3(2a1) x2(a6) x3 ，故 a 6 ，
所以2x313x23(2x 1)( x26x3)﹒
例 3、因式分解：9x43x37x23x2﹒
剖析： 9 的约数是1, 3, 9, 2 的约数是1,2，所以将 x
2
,
121 1, 2,,,代入3399
原式，得 1 ,2是原式的根，故原式有因式x 1
, x2，
3333
又 ( x 1
)( x 2 ) x2 1 x 2 1 (9x23x2) ，33399
故原式有因式 9x 23x 2 ﹒
法 1：9x43x37 x23x 2 (9 x43x32x2 ) 9x23x 2
(x21)(9x23x2)
(x21)(3x1)(3x2) ﹒
法 2：设9x43x37x23x 2 (9x23x2)(ax2bx c) ，待定系数得 a 1,b 0,c 1 ﹒
即 9x43x37x23x 2 (9 x23x 2)( x21) ﹒
说明：若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，这样能够简化因式分解的过程﹒
三、自我小结：
__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________
四、稳固练习
将以下各式分解因式：
① x33x 2② 3x37x2 10
③
x 311231
x
21
④ x
4
4x 3 x
⑤ 2x35x21⑥ x3x210x6
⑦ x43x33x2 12 x 4⑧ 4x44x39x2x 2
第四讲 简单的一元二次不等式和分式不等式
一、知识重点
1．一元二次不等式
像 ax 2 bx c
0( 0) （ a 0 ）只含有一个未知数，并且未知数最高次数是
2 的不
等式叫做一元二次不等式．
2．经过初中的学习我们知道，一元一次方程，一次函数图象，一元一次不等式三者之间
有亲密联系。

那么一元二次方程，二次函数图象，一元二次不等式三者之间又有如何的关系呢？
以 x 2 x 2 0 为例来探究一下：
y
①方程根为 x 1
2 ， x 2
1
1
x
x 2
－ 2
O
② y
x 2图象如图，它与 x 轴交点的横坐
标为 x 1
2 ， x 2
1
③一元二次不等式
x 2
x
2 0 的解，即二次函数 y x 2
x
2 0，从图象上观
察即抛物线位于 x 轴上方的点对应的
x 的值的会合
此不等式的解集为 x 2 或 x 1 x 轴的交点
所以，求解一元二次不等式能够先解相应的一元二次方程，确立抛物线与
坐标，再依据图象写出不等式的解集．
以 a
0 为例，一元二次方程，二次函数图象，一元二次不等式三者关系以下表：
x x 1 或 x x 2
b
x
的全体实数
全体实数
2a x 1 x x 2
无解
无解
二、例题选讲
例 1、解以下一元二次不等式：
（ 1） x 2 7x 12 0 ； （ 2） x 2 2x 3 0 ； （ 3） x 2
2x 1 0 ；
（ 4） x 2
2x 2 0 ．
解：（ 1）方程 x 2 7x
12 0 的解为 x 1 3,x 2 4 ．
依据 y
x 2
7x 12 的图象，可得原不等式
x 2 7 x 12 0 的解为 x
3或x 4 ．
（ 2）不等式两边同乘以
1 ，原不等式可化为
x 2
2x
3
0 ．
方程 x 2 2x 3 0 的解为 x 1 3, x 2 1．
依据 y
x 2
2x
3的图象，可得原不等式
x 2
2x 3
0的解为 3 x 1．
（ 3）方程 x 2 2x
1 0 有两个同样的解 x 1 x
2 1 ．
依据 y
x 2
2x 1的图象，可得原不等式
x 2 2x
1 0的解 x 1的全体实
数．
（ 4）因为
0 ，所以方程 x 2
2x 2 0无实数解，
依据 y
x 2
2x 2 的图象，可得原不等式
x 2
2x
2 0 的无解．
注：此种情况高中数学称之为解集是空集﹒ 例 2、解以下不等式：
（1）
2
1；
（2）
2
x 1；
x
x
（ 3） 3x 4
19 ；
（ 4） x 2
1 m x m 0
解：（ 1）移项 2 1 0 ，通分： 2 x
0 ，
x
x
原不等式等价于：
(2 x) x 0 即 x( x 2) 0 ，
解为 x
0 或 x
2
（ 2）移项、通分，原不等式化简为
x 2
x 2 0 ，
x
等价于
x 2 x 2
x 2
x 2
x
或
x
x2或x1或2x1
x0x0
x 1或 2 x 0
原不等式的解为2x0或 x 1．
193x419 ，即3x
4
19
，解得x
23
（ 3）原不等式即3
3x419x15
原不等式的解为 5 x23 ．
3
（ 4）原不等式化简为(x 1)(x m)0 ．
由二次函数图象知：
当 m 1时，无实数解；
当 m 1时，解 m x 1；当 m
1时，解 1 x m ．
三、自我小结：
__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________四、稳固练习
1．解以下不等式：
（ 1）x2x 0 ；（2）x 4 x 10 ；
（ 3）3x25x 2 ；（4）x210 6x 1 ；
2．解以下不等式：
（ 1）x
20 ；（2）
1
1；32x x
（ 3）x 1
4 3 ；（4）x23x 1
5 ；2
（ 5* ）( mx1)( x 1)0 ．
第五讲一元二次方程的根的散布一、知识重点
1．一元二次方程的根与系数的关系：
设方程 ax2bx c0 ( a0) 的两根为 x1 , x2，则有：
b
， x1x2c
x1 x2﹒
a a
2．解决一元二次方程的根的散布问题，常用：
（1）应用根的鉴别式和根与系数关系进行议论；
（2）借助二次函数的图象进行实根散布的议论，学习数形联合的思
想．二、例题选讲
例 1、若方程x2(m3) x m0 的两根分别为x1， x2．
（ 1）若方程有两个正根，务实数m 的取值范围；
（ 2）若方程有一正一负根，务实数m 的取值范围．
（ 3）若方程有一个正根，一个负根且正杜绝对值较大，务实数m 的取值范围．(m 3)24m0
解：（ 1）x1 x2(m3)0 ，解得：0 m1
x1 x2m0
（ 2）(m3)24m0
0 x1 x2m0，解得：
m (m3)24m0
（ 3）x1x2( m3)0 ，解得：m0
x1 x2m0
例 2、务实数 m 的范围，使对于x 的方程 x22( m 1)x2m 6 0：（ 1）有两个实根，且一个比 2 大，一个比 2 小；
（ 2）起码有一个正根．
解：设方程 x22(m 1)x 2m 60 的两根为 x1, x2，则x1 x22(m 1), x1x22m 6 ，
（ 1）
，
，
2)( x2 2) 0x1 x2
(x12( x1 x2 ) 4 0 (m5)(m1)0m
或
5
，1, m
(2m6)2(m1)40m1
解得： m1
（ 2）起码有一个正根有两种状况：
4(m1)24(2 m6)0
① x10 且 x20 ，x1 x22(m1) 0，
x1x22m60
m 或
m5 1
解①得m13m1 m3
② x10 且 x20，4(m1)24(2m6)0 x1x22m60
m或m5
3
解②得
m3
m
由①②知 m 的取范是 m 1
明：
1．同学有没有注意到例2（ 1）中的0 是剩余的，稳固的第 6 也是这样，
一象要等到高中函数的象和性后才能获得正确解；
2．比率 2 更复的情况有好多，如：
①一根大于 2，另一根小1；
②一根介于 1 与 2 之，另一根大于5；
③一根介于 1 与 2 之，另一根介于3与 4之；
⋯⋯
些内容，高中本是没有的，但高考来在太重要了，当老随堂充，必定要掌握好
三、自我小：
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
四、稳固
1．已知方程kx2(1 k )x k0 有两个不相等的数根，k 的取范是．2．若一元二次方程(m1)x22( m1)x m0 有两个正根，m 的取范是．3．有一元二次方程x22(m1)x m20 ．当m，方程有一正根、一根．
4．方程2x24mx3m1 0 有两个负数根，则m的取值范围为．5．已知函数y(k 24k5) x24(1 k ) x 3 的图象都在x轴上方，务实数k的取值范围．
6k为什么值时，对于 x 的方
程2kx
2
2 x 3k 2 0
的两个实根一个小于
1
，另一
．当实数
个大于 1．
几何部分
第一讲 平行线及比率关系
一、知识重点
1．平行线均分线段定理： A 型， X 型
假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么在其他直线上截得的线段也相等．
推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必均分另一腰．
推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必均分第三边．
2．三角形中位线定理
A a
D 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
m
3．梯形中位线定理
E
F
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
注：梯形 ABCD 中， EF // AD // BC
n
若 AE
m
且 AD
mb na
a ， BC
b ，则 EF
B
C
EB
n
m n
b
4．比率性质
（ 1）合比性质：若
a c a
b
c d
a c a
b
c d
b d ，则
；若
，则
d
b d
b d b
（ 2）等比性质：若 a
c m
，且 b d n
0 ，那么
a
c m a b
d
n
b
d
n b
二、例题选讲
例 1、如图，在平行四边形 ABCD 中， E ， F 分别是 AB ，CD 的中点， DE ， BF 分别
交AC 于点M ，N ．求证： AM MN NC ．
剖析：要证 AM MN ，就要证 ME // BN ；要证 MN
NC ，就要证 FN // DM 。

即此题
的重点是证明 DE // BF ，故，只需证四边形
DEBF 是平行四边形。

详解：在
ABCD 中， DC // AB, DC
AB
DF // EB
又
F ,E 分别是 DC, AB 的中点
1
DC
1
AB EB
D
F
C
DF
M
N
2
2
四边形 DEBF 是平行四边形，
DE // BF ，即 ME // NB,FN // DM
A
E
B
又 E, F 分别是 AB, DC 的中点，
AM
MN, CN MN
AM MN
N ．C
例 2、如图，平行四边形 ABCD 中， E 在 AB 延伸线上，且
BE
1 ，DE 交 BC 于F ，若 BC 6 ，求 BF 的长．
AE
3
剖析：在
EAD 中， BF // AD .利用平行线均分线段定理，求得
BF ．
详解：在 ABCD 中， BF // AD
所以 EBF ∽ EAD
BF
EB
1
D
C AD
EA
3
F
BF 1
1 2
AD
BC
3
3
A
B
E
例 3、如图， AB// EF // CD ， AB 3， CD 6，求 EF ．
剖析：因 AB // EF // CD ，故在
DAB , BCD 中，利用平行线均分线段定理
EF
DF EF
BF ，从而求得 EF ．
C
得
DB ,
BD
AB
CD
详解：在
DAB 中， AB // EF ，故
EF
DF ， A
E
AB DB
EF
BF
在
BCD 中， EF // CD ，故 CD
BD
．
B
F
D
两式相加得：
EF
EF
BD 1
所以 EF
AB CD 2 ．
AB CD
BD AB CD
例 4、如图，
ABC 中， AM 为中线， D 为 AM 的中点， BD 的延伸线交 AC 于点 E ．
求证： AE
1
EC ．
2
A 型，X 型．
剖析：要证同一条直线上两条线段间的比率关系，只需利用平行线结构
此题作平行线的方法许多：①取
EC 中点 N ，连结 MN ；
②过 M 作MN//BE 交AC 于N ； ③过 A 作AF//BC 交 ④过 B 作 BG// AC 交 AM 的延伸线于 G ．
详解（法
1）：
取EC 中点 N ，连结 MN ．
M ,N 分别是 BC,EC 的中点 MN // BE
在 AMN ≥ 中， DE // MN ， D 为 AM 的中点，所以 E 为 AN 的中点，
B
BE 的延伸线于 F ；
A
E
D
M
C
1 AE
EN EC
AE
．EC
2
三、自我小结：
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
四、稳固练习
90，
AC
5
，若
．
中， C BC
24
，则 AC
， AB
．
1 Rt ABC
AB 13
2．已知 a : b :c
3:4:5 b
．
，则
c
a b
3．已知
x
y
7 ，则 y ．
x
y 2 x
x y z 2 y z 10 ，则 x 2 y 3z =
．
4．已知
3
，则 x
4
5
5．如图， 梯形 ABCD 中， AB //CD ， AB 15 ，CD 3 ， E 、G
是 DA 的三均分点，
F 、H 在BC 上， EF//GH//AB ，则
D C
E F
G
H
EF
， GH
．
B
A
6．如图，已知 OA
OB 3 ． A
OC
OD
2
求：（ 1）
OA
； D
O
AC
（2）
OA OB
．
B
C
OC OD
AP BQ 1
7．如图，
BC
．
AC 4
（1）求
AP
和
PC
；
PC
2
AC
3 （ 2）若 AP
， QC
5
，求 PC 和BC ．
2
8．如图， ABC 中，
CE
1
， FB
FE ，求
AD
．
CA 3
AB
A
P
B
Q
C
A
D
E
F
B
C
第二讲直角三角形中的射影定理一、知识重点
1．锐角三角函数的定义：
B
RT ABC 中，sin A BC ,cos A AC, tan A BC
AB BC AC
C 2．特别角的三角函数
三角函数值
300450三角函数
sin12
22
cos32
22
tan31
3
3．射影定理：
在 RT ABC 中，ACB 900，CD AB于D，
则 A C2 A D A；B BC 2BD BA； CD2AD BD
二、例题选讲
例 1化简： sin30 0cos60 0tan 450
解：原式 = 1
+1-1=0 22
说明：特别角的三角函数值要记牢，这是学好高中阶段三角函数的前提．例 2、如图，在直角A BC 中，CD为斜边AB上的高，已知AD 解：由射影定理CD2AD BD，得 CD 4 2，
CD2
于是 tan A=
AD2
A
600
3
2
1
2
3
C
B D A 8, BD 4 ，求tan A．
说明：求直角三角形斜边上的高的常用方法：（一）面积法，（二）射影定理．此题还有其他解决方法吗？如何求 sin A ？
例 3、正方形 ABCD 中，M 为 DC 的中点， N 为边 BC 上一点， BN=3NC ，设MAN，求 cos．
解：不如设正方形边长为4，
Rt ABN 中，AB4, BN 3 由勾股定理得AN 5 ;
Rt ADM 中，AD4, DM 2 由勾股定理得 AM20 ;
Rt NCM 中，NC1,CM 2 由勾股定理得 MN 5 ;
所以，MN2AM 2AN 2，从而AMN 90 ．
所以， cos 2025
．55
说明：此题综合性较强，解决此类问题时，能够逐一打破，尽量求出能求出的量，在此基
础上再做进一步剖析．
三、自我小结：
__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________四、稳固练习
1．在ABC中，C900 , AC 4, BC 3 ，则sin A．2．sin 450tan 600．
3．某人沿着坡角为的斜坡行进了 c 米，那么他上涨的高度为米．
4．在ABC中，A, B 均为锐角，且有 tan B32sin A 32
ABC 是
0 ，则
三角形．
2C
5．如图，在ABC中，若 A 300,B450, AC，则
2
BC=．
ABC中，CD A
C
B
6．如图，在直角为斜边 AB上的高，
BC 2, AD3，求AC．
B D A
7．如图，在平面上一点 C 处测得河对岸某塔AB 的顶端 A 的仰角为300，沿直线CB 向塔行进 20 米抵达点 D 处，再测得塔顶 A 的仰角为450，求塔高 AB （结果保存根）．
8．如图，在ABC 中，已知 C 900 , AC 6 3, BAC 的均分线AD=12，求ABC 中其他各边的长，各角的度数和ABC 的内切圆的半径的长．
C
D
A B
第三讲圆
一、知识重点
1．弦切角：极点在圆上，一边和圆订交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．
推论：假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等．
3．订交弦定理：圆内的两条订交弦，被交点分红的两条线段长的积相等．推论：假如弦与直径垂直订交，那么弦的一半是它分直径所成的两部分的比率中项．4．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线
段长的比率中项．
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等．二、例题选讲
例1、过不在圆上的一点P 作两订交直线与圆分别订交于A,B和C,D，求证：
PA PB PC PD﹒
剖析：要分点P 在圆内和圆外两种情况证明﹒
证明：如上图，当点P 在圆内时，连结AC, BD ，
在 PAC 和 PDB 中，
因为A D ， C B ，
所以PAC ∽ PDB ，
所以PA PC
，即 PA PB PC PD﹒
PD PB
B
C
P
A D
以以下图，当点P 在圆外时，连
结AC , BD ，
在 PAC 和 PDB 中，
因为PP， PAC D ，
所以PAC ∽ PDB ，
D
C
P
所以PA PC
，即 PA PB PC PD﹒
PD PB
A
B
综上可得：对随意不在圆上的点P ，都有结论建立﹒
例 2、已知圆中两条弦订交，第一条弦被交点分为12cm 和 16cm 两段，第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分红的两段的长．
解：设第二条弦被交点分红的两段的长为x cm 和y cm，则x y32
，x y12 16
所以 x 、y能够当作一元二次方程z232z12 16 0 的两个根，则 z232z12 16(z8)( z 24)，
x8x24
∴24或.
y y8
∴ 第二条弦被交点分红的两段的长为
8cm 和 24cm.
例 3、已知：如图， ⊙ O 的割线 PAB 交⊙ O 于点 A 和 B ，PA ＝ 6cm ，AB ＝ 8cm ，PO ＝10cm ，求⊙ O 的半径．
解：延伸 PO 交 ⊙O 于 D ，则 PA PB
PC PD .
B
A
设 ⊙O 的半径为 R ，则 PC 10 R ， PD 10 R ，
P
∴ 6 14 (10 R)(10 R)
R
2
16 ，
C
O
∴ R 4 （ cm ） .
例 4、如图，已知 AB 、 CD 是⊙ O 的弦，且 AB CD 于
C
M ， OH
1
AD 于H ．求证： OH BC ．
A
M B
2
证明：延伸 AO ，交 ⊙O 于 E ，连结 DE 、 AC ，
∵ AE 为圆的直径
O
H
∴ ADE 90 ，
∵ AO
OE ，OH AD
D
∴ OH
1
DE .
2
∵ ACMAED ，在 Rt △ACM 和 Rt △AED 中考虑，则可知 CAM EAD ，
∴ BC
1
DE ，∴ OH BC.
2
三、自我小结：
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
四、稳固练习
1．半径为 5 的圆中， A, B 是圆周上两点，圆心为
O ，点 O 到直线 AB 的距离是 4，则弦
长AB
．
C
C
O
O
A
M O A
M
O
A
B
A
B D
D
（第 1题） （第 2题） （第 3题） （第 4题）
2．等腰ABC 三极点A, B, C都在半径为5的圆上， AC BC ，且 AB8 ，则ABC 的面积是．
3． A 是半径为 4 的上圆O上的点， AO 的中点是 M ，弦CD过M，若 MC MD 1，则 CD．
4．M是圆 O半径 AO 的中点，弦 CD 过 M 且与 OA 垂直，若 CD 6，则圆 O 的面积是．
5．半径为4的圆中， AB 为直径，点 M 是 AB 延伸线上的一点，BM4，过M作直线与圆 O 订交于C,D，若 C 是 MD 的中点，则CD．
D T
C
P M B O A M B O A M N
Q
（第 5题）（第 6题）（第 7题）
6．半径为4的圆中， AB 为直径，点 M 是 AB 延伸线上的一点，BM4，过M作直线与圆 O 相切于 T，则MT．
7．半径分别为 2 5和4 5 的两圆订交于P, Q ，两圆圆心M , N 之间的距离是10 ，则PQ．
8．如图，割线PAB 、 PCD 分别交⊙ O 于 A 、B 和 C、 D，若 PC D C
P
＝ 2， CD＝ 16， PA∶AB=1 ∶ 2，求：线段AB 的长度
A
O
B
三、阅读资料
1．堆数奇景
数字固然特别一般，但又特别巧妙﹒我们的先人已经与数字打了几千年的交道了，人
们早就注意到并且在不停研究数字的一些风趣的性质，许多趣题向来流传到现在﹒下边我们一
同来进行这样一个游戏﹒
给你三个l，不用任何加减乘除运算符，请写出可能的最大数和最小数﹒
这件事其实不困难，我想不一会，大家必定能够写
出111 是最大数，而111 或许111是最小数，就是 1﹒
巧妙的事情在下边﹒请你试一试三个 2 的状况，再试一试三个 3 的状况，从而去探究一般有什么规律﹒
好多同学必定第一想去类推，看222能否是最小数，检查发现不对了，222不只不是最小数，反而变为了最大数；最小数仍是
22 216 ﹒
那么对于三个 3 的状况，可不可以够类推
333327仍是最小数呢?一检查发现又错了；这时 333 才是最小数，而333是最大数﹒
这几个风趣的例子说明数字的巧妙，也告诉我们，在数学上不要轻易从几个特例就下
结论，这简单造成错误或闹笑话﹒
那么对于从 l 到 9 这九个数，把任三个同样的数拿来堆放，不用任何四则运算符，它
们的最大数与最小数有什么规律呢 ?假如你再持续试下去，就会发现规律出来了﹒对三个 4 的状况：最小数是444，最大数是444﹒
对三个 5 的状况：最小数是555，最大数是555﹒
对 6，7， 8 的状况所有同样，直到9：
对三个9 的状况：最小数是999，最大数是999﹒
这个巧妙的事实自然不是靠把这些数每个都计算出来而知道的，因为
99 9是一个大得不行思议的数﹒打一个比喻吧，把地球的质量与一只蚂蚁的质量对比所得的数值，比起它
来还要小不知多少亿倍﹒
数学的伟大，不在于能宽泛的计算，而在于它严实的论证﹒
假如我们设 a 是一位的自然数，那么三个a 的不一样堆放形式能够构成以下四个数字：
aaa,aa a , a aa , a a a．
我们要做的事是比较这四个数的大小﹒
a a
对于 aaa 与 aa
的比较，我们只需稍作默算即可确立
a 从 2 开始至 9 都有 aaa aa .
对于 aa
a
11a ，
与 a aa 的比较，因为 aa 10a a
a
(11a) a 11a a a ， a aa
a 11a
(a a )11 ，
所以： aa
把两个式子相除：
a aa
(a a ) 11
( a a )10
( a a )10
(
a a
)10 ．（分母变大，分数值变小）
aa a
11a a a
11a
1110
11
aa
a
所以，只需 a
a
11，就有 a
a 1 ，即是 a
aa
aa
．
aa
因为，当 a
3 时， a a
必大于 11，所以起码从
3 开始就有 a
aa
aa a
﹒上边的推证分
母放得过大，其实 222 也大于 222﹒
最后我们来看 a aa 与 a a a 的状况﹒
因为 a aa
a 11a ，所以只需比较 11a 与 a a 的大小﹒这就很简单了，从
4 开始就有
11a a a ﹒至此我们圆满地解决了所有的问题，也发现了所有的规律﹒
上边我们进行的整个游戏过程是这样的：实践－察看－思虑规律－推证规律－指导实
践﹒这就是学习数学，发现数学的一整套方法，我们的先人就是沿这条曲折又充满探险的道路走过来的﹒
说到这里，许多同学必定会提出对于四个以致更多个的同样数，它们的堆法又如何
呢？能否也有规律？
对四个同样的数，可能有的组合是 8 种：
aaa
a a
, a aaa , a aa
aa
a
a
aaaa, aaa , aa , aa
,a aa , a a
同学们有兴趣的话能够试一试﹒我要告诉大家的是：规律必定是有的，但计算就要复
杂得多，此外还要用到对数（
高中数学必修 1 第 2 章）的数学知识，所以请恰到好处﹒
更多的风趣问题在等着我们去探究﹒
2．哥德巴赫猜想
18 世纪所提出的猜想中，最有名的当数哥德巴赫猜想．哥德巴赫是普鲁士派往俄国的
公使，常和欧拉通讯议论数学识题．1742 年 6 月 7 日他在给欧拉的信中说，每一个大于2的偶数是两个素数之和（此即所谓确实1+1， 4=2+2， 6=3+3， 8=5+3，等等．每一个大于
1 的奇整数是一个素数或许是三个素数之和．人们于是把这个断言称为" 哥德巴赫猜想" ． 174
2 年 6 月 30 日，欧拉在回信中说他相信这个猜想，可是不可以证明．1770 年光林把这个猜想宣布于世了，但整个18 世纪这个猜想的证明没有任何进展．
自然，假如我们对每个自然数进行查验，看哥德巴赫猜想能否建立，老是自然也就解
决了．老是在于，自然数有无穷多个，不论已经考证了多少个，也不可以下结论说下一个数
是建立的．所以，一位有名数学家说：哥德巴赫猜想的困难程度，能够和任何没有解决的
数学识题相匹敌．甚至有人把它比作数学王冠上的明珠．
摘取这颗明珠的数学家前仆后继．在20 世纪 30 年月，苏联数学家证了然每个大奇数
都能够表示为三个奇数之和，这个大奇数比10 的 400 万次方还要大，当前已知的最大素
数比这小得多．但离结论还差得很远，它也没证明奇数可否表示成三个奇素数之和．所以，数学家采纳分步走的方法，先证明一个近似于哥德巴赫猜想的问题，即先证明任何大于4的正整数，都能表示为 C 个素数之和（ C 是某个常数）．沿着这条路，数学家们先后证明
了：
C≤800000(1930 年 )
C≤2208(1935 年 )
C≤71(1936 年 )
C≤67(1937 年 )
C≤20(1950 年 )
1956 年中国的尹文霖证了然C≤ 18．
1920 年，挪威数学家布朗第一证了然(9+9) ，今后这方面的工作不停获得进展．
1957 年，我国数学家王元证了然(2+3) ．
1962 年，中国数学家潘承洞证了然(1+5) ，同年又和王元合作证了然(1+4) ．此后又有证人了然 (1+ 3) ．
(1+2) ，并于1973 年发布，立刻惊动了国际数学界．一1966 年，中国数学家陈景润证了然
位英国数学家称陈景润挪动了"群山 "．
只管由 (1+2) 到 (1+1) 只有一步之隔了，但这一步却有难以想象的困难．有很多半学家
以为，要想证明 (1+1) ，很可能一定创建新的方法，过去的路都是走不通的．
3．汉诺塔的传说
在印度，有么一个古老的：在世界中心拿勒斯（在印度北部）的圣里，一黄板上插
着三根宝石．印度教的主神梵天在造世界的候，在此中一根上从
下到上地穿好了由大到小的 64 片金片，就是所的塔．不白日黑夜，有一个僧在依据下边
的法移些金片，一次只移一片，不论在哪根上，小片必在大片上边．当所有的金片都从梵天
穿好的那根上移到此外一根上，世界就将在一声霹中消，梵塔、宇和众生都将同于尽．
不论个的可信度有多大，假如考一下把 64 片金片，由一根上移到另一根上，并且始保
持上小下大的序，一共需要移到多少次，那么，不：不论把哪
一片移到另一根上，移的次数都要比移上边一片增添一倍（当我学完高中数学必
修 5 第 3 章以后就能获得解）．，移第 1 片只需 1 次，第 2 片需 2 次，第 3 片需22，⋯⋯，第64 片需263次．所有次数：
1+2+22+⋯ +263=264
若是每秒一次，共需多呢？一年大有31536926 秒，算表示移完些金
片需要5800 多年，比地球寿命要，事上，世界、梵塔、宇和众生都已灰
烟．
和塔故事相像的，有此外一个印度：舍罕王打算国象棋的明人──宰相西·班·达依．国王他想要什么，他国王：“陛下，您在棋的第 1 个小格里我一粒麦子，在第 2 个小格里 2 粒，第 3 个小格 4 粒，此后每一小格都比
前一小格加一倍．您把棋上所有64 格的麦粒，都您的佣人吧！”国王
得个要求太简单足了，就命令他些麦粒．当人把一袋一袋的麦子搬来开始数
，国王才：就是把全印度甚至全球的麦粒全拿来，也足不了那位宰相的要求．
那么，宰相要求获得的麦粒究竟有多少呢？数
26364
1+2+2 +⋯ +2 =2-1
和移完塔的次数一，但个数字是天文数字，人估，全球两千年也以生么多麦子！
4．现代数学难题
我们在前方给你介绍了数学史上已经解决和还没有解决的世界难题﹒其实现代也有很多这样的难题，有些甚至就发生在我们的身边﹒
假如给你一个信口开河，答案是2×2cm2的正方形，问你在它内部能装填多少个直径为
4 个（如图（ 1））﹒
1cm的圆，你会
（图 1）
这也算世界难题吗？别忙，此刻请你看这样一个问题：
问题 1设有一个2×1000（单位略）的长方形L ，问在L 内能装填多少个直径为 1 的圆？
这时假如你照上边的方法去做，并且回答说，结果是2×1000＝ 2000 个﹒那么我要告
诉你，答案错了，并且这个貌似极简单的问题的确实确是此刻的世界难题﹒数学家们当前
获得的最好结果是：
（1）在 L 内最多能装 2111 个以上的圆﹒
（2）在 L 内装不下 2113 个圆﹒
L 内究竟可否装下 2112 个圆，到现在还不得而知﹒
这个结果是如何得出的呢？
对于（ 2）的证明太复杂，我们没法介绍﹒但对于（1）的证明其实不困难（如图（2）），
只需你学过勾股定理就能够看懂﹒
按图（ 2）的方法装填圆，把图中的 A 1A 2B 2B1作为一个计算单元﹒
第一步先在图（ 2）上当算 A 1B1（ A 1B1＝ AB ）的长﹒
如图（ 3），明显， AB ＝ AC ＋CB＝ 2H 1C＋ CB ．
由勾股定理 H1CCD 2DH 12CD 2(H1H 2 DH 2)2 CD 恰为两圆半径的和，所以CD＝ 1
A1B1
A D C B
E F G
2
B2
A
（ 2）
A1
H1C B
A
D
E H2 F
G
E1
（ 3）
DH 2是正三角形 DEF 的高，所以
3 DH 2＝
2
H 1H2是 EF 和 AC 两条平行的距离，注意AA 1是的半径， EE1也是的半径EE1＋ AA 1＝ 1．我能够算出H1H 2＝ 1．所以：
H C 1 (1 3 )2433，
122
AB24331 2.9819695 .
2
而 A 1B1是与 AB 相等的
L 中有 A 1A 2B2 B1的元共1000÷AB ＝335． 34884⋯≈ 335（个）
第1单元
第335单元
（图 4）
每个单元可装 5 个整圆和两个半圆（如图（ 4））啊第一个单元与第
335 个单元外面的
半个圆（图（
4）中带斜线的整圆的一半）没法再凑成整圆，而中间部分单元的半圆均可
凑成整圆，所以这 335 个单元总合可装填的圆数为：
333×6＋ 2×5＋ 1＝2009（个）．
可是 335 个单元用去的总长度是：
2．9819695×335＝ 998．9597825，所以 L 还余下长
度多于 1 的部分﹒假如我们把这一个单位的长度分为两均分补到第一个计算单元左侧和第
335 个计算单元右侧（图（
4）中的虚线部分） ，则两个带斜线的圆也包括在
L 中了﹒所以
L 中总合能够装下 2011 个圆﹒
第（ 3）个问题，证明还没有解决，或许有一天你们中有人做出它﹒
我们期望这一个问题：
在边长为 100000（单位略）的正方形里最多可装填多少个单位正方形？
答案明显很快可算出为 5
5
10
（个）．
10 ×10 ＝ 10
此刻把问题略加改变：
问题 2
在边长为 100000.1（单位略）的正方形里最多可装填多少个正方形？
有了问题 1 的教训，我们再不要轻易地下结论了﹒因为这时假如能装填
1010 个正方形，
那么，本来大正方形的两邻边会各余下
100000.1 0.1的长条﹒这两个长条的面积仍是很
大的，它们能否还能够利用呢？如何去利用它呢？
事实上确实能够利用，美国的学者格雷厄姆采纳下边的作法（如图（
5）（6）（ 7））：
50.1
C
50.1
Q
TP
B
5045
99950
A
50.1 51个
40
M
R
N
50.1
10 10
（图 5）
（图 6） （图 7）
他先把大正方形切割成图（ 5）中的 A ， B ， C 三块， A 中可装填单位正方形：
（ 99950） 2＝ 9990002500（个）．
地区 B 又按图（ 6）区分红两个直角三角形△ MRQ 和△ NPT 与平行四边形平行
四边形可按图斜放单位正方形， 每一小条放 51 个，而斜放的长条可放
RNTQ ﹒98049（同
学们可自己计算出这些数字） ，所以平行四边形中可装填单位正方形：
51×98049＝ 5000499（个）．
直角三角中按（7）的方法装填，可装填位正方形：
45＋ 40＋ 35＋⋯＋ 10＋ 5＝225（个）．
所以 B 中共可装填位正方形：
5000499＋ 2×225＝ 5000949（个）．
用同的方法可算出 C 内可装填位正方形：
4998000＋ 2×225＝ 4998450（个）．
原大正方形共可装填位正方形：
9990002500 ＋ 5000949＋ 4998450＝1010＋1899 （个）．
不过一种装填法那么能装填最多的位正方形的方法是怎的呢？个没有解决
似的有好多上边的波及到平面形的装填，假如立体形，状况就更丰富多彩了
数学稳固练习参照答案:
一、代数部分
第一讲乘法公式
1、(a b)( a b)(b c)(b c)(c a)(c a) a 2b2b2c2 c 2a20
2、解：(x y)22( x y)( x y)(x y) 22x 2 2 y 22( x2y 2) 4 y 2
3、解：20062200820042006 2(20062)(20062)2006 22006 2 44
4、解：x25x10, x1 5 ，x21( x1) 2252223
x x2x
1
5、解：原式 =(31)(3
2
6、解：12223242 1234
=1234561)(321)(341)(381)13161(3161)13161
2222 52622009220102201122012 2
5620092010
+
2012
2011
2011 2012 1 10061006
7、解：a2b2c22ab2bc2ac(a b c) 2224
8、解：x3y36xy(x y)( x2xy y2 )6xy2( x 2xy y 23xy )
2( x y) 22228
9．解：（ 1）x2y2( x y) 22xy 1 67
（ 2）x3y3( x y)(x2xy y2 ) 1 (7 3) 10
第二讲因式分解
1．将以下各式分解因式：
（ 1）x2(x y) 提取公因式（2）( x2)( x2 )( x22) 公式法（ 3）(5 x y)(25 x25xy y2 )公式法
（4）( x 1)(2x 1)十字相乘法
（ 5）( x a)( x 1)十字相乘法
（ 6）(a1)3公式法
（ 7） (a b 1)2 公式法（或分组后十字相乘法）
（ 8） (3 x 4y)(4 x 3y) 十字相乘法
（ 9） ( x y 3)(x y
2)
分组后十字相乘法
2． 3a 2
2ab 8b 2
(a 2b)(3 a 4b) 30
第三讲：因式定理
①解：试根得
x 1是原式的根，则原式有因式 x 1，故
x 3 3x 2 x 3
x 2 x 2 x( x 1)( x 1) 2( x 1) (x 1) 2 ( x 2)
②解：试根得 x
1 是原式的根，则原式有因式
x 1，故
3x 3 7x 2 10
3x 3 3x 2 10 x 2 10
3x 2 ( x 1) 10(x 1)( x 1) ( x 1)(3x 2
10 x 10)
③解：试根得
x 1是原式的根，则原式有因式
x 1 ，故
x 3 11x 2 31x 21 x 3 x 2 10x 2 31x
21
x 2 ( x 1) (x 1)(10x 21)
( x 1)( x 3)( x
7)
④解：试根得
x 1是原式的根，则原式有因
式
x 1 ，故
x 4 4x 3 x 4
1 4x 4 ( x 2
1)( x 1)(x 1) 4 x 4
(x 1)(x 3 x 2 x
3) ( x 1)( x 3 x 2
2x 2 x 3)
(x 1)(x 2 (x 1) ( x 1)(2x
3))
(x 1)2 (x 2
2x 3)
⑤解：试根得 x
1
1，故
是原式的根，则原式有因式 2x
2
2x 3 5x 2 1 x 2 (2x 1) 4x 2
1 x
2 (2 x 1) (2 x 1)( 2x 1) (2x 1)( x 2
2x 1)
⑥解：试根得 x 3
x 3
，故
是原式的根，则原式有因式
x 3 x 2 10 x 6 x 3 27 x 2 10x
21 ( x 3)( x 2 3x
9) ( x 3)( x 7)
(x 3)( x 2
4x 2)
⑦解：试根得 x 2 是原式的根，则原式有因式
( x 2)( x 2)
x 2 4 ，故
设 x 4
3x 3 3x 2 12 x 4 ( x 2 4)( x 2
ax 1)
x 4
ax 3 3x 2 4ax 4 ，故 a 3。