2021-2022学年度鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似同步测评练习题(含详解)

八年级数学下册第九章图形的相似同步测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，正方形ABCD中，点E是边CD上的动点（不与点C、D重合），以CE为边向右作正方形CEFG，连接AF，点H是AF的中点，连接DH、CH．下列结论：①△ADH≌△CDH；②AF平分∠DFE；③
若BC＝4，CG＝3，则AF＝5；④若
1
2
CG
BC
=，则Δ
Δ
1
4
EFI
DFI
S
S
=．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、如图，点D，E 分别在△ABC 的边AB，AC 上，且满足△ADE∽△ACB，∠AED =∠B ，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则CE 的长是（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 3、已知
12a b =，则a b b +的值为（ ） A ．23 B ．32 C ．35 D ．1
4、如图，123l l l ∥∥，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若3AB =，2DE =，4EF =，则BC 的长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
5、如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对甲、乙中两个三角形，下列说法正确的是（ ）
A ．都相似
B ．都不相似
C ．只有甲中两个三角形相似
D ．只有乙中两个三角形相似
6、直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，三个正方形如图放置，边长分别为a ，b ，c ，已知2a =，
3b =，则c 的值为（ ）
A ．4
B ．
C ．5
D ．6
7、如图，△ABC 中，∥DE BC ，25
AD AB =，则△ADE 与△ABC 的面积比为（ ）
A ．2：3
B ．2：5
C ．4：9
D ．4：25
8、已知2a =3b ，则下列比例式错误的是（ ）
A ．3a = 2b
B ．3a = 2b
C ．b a = 23
D ．2a = 3b
9、如图，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =．点E ，G 分别在边BC ，AD 上，点F ，H 在对角线AC 上．若四边形EFGH 是菱形，则AG 的长是（ ）
A ．2
B
C ．52 D
10、在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三
象限内作与△OAB 的位似比为13
-的位似图形△OCD ，则点C 的坐标为（ ） A ．(1,1)-- B ．4
,13⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．41,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．(2,1)--
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，点M 是AB 的中点，点G 是ABC 的重心，则GM 的长为______cm ．
2、如图：在平行四边形ABCD 中，12BE EC =，DE 交AC 于点F ，那么FA FC
＝_____．
3、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB ＝2m ，它的影子BC ＝1.6m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM =1.2m ，MN =0.8m ，则木竿PQ 的长度为_____m ．
4、如图，将等边△ABC 折叠，使得点C 落在AB 边上的点D 处，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC
边上．若AC＝8，AD＝2，则△AED周长为 _____，CE
CF
的值为 _____．
5、两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为(3，﹣6)、(﹣2，b)，则b＝___．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．
(1)根据题意知：CQ＝，CP＝；（用含t的代数式表示）
(2)t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的1
8
？
(3)运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
2、如图所示，在△ABC中，∠C=30°，BC=20，AC=16，E为BC中点．动点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点Q从点C出发，沿CE方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．过点P作PD//AC，交AB于D，连接DQ，设点P运动的时间为t（s）．（0<t<10）
(1)当t＝3时，求PD的长；
(2)设△DPQ面积为y，求y关于t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使S△DPQ：S△ABC＝3：25？若存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
3、如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，延长BC到点F，使CF=AE．
(1)求证：DE=DF；
(2)在（1）的条件下，把△ADE绕点D逆时针旋转多少度后与△CDF重合；
AD ，求EG的长．
(3)现把DCF向左平移，使DC与AB重合，得ABH，AH交ED于点G．若8
4、边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F．
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)若CF的长为1，求CE的长．
5、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，点P 是对角线BD 上一点，连接AP ，AE ⊥AP ，且12
AP AE =，连接BE ．
(1)当DP =2时，求BE 的长．
(2)四边形AEBP 可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形AEBP 的面积．
(3)如图2，作AQ ⊥PE ，垂足为Q ，当点P 从点D 运动到点B 时，直接写出点Q 运动的距离．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
连接AC ，CF ，利用已知条件可以判定ACF ∆为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AH CH =，利用边边边公理即可判定ADH CDH ∆≅∆，说明①的结论正确；假定②成立，则必须AD DF =，利用点E 是边CD 上的动点（不与点C 、D 重合），可知②不一定成立；延长FE 交AB 于点G ，利用勾股定理求出AF 的长度即可判定③不正确；利用同高的三角形的面积比等于它们底的比，计算出12
EFI
DFI S EI S
DI ∆∆==，从而判定④的结论不正确． 【详解】 解：连接AC ，CF ，如图，
四边形ABCD 和四边形CEFG 为正方形，
45ACD ACB ∴∠=∠=︒，45DCF FCG ∠=∠=︒．
90ACF ACD FCD ∴∠=∠+∠=︒． H 是AF 的中点，
12
CH AF AH HF ∴===． 在ADH ∆和CDH ∆中，
AD CD DH DH AH CH =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ()ADH CDH SSS ∴∆≅∆．
∴①的结论正确；
//AD EF ，
DAF EFA ∴∠=∠，
若AF 平分DFE ∠，则必须EFA DFA ∠=∠，即需要DAF DFA ∠=∠，
点E 是边CD 上的动点（不与点C 、D 重合），
DA ∴与FD 不一定相等，
DAF DFA ∴∠=∠不一定成立，
AF ∴平分DFE ∠不一定成立，
∴②的结论不正确；
延长FE 交AB 于点G ，如图，
则4GE BC ==，3EF CG ==，4AB BC ==，3GB EC FG ===，
7FG EG EF ∴=+=，431AG AB BG =-=-=，
AF ∴
∴③的结论错误；
//AD EF ，
ADI FEI ∴∆∆∽． ∴DI AD EI EF
=． 1
2
EF CG AD BC ==， ∴
12EI DI =． ∴12
EFI DFI S EI S DI ∆∆==． ∴④的结论错误．
综上所述，只有①的结论正确，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形是判定与性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线长性质，勾股定理，同高三角形的面积比等于底的比，角平分线的定义，解题的关键是利用已知条件及相关的定理与性质对每个选项进行判断．
2、B
【解析】
【分析】
首先利用相似三角形的性质可求出AE的长，即可求解．
【详解】
解：∵△ADE∽△ACB， &#xF0D0;AED &#xF03D; &#xF0D0;B ，
∴AB：AE=AC：AD，
而AB＝10，AC＝8，AD＝4
∴10：AE=8：4，
∴AE=5
∴853
CE AC AE
=-=-=．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．3、B
【解析】
【分析】
根据
1
2
a
b
=求得b=2a，代入计算即可．
【详解】
解：∵
1
2
a
b
=，
∴b=2a，
∴
23
22
a b a a
b a
++
==，
【点睛】
此题考查了比例的性质，代数式的化简求值，正确掌握比例的性质是解题的关键．
4、C
【解析】
【分析】
由123l l l ∥∥，可得
,AB DE BC EF =再代入数据进行计算即可. 【详解】 解： 123l l l ∥∥，
,AB DE BC EF ∴
= 3AB =，2DE =，4EF =，
32,4BC 6,BC 经检验符合题意.
故选C
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截得的对应线段成比例”是解本题的关键.
5、C
【解析】
【分析】
根据相似三角形判定定理对甲、乙中两个三角形逐一判定即可得答案．
∵甲中两个三角形的两个内角分别为75°、35°和70°、75°，∴两个三角形的另一个内角的度数分别为70°和35°，
∴两个三角形的三个内角分别对应相等，
∴甲中两个三角形相似，
∵83 64 ，
∴乙中两个三角形不相似，
∴只有甲中两个三角形相似，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，两角分别对应相等的两个三角形相似；两对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似；熟练掌握判定定理是解题关键．
6、C
【解析】
【分析】
根据△CEF∽△OME∽△PFN，得OE OM
PN PF
，代入即可．
【详解】
解：如图，先标注顶点，直角三角形ABC中，∠C=90°，放置边长分别为a，b，c的正方形，且a=2，b=3，
,,,90, EF AB MO AB PN AB C EOM FPN ∥∥∥
,,
EMO A FNP B
,,,
CEF CAB CAB OME CAB PFN
∽∽∽
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴OE OM PN PF
，
∵MO=2，PN=3，EF=c，∴OE=c-2，PF=C-3，
∴
22
33
c
c
，
解得：c=5或0，经检验0不符合题意舍去，
∴c=5，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法等知识，证明△OME∽△PFN是解题的关键．
7、D
【解析】
【分析】
先证明,ADE ABC ∽可得2,ADE ABC S AD S AB 从而可得答案.
【详解】 解： ∥DE BC ，
,ADE ABC ∴∽ 而25
AD AB =， 24.25ADE ABC S
AD S AB 故选D
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的面积之比等于相似比”是解本题的关键.
8、D
【解析】
【分析】
根据比例的性质“如果a c b d
=，那么ad bc =”进行解答即可得． 【详解】
解：A 、32a b
=，则23a b =，选项说法正确，不符合题意； B 、32
a b =，则23a b =，选项说法正确，不符合题意； C 、23
b a =，则23a b =，选项说法正确，不符合题意； D 、
23a b =，则23b a =，选项说法错误，符合题意； 故选D ．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．
9、C
【解析】
【分析】
连接EG 交AC 于O ，根据菱形和矩形的性质证明△CEO ≌△AGO ，推出AO=CO ，由勾股定理求出AC 得到AO ，再证明△AOG ∽△ADC ，得到
AG AO AC AD
=，代入数值即可求出AG ． 【详解】
解：连接EG 交AC 于O ，
∵四边形EFGH 是菱形，
∴EG ⊥FH ，OE=OG ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B =∠D =90°，AD BC ∥，
∴∠ACB =∠CAD ，
∴△CEO ≌△AGO ，
∴AO=CO ，
∵
AC
∴12AO AC =
= ∵∠AOG =∠D =90°，∠OAG =∠CAD ，
∴△AOG ∽△ADC ， ∴AG AO AC AD
=，
，
∴AG=5 2
故选：C．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，是图形类的综合题，熟练掌握各知识点是解题的关键．
10、B
【解析】
【分析】
根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以-1
3
即可．
【详解】
解：∵以点O为位似中心，位似比为-1
3
，
而A（4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（-4
3
，-1），
故选：B．【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．
二、填空题
1、56
【解析】
【分析】
根据勾股定理AB
5=，根据点M 是AB 的中点，得出CM =1 2.52
AB =，根据点G 是ABC 的重心，得出GM =1152.5336
CM =⨯=即可． 【详解】
解：∵ABC 中，90ACB ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，
根据勾股定理AB
5=，
∵点M 是AB 的中点，
∴CM =1 2.52
AB =， ∵点G 是ABC 的重心，
∴GM =1152.5336
CM =⨯=， 故答案为：56
．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形中线性质，三角形重心性质，掌握直角三角形的性质，勾股定理，三角形中线性质，三角形重心性质是解题关键．
2、32##1.5 【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD =BC ，得出△ADF ∽△CEF ，由相似三角形的性质得出FA AD FC CE
=，则可得出答案．
【详解】 解：∵12BE CE =， ∴23
CE BC =， ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，
∴△ADF ∽△CEF ， ∴FA AD FC CE
=， ∴
32FA BC C CE F ==， 故答案为：32
． 【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，证明△ADF ∽△CEF 是解决问题的关键．
3、2.3
【解析】
【分析】
过N 点作ND PQ ⊥于点D ，根据同一时刻木竿长和影子长的比是固定的得到
BC DN AB QD
=，求出QD 的长，即可求出结果．
【详解】
解：如图，过N 点作ND PQ ⊥于点D ，
则四边形DPMN 是矩形，
DN PM ∴=
根据同一时刻木竿长和影子长的比是固定的， ∴BC DN AB QD
=， ∵2m AB =， 1.6m BC =， 1.2m PM =，0.8m MN =， ∴ 1.5m AB DN QD BC
⋅==， ∴ 1.5m 0.8m 2.3m PQ QD DP QD MN =+=+=+=．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用竿长和影长成比例列式求出结果．
4、 10 57
．
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：，DF +CF +CD ＝10，DF +BF +BD ＝BC +BD ＝14，再证明△AED ∽△BDF ，由相似三角形周长的比等于相似比，即可得出结果．
【详解】
解：∵△ABC 是等边三角形，
∴BC ＝AB ＝AC ＝8，∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°，
∵AD＝2，
∴BD＝6，
由折叠的性质可知：CE＝DE，CF＝DF，∠EDF＝∠C＝60°，∴AE+DE+AD＝AC+AD＝10，即△AED周长为10，
故答案为：10；
∴DF+BF+BD＝BC+BD＝14，
∵∠EDF＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠FDB+∠EDA＝∠AED+∠EDA＝120°，
∴∠FDB＝∠AED，
∵∠B＝∠A＝60°，
∴△AED∽△BDF，
∴AE AD ED BD BF DF
==
∴AE AD ED ED CE BD BF DF DF CF ++
==
++
∴
105
147 CE
CF
==，
故答案为：5
7
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
5、4
【解析】
【分析】
利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案．
【详解】
解：∵一对对应点的坐标分别为（3，﹣6）、（﹣2，b），
∴b＝﹣6×(﹣2
3
)＝4，
则b＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)t，4﹣2t
(2)3
2
或1
2
(3)6
5
或
16
11
秒
【解析】
【分析】
（1）结合题意，直接得出答案即可；
（2）根据三角形的面积列方程即可求出结果；
（3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解．
(1)
解：AC=3cm，BC=4cm，
根据题意得：经过t秒后，BP=t，PC=4-2t，CQ=t，
故答案为：t，4-2t；
(2)
解：当△CPQ的面积等于△ABC面积的1
8
时，
即1
2
（4-2t）•t=
1
8
×
1
2
×3×4，
解得；t=3
2
或t=
1
2
；
答：经过3
2
或
1
2
秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的
1
8
；
(3)
解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC则AC QC
BC PC
=，即
3
442
t
t
=
-
，解得t=
6
5
；
②若Rt△ABC∽Rt△PQC则PC AC
QC BC
=，即
423
4
t
t
-
=，解得t=
16
11
；
由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．
答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或16
11
秒．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论．
2、 (1)125
(2)()2240105
y t t t =-+<< (3)4t =或6t =
【解析】
【分析】
（1）根据题意先求得BP ，根据PD AC ∥可得BPD BCA ∽，列出比例式代入数轴求解即可；
（2）过点D 作DM BC ⊥于M ，证明BPD BCA ∽，得出比例式，求得45
PD t =，根据含30度角的直角三角形的性质气得25
DM t =，求得202PQ t =-，根据三角形的面积公式进行计算即可； （3）如图，作AN BC ⊥于N ，根据含30度角的直角三角形的性质，求得182AN AC =
=，继而求得ABC S ，由已知条件得出方程，解方程求解即可．
(1)
当3t =时，3BP =，
PD AC ∥，
BPD BCA ∴∽
PD BP AC PC
∴= 即31620
PD = 解得125PD =
(2)
过点D 作DM BC ⊥于M ，如图， E 为BC 的中点，
1102
BE CE BC ∴===， PD AC ∥，
BPD BCA ∴∽，
PD BP AC PC
∴=，30DPM C ∠=∠=︒， 1620PD t ∴
=，12DM PD =， 45
PD t ∴=， 25
DM t ∴=， BP CQ t ==，
202PQ t ∴=-，
DPQ ∴△的面积()21222024255
y t t t t =-⨯=-， 即()2240105
y t t t =-+<<，
(3)
存在t ，使S △DPQ ：S △ABC ＝3：25，4t =或6t =，理由如下，
如图，作AN BC ⊥于N
则90ANC ∠=︒，
30C ∠=︒，
182
AN AC ∴==， ABC ∴的面积11=2088022
BC AN ⨯⨯=⨯⨯=， S △DPQ ：S △ABC ＝3：25，
∴ S △DPQ 34880255
=⨯=， 2248455
t t ∴-+=， 解得4t =或6t =．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，证明相似三角形是解题的关键．
3、 (1)见解析
(2)90°
【解析】
【分析】
（1）由已知条件可用SAS 直接证明△ADE ≌△CDF ，即可证明DE =DF ；
（2）由（1）结论证明∠EDF =90°即可；
（3）由中点性质及平移性质可得BH =CF =AE =4，由勾股定理可得AH ，再证明△AEG ∽△AHB ，利用相似三角形的性质即可得到答案．
(1)
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB =CD =AD =BC ，∠BAD =∠BCD =∠ABC =∠ADC =90°，
∴∠DCF =90°，
在△ADE 和△CDF 中，
DA DC DAE DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADE ≌△CDF （SAS ），
∴DE =DF ；
(2)
解：由（1）可△ADE ≌△CDF ，
∴∠ADE =∠CDF ，
∴∠ADE +∠EDC =∠CDF +∠EDC =90°，
∴∠EDF =90°，
即△ADE 绕点D 逆时针旋转 90度后与△CDF 重合；
(3)
解：∵点E 是AB 的中点，
∴AE =BE =CF =12AB =12
AD =4． 又由平移性质可得CF =BH ，
∴AE =BE =CF =BH =4，
由平移可得DF ∥AH ，
由勾股定理得AH
∴∠AGE =∠EDF =90°，
∴∠AGE =∠B =90°，
又∠EAG =∠HAB ，
∴△AEG ∽△AHB ，
∴
EG AE BH AH ==，
∴EG 【点睛】
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平移的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，证明△ADE ≌△CDF 是解题的关键．
4、 (1)见解析
(2)CE =2
【解析】
【分析】
（1）结合图形由∠AEB +∠FEC =90°，∠AEB +∠BAE =90°推出∠BAE =∠FEC ，根据正方形的性质得到∠B =∠C =90°，从而推出△ABE ∽△ECF ；
（2）根据相似三角形的性质和线段之间的和差关系求解即可．
(1)
证明：∵EF ⊥AE ，
∴∠AEB +∠FEC =90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF；
(2)
解：∵△ABE∽ECF，
∴AB BE EC CF
=，
∴
44
1
EC EC
-
=，
解得CE=2．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，应从图形入手，寻找判定相似三角形的条件（∠BAE=∠FEC，∠B=∠C=90°），再根据相似三角形的性质进行求解，注意运用数形结合的思想方法．
5、 (1)4；
(2)可能，面积为128
5
；
(3)8 【解析】【分析】
（1）根据矩形的性质和等角的余角相等证得
1
2
AD AP
AB AE
==，∠DAP＝∠BAE，根据相似三角形的判定
和性质证得△ADP∽△ABE即可求解；
（2）根据相似三角形的性质和直角三角形的两锐角互余证得∠PBE=90°，根据矩形的判定当
∠APB=90°时可得四边形AEBP为矩形；利用勾股定理求得BD，再根据三角形的面积公式求得AP，进而求得AE即可求解；
（3）根据题意画出图形证明点Q在直线Q1Q2上运动，由（2）中结论可知四边形AQ1BQ2是矩形，根据矩形对角线相等求得Q1Q2即可．
(1)
解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，
∴∠DAB＝90°，
1
2 AD
AB
=，
∴
1
2
AD AP AB AE
==，
∵AP⊥AE，
∴∠PAE＝90°，
∴∠DAP+∠PAB＝∠PAB+∠BAE，∴∠DAP＝∠BAE，
∴△ADP∽△ABE，
∴
1
2 DP AD
BE AB
==，
∴24
BE DP
==；
(2)
解：四边形AEBP可能为矩形．如图，
由（1）得△ADP ∽△ABE ，
∴∠ABE ＝∠ADB ，
∴∠PBE ＝∠PBA +∠ABE =∠PBA +∠ADB =90°， 如图，当∠APB =90°时，
∵∠APB =∠PAB =∠PBE =90°，
∴四边形AEBP 为矩形，
在Rt△ABD 中，AB ＝8，AD ＝4，
由勾股定理得：
BD =
AP ==2AE AP ==， 1285AEBP S AE AP =⋅=
；
(3)
解：由（1）中，12AD AP AB AE
==，∠DAB =∠PAE =90°， ∴△ADB ∽△APE ，
∴∠ADB ＝∠APE ，
如图，当点P 在点D 处时，Q 在Q 1处，即AQ 1⊥BD ，作 AQ 2⊥PE ，
∴∠AQ 1D =∠AQ 2P =90°，
∴△ADQ 1∽△APQ 2， ∴12
AQ AD AP AQ ，∠DAQ 1=∠PAQ 2， ∵∠DAP =∠DAQ 1+∠PAQ 1=∠PAQ 1+∠PAQ 2=∠Q 1AQ 2，
∴△ADP ∽△AQ 1Q 2，
∴∠AQ 1Q 2=∠ADP ，
∴∠BQ 1Q 2=90°-∠AQ 1Q 2=90°-∠ADP=∠ABD ，
因此点Q 在直线Q 1Q 2上运动，
故当点P 从点D 运动到点B 时，点Q 由Q 1运动到如图2中的Q 2位置，则点Q 运动的距离为Q 1Q 2的长度．
此时，∠DAP =∠DAB =∠DAQ 1+∠PAQ 1=∠PAQ 1+∠PAQ 2=∠Q 1AQ 2=90°，
又∵∠AQ 1D =∠AQ 2P =90°，
∴四边形AQ 1BQ 2是矩形，
∴Q 1Q 2=AB =8，即点Q 运动的距离为8．
图2 图3
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．。