高中数学 4.1 坐标系 4.1.3 球坐标系与柱坐标系知识导

4.1.3 球坐标系与柱坐标系
自主整理
1.在空间任取一点O 作为______________，从O 引两条______________的射线OX 和OZ 作为______________，再规定一个______________和射线OX 绕OZ 轴旋转所成的角的______________，这样就建立了一个______________.
答案:极点 互相垂直 极轴 单位长度 正方向 球坐标系
2.设P 是空间一点,用r 表示OP 的长度,θ表示以OZ 为始边,OP 为终边的角,φ表示半平面XOZ 到半平面POZ 的角.那么,有序数组(r,θ,φ)就称为点P 的______________.这里r 是______________,φ相当于______________,θ相当于______________.当r≥0,0≤θ≤______________，0≤φ＜______________时，空间的点（除直线 OZ 上的点）与有序数组（r,θ,φ）(r≠0,θ≠0)建立一一对应关系.
答案:球坐标 矢径 经度 纬度 π 2π
3.空间点P 的直角坐标（x,y,z ）与球坐标（r,θ，φ）之间的变换关系为：____________________________.
答案:⎪⎩
⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin θϕθϕθr z r y r x
4.在平面极坐标系的基础上，增加垂直于此平面的OZ 轴，可得______________. 答案:空间柱坐标系
5.设P 是空间一点，P 在过O 且垂直于OZ 轴的平面上的射影为Q ，取OQ=ρ，∠XOQ=θ，QP=z.那么，点P 的柱坐标为有序数组（ρ，θ，z ）.当ρ≥0，0≤θ＜2π，z∈R 时，空间的点（除直线OZ 上的点）与有序数组（ρ，θ，z ）（ρ≠0）建立一一对应关系. 高手笔记
1.设空间中一点M 的直角坐标为（x,y,z ）,点M 在xOy 坐标面上的投影点为M 0，连结OM 和OM 0.
如图所示，设z 轴的正向与向量OM
的夹角为θ，x 轴的正向与0OM 的夹角为φ，M 点到原点O 的距离为r,则由三个数r,θ,φ构成的有序数组（r,θ,φ）称为空间中点M 的球坐标.若设投影点M 0在xOy 平面上的极坐标为（ρ，θ），则极坐标中的θ′就是球坐标中的φ，在球坐标中限定r≥0,0≤φ＜2π,0≤θ≤π.
2.在空间球坐标系中，方程r=r 0(r 0为正常数)表示球心在原点，半径为r 0的球面；方程φ=φ0（0≤φ0＜2π）表示过z 轴的半平面，它与xOz 坐标面的夹角为φ0；方程θ=θ0（0≤θ0≤π）表示顶点在原点，轴截面顶角为2θ0的圆锥面，且中心轴是z 轴，θ0＜2
π时它在上半空间，
θ0＞2π时它在下半空间，θ0=2
π时它是xOy 平面，如图所示.
3.设空间中一点M 的直角坐标为（x,y,z ），M 点在xOy 坐标面上的投影点为M 0，M 0点在xOy 平面上的极坐标为（ρ，θ），如图所示，则三个有序数ρ，θ，z 构成的数组（ρ，θ，z ）称为空间中点M 的柱坐标.在柱坐标中，限定ρ≥0，0≤θ＜2π，z 为任意实数.由此可见，柱坐标就是平面上的极坐标，加上与平面垂直的一个直角坐标.
名师解惑
在研究空间图形的几何特征时，应该怎样建立坐标系？
剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等.
坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化.不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题.
当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建立空间直角坐标系.
有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题.
有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系. 讲练互动
【例题1】已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为AB=14,AD=6,AA 1=10,以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标.
思路分析：此题考查空间直角坐标、柱坐标、球坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找出它们的相同和不同来.
如图，C 1点的x,y,z 分别对应着CD 、BC 、CC 1；C 1点的ρ,θ,z 分别对应着CA 、∠BAC、CC 1；C 1点的（r,θ，φ)分别对应着AC 1、∠A 1AC 1、∠BAC. 解：C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为(232,arctan 7
3,10)，C 1点的球
坐标为(332,arccos 33210
,arctan 7
3).
绿色通道
另外，点B 的空间直角坐标为（14，0，0），柱坐标为（14，0，0），球坐标为（14，2
π,0）；点A 1的空间直角坐标为（0，0，10），柱坐标为（0，0，10），球坐标为（10，0，0）. 变式训练
1.设点M 的直角坐标为（1，1，2），求它的球坐标.
思路分析：利用球坐标与直角坐标的坐标变换公式求解.
解：由坐标变换公式，可得r=2)2(11222222=++=++z y x . 由rcosθ=z,得cosθ=r 2=22.∴θ=4π.又tanφ=x y =1,∴φ=4
π(M 点在第一卦限)，故M 点的球坐标为（2，4π，4
π）. 【例题2】一个圆形体育场看台，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区,…,十六区，我们设看台第一排与体育场中心的距离为200m ，且与中心水平，每相邻两排的间距为1m ，每层看台的高度为0.7m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来.
解：以圆形体育场中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线为极轴，在地面上建立极坐标系.则点A 与体育场中轴线OZ 的距离为203m ，极轴OX 按逆时针方向旋转
1617π,就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.1 m ，因此点A 的柱坐标为(203,1617π,2.1). 绿色通道
找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度.
变式训练
2.经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器的坐标.
思路分析：在赤道平面上，我们选取地球球心为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线OX 为极轴，建立平面极坐标系，在此基础上，取以O 为端点且经过北极的射线OZ （垂直于
赤道平面）为另一条极轴，如图建立一个球坐标系
.
解：在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线为极轴，建立球坐标系.由已知航天器位于经度80°处，可知φ=80°.由航天器位于纬度75°处，可知θ=90°-75°=15°.由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.
即航天器的球坐标为(8 755,15°,80°).
教材链接
［P 11思考］
在地球同步通讯卫星的问题中，建立适当的球坐标系，并运用球坐标表示三个地球同步通讯卫星的位置.
答：以地球球心为极点O ，以O 为端点且经过一颗卫星的射线为OX 轴，垂直于赤道平面的射线为OZ 轴，建立球坐标系.则三颗同步通讯卫星的球坐标分别为（36 000，2π），（36 000，2π,32π）,（36 000，2
π，34π）. ［P 13思考］
由柱坐标系的意义，你能找出空间一点的柱坐标与直角坐标的关系吗？
答：空间点P 的直角坐标（x,y,z ）与柱坐标（ρ，θ，z ）之间的变换公式为⎪⎩
⎪⎨⎧===.,sin ,cos z z y x θρθρ。