【精品】2018届高三数学(理)高考总复习：板块命题点专练(六)含解析

板块命题点专练（六）
A ．－
3
2
B ．
32
C ．－12
D ．12
解析：选D sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10° ＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝1
2
，故选D ．
2．(2016·全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3
5，则sin 2α＝( )
A ．7
25
B ．15
C ．－15
D ．－725
解析：选D 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3
5
，
所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α
＝2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4－α－1＝2×925－1＝－725．
3．(2016·全国丙卷)若tan θ＝－1
3，则cos 2θ＝( )
A ．－45
B ．－15
C ．15
D ．45
解析：选D ∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ
1＋tan 2θ
，
又∵tan θ＝－1
3，∴cos 2θ＝1－
191＋
19
＝45
．
4．(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则
tan ⎝
⎛
⎭⎪⎫θ－π4＝________．
解析：由题意知sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，
所以cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ＋π4＞0，
所以cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫θ＋π4＝
1－sin 2
⎝
⎛
⎭⎪⎫θ＋π4＝45．
tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ＋π4－π2
＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥
⎤π2－⎝
⎛
⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎣⎢⎡⎦⎥
⎤π2－⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ＋π4
＝－cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛
⎭⎪
⎫θ＋π4
＝－45×53＝－4
3．
答案：－43
5．(2013·全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋
cos θ＝________．
解析：由θ在第二象限，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，得sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ＋π4＝－55，故
sin θ＋cos θ＝2sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫θ＋π4＝－105．
答案：－10
5
6．(2015·四川高考)已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R)的两个实根．
(1)求C 的大小；
(2)若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值．
解：(1)由已知，方程x 2＋3px －p ＋1＝0的判别式Δ＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0，
所以p ≤－2或p ≥23．
由根与系数的关系，
有tan A ＋tan B ＝－3p ，tan A tan B ＝1－p ， 于是1－tan A tan B ＝1－(1－p )＝p ≠0， 从而tan(A ＋B )＝
tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3p
p
＝－3．
所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝3，所以C ＝60°． (2)由正弦定理，得sin B ＝
AC sin C AB ＝6sin 60°3＝2
2
， 解得B ＝45°或B ＝135°(舍去)． 于是A ＝180°－B －C ＝75°．
则tan A ＝tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝
tan 45°＋tan 30°
1－tan 45°tan 30°
＝
1＋33
1－
33
＝2＋3． 所以p ＝－
1
3
(tan A ＋tan B ) ＝－1
3(2＋3＋1)
＝－1－3．
＝5，c ＝2，cos A ＝2
3
，则b ＝( )
A ． 2
B ． 3
C ．2
D ．3
解析：选D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×2
3，
解得b ＝3或b ＝－1
3(舍去)，故选D ．
2．(2016·全国丙卷)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1
3
BC ，则cos A ＝( )
A ．31010
B ．1010
C ．－
1010
D ．－
310
10
解析：选C 法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝2
3
a ．
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝5
9a 2，∴b
＝5
3
a ． ∴cos A ＝
b 2＋
c 2－a 2
2bc
＝
59a 2＋29
a 2
－a 22×
53a ×2
3
a ＝－
10
10
．故选C ．
法二：如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝1
3
a ，
B ＝π
4，易知BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23
a ．
在Rt △ABD 中，由勾股定理得，
AB ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13a 2
＝23a ．
同理，在Rt △ACD 中，AC ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a 2
＝53a ．
∴cos A ＝59a 2＋29
a 2
－a 22×53a ×2
3
a
＝－10
10．
3．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是1
2，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝
( )
A ．5
B ． 5
C ．2
D ．1
解析：选B 由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝1
2，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin
B ＝2
2
，所以B ＝45°或B ＝135°．当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝
AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°．由余弦定理可得AC ＝
AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝5．
4．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝5
13
，a ＝1，则b ＝________． 解析：因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，
所以sin A ＝35，sin C ＝12
13
，
所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×
5
13＋45×1213＝6365
． 又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝21
13
． 答案：
2113
5．(2014·全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m ．
解析：在△ABC 中，AC ＝100 2 m ，在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得
MA sin 60°
＝
AC sin 45°
，解得MA ＝100 3 m ，在△MNA 中，
MN ＝MA ·sin 60°＝150 m ．即山高MN 为150 m ．
答案：150
6．(2016·全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos
C (a cos B ＋b cos A )＝c ．
(1)求C ；
(2)若c ＝7，△ABC 的面积为33
2
，求△ABC 的周长． 解：(1)由已知及正弦定理得
2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C ． 可得cos C ＝12，所以C ＝π3．
(2)由已知得12ab sin C ＝33
2．
又C ＝
π
3
，所以ab ＝6． 由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25． 所以△ABC 的周长为5＋7．
7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．
(1)求sin B sin C
；
(2)若AD＝1，DC＝
2
2
，求BD和AC的长．
解：(1)S△ABD＝1
2
AB·AD sin∠BAD，
S
△ADC ＝
1
2
AC·AD sin∠CAD．
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC．
由正弦定理，得sin B
sin C
＝
AC
AB
＝
1
2
．
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2．
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos∠ADC．故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6．
由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1．
＝b cos C＋c sinB．
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由已知及正弦定理得，
sin A＝sin B cos C＋sin C sin B．①
又A＝π－(B＋C)，
故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②
由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B．
又B∈(0，π)，所以B＝π4
．
(2)△ABC的面积S＝1
2ac sin B＝
2
4
ac．
由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos
π4
． 又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤4
2－2＝4＋22，当且仅当a ＝c 时等号成立．
因此△ABC 面积的最大值为2
4(4＋22)＝2＋1．
2．(2015·山东高考)设f (x )＝sin x cos x －cos 2
x ＋π
4
．
(1)求f (x )的单调区间；
(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
A 2＝0，a ＝1，
求△ABC 面积的最大值．
解：(1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝
⎛
⎭⎪
⎫2x ＋π22
＝
sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －1
2
． 由－π2＋2k π≤2x ≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
可得－π4＋k π≤x ≤π
4
＋k π，k ∈Z ； 由
π2＋2k π≤2x ≤3π2
＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4
＋k π，k ∈Z ．
所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z)；
单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z)．
(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，
由题意知A 为锐角，所以cos A ＝
3
2
． 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，
即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立．
因此1
2bc sin A≤
2＋3
4
．
所以△ABC面积的最大值为2＋3
4
．。