2018年高考数学一轮复习 第五章 数列 第31讲 数列求和实战演练 理

2018年高考数学一轮复习 第五章 数列 第31讲 数列求和实战演练
理
1．(2016·北京卷)已知{}a n 为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝6.
解析：设等差数列{}a n 的公差为d ，∵a 1＝6，a 3＋a 5＝0，∴6＋2d ＋6＋4d ＝0，∴d ＝
－2，∴S 6＝6×6＋6×52
×(－2)＝6. 2．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{}a n 的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝－1n
. 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0.∴1S n －1S n ＋1
＝1，∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n
. 3．(2016·山东卷)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝3n 2
＋8n ，{}b n 是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.
(1)求数列{}b n 的通项公式；
(2)令c n ＝a n ＋n ＋1b n ＋n ，求数列{}c n 的前n 项和T n .
解析：(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5.
当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.
设数列{}b n 的公差为d .
由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧ 11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d .可解得b 1＝4，d ＝3.
所以b n ＝3n ＋1.
(2)由(1)知c n ＝n ＋
n ＋1n ＋n ＝3(n ＋1)·2n ＋1.
又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，
得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2
n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2
n ＋2]， 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]
2 ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋41－2n
1－2－n ＋1×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2.
所以T n ＝3n ·2n ＋2
.
4．(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{}a n 的前n 项和．已知a n ＞0，a 2
n ＋2a n ＝4S n ＋3.
(1)求{}a n 的通项公式；
(2)设b n ＝1
a n a n ＋1
，求数列{}b n 的前n 项和．
解析：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2
n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.
可得a 2n ＋1－a 2
n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，
即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2
n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．
由于a n ＞0，所以a n ＋1－a n ＝2.
又由a 2
1＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{}a n 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.
(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1
a n a n ＋1＝1
n ＋n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n ＋1－1
2n ＋3.
设数列{}b n 的前n 项和为T n ，则
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛
⎭⎪⎫12n ＋1－1
2n ＋3＝n
n ＋.。