江西省丰城中学2015-2016学年高三上学期补习班周练数学试题(理科12.29)有答案

丰城中学高四年级数学周练试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．集合M ＝{4，－3m ＋(m －3)i}(其中i 为虚数单位)，N ＝{－9，3}， 若M ∩N ≠∅，则实数m 的值为( )
A ．－1
B ．－3
C ．3或－3
D ．3
2．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．若函数f (x )＝x －4
mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34
4．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在x ∈(－1，1]时，f (x )＝2x －2－x ，设a ＝f (2)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则( )
A ．c ＜a ＜b
B ．b ＜c ＜a
C ．c ＜b ＜a
D ．a ＜b ＜c
5．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32，0时，f (x )＝log 1
2(1－x )，则f (2011)＋f (2013)＝( )
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．0
6．已知圆
关于直线
对称，则
的取
值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－2
5 C ．－2 D ．2
8．在等比数列{a n }中，a 5·
a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 15
a 5＝( ) A ．3 B. 13 C ．3或13 D ．－3或－1
3
9. 已知k R ∈，则直线(1)2y k x =-+被圆02222=--+y x y x 截得的弦长的最小值为( )
A ．2
B ．1
C ．22
D ．2
10. 如图，正三棱锥S －ABC 中，∠BSC ＝40°，SB ＝2，一质点自点B 出发，沿着三
棱锥的侧面绕行一周回到点B 的最短路线的长为( )
A ．2
B ．3
C ．2 3
D ．3 3
11．已知函数f (x )的定义域为[－3，＋∞)，且f (6)＝2.f ′(x )为f (x )的导函数，f ′(x )的
图象如图所示．若正数a ，b 满足f (2a ＋b )<2，则b ＋3
a －2的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(3，＋∞)
B.⎝⎛⎭⎫
－92，3 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪(3，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫
－32，3
12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2x 3x ＋1，x ∈⎝
⎛⎦⎥⎤12，1，
－13x ＋16，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，12，
函数g (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6x －2a ＋2(a >0)．若
存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，1 二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．由直线y ＝x ＋2上的点向圆(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为____
____．
14．已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将数列中两个数的位置对换，得到一个等比
数列，则a 2＋b 2
c 2的值为________．
15．a ，b ，c 分别是△ABC 内角A 、B 、C 的对边，若c ＝23b ，sin 2A －sin 2B ＝3sin B sin C ，则A ＝________.
16．给出定义：若m －12<x ≤m ＋1
2(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }＝m ，在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：
①函数y ＝f (x )的定义域为R ，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，12； ②函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－12，12上是增函数； ③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期为1； ④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k
2(k ∈Z)对称． 其中正确命题的序号是________．
班级: _____ 姓名：____________学号：______得分：________ 一、选择题(每小题5分，共60分)
13． 14．
15．
_ ． 16
三． 解答题(2*10分)
17．已知几何体E —ABCD 如图D7－12所示，其中四边形ABCD 为矩形，△ABE 为等边三角形，且AD ＝3，AE ＝2，DE ＝7，点F 为棱BE 上的动点．
(1)若DE ∥平面AFC ，试确定点F 的位置；
(2)在(1)的条件下，求二面角E －DC －F 的余弦值．
18．已知圆
,4:22=+y x O P 为直线4:=x l 上的动点。

(1若从点P 到圆O 的切线长为32，求点P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长； (2)若点()(),0,2,0,2B A -直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为M ，N ，求证：直线M N 经过定点
1．D [解析] 由题可知－3m ＋(m －3)i 必为实数，则m ＝3，检验符合题意．
2．A [解析] a ＝b 时，圆心到直线距离d ＝|a －b ＋2|
2＝2，所以相切，若直线与圆相切时，有d ＝|a －b ＋2|2＝2，所以a ＝b 或a ＝－4＋b .
3．D [解析] 当m ＝0时，分母为3，定义域为R ；当m ≠0时，由题意mx 2＋4mx ＋3≠0对任意x ∈R 恒成立，∴Δ<0
∴0<m <34，综上0≤m <3
4，故正确选项为D.
4．D [解析] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期为2的周期函数． ∴a ＝f (2)＝f (2－2)，b ＝f (2)＝f (2－2)＝f (0)，c ＝f (3)＝f (3－2)＝f (1)， 又∵当x ∈(－1，1]时，f (x )＝2x
－2－x
，∴a ＝22－2
－2
2－2
＝224－4
22＜0，b ＝f (0)＝0，
c ＝f (1)＝2－12＝3
2＞0.∴a ＜b ＜c ，故选D.
5．1 [解析] f (2011)＋f (2013)＝f (1)＋f (0)＝－f (－1)＝1. 6. A
7.A [解析] sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos α
sin 2α＋cos 2α
＝(sin 2
α－sin αcos α)÷
cos 2α(sin 2α＋cos 2α)÷cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25，故选A.
8．C [解析] ∵a 5·a 11＝a 3·a 13＝3，a 3＋a 13＝4，∴a 3＝1，a 13＝3或a 3＝3，a 13＝1，∴a 15
a 5
＝a 13a 3＝3或1
3，故选C.
9.D
10．C [解析] 由于质点的运动是沿三棱锥的侧面，故把侧面展开后，所求的最小距离就是展开后点B 的两个位置之间的线段的长度．把该正三棱锥的侧面沿侧棱SB 展开成平面图形，则在三角形SBB ′中，SB ＝SB ′＝2，∠BSB ′＝120°，所求的最短路线的长度就是BB ′的长度，BB ′＝2BD ＝2 3.
11．A [解析] 根据函数f (x )导数的图象可知函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (6)＝2，
故a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，
b >0，
2a ＋b <6.
作出不等式组所表示的平面区域如图，根据b ＋3
a －2的几何意
义，其表示区域内的点与点P (2，－3)连线的斜率，根据斜率公式可得其取值范围是⎝⎛
⎭⎫－∞，－32∪(3，＋∞)．
12．A [解析] 函数y ＝2x 3x ＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，y ′＝6x 2(x ＋1)－2x 3(x ＋1)2＝2x 2(2x ＋3)(x ＋1)2>0，函数y ＝2x 3x ＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤12，1的值域是⎝⎛⎦⎤16，1，函数y ＝－13x ＋16，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12的值域是⎣⎡⎦⎤
0，16，故函数f (x )的值域是[0，1]．函数g (x )在[0，1]上的值域是⎣⎡
⎦⎤－2a ＋2，－3a 2＋2.根据题意，⎣⎡⎦⎤
－2a ＋2，－3a 2＋2∩[0，
1]≠∅，故只要0≤－2a ＋2≤1或0≤－3a 2＋2≤1或⎩⎪⎨⎪⎧
－2a ＋2<0，－3a 2＋2>1即可，解得12≤a ≤1或23≤a ≤43，即只要12≤a ≤4
3即可．
13.31 [解析] 切线长的长短由该点到圆心的距离来确定．圆心(4，－2)到直线y ＝x ＋2的距离d ＝|4＋2＋2|
2＝4 2.所以切线长最小值为(42)2－12
＝31.
14.516或17
4 [解析] 依题意，得
①⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，b 2＝ac 或②⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a 2＝bc 或③⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋c ＝2
b ，
c 2
＝ab ， 由①得a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是递减的等差数列”相矛盾；
由②消去c 整理得(a －b )(a ＋2b )＝0，又a >b ，∴ a ＝－2b ，c ＝4b ，a 2＋b 2c 2＝5
16； 由③消去a 整理得(c －b )(c ＋2b )＝0，又b >c ，∴c ＝－2b ，a ＝4b ，a 2＋b 2c 2＝17
4.
15．30° [解析] 由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ，又sin 2A －sin 2
B ＝3sin B sin
C ，则a
2
－b 2＝3bc ，即b 2－a 2
＝－3bc ，
由余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3b ＋c
2b ， 又c ＝23b ，则cos A ＝－3b ＋23b 2b ＝3
2，又0<A <π，故A ＝30°.
16．①③④ [解析] 可设x ＝m ＋t ，t ∈(－0.5，0.5]，则f (x )＝|x －{x }|＝|t |，函数的定义
域为R ，值域为⎣⎡⎦⎤
0，12，①正确；x ＝m ＋t ⇒x ＋1＝m ＋1＋t ，{x ＋1}＝m ＋1，则f (x ＋1)＝|t |
＝f (x )，所以③正确，x ＝m ＋t ⇒k －x ＝k －m －t ，{k －x }＝{k －m －t }＝k －m ，则f (k －x )＝|t |＝f (x )，所以④正确．
17．[解答] (1)连接BD 交AC 于点M ，若DE ∥平面AFC ， 则DE ∥FM ，点M 为BD 中点，则F 为棱BE 的中点． (2)AD ＝3，AE ＝2，DE ＝7，∴DA ⊥AE . 又四边形ABCD 为矩形，∴DA ⊥面ABE .
方法1：以AB 中点O 为坐标原点，以OE 为x 轴，以OB 为y 轴，以OM 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则DE →＝(3，1，－3)，CE →
＝(3，－1，－3)， 设平面DCE 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
DE ，→·n ＝0，CE ，→·
n ＝0，⎩⎨⎧
3x ＋y －3z ＝0，3x －y －3z ＝0. 令x ＝1，则n ＝(1，0，1)．
DF →＝⎝⎛⎭⎫32，3
2，－3，CF →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－3.
设平面DCF 的法向量m ＝(x ，y ，z )． ⎩⎪⎨
⎪⎧
DF ，→·
m ＝0，CF ，→·
m ＝0，⎩⎨⎧
32x ＋32y －
3z ＝0，32x －12y －
3z ＝0.
令x ＝2，则m ＝(2，0，1)．
设二面角E －DC －F 的平面角为θ，cos θ＝m ·n |m ||n |＝310
10.
方法2：设二面角E －DC －A 的平面角为α， 取AB 中点O ，CD 中点N ， EO ⊥平面ACD ，ON ⊥CD ，
∴∠ONE ＝α，tan α＝1.
同理设二面角F －DC －A 的平面角为β， tan β＝12.
设二面角E －DC －F 为θ，θ＝α－β，tan θ＝13，则cos θ＝310
10
18.【答案】(1) 切线长为.
4,32=∴OP 设
(),,40y P 则.00=y ().0,4P ∴
又 半径等于2，
.
3
,3tan π
=
∠∴=∠∴POC POC
∴弧长=.3
4232ππ=⨯ (2)设(),,4b P
则PA:(),26
+=x b y 与42
2=+y x ①联立，得：
()01444436222
2
=-+++b x b x
b
.3624,36272,36144422
2222b b y b b x b b x M M M
-=+-=∴+-=-∴ 设()
,0,1Q 则.12
82--=b b k QM
同理PB:
(),
22
-=x b
y 与①联立，得： ()016444222
2
=-+-+b x b x
b
.48,428,416422
2222b
b y b b x b b x N N N +-=++-=∴+-=∴
则
.12
82--=b b k QN
.QN QM k k =∴ ∴ 直线MN 经过定点().0,1。