【中考】锐角的三角比

图6
（SR7大华梅以良） 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，a ＝10，则c ＝___________.
【解直角三角形】
（SR4延西数学组21）已知：如图，在△ABC 中，30A ∠=，45B ∠=，AC=8，点P 在线段AB 上，联接CP ，且3
4
cot APC ∠=． （1）求CP 的长；
（2）求BCP ∠的正弦值．
【参考答案】：1)CP=5 2)sin BCP ∠=
10
2
（SR4延西数学组21）（本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分）
已知：如图6，C 是线段BD 上一点，,,90,AB BD ED BD ACE ⊥⊥∠=︒tan =2，ACB ∠4,AB = 3.ED = 求：（1）线段BD 的长； （2）AEC ∠的正切值.
【参考答案】1)BD=8; 2) tan AEC ∠=
3
2
【参考答案】
(1)解：∵在⊙O 中，OD ⊥弦AB ∴
1
2
AC BC AB ==
……………1分 ∵
8AB =
∴
4AC BC == ……………………………………………1分
设OA 为x ，则OD OA x == ∵2CD = ∴2OC x =-
在Rt △ACO 中，222AC OC AO +=
∴2
2
2
4(2)x x +-=，……………………………………………………………2分 解得5x =，∴5OA =………………………………………………………1分 （2）解：联结BE
∵OA OE =，AC BC = ∴OC BE ∥且1
2
OC BE =
……………1分 ∴90EBA OCA ==∠∠°…………………………………………………1分 ∵523OC OD CD =-=-= ∴6BE = …………………………1分 在Rt △ECB 中，222BC EB EC +=
∴22246EC +=， ∴213EC = ………………………………………2分
（SR4静安盛社增21）（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分） 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，BD ⊥CD ，12AB =，4
3
cot ADB ∠=． 求：（1）∠DBC 的余弦值； （2）DE 的长．
【参考答案】： 解：（1）在△ABD 中，AD
cot ADB AB
∠=
， 1分 ∴
4312
AD
=
，16AD =． 1分 ∴BD =2222121620BD AB AD =
+=+=． 1分
∵AD ∥BC ，
∴∠DBC =∠ADB ， 1分
∴164
205AD cos DBC cos ADB BD ∠=∠=
==． 1分 （2）在Rt △BCD 中，BD
cos DBC BC
∠=， 1分
∴4205BC
=，25BC =． 1分 ∵AD ∥BC ， ∴1625DE AD BE BC ==． 1分 ∴1641
DE BD =． 1分 ∴1616320
20414141
DE BD ==⨯=
． 1分
A
B
E
D
（SR1长宁天山王鹏22）（
10分）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A 是栏 杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF 段距离地面的高度（即直线EF 上任意一点到直线BC 的距离）． （结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）
依据：22题一直是一道应用题，今年考察解直角三角形的应用和一次函数的应用这两个知识点的概率比较大。

（SR4静安熊慧萍）某厂家新开发的一种摩托车如图所示，它的大灯A 射出的光线AB 、AC 与地面MN 的夹角分别为8°和10°，大灯A 离地面距离1 m ． （1）该车大灯照亮地面的宽度BC 约是多少（不考虑其它因素）？
（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2 s ，从发现危险到摩托车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离，某人以60 km/h 的速度驾驶该车，从60 km/h 到摩托车停止的刹车距离是
3
14
m ，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求，请说明理由．（不考虑车轮的长度） （参考数据：sin8°≈
254
，tan8°≈71，sin10°≈509，tan10°≈28
5）
【参考答案】
（1）过A 作AD ⊥MN 于点D ， 在Rt △ACD 中，tan ∠ACD =
5
28AD CD =，
CD =5.6（m ）， 在Rt △ABD 中，tan ∠ABD =1
7
AD BD =，
BD =7（m ）， ∴BC =7-5.6=1.4（m ）．
答：该车大灯照亮地面的宽度BC 是1.4m ；
M B C N
13题图
B
A
（2）该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．
理由如下：∵以60 km/h的速度驾驶，
∴速度还可以化为：
50
3
m/s，
最小安全距离为：
50114
+=8
353
⨯（m），
大灯能照到的最远距离是BD=7m，
∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．
【仰角俯角】
（SR3虹口四川北路马静静15）（SR7大华高安琳）如图，若某人在距离大厦BC底端C处200米远的A地测得塔顶B的仰角是30°，则塔高BC=米．（3 1.732
≈，精确到0.1米）
【参考答案】115.5
（SR1长宁天山王鹏13）如图，若某人在距离大厦BC底端C处200米远的A地测得塔顶B 的仰角是30°，则塔高BC=米．（3 1.732
≈，精确到0.1米）
（SR3兰溪余国茂）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
【参考答案】
（1）过点A作AH⊙PO，垂足为点H，
⊙斜坡AP的坡度为1：2.4，
⊙=，
设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k，
⊙13k=26，
解得k=2，
⊙AH=10，
答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．
（2）延长BC交PO于点D，
⊙BC⊙AC，AC⊙PO，
⊙BD⊙PO，
⊙四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH，⊙⊙BPD=45°，
⊙PD=BD，
设BC=x，则x+10=24+DH，
⊙AC=DH=x﹣14，
在Rt⊙ABC中，tan76°=，即≈4.01．
解得x≈19．
答：古塔BC的高度约为19米．
【坡角、坡比】
（SR2周浦王鸿武15）小明在坡度为1: 4
3
的斜坡上测量坡顶的一塔顶的仰角为60°，坡
顶离塔底10米，若此时小明与坡顶的距离为50米，则塔高为米．（结果保留根号）【参考答案】50330；
（SR7牡丹江王道钧）如果人在一斜坡坡面上前行100米时，恰好在铅垂方向上上升了10米，那么该斜坡的坡度是．
（SR4静安盛社增22）在一次对某水库大坝设计中，李设计师对修建一座长80米的水库大坝提出了以下方案：大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB
B
C M F E N
的坡度5
3
i =
，审核组专家看后，从力学的角度对此方案提出了建议，李设计师决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE 的坡度5
6
i =．
（1）求原方案中此大坝迎水坡AB 的长（结果保留根号） （2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC 方向拓宽2.7m ，求坝底将会沿AD 方向加宽多少米？
【参考答案】 解：（1）过点B 作BF AD ⊥于F ． （1分）
在Rt ABF △中，
∵35
==
AF BF i ，且10BF m =． ∴6AF m =． （2分） ∴34AB m =． （2分）
（2）如图，延长EC 至点M ，AD 至点N ，连接MN ，过点E 作EG AD ⊥于G ．
在Rt AEG △中，
∵6
5
==
AG EG i ，且10BF m =， ∴12AG m =，6BE GF AG AF cm ==-=．
（2分） ∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．
∴ABE CMND S S =△梯形． （1分）
()11
22
BE EG MC ND ⋅⋅=+． 即 BE MC ND =+． （1分） ()6 2.7 3.3ND BE MC m =-=-=．
答：坝底将会沿AD 方向加宽3.3m ． （1分）
（SR4延西数学组22）（本题满分10分）
如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB 的坡比（指坡面的铅直高度与水平宽
度的比）．且AB =20 m ．身高为1.7 m 的小明站在大堤A 点，测得高压电线杆端点D 的仰角为30°．已知地面CB 宽30 m ，求高压电线杆CD 的高度（结果保留三个有效数字，
1.732）.
1:3i =3≈
【参考答案】≈36.0
【方向角】
（SR7牡丹江王道钧24）（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题9分）
如图，港口位于港口正西方向120海里处，小岛位于港口北偏西60°的
方向上，一艘科学考察船从港口出发，沿北偏西30°的方向以每小时20海里的速度驶离港口，同时一艘快艇从港口出发沿北偏东30°的方向以每小时60海里的速度驶向小岛，在小岛用1小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送去． （1）快艇从港口到小岛需要多少时间？
（2）快艇从小岛出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？
（SR4黄浦欧阳思顺）高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音。

如图，点是某
市一高考考点，在位于考点南偏西15°方向距离125米的点处有一消防队。

在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于点北偏东75°方向的点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火。

已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶。

试问：
消防车是否需要改道行驶？说明理由.（取1.732）
【参考答案】
21.7103 B D C D D DA D B C C B C C A A C C F 3C
D
N
M A
B
第21题图
C D
北
A 北
B C
北 A 15°
75° F
北
3、解：过点作交于点，由图可知
∵ ·································································· （3分）
∴ ······················· （3分） ∵米
∴不需要改道行驶 ·············································································· （２分）
A AH CF ⊥CF H 000
751560ACH ∠=-
=0
1.732
sin 60125125108.25()2
AH AC m ===⨯=100AH >。